用实例讲解RSA加密算法(精)
简述rsa加密算法
简述rsa加密算法一、引言RSA加密算法是公钥加密算法的代表，由Ron Rivest、Adi Shamir 和Leonard Adleman三位数学家于1977年发明。
RSA算法的安全性基于大数分解这一NP难题，被广泛应用于信息安全领域。
二、RSA加密算法原理1. 公钥和私钥的生成：RSA算法使用两个大素数p和q作为私钥，并根据p和q计算出n=p*q作为公钥。
同时，根据欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)，选择一个整数e与φ(n)互质作为公钥，再计算d=e^-1 mod φ(n)作为私钥。
2. 加密过程：发送方使用接收方的公钥对明文进行加密，加密后的密文只能由接收方使用其私钥进行解密。
具体地，将明文m转换成整数M，并计算C=M^e mod n得到密文。
3. 解密过程：接收方使用自己的私钥对密文进行解密，还原出原始明文。
具体地，将密文C计算出明文M=C^d mod n。
三、RSA加密算法实现1. 公钥和私钥的生成：选择两个大素数p和q，并计算n=p*q、φ(n)=(p-1)*(q-1)。
选择一个整数e与φ(n)互质，计算d=e^-1 mod φ(n)。
公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
2. 加密过程：将明文m转换成整数M，并计算C=M^e mod n得到密文。
3. 解密过程：将密文C计算出明文M=C^d mod n。
四、RSA加密算法的安全性RSA算法的安全性基于大数分解这一NP难题，即对于一个大整数n=p*q，要找到p和q是困难的。
目前最好的分解方法是基于数域筛法和多项式求解器的广义数域筛法，但其时间复杂度依然非常高。
RSA算法在实际应用中具有较高的安全性。
五、RSA加密算法的应用RSA算法被广泛应用于信息安全领域，如数字签名、数据加密、证书认证等。
其中，数字签名可以保证信息的完整性和真实性；数据加密可以保护敏感信息不被窃取；证书认证可以确定通信双方身份并建立可信任的通信渠道。
六、总结RSA加密算法是一种公钥加密算法，在信息安全领域得到了广泛应用。
rsa 公钥密码算法
RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（��钥和私钥）来加密和解密数据。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA算法的基本原理是基于大素数的乘法和取模运算。
下面是RSA算法的基本步骤：
1. 选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
2. 计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个整数e，使得1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
e称为公钥。
4. 计算整数d，使得d ≡e^(-1) (mod φ(n))。
d称为私钥。
5. 公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
6. 加密消息m：c ≡m^e (mod n)。
7. 解密密文c：m ≡c^d (mod n)。
RSA算法的安全性依赖于大素数分解的困难性，即从n=p*q中分解出p和q的困难性。
因此，RSA算法的安全性取决于选择足够大的素数p和q。
RSA算法被广泛应用于加密通信、数字签名、身份认证等领域，是目前最常用的公钥密码算法之一。
rsa加密算法详解及例题
RSA加密算法详解及例题
RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性基于对极大整数做因数分解的困难性。
以下是RSA加密算法的详解及例题：
1. 密钥生成：
* 随机选择两个质数P和Q，越大越安全。
* 计算它们的乘积N=P*Q。
* 计算欧拉函数φ(N)=(P-1)*(Q-1)。
* 随机选择一个整数E，条件是1<E<φ(N)，且E与φ(N)互质。
* 计算E对于φ(N)的模反元素D，使得EDmodφ(N)=1，即D=E-1modφ(N)。
* 公钥为(E, N)，私钥为(D, N)。
2. 加解密过程：
* 加密：明文M进行加密后得到密文C，计算公式为C=MemodN。
* 解密：将密文C进行解密后得到明文M，计算公式为M=CdmodN。
例题：在RSA加密体制中，已知素数P=7，Q=11，公钥E=13，试计算私钥D并给出对明文M=5的加密，求其密文。
解：首先，根据上述算法进行密钥生成。
根据素数P和Q得到N=77。
计算φ(N)=60。
因为E小于φ(N)且与φ(N)互质，选择E=13作为公钥。
根据公式计算D模反元素得到D=7。
现在有公钥(E, N)=(13, 77)和私钥(D, N)=(7, 77)。
接下来，用公钥加密明文M=5得到密文C=5^13mod77=15。
所以，密文为15。
此例题仅展示了RSA加密算法的基本原理和步骤，实际应用中需要考虑更多安全因素和操作细节。
RSA加密算法举例
RSA加密算法举例假设Alice想要将一条消息发送给Bob，但是她不希望消息被其他人读取。
为了实现这个目的，Alice决定使用RSA加密算法。
1.生成密钥对：Alice首先生成一对密钥：一个公钥和一个私钥。
公钥用于加密消息，私钥用于解密消息。
生成密钥对的过程如下：-随机选择两个不同的质数p和q，比如p=61，q=53；-计算n=p*q，对于本例，n=61*53=3233；-计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)，对于本例，φ(3233)=60*52=3120；-选择一个整数e，1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
一般选择一个较小的素数，比如e=17；- 计算e模φ(n)的乘法逆元d，即d * e ≡ 1 (mod φ(n))。
d可以使用扩展欧几里得算法计算得到，对于本例，d = 2753；-最终得到的密钥对为公钥：(e,n)和私钥：(d,n)。
2.加密消息：Alice使用Bob的公钥对消息进行加密，确保只有Bob的私钥才能解密。
假设Alice要发送的消息为m = 1234，加密过程如下：- Bob将m转换为整数M，比如M = 1234；- 使用公钥(e, n)进行加密，计算密文C = M^e mod n。
对于本例，C = 1234^17 mod 3233 = 8553.解密消息：Bob收到密文C后，使用自己的私钥(d, n)进行解密，得到原始消息。
解密过程如下：- 使用私钥(d, n)进行解密，计算明文M' = C^d mod n。
对于本例，M' = 855^2753 mod 3233 = 1234；-将M'转换为字符串，得到原始消息m。
通过上述步骤，Alice成功地使用RSA加密算法将消息m发送给了Bob，并且只有Bob才能解密并获得原始消息。
RSA加密算法的安全性基于两个数的因数分解的困难性。
在上面的例子中，为了破解Alice发送给Bob的消息，攻击者需要根据密钥对中的公钥n来分解出两个大质数p和q，这是一项非常困难的数学问题，目前没有有效的算法可以在合理的时间内解决。
RSA加密算法范文
RSA加密算法范文RSA加密算法是一种非对称加密算法，由三位数数学家Rivest、Shamir和Adleman于1977年提出。
RSA算法通过一个公钥和一个私钥进行加密和解密。
公钥可以向任何人公开，用于加密数据，而私钥则用于解密数据。
RSA算法的数学原理基于大数分解的困难性。
该算法的安全性依赖于两个大素数的乘积难以被分解。
下面是RSA算法的基本步骤：1.选择两个不同的大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
2.计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)，即小于n且与n互质的正整数个数。
3.选择一个小于φ(n)的整数e，使得e与φ(n)互质，作为公钥的指数。
4. 计算与 e 关于模φ(n) 的模反元素 d，即满足 (d * e) mod φ(n) = 1 的整数 d，作为私钥的指数。
5.公钥是一个有序对(e,n)，私钥是一个有序对(d,n)。
6. 加密时，将消息 M 转化为整数 m，计算密文 c = (m^e) mod n。
7. 解密时，将密文 c 计算为明文 m = (c^d) mod n。
RSA算法的安全性主要是基于大数分解的困难性。
目前没有找到有效的方法来快速分解大整数。
因此，只要选择足够大的素数p和q，RSA算法可以提供较高的安全性。
虽然RSA算法是一种安全可靠的加密算法，但是其加密和解密的速度较慢。
因此，在实际应用中，通常将RSA算法与对称加密算法结合使用。
RSA算法用于加密和传输对称密钥，而对称加密算法用于加密和解密实际的数据。
总而言之，RSA加密算法是一种广泛应用的非对称加密算法。
它基于大数分解的困难性，提供了较高的安全性。
虽然其速度较慢，但通过与对称加密算法结合使用，可以提供高效和安全的加密解决方案。
简单的rsa加密解密计算
简单的rsa加密解密计算
RSA加密算法是一种非对称加密算法，它使用一对密钥（公钥
和私钥）来加密和解密数据。
下面我将简单介绍RSA加密和解密的
计算过程。
1. 生成密钥对，首先，选择两个不同的大质数p和q，并计算
它们的乘积n=pq。
然后选择一个整数e，使得e与(p-1)(q-1)互质，并计算出e的模反元素d。
公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
2. 加密，假设要加密的消息为M，首先将消息M转换为整数m，满足0≤m<n。
然后使用公钥(n, e)进行加密，加密后的密文C等于
m的e次方再对n取模，即C≡m^e (mod n)。
3. 解密，接收到密文C后，使用私钥(n, d)进行解密，解密后
的明文M等于C的d次方再对n取模，即M≡C^d (mod n)。
下面我举一个简单的例子来说明RSA加密和解密的计算过程：
假设我们选择两个质数p=11和q=3，计算n=pq=33，然后选择
e=3，并计算d=7。
这样我们得到公钥(n, e)=(33, 3)和私钥(n,
d)=(33, 7)。
现在假设要加密的消息为M=5，将其转换为整数m=5。
使用公钥进行加密，计算C≡5^3 (mod 33)，得到C=5。
接收到密文C=5后，使用私钥进行解密，计算M≡5^7 (mod 33)，得到M=5。
因此，我们成功地将消息M=5加密为密文C=5，然后再解密回到原始消息M=5。
这就是RSA加密和解密的简单计算过程。
RSA算法实例分析
RSA算法实例分析RSA算法，全称为“Rivest-Shamir-Adleman算法”，是一种非对称加密算法，广泛应用于信息安全领域。
本文将对RSA算法进行详细的实例分析，以帮助读者更好地理解和应用该算法。
1. 概述RSA算法是一种基于大素数分解的加密算法，其核心原理是利用两个大素数相乘很容易得到结果，而将结果分解回素数却异常困难。
RSA算法包括秘钥的生成和加密解密两个过程。
2. 秘钥生成过程（1）选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
（2）计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
（3）选择一个小于φ(n)且与φ(n)互质的整数e，作为公钥的指数。
（4）计算私钥的指数d，满足e*d ≡ 1 (mod φ(n))。
（5）将公钥 (n, e) 和私钥 (n, d) 分发给通信双方。
3. 加密过程（1）将明文转化为整数M，确保M小于n。
（2）计算密文C = M^e (mod n)。
4. 解密过程（1）接收到密文C。
（2）计算明文M = C^d (mod n)。
5. 安全性分析RSA算法的安全性基于大素数分解的难度。
由于大素数的因数分解是一个困难问题，RSA算法能在当前计算能力下提供非常可靠的安全性保障。
6. 实例分析以一个简单的实例来演示RSA算法的加密和解密过程。
（1）选择两个大素数p=11和q=7，计算n=p*q=77。
（2）计算φ(n)=(p-1)*(q-1)=60。
（3）选择e=13作为公钥的指数。
（4）计算满足e*d ≡ 1 (mod 60)的d=37，作为私钥的指数。
（5）公钥为 (77, 13)，私钥为 (77, 37)。
（6）假设要加密的明文为M=9。
（7）计算密文C = 9^13 (mod 77)，得到C = 65。
（8）接收到密文C=65。
（9）计算明文M = 65^37 (mod 77)，得到M = 9。
通过以上实例可以看出，RSA算法能够成功地实现对明文的加密和解密。
RSA算法举例说明
RSA算法举例说明首先，选择两个不同的大素数p和q，例如p=17和q=11、接下来计算n=p*q，即n=187、n将作为公钥中的一个参数，并且它的安全性的基础。
现在我们需要选择一个与(p-1)(q-1)互质的整数e。
这里选择e=7作为加密密钥。
e将作为公钥中的另一个参数。
下一步，我们需要计算与e关于模(p-1)(q-1)的乘法逆元d。
乘法逆元表示使得(e*d)%((p-1)*(q-1))=1成立的整数d。
使用扩展欧几里得算法可以快速计算d的值。
在这个例子中，d的值是23现在我们已经得到了RSA算法的公钥和私钥。
公钥是(n,e)，私钥是(n,d)。
现在我们可以使用这对密钥进行加密和解密操作。
假设我们有一条消息m需要加密并发送给Bob，这条消息的值为5、首先我们使用公式c = (m^e) % n进行加密，c表示加密后的值。
在这个例子中，加密后的值为c = (5^7) % 187 = 5接下来，Bob收到了加密后的消息c=5，他可以使用私钥进行解密操作。
解密的公式为m = (c^d) % n。
在这个例子中，解密后的消息为m = (5^23) % 187 = 5可以看到，由于RSA算法的特性，只有知道私钥才能够解密加密消息。
这保证了消息的安全性和机密性。
同时，由于计算(n,e)的乘积n是非常困难的，所以也很难通过已知的公钥推导出私钥。
这保证了RSA算法的安全性。
此外，RSA算法还可以用于数字签名。
数字签名是为了验证消息的完整性和真实性而产生的。
使用私钥对消息进行签名，然后使用公钥进行验证。
这个过程可以确保消息在传输过程中没有被篡改。
数字签名在保障网络通信和数据安全方面起到了重要作用。
综上所述，RSA算法是一种非对称加密算法，通过选择两个大素数并运用一些数学原理，实现了加密和解密操作。
其安全性基于素数因子的乘积难以因式分解。
RSA算法不仅可以用于数据加密解密，还可以用于数字签名等领域。
RSA算法简述范文
RSA算法简述范文RSA算法是一种非对称加密算法，由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman三位数学家在1977年提出的。
RSA算法的安全性依赖于大数分解的困难性问题，即从两个大质数中确定它们的乘积。
1.密钥生成：(1)随机选择两个大素数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
(2)计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
(3)随机选择一个整数e，满足1<e<φ(n)且e与φ(n)互质，e作为公钥的指数。
(4) 计算e的模反元素d，使得(e * d) mod φ(n) = 1，d作为私钥的指数。
(5)将n和e作为公钥，n和d作为私钥。
2.加密过程：假设对明文M进行加密。
(1)将明文M转换成一个整数m，满足0≤m<n。
(2) 计算密文C = (m^e) mod n。
(3)密文C即为加密后的结果。
3.解密过程：假设接收到密文C进行解密。
(1) 计算明文M = (C^d) mod n。
(2)明文M即为解密后的结果。
RSA算法的安全性主要依赖于大数分解的困难性。
由于两个大质数的乘积n很容易计算得到，但是从n中分解出p和q就非常困难，即使采用现有的最优算法，其时间复杂度也非常高。
因此，在目前的计算能力下，RSA算法是安全可靠的。
但是，RSA算法也存在一些问题和注意事项：(1)选取的p和q必须是大素数，且长度足够大，以保证安全性。
(2)加密和解密的速度比较慢，尤其是处理大数的模幂运算。
(3)对于特定的明文和密文，可能存在漏洞，如选择明文相同，但密文不同的情况。
(4)RSA算法不适用于对大量数据进行加密，因为它的加密速度很慢。
为了提高RSA算法的性能，可以采用以下几种优化方法：(1) 使用快速指数求模算法，如Montgomery算法，可以加快模指数运算的速度。
(2)使用中国剩余定理，将大数的模幂运算分解为模运算的多个小运算，进一步提高运算速度。
(3)利用硬件加速和并行计算的技术，可以加快RSA算法的运算速度。
java加密之RSA算法加密与解密的实例详解
java加密之RSA算法加密与解密的实例详解java 加密之RSA算法加解密与解密的实例详解前⾔：RSA是第⼀个⽐较完善的公开密钥算法，它既能⽤于加密，也能⽤于数字签名。
RSA以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字⾸字母命名，这个算法经受住了多年深⼊的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有⼀定的可信性，⽬前它已经成为最流⾏的公开密钥算法。
RSA的安全基于⼤数分解的难度。
其公钥和私钥是⼀对⼤素数（100到200位⼗进制数或更⼤）的函数。
从⼀个公钥和密⽂恢复出明⽂的难度，等价于分解两个⼤素数之积（这是公认的数学难题）。
RSA加密与解密RSA算法的密钥由公钥和私钥组成，公钥⽤于加密，私钥⽤于解密。
顾名思义，公钥就是可以进⾏公开的密钥，⼀般可以公开给你的合作伙伴；私钥就是私有的，也就是只有你知道的，你的合作伙伴通过你提供的公钥进⾏加密的内容只有你能进⾏解密，这样也就只有你知道他发的是什么内容。
⽤于加密的公钥和私钥是配对的。
这样的⼀对密钥在Java中由java.security.KeyPairGenerator来产⽣。
以下是⼀个⽣成密钥对的⽰例，该⽰例中还将⽣成的密钥对分别保存到了⽂件中。
private static final String ALGORITHM = "RSA";private static final String PRIVATE_KEY_PATH = "D:\\rsa_private.isa";private static final String PUBLIC_KEY_PATH = "D:\\rsa_public.isa";/*** ⽣成公钥和私钥并存储到⽂件中* @throws Exception*/@Testpublic void geneKeyPair() throws Exception {KeyPairGenerator keyPairGenerator = KeyPairGenerator.getInstance(ALGORITHM);keyPairGenerator.initialize(1024);KeyPair keyPair = keyPairGenerator.generateKeyPair();PrivateKey privateKey = keyPair.getPrivate();//私钥PublicKey publicKey = keyPair.getPublic();//公钥byte[] privateKeyBytes = privateKey.getEncoded();//私钥对应的字节数组byte[] publicKeyBytes = publicKey.getEncoded();//公钥对应的字节数组Files.write(Paths.get(PRIVATE_KEY_PATH), privateKeyBytes);Files.write(Paths.get(PUBLIC_KEY_PATH), publicKeyBytes);}加密加密的过程跟使⽤AES算法进⾏加密的过程类似，唯⼀需要注意的是使⽤存储起来的公钥时需要使⽤X509EncodedKeySpec 进⾏封装，然后通过KeyFactory.generatePublic(KeySpec)进⾏⽣成。
rsa算法例题详细
rsa算法例题详细
RSA算法例题详解
一、RSA算法的基本流程
RSA算法是使用数字签名最常用的算法，其实就是求解一组大数间的加密解密问题。
这种算法的步骤一般分为：
1. 产生公钥和私钥
2. 把要签名的字符串转换成数字
3. 运用选定的算法进行加密
4. 把加密后的数字利用私钥解密
5. 把解密后的数字返回成字符串
二、RSA算法的具体流程
1. 选择两个大的质数p和q，计算N=pq，N就是公钥和私钥的模数。
2. 计算欧拉函数Φ(N)=(p-1)(q-1)
3. 选择一个整数e，要求1<e<Φ(N),且hcf(e,Φ(n))=1
4. 计算d，使de≡1(modΦ(N))
5. 将N和e封装成一个公钥，d封装成一个私钥
三、RSA算法实例
我们拿出一个例题来看一下：
给定质数： P= 17 Q= 23
求N，e，d
解：
N= P*Q= 17*23= 391
Φ(N)= (P-1)(Q-1)= 16*22= 352
令e=7，由于7<352且hcf(7,352)=1，故可行，求d：
由于de≡1(modΦ(N))，故得
d×7≡1 (mod352)
用欧几里德除法求出d，可得
d= 233
因此，公钥为（391，7），私钥为（391,233）。
RSA算法例子范文
RSA算法例子范文RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，由Ron Rivest, Adi Shamir和Leonard Adleman于1977年共同提出。
RSA算法基于一个简单的数论事实：两个大质数相乘非常容易，但是给定一个大数的乘积却非常困难。
RSA算法是目前广泛使用的非对称加密算法之一，被广泛应用于数据通信、数字签名和数据加密等领域。
1.选择两个不同的大质数p和q。
假设p=13，q=172.计算n=p*q。
在本例中，n=13*17=221这里的n被称为公共模数，它将用于加密和解密操作。
3.计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
在本例中，φ(n)=12*16=192欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互质的正整数个数。
4.选择一个公钥e，满足1<e<φ(n)并且e与φ(n)互质。
在本例中，选择e=5公钥e将用于加密明文。
5.计算私钥d，满足(d*e)%φ(n)=1、在本例中，d=77私钥d将用于解密密文。
6.现在，我们已经得到了公钥(n,e)和私钥(n,d)。
7.加密过程：对于明文M，计算密文C=M^e%n。
假设明文M=8，那么加密后的密文C=8^5%221=36密文C就是我们要传输的数据。
8.解密过程：对于密文C，计算明文M=C^d%n。
假设密文C=36，那么解密后的明文M=36^77%221=8明文M就是我们解密出来的原始数据。
RSA算法的安全性基于两个难解的数论问题：大数分解和离散对数。
图灵奖得主Ronald Rivest在提出RSA算法时指出，只要能找到两个大质数的乘积，那么就能够解出RSA问题，即大质数分解问题。
然而，在目前的计算能力下，对于大质数的因数分解仍然是一个非常复杂的问题，因此RSA算法被认为是安全的。
除了加密和解密外，RSA算法还被广泛用于数字签名的生成和验证。
数字签名是一种用于验证文件完整性和认证发送方身份的技术。
使用RSA 算法，发送方可以通过私钥对文件进行签名，接收方可以通过公钥验证签名的有效性。
(完整word版)RSA加密算法加密与解密过程解析
RSA加密算法加密与解密过程解析1.加密算法概述加密算法根据内容是否可以还原分为可逆加密和非可逆加密。
可逆加密根据其加密解密是否使用的同一个密钥而可以分为对称加密和非对称加密。
所谓对称加密即是指在加密和解密时使用的是同一个密钥：举个简单的例子，对一个字符串C做简单的加密处理，对于每个字符都和A做异或，形成密文S。
解密的时候再用密文S和密钥A做异或，还原为原来的字符串C。
这种加密方式有一个很大的缺点就是不安全，因为一旦加密用的密钥泄露了之后，就可以用这个密钥破解其他所有的密文。
非对称加密在加密和解密过程中使用不同的密钥，即公钥和私钥。
公钥用于加密，所有人都可见，私钥用于解密，只有解密者持有。
就算在一次加密过程中原文和密文发生泄漏，破解者在知道原文、密文和公钥的情况下无法推理出私钥，很大程度上保证了数据的安全性。
此处，我们介绍一种非常具有代表性的非对称加密算法，RSA加密算法。
RSA算法是1977年发明的，全称是RSA Public Key System，这个Public Key 就是指的公共密钥。
2.密钥的计算获取过程密钥的计算过程为：首先选择两个质数p和q，令n=p*q。
令k=ϕ(n)=(p−1)(q−1),原理见4的分析选择任意整数d，保证其与k互质取整数e，使得[de]k=[1]k。
也就是说de=kt+1，t为某一整数。
3.RSA加密算法的使用过程同样以一个字符串来进行举例，例如要对字符串the art of programming 进行加密，RSA算法会提供两个公钥e和n，其值为两个正整数，解密方持有一个私钥d，然后开始加密解密过程过程。
1. 首先根据一定的规整将字符串转换为正整数z，例如对应为0到36，转化后形成了一个整数序列。
2. 对于每个字符对应的正整数映射值z，计算其加密值M=(N^e)%n. 其中N^e表示N的e次方。
3. 解密方收到密文后开始解密，计算解密后的值为(M^d)%n，可在此得到正整数z。
RSA加密算法
RSA加密算法1. 密钥生成：首先选择两个不同的质数p和q，计算它们的乘积n = p * q。
然后计算欧拉函数φ(n) = (p - 1) * (q - 1)。
接下来选择一个整数e，使得1 < e < φ(n)且e与φ(n)互质，即最大公约数为1、最后选择一个整数d，使得d与e满足ed ≡ 1 (mod φ(n))。
公钥为(n,e)，私钥为(n, d)。
2. 加密过程：将明文转换为整数M，并使用公钥(n, e)进行加密运算，得到密文C = M^e (mod n)。
3. 解密过程：使用私钥(n, d)对密文进行解密运算，得到明文M = C^d (mod n)。
RSA加密算法的安全性基于质因数分解的困难性。
由于大整数分解是一个耗费极大计算资源的问题，迄今为止还没有发现有效的算法能够在合理时间内解决这个问题。
因此，RSA算法在实践中被广泛使用，尤其在安全通信和数据加密领域。
1.安全性高：由于大整数分解问题的困难性，使得RSA算法的加密强度很高，可以有效保护通信数据的安全性。
2.灵活性强：RSA算法可以适用于不同密钥长度的应用场景，具有很好的灵活性。
随着计算能力的提高，可以选择更大的密钥长度以增强安全性。
3.可靠性强：由于非对称加密算法中公钥和私钥的分离，保证了密钥的安全性和可靠性。
4.不可逆性：RSA算法的加密过程是不可逆的，即使知道公钥和密文，也很难还原出明文内容，保证了数据的机密性。
然而，RSA算法也存在一些缺点：1.处理速度慢：RSA算法的处理速度相对较慢，尤其是在加密和解密大文件时，计算量非常大。
因此，在实际应用中需要考虑时间效率问题。
2.密钥管理复杂：RSA算法需要生成和管理公钥和私钥，密钥管理工作相对复杂，需要确保私钥的安全存储和传输，防止密钥泄露。
3.加密算法长度限制：RSA算法在实践中使用的密钥长度有一定限制，较长的密钥长度会导致加密和解密的时间延长。
为了解决RSA算法处理速度慢的问题，实际应用中通常会将RSA与对称加密算法结合使用。
用实例讲解RSA加密算法
用实例讲解RSA加密算法RSA加密算法是一种非对称加密算法，由三位科学家：Ron Rivest, Adi Shamir, 和Leonard Adleman命名。
它使用两个密钥：公钥和私钥，其中公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA加密算法的安全性基于大数的质因数分解的难度，即当两个较大的质数相乘得到一个更大的数字时，将其因式分解会变得极为困难。
下面将使用一个实例来详细解释RSA加密算法的过程：假设Alice和Bob是两个通信的实体，Alice希望向Bob发送一条加密消息。
Bob生成一对RSA密钥：一个公钥（用于加密）和一个私钥（用于解密）。
Bob将公钥发送给Alice，Alice使用Bob的公钥对消息进行加密，并将加密后的消息发送给Bob。
示例场景如下：1. Bob生成RSA密钥对：a.随机选择两个不同的质数p=61和q=53，计算它们的乘积n=3233b.计算n的欧拉函数ϕ(n)=(p-1)(q-1)=60x52=3120。
c. 选择一个整数e（1 < e < ϕ(n)）使得e与ϕ(n)互质，这样e就是Bob的公钥指数。
假设e=17，e与ϕ(n)=3120互质。
d. 计算私钥指数d使得e.d ≡ 1 (mod ϕ(n))，即17.d ≡ 1(mod 3120)。
通过计算可以得到d=2753、这样，d就是Bob的私钥指数。
e. Bob的公钥是(n, e)=(3233, 17)，私钥是(n, d)=(3233, 2753)。
2. Alice使用Bob的公钥加密消息：a. Alice要发送一条消息M，将该消息转换成整数m，假设m=123b. Alice使用Bob的公钥(n, e)=(3233, 17)加密m，计算c ≡ m^e (mod n)。
即c ≡ 123^17 (mod 3233)。
通过计算可以得到c=8553. Alice将加密后的消息发送给Bob。
4. Bob使用私钥解密收到的消息：a. Bob使用私钥(n, d)=(3233, 2753)解密收到的密文c，计算m ≡ c^d (mod n)。
RSA算法详解范文
RSA算法详解范文1. 选择两个大素数 p 和 q，计算 n = pq。
n 是公钥和私钥的一部分，被称为模数。
2.计算欧拉函数φ(n)，其中φ(n)=(p-1)(q-1)。
φ(n)也是公钥和私钥的一部分。
3.选择一个小于φ(n)的整数e，且e与φ(n)互质。
e是公钥的一部分。
4.计算一个小于φ(n)且与e互质的整数d，使得(d*e)%φ(n)=1、d 是私钥的一部分。
5.公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
6.加密数据时，使用公钥(n,e)计算密文c，其中c=m^e%n。
m是明文的整数表示。
6.解密数据时，使用私钥(n,d)计算明文m，其中m=c^d%n。
c是密文的整数表示。
RSA算法的安全性基于两个数乘积的质因数分解问题的困难性，即给定一个数n，求解这个数的质因数p和q的问题。
该问题在当前的计算机技术下是非常困难的，因为目前没有有效的算法能够快速地分解大整数，特别是当n是一个非常大的素数时。
RSA算法的应用非常广泛。
它被广泛用于加密通信、数字签名、数字证书等领域。
在加密通信中，发送方使用接收方的公钥加密数据，接收方使用自己的私钥解密数据。
这样可以保证数据在传输过程中的安全性。
在数字签名中，发送方使用自己的私钥对数据进行签名，接收方使用发送方的公钥验证签名的真实性。
在数字证书中，数字证书颁发机构使用自己的私钥对用户的公钥进行加密并生成数字证书，用户使用证书中的公钥进行加密和解密操作。
然而，虽然RSA算法在加密和解密方面非常安全和高效，但其加密和解密的过程较为耗时，尤其是在处理大整数时。
因此，在实际应用中，往往将RSA算法与对称加密算法结合使用，既可以保证安全性，又可以提高效率。
总之，RSA算法是一种非常重要和广泛应用的加密算法。
它的安全性基于质因数分解困难问题，可以实现数据的加密和解密、数字签名和数字证书等功能。
在实际应用中，我们需要合理选择密钥长度和结合其他加密算法来保证安全性和效率。
RSA算法和实现及实例
RSA算法和实现及实例一、RSA算法原理1.密钥生成首先，选择两个不相等的素数p和q，并计算它们的乘积n。
然后计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
选择一个与φ(n)互质的数e，这个数即为公钥e。
然后选择一个数d，使得(d * e)mod φ(n) = 1，即d是e的模φ(n)的乘法逆元，d即为私钥。
2.加密解密加密时，将明文M进行加密，得到密文C = M^e mod n。
解密时，用私钥d对密文C进行解密，得到明文M = C^d mod n。
二、RSA算法实现实现RSA算法需要以下几个步骤：1.选择两个大素数p和q，计算乘积n=p*q。
2.计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
3.选择一个与φ(n)互质的正整数e，计算其模φ(n)的乘法逆元d。
4.所得到的公钥为(e,n)，私钥为(d,n)。
5. 加密时，将明文M通过公钥加密得到密文C = M^e mod n。
6. 解密时，用私钥对密文C进行解密得到明文M = C^d mod n。
三、RSA算法实例假设选择的两个素数p=13，q=17，计算乘积n=p*q=221计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)=12*16=192选择一个与φ(n)互质的正整数e=5计算e的模φ(n)的乘法逆元d=77所以所得到的公钥为(e,n)=(5,221)，私钥为(d,n)=(77,221)。
加密时，假设明文M = 8，利用公钥进行加密：C = M^e mod n =8^5 mod 221 = 40。
解密时，利用私钥进行解密：M = C^d mod n = 40^77 mod 221 = 8所以加密后的密文为40，解密后恢复得到原始明文为8总结：本文详细介绍了RSA算法的原理、实现方法以及一个实例。
RSA算法是一种非对称加密算法，通过选择两个大素数和计算乘积、欧拉函数、乘法逆元等步骤，实现了安全可靠的加密和解密过程。
通过加密后的密文可以通过相应的私钥解密得到原始明文，确保数据的安全性。
用实例讲解RSA加密算法(精)
用实例讲解RSA加密算法RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。
RSA 以它的三个发明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。
RSA公开密钥算法的发明人（从左到右Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. 照片摄于1978年）RSA的安全基于大数分解的难度。
其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。
从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。
RSA的公钥、私钥的组成，以及加密、解密的公式可见于下表：可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。
别急，在没有正式讲解RSA加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：一、什么是“素数”？素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。
另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
素数也称为“质数”。
二、什么是“互质数”（或“互素数”）？小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。
”这里所说的“两个数”是指自然数。
判别方法主要有以下几种（不限于此）：（1）两个质数一定是互质数。
例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。
例如，3与10、5与26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。
如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。
Python3非对称加密算法RSA实例详解
Python3⾮对称加密算法RSA实例详解本⽂实例讲述了Python3⾮对称加密算法RSA。
分享给⼤家供⼤家参考，具体如下：python3 可以使⽤Crypto.PublicKey.RSA和 rsa ⽣成公钥、私钥。
其中 python3.6 Crypto 库的安装⽅式请参考前⾯⼀篇《》rsa 加解密的库使⽤pip3 install rsa就⾏了使⽤ Crypto.PublicKey.RSA ⽣成公钥、私钥：import Crypto.PublicKey.RSAimport Crypto.Randomx = Crypto.PublicKey.RSA.generate(2048)a = x.exportKey("PEM") # ⽣成私钥b = x.publickey().exportKey() # ⽣成公钥with open("a.pem", "wb") as x:x.write(a)with open("b.pem", "wb") as x:x.write(b)y = Crypto.PublicKey.RSA.generate(2048, Crypto.Random.new().read) # 使⽤ Crypto.Random.new().read 伪随机数⽣成器c = y.exportKey() # ⽣成私钥d = y.publickey().exportKey() #⽣成公钥with open("c.pem", "wb") as x:x.write(c)with open("d.pem", "wb") as x:x.write(d)使⽤Crypto.PublicKey.RSA.importKey(private_key)⽣成公钥和证书：import Crypto.PublicKey.RSAwith open("a.pem", "rb") as x:xx = Crypto.PublicKey.RSA.importKey(x.read())b = xx.publickey().exportKey() # ⽣成公钥with open("b.pem", "wb") as x:x.write(b)a = xx.exportKey("DER") # ⽣成 DER 格式的证书with open("a.der", "wb") as x:x.write(a)使⽤ rsa ⽣成公钥、私钥：import rsaf, e = rsa.newkeys(2048) # ⽣成公钥、私钥e = e.save_pkcs1() # 保存为 .pem 格式with open("e.pem", "wb") as x: # 保存私钥x.write(e)f = f.save_pkcs1() # 保存为 .pem 格式with open("f.pem", "wb") as x: # 保存公钥x.write(f)RSA⾮对称加密算法实现：使⽤Crypto模块：import Crypto.PublicKey.RSAimport Crypto.Cipher.PKCS1_v1_5import Crypto.Randomimport Crypto.Signature.PKCS1_v1_5import Crypto.Hashy = b"abcdefg1234567"with open("b.pem", "rb") as x:b = x.read()cipher_public = Crypto.Cipher.PKCS1_v1_5.new(Crypto.PublicKey.RSA.importKey(b))cipher_text = cipher_public.encrypt(y) # 使⽤公钥进⾏加密with open("a.pem", "rb") as x:a = x.read()cipher_private = Crypto.Cipher.PKCS1_v1_5.new(Crypto.PublicKey.RSA.importKey(a))text = cipher_private.decrypt(cipher_text, Crypto.Random.new().read) # 使⽤私钥进⾏解密assert text == y # 断⾔验证with open("c.pem", "rb") as x:c = x.read()c_rsa = Crypto.PublicKey.RSA.importKey(c)signer = Crypto.Signature.PKCS1_v1_5.new(c_rsa)msg_hash = Crypto.Hash.SHA256.new()msg_hash.update(y)sign = signer.sign(msg_hash) # 使⽤私钥进⾏'sha256'签名with open("d.pem", "rb") as x:d = x.read()d_rsa = Crypto.PublicKey.RSA.importKey(d)verifer = Crypto.Signature.PKCS1_v1_5.new(d_rsa)msg_hash = Crypto.Hash.SHA256.new()msg_hash.update(y)verify = verifer.verify(msg_hash, sign) # 使⽤公钥验证签名print(verify)运⾏结果：True使⽤ rsa 模块：import rsay = b"abcdefg1234567"with open("e.pem", "rb") as x:e = x.read()e = rsa.PrivateKey.load_pkcs1(e) # load 私钥with open("f.pem", "rb") as x:f = x.read()f = rsa.PublicKey.load_pkcs1(f) # load 公钥，由于之前⽣成的私钥缺少'RSA'字段，故⽆法 loadcipher_text = rsa.encrypt(y, f) # 使⽤公钥加密text = rsa.decrypt(cipher_text, e) # 使⽤私钥解密assert text == y # 断⾔验证sign = rsa.sign(y, e, "SHA-256") # 使⽤私钥进⾏'sha256'签名verify = rsa.verify(y, sign, f) # 使⽤公钥验证签名print(verify)运⾏结果：TruePS：关于加密解密感兴趣的朋友还可以参考本站在线⼯具：更多关于Python相关内容感兴趣的读者可查看本站专题：《》、《》、《》、《》、《》及《》希望本⽂所述对⼤家Python程序设计有所帮助。
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可能各位同事好久没有接触数学了，看了这些公式不免一头雾水。
别急，在没有正式讲解RSA加密算法以前，让我们先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：
一、什么是“素数”？
素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。
另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
素数也称为“质数”。
二、什么是“互质数”（或“互素数”）？
小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。
”这里所说的“两个数”是指自然数。
判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。
例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。
例如，3与10、5与26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。
如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。
如15与16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。
如49与51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。
如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。
如7和16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。
如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。
等等。
三、什么是模指数运算？
指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。
模运算是整数运算，有一个整数m，以n 为模做模运算，即m mod n。
怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就
叫做模运算。
例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。
如53 mod 7=125 mod 7=6
好，现在开始正式讲解RSA加密算法。
算法描述：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p和q。
（2）计算n=pq。
（3）计算f(n)=(p-1)(q-1)，同时对p和q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e，且1<e<f(n)。
（5）计算d，使得de≡1 mod f(n)。
这个公式也可以表达为d≡e-1 mod f(n)
这里要解释一下，≡是数论中表示同余的符号。
公式中，≡符号的左边必须和符号右边同余，也就是两边模运算结果相同。
显而易见，不管f(n)取什么值，符号右边1 mod f(n)的结果都等于1；符号的左边d与e的乘积做模运算后的结果也必须等于1。
这就需要计算出d的值，让这个同余等式能够成立。
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。
若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。
设密文为C，则加密过程为：C≡M e (mod n)
（8）解密过程为：M≡C d (mod n)。
在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。
试算结果见下表：
通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。
因此，可令d=7。
从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文数字化。
将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。
假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：
则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
（3）明文加密
用户加密密钥(3,33)将数字化明文分组信息加密成密文。
由C≡M e (mod n)得：
因此，得到相应的密文信息为：11，26，16。
（4）密文解密。
用户B收到密文，若将其解密，只需要计算M≡C d (mod n)，即：
用户B得到明文信息为：11，05，25。
根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。
你看，它的原理就可以这么简单地解释！当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA 算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e 的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。
最后简单谈谈RSA的安全性。
首先，我们来探讨为什么RSA密码难于破解？在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。
破解RSA密码的问题就是从已知的e和n 的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。
从上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 我们可以看出。
密码破解的实质问题是：从pq的数值，去求出(p-1)和(q-1)。
换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d 的值而得到私钥。
当p和q是一个大素数的时候，从它们的积pq去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。
比如当pq大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。
因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
然而，虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。
即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。
此外，RSA的缺点还有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。
B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。
因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。