2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念学

3．1.1 实数系

3．1.2 复数的概念

明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．

1．复数的有关概念

(1)复数

①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．

②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．

(2)复数集 ①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．

②表示：通常用大写字母C 表示．

2．复数的分类及包含关系

(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )

⎩

⎨⎧ 实数b ＝虚数b ⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝非纯虚数a

(2)集合表示：

3．复数相等的充要条件

设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .

[情境导学]

为解决方程x 2

＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数

范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．

探究点一 复数的概念

思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．

思考2 如何理解虚数单位i?

答 (1)i 2＝－1.

(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．

(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立．

(4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.

思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？

答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部．

对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数．

①2＋3i ；②－3＋12

i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12

，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．

反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．

跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．

(1)实部为－2的虚数；

(2)虚部为－2的虚数；

(3)虚部为－2的纯虚数；

(4)实部为－2的纯虚数．

解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.

例2 求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3

＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解 由已知得复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3

，虚部为m 2＋5m ＋6. (1)复数z 是实数的充要条件是

⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2. ∴当m ＝－2时，复数z 是实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是

⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2.

∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数．

(3)复数z 是纯虚数的充要条件是

⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －6m ＋3

＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3.

∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．

反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．

跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.

(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.

(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.

探究点二 两个复数相等

思考1 两个复数能否比较大小？

答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小．

思考2 两个复数相等的充要条件是什么？