第10讲 阶跃响应与冲激响应
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们之间存在着密切的关系，本文将从以下几个方面进行阐述。
一、定义
冲激响应是指系统对于一个冲击信号的响应，通常用h(t)表示。
而阶跃响应则是指系统对于一个单位阶跃信号的响应，通常用g(t)表示。
二、关系
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过积分的方式来表示。
具体来说，如果我们知道了系统的冲激响应h(t)，那么系统的阶跃响应g(t)可以通过对h(t)进行积分得到，即：
g(t) = ∫[0,t]h(τ)dτ
这个公式的意义是，系统对于一个单位阶跃信号的响应可以看作是对于一系列冲击信号的响应之和。
这也是为什么我们可以通过积分的方式来求解阶跃响应的原因。
三、应用
冲激响应和阶跃响应在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在数字滤波器设计中，我们通常会先求出系统的冲激响应，然后再通过积分的方式来得到系统的阶跃响应。
这样做的好处是，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和幅频响应等信息，从而更好地设计数字滤波器。
此外，在控制系统中，我们也常常需要求解系统的阶跃响应。
例如，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的稳态误差和响应速度等信息，从而更好地设计控制器。
四、总结
综上所述，冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们之间存在着密切的关系，可以通过积分的方式相互转换。
在实际应用中，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和稳态误差等信息，从而更好地设计数字滤波器和控制系统。
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
第10讲-阶跃响应与冲激响应PPT优秀课件
1
h ( t) u C ( t) ( t) g 2 ( t) s i n tt
O
t s(t)Βιβλιοθήκη costt阶跃响应的测量二阶系统的冲激响应与阶跃响应的实际测量
任意信号作用下的零状态响应
激励
(t)
(t-)
f()(t-)
f ( ) (t - )d
-
‖
f (t)
LTI系统
零状态
响应
h(t) 冲激响应
对阶跃响应，强迫函数为 f(t) (t)
则阶跃响应为 s ( t ) g 2 ( t ) f ( t ) ( e 2 t e 3 t ) ( t ) ( t ) ( e 2 t e 3 t ) ( t )
冲激响应另一种求解方法
•由于激励信号的特殊性， ( t ) 及其各阶导数在 t 0 时都为零，于是 h ( t ) 的形式应与齐次解的形式相同并且不包含特解。 ( t ) t 0 加入系统并在 t 0 以后激励将不存在，冲激信号只引起 系统的储能变化从而引起响应，所以， h ( t ) 也必然和系统的零输 入响应有相同的形式。
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
例：二阶系统的微分方程为 y ''( t) 5 y '( t) 6 y ( t) f'( t) 求其冲激响应和阶跃响应。
解 特征函数为 g 2 ( t ) e 2 t( t) e 3 t( t) ( e 2 t e 3 t)( t)
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
冲激响应与阶跃响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 ( t作用下产生的零状态响应，称 ) 为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
( t )
H
h ( t )
(t )
(1) 0 t
冲激响应示意图
h(t )
(t )
LTI系统
h(t ) 0 t
2．卷积积分
任意信号e(t)可表示为冲激序列之和
(2)h(t)解答的形式
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次 解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
n it h (t) A u (t) ie i1 ②与n， m相对大小有关 t)
H
g ( t)
u ( t) 1 0 t u ( t) L T I系 统
g (t)
g ( t)
0
t
图2-11 阶跃响应示意图
脉 冲 信 号 源
u(t)
被 测 试 系 统
g(t)
g(t)
示 波 器
u(t)
阶跃响应的测试
返回本节
对于用线性常系数微分方程描述的系统
若系统的输入 e ，其响应为 。系统方程的右 r t g t t u t ut 端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。
有时我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲 激响应与阶跃响应的关系求阶跃响应。
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
u ( t) t (t)d
t
g ( t) h ( t) dt
冲激响应和阶跃响应的关系和意义
冲激响应和阶跃响应的关系和意义冲激响应和阶跃响应，这两个词听上去可能有点儿高大上，但实际上它们跟我们的生活有着千丝万缕的联系，简直就像是老朋友一样。
想象一下，你在街上走，突然有人从后面推了你一把。
这一下子，就是一个冲击，这个冲击就是冲激响应。
你一瞬间的反应，身体的感觉，那种“哎呀”瞬间传遍全身，反应速度极快。
这就是冲激响应的魅力。
它告诉我们，系统在瞬间受到刺激后是怎么反应的，像一根劲爆的鞭子，啪啪作响，充满力量。
然后，我们再来聊聊阶跃响应。
你可以把它想象成你收到了一份意外的快递。
快递一到，你打开箱子，里面是你期待已久的东西。
那种惊喜、兴奋，这种感受慢慢升温，就像是在烤箱里慢慢加热的蛋糕。
阶跃响应就是在这个快递到来后，系统如何逐步适应这个变化的过程。
最开始的震惊，逐渐转变为开心，再到最后的满足。
这是一种逐步稳定的状态，系统从一个阶段慢慢走向另一个阶段，仿佛是人们在生活中的成长。
有趣的是，冲激响应和阶跃响应之间有一种奇妙的联系，就像一对好搭档。
冲激响应是瞬时的，而阶跃响应则是持续的。
就像一个瞬间的灵感可以引发长久的创作灵感，冲击的那一瞬间会让你进入一种新的状态，阶跃响应就是你在这个新状态中慢慢适应和变化。
很多时候，冲激响应就像是生活中的一次小波动，而阶跃响应则是这波动引发的长远影响。
想想看，当你接到一个突如其来的好消息时，你的内心波澜起伏，之后的日子里，你的生活也因为这个消息而逐渐发生改变，这就是二者之间的关系。
而这两者的意义，简单来说就是帮助我们理解系统的行为。
无论是物理系统还是人类的心理状态，它们都在不同的情境下反映出一种反应模式。
就像我们的生活，总有突发状况，像雷阵雨一样来袭。
冲击过后，生活也许会变得不一样，经过一段时间的调整，慢慢适应新的环境，找回平静。
这就是冲激响应和阶跃响应的双重角色，既有瞬间的冲击，也有持续的变化。
再说说它们在工程和科学中的应用。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，他们需要考虑冲激响应，因为桥梁可能会受到突然的风压、车辆的冲击等。
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
系统的冲激响应和阶跃响应的关系系统的冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应的定义•冲激响应（Impulse Response）是指系统对单位冲激信号的响应。
单位冲激信号是一个幅度为1、宽度为0的信号，其面积为1。
•阶跃响应（Step Response）是指系统对单位阶跃信号的响应。
单位阶跃信号是一个幅度从0突变到1的信号，其面积为1。
冲激响应和阶跃响应的关系•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，而阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系。
•对于线性时不变系统，可以通过积分的方式来获得阶跃响应。
冲激响应和阶跃响应的解释•冲激响应可以看作是系统对瞬时激励的响应。
通过对冲激响应进行积分，可以得到系统对任意激励的响应。
•阶跃响应可以看作是系统对持续激励的响应。
通过对阶跃响应进行微分，可以得到系统对瞬时激励的响应。
总结•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在数学关系，可以通过积分和微分来相互转换。
•通过研究冲激响应和阶跃响应，可以了解系统对不同类型激励的响应特性。
•系统的冲激响应和阶跃响应是系统描述和分析的重要内容。
•冲激响应可以提供系统的频率特性信息，通过对冲激响应进行傅里叶变换，可以得到系统的频率响应函数，从而了解系统的频率选择性。
•阶跃响应可以提供系统的时域特性信息，通过观察阶跃响应的形态，可以得到系统的时间稳定性和响应速度等信息。
•通过对比冲激响应和阶跃响应，可以判断系统的稳定性和动态特性。
•冲激响应和阶跃响应对系统设计和故障诊断也具有重要意义。
•在实际应用中，通过对系统的冲激响应和阶跃响应进行测量和分析，可以优化系统的性能，改善系统的稳定性和响应速度。
补充说明•系统的冲激响应和阶跃响应在信号处理、控制系统、电子电路等领域都是重要的概念和工具。
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们在时域和频域的特性不同，但在某些情况下存在一定的联系和关系。
冲激响应是指当输入信号为冲激函数（即单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
冲激响应可以用于分析系统的频率响应特性，例如计算系统的频率响应函数、幅频特性和相频特性等。
冲激响应通常被表示为系统的单位脉冲响应函数。
阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数（即单位阶跃函数）时，系统的输出响应。
阶跃响应可以用于分析系统的时域特性，例如计算系统的单位阶跃响应函数、过渡时间、稳态误差和阶跃响应曲线等。
阶跃响应通常被表示为系统的单位阶跃响应函数。
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过拉普拉斯变换进行推导。
拉普拉斯变换是一种常用的信号处理工具，可以将时域的信号转换为复频域的函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将冲激响应和阶跃响应之间建立起联系。
对于一个线性时不变系统，假设其冲激响应为h(t)，阶跃响应为s(t)。
根据定义，阶跃响应可以表示为冲激响应的积分。
具体地，s(t)等于h(t)的积分，即s(t) = ∫h(τ)dτ，其中积分的上限是从0到t。
通过拉普拉斯变换，我们可以将上述关系表示为复频域的函数。
假设冲激响应的拉普拉斯变换为H(s)，阶跃响应的拉普拉斯变换为S(s)。
根据拉普拉斯变换的性质，阶跃响应的拉普拉斯变换可以表示为冲激响应的拉普拉斯变换除以s，即S(s) = H(s)/s。
从上述关系可以看出，冲激响应和阶跃响应之间存在一定的联系。
阶跃响应可以通过冲激响应的积分得到，而冲激响应可以通过阶跃响应的导数得到。
它们之间的关系可以帮助我们在信号处理中进行相互转换和分析。
除此之外，冲激响应和阶跃响应还可以用于系统的稳定性分析和系统参数估计。
通过对冲激响应和阶跃响应的分析，我们可以了解系统对不同类型输入信号的响应情况，进而判断系统的稳定性和性能。
冲激响应和阶跃响应在信号处理中扮演着重要的角色。
它们具有不同的时域和频域特性，但又存在一定的联系和关系。
冲激响应与阶跃响应
根据系数平衡，得
3AA11
A2 A2
h(t)1et e3t u(t)
1
A1
2A2
1
2 1
2
2
小结
再一次明确冲激响应的定义 •零状态； •单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t ，看响应 h(t )。h(t ) 不同说明其系
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d e d 激(t响)t 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
求特征根
2 4 3 0 1 1 ,2 3带u(t)
若把它作用于为 冲 h(t激 )的L响 TI应 S则, 响应为
r(t)H etH etd
卷积积分
eHtd
ehtd
这就是卷积积分，它表示系统的零状态响应。
r z t s e t h t e t h t
3．n阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
冲激响应与阶跃 响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t作) 用下产生的零状态响应，称 为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h (t)
H
(t)
h(t)
(1)
(t) LTI系统 h(t)
0
t
0
t
冲激响应示意图
ห้องสมุดไป่ตู้
2．卷积积分
任意信号e(t)可表示为冲激序列之和
阶跃响应和冲激响应的关系
阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。
不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。
阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。
你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。
这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。
而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。
想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。
这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。
看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。
这两者之间的关系就像是亲兄弟。
阶跃响应可以说是冲激响应的积累。
想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。
每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。
学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。
有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。
比如说，你设计一个自动驾驶的系统。
它需要在感知到障碍物时快速反应。
这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。
换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。
哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。
在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。
比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。
而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。
换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。
阶跃响应与冲激响应的关系
阶跃响应与冲激响应的关系1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊“阶跃响应”和“冲激响应”这两位老兄。
这两个概念在信号处理和系统分析里可是风头正劲的角色。
可能你听过它们，却不知道它们之间到底有什么关系。
别急，咱们慢慢来，保证让你听得津津有味。
2. 什么是冲激响应？2.1 冲激响应的定义首先，咱得了解一下“冲激响应”。
可以把它想象成一个超级短暂的信号，就像是你在派对上对朋友大喊“嗨！”然后瞬间安静下来了。
这种瞬间的信号就叫做冲激信号，而系统对这个信号的响应就是冲激响应。
听起来是不是很简单？2.2 冲激响应的特性而且，冲激响应的一个特性就是它能完全描述一个线性时不变系统的行为。
也就是说，只要你知道了冲激响应，你就能推导出系统对任何输入信号的响应，简直是信号处理界的万金油！所以，冲激响应就像是一张藏宝图，指引我们找到信号处理的宝藏。
3. 阶跃响应的魅力3.1 阶跃响应的定义接下来，咱们来看看“阶跃响应”。
它是系统对一个阶跃信号的响应，就像你突然把一个开关打开，整个房间立刻亮起来。
阶跃信号的特点就是它在某一时刻突然变得不一样，从0到1的变化就好比一瞬间的蜕变。
3.2 阶跃响应的重要性阶跃响应在很多实际应用中可是大显身手的，尤其是在控制系统中。
比如说，想象一下你在开车，突然踩下油门，车辆的加速反应就是阶跃响应在起作用。
通过阶跃响应，你可以了解系统的稳定性和动态特性，简直是开车必备的“老司机技巧”。
4. 冲激响应与阶跃响应的关系4.1 从冲激响应到阶跃响应那么，冲激响应和阶跃响应之间又是怎样的关系呢？简单来说，阶跃响应可以通过冲激响应“推导”出来。
你可以把冲激响应看作是一种基本的“调味料”，而阶跃响应就是这道菜的成品。
通过数学上的卷积操作，我们能把冲激响应变成阶跃响应，没错，就像把原料变成美味佳肴！4.2 直观的理解想象一下，你在做蛋糕。
冲激响应就像是准备蛋糕的面糊，而阶跃响应就是烤好的蛋糕，香喷喷的出炉了！当然，不同的配方会让蛋糕的味道有所不同，但最终都是通过面糊这个基础材料变成的。
冲激响应和阶跃响应
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
方法2：直接解方程求解（见教材）
求阶跃响应
02
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
响应及其各阶导数(最高阶为n次)
1).冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
激励及其各阶导数(最高阶为m次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
一．冲激响应
设特征根为简单根（无重根的单根）
由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
03
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
04
总结
01
三．齐次解法求冲激响应（补充）
方法1：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数A。
方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
求冲激响应的几种方法
冲激响应的求解至关重要。
01
冲激响应的定义 零状态； 单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
02
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
阶跃响应与冲激响应
阶跃响应与冲激响应一、实验目的1、观察和测量RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响。
2、掌握有关信号时域的测量分析方法。
二、实验仪器11块 21块 3、数字万用表 1台 4、双踪示波器 1台三、实验原理以单位冲激信号()t δ作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为()h t 。
冲激响应示意图如图2-1：图2-1冲激响应示意图以单位阶跃信号()u t 作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为()g t 。
阶跃响应示意图如图2-2：tt)(t u )(tg图2-2阶跃响应示意图t)(t δ)(t h阶跃激励与阶跃响应的关系简单地表示为：[])()(t u H t g = 或者 )()(t g t u →如图2-3所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应实验电路图，其响应有以下三种状态：1、当电阻R ＞2 LC时，称过阻尼状态； 2、当电阻R = 2 LC时，称临界状态； 3、当电阻R ＜2LC时，称欠阻尼状态。
图2-3(a) 阶跃响应电路连接示意图图2-3(b) 冲激响应电路连接示意图响应的动态指标定义如下：上升时间t r ：y(t)从0到第一次达到稳态值y (∞)所需的时间。
峰值时间t p ：y(t)从0上升到y max 所需的时间。
调节时间t s ：y(t)的振荡包络线进入到稳态值的±5%误差范围所需的时间。
最大超调量δp ：%100)()(max ⨯∞∞-=y y y p δ图2-4 响应指标示意图（欠阻尼状态）冲激信号是阶跃信号的导数，即⎰-=td h t g 0ττ)()(，所以对线性时不变电路冲激响应也是阶跃响应的导数。
为了便于用示波器观察响应波形，实验中用周期方波代替阶跃信号。
而用周期方波通过微分电路后得到的尖顶脉冲代替冲激信号。
四、实验步骤任务一 阶跃响应实验波形观察与参数测量设激励信号为方波，频率为500Hz 。
10.1 阶跃响应和冲击响应
1.08e(t2)/2
16
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一阶电路的阶跃响应
电路在单位阶跃电源激励下的零状态响应称为
单位阶跃响应(unit step response)。单位阶跃响应 常用符号s(t)表示。
根据图示电路可得电路
方程为
C
duC dt
1 R
uC
iS
iS ε(t) iC iR C uC R
C
duC dt
1 R
uC
1
根据uC(0+)= uC(0-)=0
bS
a uS U
R i
uL L
uS / V U
O t0 t /s
(a)
(b)
7
§10.1 阶跃响应和冲激响应
例 :在图(a)所示RL电路中，电压源输出为如图(b)所
示的脉冲电压，开关S在t=0时由位置a闭合到位置b，
试求零状态响应i(t)。
bS R
解：图(b)所示脉冲电压可表示为
uS U[ε(t) ε(t t0)]
h(t) ds(t) dt
或 s(t) t h()d
所以在已知电路阶跃响应的情况下，可对其求导
来获得冲激响应；在已知电路冲激响应的情况下， 可对其积分来求得阶跃响应。
14
§10.1 阶跃响应和冲激响应
例 ：在图(a)电路中，uC(0-)=0，C=2F，R=1，电流
源波形如图(b)所示，试求uC。
单位阶跃响应uC为 s(t) uC R(1 et/RC )ε(t) 4
§10.1 阶跃响应和冲激响应
iR
uC R
(1 et/RC )ε(t)
iC ε(t) iR et/RCε(t)
冲激响应与阶跃响应的关系
冲激响应与阶跃响应的关系《冲激响应与阶跃响应的关系，嘿，原来如此》
哎呀呀，今天咱就来唠唠冲激响应和阶跃响应的关系。
你知道不，就好比有一次我去游乐场玩那个跳楼机。
当那跳楼机“嗖”地一下快速上升的时候，这就有点像冲激响应，那速度快得呀，让人一下子就有了很强烈的感觉。
然后呢，当它到达顶点后开始缓缓下降，这整个过程就跟阶跃响应似的，从一个突然的状态慢慢过渡到一个相对平稳的状态。
就像冲激响应是那种瞬间的、很直接的反应，“啪”地一下就来了。
而阶跃响应呢，是在冲激响应之后，开始慢慢地去适应和调整。
就像坐跳楼机，快速上升后得慢慢落下来，不能一下子就从高空直接掉地上吧，那可不得了。
所以说呀，冲激响应和阶跃响应它们就是这样一种相互关联的关系。
它们就像我们生活中的一些事情，有时候会有突然的刺激，然后我们得慢慢去消化和应对。
嘿嘿，这就是我理解的冲激响应与阶跃响应的关系啦，是不是还挺有意思的呀！以后再看到这两个概念，我就会想起那次坐跳楼机的经历咯！。
冲激响应和阶跃响应
1
R2C
电容器的电流在 t =0 时有一冲激，这就是电容电压突变的原因
3．n 阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t ) dt
Cnr(t)
E0
dm d
e(t ) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
R
iC (t)
(t)
C
vC (t)
解答
列系统微分方程：
RC
d
vC (t dt
)
vC
(t
)
(t
)
t 0, t 0
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
0
冲激 t在 t 时0 转为系统的储能（由
体vC现(0）， )
t >0 时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统
的冲激响应。
求解 特征方程
RC 1 0
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
t
t
u(t) (t)d t g(t) h(t) d t
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：
t , 对因果系统：t
－
0
三．齐次解法求冲激响应（补充） 令方程左端系数为 1，右端只有一项 (t)时，冲激响应为
dn d
hˆ(t tn
将h(t), h(t), h(t)代入原方程
A1 A2 (t) 3A1 A2 (t) 0u(t) (t) 2 (t)
根据系数平衡，得
h(t) 1 et e3t u(t) 2
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本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。 然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。 为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。 仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。 冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统 响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。
对阶跃响应，强迫函数为 f (t ) (t )
2t 3t 2t 3t 则阶跃响应为 s(t ) g2 (t ) f (t ) (e e ) (t ) (t ) (e e ) (t )
冲激响应另一种求解方法
•由于激励信号的特殊性， (t ) 及其各阶导数在
i t
R
L
(2) R 2 L 1H C 1F (3) R 1 L 1H C 1F (4) R 0 L 1H C 1F
Hale Waihona Puke t CU c t
系统的微分方程为
uC '' (t )
R ' 1 1 uC (t ) uC (t ) (t ) L LC LC
解 所以
(t ) uC
1 1 u C (t ) (t ) RC RC
t RC
uC (t ) h(t ) e
t
0
1 ( )e RC d RC
t
1 e RC (t ) RC
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
系统如图所示，讨论以下4种 情况下的冲激响应与阶跃响应 1 (1) R 4 L 1H C F 3
本章主要内容
2.1 连续LTI系统的数学模型 2.2 经典的微分方程的求解方法 2.3 零状态响应和零输入响应 2.4 系统的冲激响应和阶跃响应 2.5 离散LTI系统的模型与求解
第10讲 系统的冲激响应和阶跃响应
第10讲 系统的冲激响应和阶跃响应
冲激响应与阶跃响应定义 冲激响应与阶跃响应的一般求解方法 冲激响应的另一种求解方法 二阶系统的冲激响应与阶跃响应 冲激响应的应用
t h' (t ) ( Ae 3A2e3t ) (t ) ( A1 A2 ) (t ) 1
t h'' (t ) ( A1 A2 ) ' (t ) ( A1 3A2 ) (t ) ( Ae 9 A2e3t ) (t ) 1
将 h(t ) h(t ) h(t ) 代入微分方程，并比较方程两边 (t ) 和 (t ) 的系数，
i 1
利用微分方程两端 (t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 Ai
冲激响应另一种求解方法
d 2 y(t ) dy(t ) df (t ) 4 3 y(t ) 2 f (t )，求冲激响应 h(t ) 已知微分方程为 2 dt dt dt d 2 h(t ) dh(t ) 4 3h(t ) ' (t ) 2 (t ) 解：微分方程变为 2 dt dt t h(t ) ( Ae A2e3t ) (t ) 特征根为 1 1, 2 3 1
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1 所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t)
（1）
求导：h’(t) = (C1 + C2)(t)+(-2C1e-2t -3C2e-3t)(t) h’’(t) = (C1 + C2)'(t) +(-2C1 -3C2) (t) + (4C1e-2t +9C2e-3t)(t) 将h(t)、 h’(t)和 h’’(t)代入式(1) ： (C1 + C2)'(t) + (3C1 + 2C2)(t) = (t) 比较方程2端系数 ： (C1 + C2)=0 (3C1 + 2C2) = 1 求得C1=1, C2= -1, 所以：
解法一： h’(0-) = h(0-) = 0
先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有 (t)，利用 (t)函数平衡法。
h”(t)中含(t)，h’(t)含(t) 因此 h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在 t=0 连续，即： h(0+) = h(0-) = 0 h’(0+) = 1 + h’(0-) = 1
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（1）过阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) 4uC ' (t ) 3uC (t ) 3 (t)
s(t ) 1
特征根为
1 1 2 3
h (t ) uC (t ) 3 (t ) g 2 (t ) 1.5 e t e 3t t
s (t ) 1 1.5e t 0.5e 2t t
O
t
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
（2）临界阻尼下，代入元件数值
uC '' (t ) 2uC ' (t ) uC (t ) (t )
特征根为
s (t )
1 2 1
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t ) (t ) tet t tet t
阶跃响应的测量
二阶系统的冲激响应与阶跃响应的实际测量
任意信号作用下的零状态响应
激励
(t)
(t-)
阶跃响应与冲激响应的关系
根据系统的微分、积分特性，则
h (t ) d s (t ) dt
s (t )
t
h( )d
冲激响应与阶跃响应的求解方法
根据零状态响应求解的一般方法： yzs (t ) f (t ) g2 (t ) 由于单位冲激响应与单位阶跃响应是在特殊激励下的零状态响应 将上式中的 f (t )分别换成 (t ) 和 (t ) 即
一阶系统的阶跃响应
一阶微分方程为
y ( t ) ay ( t ) b (t ) f (t )
at
则阶跃响应：
y (t ) s (t ) e
t
0
b ( )e a d
b (1 e at )ε (t ) a
例 求图示一阶系统冲激响应h( t ) = uC( t )
h(t )
c e (t ) B (t )
i 1 i
it
n
3）当n<m，此时h(t)不仅含有(t) ，还含有(t)的导数项， 假设n+1=m，则：
h( t )
c e
i i 1
n
i t
( t ) B1 ( t ) B0 ( t )
例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。 解： 根据h(t)的定义有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = (t) （1）
h(t ) g n (t ) f (t )
f ( t ) ( t )
s (t ) g n (t ) f (t )
f ( t ) ( t )
冲激响应与阶跃响应的求解方法
例：二阶系统的微分方程为 y' ' (t ) 5 y' (t ) 6 y(t ) f ' (t ) 求其冲激响应和阶跃响应。
t
1 2
3 2
1
h(t ) uC (t ) (t ) g2 (t )
3
3 t ) t 2
O
t
t 3 2 2 s(t ) 1 e sin t 60 2 t 3
二阶系统的冲激响应与阶跃响应
2t 3t 2t 3t 解 特征函数为 g2 (t ) e (t ) e (t ) (e e ) (t )
对冲激响应，强迫函数为 f (t ) ' (t ) 则冲激响应为
h(t ) g2 (t ) f (t ) (e2t e3t ) (t ) '(t ) (3e3t 2e2t ) (t )
例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t) 求其冲激响应h(t)。
对 t >0时，有h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0 故系统的冲激响应为此方程的齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为: h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
冲激响应的定义
系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激 响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
h(t )
(t )
0
(t )
t
连续LTI系统 起始状态为零
h(t )
0
t
阶跃响应的定义
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的响 应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s( t )。
冲激响应与阶跃响应的重要性
冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。 冲激信号和阶跃信号是两种典型的基本信号，由这两种 信号引起的零状态响应是线性系统分析中的典型问题。 由于任意信号都可以分解为冲激信号和阶跃信号的组合， 可借助冲激响应和阶跃响应，通过卷积积分求系统对任 意信号的零状态响应。 冲激响应和系统函数与系统的稳定性有直接关系。 工程上常用二阶系统的阶跃响应的性能指标来评价一个 系统的性能。