第10讲 阶跃响应与冲激响应
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t
1 2
3 2
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t )
3
3 t ) t 2
O
t
t 3 2 2 s(t ) 1 e sin t 60 2 t 3
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
本章主要内容
2.1 连续LTI系统的数学模型 2.2 经典的微分方程的求解方法 2.3 零状态响应和零输入响应 2.4 系统的冲激响应和阶跃响应 2.5 离散LTI系统的模型与求解
第10讲 系统的冲激响应和阶跃响应
第10讲 系统的冲激响应和阶跃响应
冲激响应与阶跃响应定义 冲激响应与阶跃响应的一般求解方法 冲激响应的另一种求解方法 二阶系统的冲激响应与阶跃响应 冲激响应的应用
t h' (t ) ( Ae 3A2e3t ) (t ) ( A1 A2 ) (t ) 1
t h'' (t ) ( A1 A2 ) ' (t ) ( A1 3A2 ) (t ) ( Ae 9 A2e3t ) (t ) 1
将 h(t ) h(t ) h(t ) 代入微分方程，并比较方程两边 (t ) 和 (t ) 的系数，
t 0 时都为零，于是
h(t ) 的形式应与齐次解的形式相同并且不包含特解。
(t ) t 0 加入系统并在 t 0 以后激励将不存在，冲激信号只引起
系统的储能变化从而引起响应，所以， 入响应有相同的形式。
h(t )也必然和系统的零输
n
i t ] (t ) 设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t ) [ Ae i
i 1
利用微分方程两端 (t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 Ai
冲激响应另一种求解方法
d 2 y(t ) dy(t ) df (t ) 4 3 y(t ) 2 f (t )，求冲激响应 h(t ) 已知微分方程为 2 dt dt dt d 2 h(t ) dh(t ) 4 3h(t ) ' (t ) 2 (t ) 解：微分方程变为 2 dt dt t h(t ) ( Ae A2e3t ) (t ) 特征根为 1 1, 2 3 1
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1 所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t)
（1）
求导：h’(t) = (C1 + C2)(t)+(-2C1e-2t -3C2e-3t)(t) h’’(t) = (C1 + C2)'(t) +(-2C1 -3C2) (t) + (4C1e-2t +9C2e-3t)(t) 将h(t)、 h’(t)和 h’’(t)代入式(1) ： (C1 + C2)'(t) + (3C1 + 2C2)(t) = (t) 比较方程2端系数 ： (C1 + C2)=0 (3C1 + 2C2) = 1 求得C1=1, C2= -1, 所以：
h(t ) g n (t ) f (t )
f ( t ) ( t )
s (t ) g n (t ) f (t )
f ( t ) ( t )
冲激响应与阶跃响应的求解方法
例：二阶系统的微分方程为 y' ' (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) f ' (t ) 求其冲激响应和阶跃响应。
s (t ) 1 1.5e t 0.5e 2t t
O
t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（2）临界阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) 2uC ' (t ) uC (t ) (t )
特征根为
s (t )
1 2 1
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t ) (t ) tet t tet t
解法一： h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有 (t)，利用 (t)函数平衡法。
h”(t)中含(t)，h’(t)含(t) 因此 h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在 t=0 连续，即： h(0+) = h(0-) = 0 h’(0+) = 1 + h’(0-) = 1
、
可求出
1 A1 , 2
A2
1 2
则冲激响应为
h(t )
1 t (e e 3t ) (t ) 2
冲激响应另一种求解方法
将系统模型中的 y(t) 和 f(t)分别用h(t)和(t)代替：
d n h( t ) d n 1 h( t ) d m (t ) a n 1 a 0 h( t ) bm b0 ( t ) dt n dt n 1 dt m
对阶跃响应，强迫函数为 f (t ) (t )
2t 3t 2t 3t 则阶跃响应为 s(t ) g2 (t ) f (t ) (e e ) (t ) (t ) (e e ) (t )
冲激响应另一种求解方法
•由于激励信号的特殊性， (t ) 及其各阶导数在
下面分别就n和m的大小情况进行讨论（假设特征根均为单根 ） 1）当n>m，假如h(t)含有(t)，则h(n)(t)必包含(n)(t)，因此 h(t) 不包含(t)，即： n h(t ) ci e i t (t )
i 1
冲激响应另一种求解方法
2）当n=m，假如h(t)含有(t)的导数项，则等式左端的(t) 导数阶数必高于右端，因此 h(t)仅包含(t)，即：
（4）无阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) uC (t ) (t )
s (t )
1 j1 2 j1
特征根为
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t ) sin t t
Owk.baidu.com
t
s(t ) 1 cos t t
解 所以
(t ) uC
1 1 u C (t ) (t ) RC RC
t RC
uC (t ) h(t ) e
t
0
1 ( )e RC d RC
t
1 e RC (t ) RC
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
系统如图所示，讨论以下4种 情况下的冲激响应与阶跃响应 1 (1) R 4 L 1H C F 3
阶跃响应与冲激响应的关系
根据系统的微分、积分特性，则
h (t ) d s (t ) dt
s (t )
t
h( )d
冲激响应与阶跃响应的求解方法
根据零状态响应求解的一般方法： yzs (t ) f (t ) g2 (t ) 由于单位冲激响应与单位阶跃响应是在特殊激励下的零状态响应 将上式中的 f (t )分别换成 (t ) 和 (t ) 即
例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。
对 t >0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为此方程的齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为: h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。 然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。 为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。 仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。 冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统 响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。
h(t )
c e (t ) B (t )
i 1 i
it
n
3）当n<m，此时h(t)不仅含有(t) ，还含有(t)的导数项， 假设n+1=m，则：
h( t )
c e
i i 1
n
i t
( t ) B1 ( t ) B0 ( t )
例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解： 根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = (t) （1）
s (t ) 1 e t te t t
O
t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（3）欠阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) uC ' (t ) uC (t ) (t )
特征根为
s (t )
1 j
1 2
3 2
2 j
e 2 sin(
h(t)=( e-2t - e-3t)(t)
一阶系统的冲激响应
一阶微分方程为
y ( t ) ay ( t ) b (t ) f (t )
y (t ) h (t ) e at b ( )e a d
0 t
则冲激响应：
be at (t )
冲激响应与阶跃响应的重要性
冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。 冲激信号和阶跃信号是两种典型的基本信号，由这两种 信号引起的零状态响应是线性系统分析中的典型问题。 由于任意信号都可以分解为冲激信号和阶跃信号的组合， 可借助冲激响应和阶跃响应，通过卷积积分求系统对任 意信号的零状态响应。 冲激响应和系统函数与系统的稳定性有直接关系。 工程上常用二阶系统的阶跃响应的性能指标来评价一个 系统的性能。
一阶系统的阶跃响应
一阶微分方程为
y ( t ) ay ( t ) b (t ) f (t )
at
则阶跃响应：
y (t ) s (t ) e
t
0
b ( )e a d
b (1 e at )ε (t ) a
例 求图示一阶系统冲激响应h( t ) = uC( t )
阶跃响应的测量
二阶系统的冲激响应与阶跃响应的实际测量
任意信号作用下的零状态响应
激励
(t)
(t-)
i t
R
L
(2) R 2 L 1H C 1F (3) R 1 L 1H C 1F (4) R 0 L 1H C 1F
t
C
U c t
系统的微分方程为
uC '' (t )
R ' 1 1 uC (t ) uC (t ) (t ) L LC LC
冲激响应的定义
系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激 响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
h(t )
(t )
0
(t )
t
连续LTI系统 起始状态为零
h(t )
0
t
阶跃响应的定义
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响 应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s( t )。
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（1）过阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) 4uC ' (t ) 3uC (t ) 3 (t)
s(t ) 1
特征根为
1 1 2 3
h (t ) uC (t ) 3 (t ) g 2 (t ) 1.5 e t e 3t t
2t 3t 2t 3t 解 特征函数为 g2 (t ) e (t ) e (t ) (e e ) (t )
对冲激响应，强迫函数为 f (t ) ' (t ) 则冲激响应为
h(t ) g2 (t ) f (t ) (e2t e3t ) (t ) '(t ) (3e3t 2e2t ) (t )
1 2
3 2
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t )
3
3 t ) t 2
O
t
t 3 2 2 s(t ) 1 e sin t 60 2 t 3
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
本章主要内容
2.1 连续LTI系统的数学模型 2.2 经典的微分方程的求解方法 2.3 零状态响应和零输入响应 2.4 系统的冲激响应和阶跃响应 2.5 离散LTI系统的模型与求解
第10讲 系统的冲激响应和阶跃响应
第10讲 系统的冲激响应和阶跃响应
冲激响应与阶跃响应定义 冲激响应与阶跃响应的一般求解方法 冲激响应的另一种求解方法 二阶系统的冲激响应与阶跃响应 冲激响应的应用
t h' (t ) ( Ae 3A2e3t ) (t ) ( A1 A2 ) (t ) 1
t h'' (t ) ( A1 A2 ) ' (t ) ( A1 3A2 ) (t ) ( Ae 9 A2e3t ) (t ) 1
将 h(t ) h(t ) h(t ) 代入微分方程，并比较方程两边 (t ) 和 (t ) 的系数，
t 0 时都为零，于是
h(t ) 的形式应与齐次解的形式相同并且不包含特解。
(t ) t 0 加入系统并在 t 0 以后激励将不存在，冲激信号只引起
系统的储能变化从而引起响应，所以， 入响应有相同的形式。
h(t )也必然和系统的零输
n
i t ] (t ) 设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t ) [ Ae i
i 1
利用微分方程两端 (t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 Ai
冲激响应另一种求解方法
d 2 y(t ) dy(t ) df (t ) 4 3 y(t ) 2 f (t )，求冲激响应 h(t ) 已知微分方程为 2 dt dt dt d 2 h(t ) dh(t ) 4 3h(t ) ' (t ) 2 (t ) 解：微分方程变为 2 dt dt t h(t ) ( Ae A2e3t ) (t ) 特征根为 1 1, 2 3 1
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1 所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t)
（1）
求导：h’(t) = (C1 + C2)(t)+(-2C1e-2t -3C2e-3t)(t) h’’(t) = (C1 + C2)'(t) +(-2C1 -3C2) (t) + (4C1e-2t +9C2e-3t)(t) 将h(t)、 h’(t)和 h’’(t)代入式(1) ： (C1 + C2)'(t) + (3C1 + 2C2)(t) = (t) 比较方程2端系数 ： (C1 + C2)=0 (3C1 + 2C2) = 1 求得C1=1, C2= -1, 所以：
h(t ) g n (t ) f (t )
f ( t ) ( t )
s (t ) g n (t ) f (t )
f ( t ) ( t )
冲激响应与阶跃响应的求解方法
例：二阶系统的微分方程为 y' ' (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) f ' (t ) 求其冲激响应和阶跃响应。
s (t ) 1 1.5e t 0.5e 2t t
O
t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（2）临界阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) 2uC ' (t ) uC (t ) (t )
特征根为
s (t )
1 2 1
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t ) (t ) tet t tet t
解法一： h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有 (t)，利用 (t)函数平衡法。
h”(t)中含(t)，h’(t)含(t) 因此 h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在 t=0 连续，即： h(0+) = h(0-) = 0 h’(0+) = 1 + h’(0-) = 1
、
可求出
1 A1 , 2
A2
1 2
则冲激响应为
h(t )
1 t (e e 3t ) (t ) 2
冲激响应另一种求解方法
将系统模型中的 y(t) 和 f(t)分别用h(t)和(t)代替：
d n h( t ) d n 1 h( t ) d m (t ) a n 1 a 0 h( t ) bm b0 ( t ) dt n dt n 1 dt m
对阶跃响应，强迫函数为 f (t ) (t )
2t 3t 2t 3t 则阶跃响应为 s(t ) g2 (t ) f (t ) (e e ) (t ) (t ) (e e ) (t )
冲激响应另一种求解方法
•由于激励信号的特殊性， (t ) 及其各阶导数在
下面分别就n和m的大小情况进行讨论（假设特征根均为单根 ） 1）当n>m，假如h(t)含有(t)，则h(n)(t)必包含(n)(t)，因此 h(t) 不包含(t)，即： n h(t ) ci e i t (t )
i 1
冲激响应另一种求解方法
2）当n=m，假如h(t)含有(t)的导数项，则等式左端的(t) 导数阶数必高于右端，因此 h(t)仅包含(t)，即：
（4）无阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) uC (t ) (t )
s (t )
1 j1 2 j1
特征根为
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t ) sin t t
Owk.baidu.com
t
s(t ) 1 cos t t
解 所以
(t ) uC
1 1 u C (t ) (t ) RC RC
t RC
uC (t ) h(t ) e
t
0
1 ( )e RC d RC
t
1 e RC (t ) RC
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
系统如图所示，讨论以下4种 情况下的冲激响应与阶跃响应 1 (1) R 4 L 1H C F 3
阶跃响应与冲激响应的关系
根据系统的微分、积分特性，则
h (t ) d s (t ) dt
s (t )
t
h( )d
冲激响应与阶跃响应的求解方法
根据零状态响应求解的一般方法： yzs (t ) f (t ) g2 (t ) 由于单位冲激响应与单位阶跃响应是在特殊激励下的零状态响应 将上式中的 f (t )分别换成 (t ) 和 (t ) 即
例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。
对 t >0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为此方程的齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为: h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。 然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。 为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。 仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。 冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统 响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。
h(t )
c e (t ) B (t )
i 1 i
it
n
3）当n<m，此时h(t)不仅含有(t) ，还含有(t)的导数项， 假设n+1=m，则：
h( t )
c e
i i 1
n
i t
( t ) B1 ( t ) B0 ( t )
例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解： 根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = (t) （1）
s (t ) 1 e t te t t
O
t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（3）欠阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) uC ' (t ) uC (t ) (t )
特征根为
s (t )
1 j
1 2
3 2
2 j
e 2 sin(
h(t)=( e-2t - e-3t)(t)
一阶系统的冲激响应
一阶微分方程为
y ( t ) ay ( t ) b (t ) f (t )
y (t ) h (t ) e at b ( )e a d
0 t
则冲激响应：
be at (t )
冲激响应与阶跃响应的重要性
冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。 冲激信号和阶跃信号是两种典型的基本信号，由这两种 信号引起的零状态响应是线性系统分析中的典型问题。 由于任意信号都可以分解为冲激信号和阶跃信号的组合， 可借助冲激响应和阶跃响应，通过卷积积分求系统对任 意信号的零状态响应。 冲激响应和系统函数与系统的稳定性有直接关系。 工程上常用二阶系统的阶跃响应的性能指标来评价一个 系统的性能。
一阶系统的阶跃响应
一阶微分方程为
y ( t ) ay ( t ) b (t ) f (t )
at
则阶跃响应：
y (t ) s (t ) e
t
0
b ( )e a d
b (1 e at )ε (t ) a
例 求图示一阶系统冲激响应h( t ) = uC( t )
阶跃响应的测量
二阶系统的冲激响应与阶跃响应的实际测量
任意信号作用下的零状态响应
激励
(t)
(t-)
i t
R
L
(2) R 2 L 1H C 1F (3) R 1 L 1H C 1F (4) R 0 L 1H C 1F
t
C
U c t
系统的微分方程为
uC '' (t )
R ' 1 1 uC (t ) uC (t ) (t ) L LC LC
冲激响应的定义
系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激 响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
h(t )
(t )
0
(t )
t
连续LTI系统 起始状态为零
h(t )
0
t
阶跃响应的定义
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响 应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s( t )。
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（1）过阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) 4uC ' (t ) 3uC (t ) 3 (t)
s(t ) 1
特征根为
1 1 2 3
h (t ) uC (t ) 3 (t ) g 2 (t ) 1.5 e t e 3t t
2t 3t 2t 3t 解 特征函数为 g2 (t ) e (t ) e (t ) (e e ) (t )
对冲激响应，强迫函数为 f (t ) ' (t ) 则冲激响应为
h(t ) g2 (t ) f (t ) (e2t e3t ) (t ) '(t ) (3e3t 2e2t ) (t )