7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

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多元复合函数的求导法则

z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
z = f (u, v, t), u = ϕ(t),
v =ψ (t)
z = f (u, x, y), u = ϕ(x, y)
解 (1)
z = f (u, v), u = ϕ(x, y), v =ψ (y)
+
∂z ∂z ∂u = ∂x ∂u ∂x ∂z = ∂u ∂z = ∂u ∂z ∂z = ∂y ∂u
2 2 x2 + y2 +x4 sin2 y
x2 + y2 +z2
∂f ∂u ∂f ∂f ∂z ∂f ∂f ∂z = = + ⋅1 + ⋅0 + ∂y ∂y ∂x ∂z ∂y ∂y ∂z ∂y
= 2ye
x2 + y2 +z2
4
x2 + y2 +z2 x2 cos y ⋅ + 2ze
x2 + y2 + x4 sin2 y
y
∂z ∂u ∂z ∂v ∂z + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
注
设 u = ϕ( x, y)、 =ψ( x, y)及w = ω( x, y) 都在点 v
(x,y) 具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点 (u,v,w)有连续偏导数，则复合函数
z = f [ϕ(x, y),ψ (x, y),ω(x, y)]
= eu (sin v + y cos v) = ex+ y[sin( xy) + y cos(xy)]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
= eu sin v ⋅1 + eu cos v ⋅ x

多元复合函数的求导法则

分线相加
同理可得
z z u z v y u y v y
返回
一、多元复合函数求导法则 —链锁规则
设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件，且有相应的导数或偏导数。 1、全导数情形1 链锁规则公式
u z x
全导数
v
dz z du z dv dx u dx v dx
dh h dV w dr dt V dt r dt 3 6V r 2 4 3 e r r
返回
dh 6 V r 2 (2 e ) dt r r
设t0时刻沙丘体积为60立方米、底面半径为6米，则
dh 6 60 6 2 (2 e ) dt t t0 6 6
3
dz ,求 . dt
〖解〗由多元复合函数求导法则得全导数为：
x z y
2
t
dz z dx z dy dt x dt y dt 2 cos t f x 3t f y
部分抽象函数
□
设f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
d z d dz 2 dt dt dt d 2 (cos t f x 3t f y ) dt
返回
视y为常数
视u,v为常数
【例8】设 u f ( x, y, z ), z g ( x, y), y h( x, t ), t ( x),
du 求 . dx
〖解〗方法1(链锁规则公式)
x u y z
x y
x
x
du f dx x
f h h d y x t dx
情形5
x z u v
x y
z f f u f v x x u x v x z f u y u y

复合函数微分法

u u x u y u z t x t y t z t
u
xyst来自z特殊地 z u v x型
dz z du z dv . dx u dx v dx
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
x 2 y 2 u2
，而 u x 2 sin y .
解
z f u f x u x x
2ue
x 2 y 2 u2 2
2 x sin y 2 xe
x 2 y 2 u2
x 2 y 2 u2
2 x(1 2 x sin y )e z f u f . y u y y 2ue
z f u f . y u y y
把 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 y 看作不变而对
把 z f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不变而对 x 的偏导数
x 的偏导数
区别类似
例 4 设 f ( u, x , y ) e 求 z , z . x y
z z u z v y u y v y
e u sin v x e u cos v 1
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )].
z z 练习设 z e sin v , u x y , v x y , 求 , . x y z v z 解 v x x
z z x z y t x t y t
在点 ( s, t ) 可微，且它关于 s 与 t 的偏导数分别为
z z x z y s x s y s

多元函数的求导法则-精选

z z u z v y u y v y
x yx y
eusinvx eucovs1
e x y [x six n y ) (co x y s )( ]
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例2. u f(x ,y ,z ) e x 2 y 2 z 2 ,z x 2 sy i,求nu , u x y
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推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, zf(u,v,w ),
u ( t ) ,v ( t ) ,w ( t )
z
d z z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
在点 t 可导, 且有链式法则 dzzduzdv dt u dt v dt
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 t t
有增量△u ,△v ,
zzuzvo() (( u)2( v)2)
u vΒιβλιοθήκη 山东农业大学高等数学
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zzuzv o ( ) (( u)2( v)2)
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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 u (t),v (t)在 t可点 ,z导 f(u,v) 在点 (u,v)处偏导连续, 则复合函数 zf((t) ,(t))
e xy[x six ny ) (co x y s )]d(y 所以 zexy[ysixn y()co x sy)(]

多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。

我们希望计算该函数的导数。

下面是多元复合函数求导的三种基本法则。

法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。

它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。

根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。

链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。

通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。

法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。

它适用于求导符合函数的反函数的导数。

设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。

导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。

通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。

法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。

隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。

假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。

我们可以使用隐函数法则计算y的导数。

隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。

通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。

综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。

这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。

多元复合函数求导的链式法则

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第四节多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
z x
z
2
x y
f1

z x y
f 13
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二、多元复合函数的全微分
设函数都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为
dz z x dx z y dy
z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx dy ) ( dx dy ) x y x y

z
x y z
2
x
2 2 2
y
2 ye
x y z
2ze
x cos y
2 4 2
2
2 ( y x sin y cos y ) e
4
x y x sin
y
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例3. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数
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练习 1. 设
u x u y u z f1 f1 1 y f1
求偏导数。

多元复合函数的求偏导法则

2x(1 2x2 sin2 y)ex2y2x4 sin2 y
z f f u y y u y
当然也可代入直接求偏导
ex2y2u2 2y (ex2y2u2 .2u) (x2 cos y)
2( y x4 sin y cos y)ex2 y2x4 sin2 y
式中
（z 或
x
z y
）是表示复合后函数
另一种解法：代入直接求偏导
z ln(e2x2y2 x2 y)
2 x2 y2
2e 2x z e x y x
e2 x2 y2
1
x
y2
(e2x2 y2
x2
y)
x
2x y2
2
z y
e2x2y2
1
x
y2
(e2x2y2
x2
y)
y
4 ye2x2 y2 1 e2xy2 x y2
注：
（1）求复合函数偏导数时，最后要将中间变量都换成自变量表示。（2）用哪一种方法因题而定（3）有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏导问题，我们可以引进中间变量。
x y z
【例6】设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求 z ,
解法2：公式法
x
z , y
2z xy
令F(x, y, z) x2 2y2 3z2 4x
则 Fx 2x 4 ，Fy 4 y ， Fz 6z
故
z x
z y
Fx FFzy Fz
2x 4 2 x 6z 3z
图7-21
z z u z y u y y
多元复合函数的求偏导法则：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于这个函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积和。

多元复合函数的求导法则

u v
上式两端同时除以△t ，得到
.
3
z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
u xyz xt
u f f f
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
d t 2 u dt v dt
.
5
定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意防止记号的混淆.
.

多元复合函数的求导法则

= 2 ( y + x sin y cos y ) e
4
x2 + y2 +x4 sin 2 y
∂f x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2 ⋅ 2 xsin y = 2xe +2ze = ∂x 2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 x (1+ 2 x sin y) e ∂u ∂ f ∂ f ∂z x2 + y2 +z2 x2 + y2 +z2⋅ x2 cos y = + ⋅ = 2ye +2ze ∂y ∂y ∂z ∂y 4 x2 + y2 +x4 sin 2 y = 2 ( y + x sin y cos y ) e 为中间变量时, 注:变量 x, y既是中间变量最终变量,当视 x, y 的函数 x, y, z 是独立的, 当视 x, y 最终变量时, z是 x, y ∂u ∂ f x, y, z 不是独立的. 故与在这里含义不同. ∂x ∂x ∂ f 是视 x, y为中间变量求导,故对 u求导时 x, y, z 是独立的,故
中间变量到达它就有几项之和);每一项都是对中间变量的偏导数与该中间变量对自变量的导数之积.
例4. 设 z = f (cos e
解: 令 u = cos e
x+2 y
)
∂z ∂z ∂2 z 求 , ∂x ∂y ∂x∂y
z
u
x+2 y
x
y
∂z dz ∂u ' x+2 y x+2 y x+2 y = = f (cos e )(−sin e )e ∂x du ∂x ∂z dz ∂u ' x+2 y (−sin ex+2 y )ex+2 y 2 = = f (cos e ) ∂y du ∂y ∂2 z ∂ ∂z ∂ ' x+2 y x+2 y x+2 y = ( − f (cos e )sin e e ) = ∂x∂y ∂y ∂x ∂y '' x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y x+2 y = [− f (cos e )(−sin e )e 2]sin e e

多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则教学目的：使学生熟练掌握多元复合函数的求导法则；了解函数全微分形式不变性:。

教学重点：复合函数的中间变量均为多元函数的求导法则教学过程：一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有d t d t d u d u =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, to t t o v z u z d t d v v z d t d u u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求xu ∂∂和y u ∂∂. 解 xz z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze xe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++y x y x e y x x 2422s i n 22)s i n 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++y x y x e y y x y 2422s i n 4)c o s s i n (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解 tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t=e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求xw ∂∂及z x w ∂∂∂2. 解令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解由直角坐标与极坐标间的关系式得u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan =θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρs i n c o s y u u ∂∂-∂∂=, y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρc o s s i n ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u . 再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρc o s )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθs i n )s i nc o s (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222s i n c o s s i n 2c o s ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22s i n c o s s i n 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得2222222222c o s c o s s i n 2s i n ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=uu .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= d y yv v z y u u z d x x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂= )()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .。

第四节复合函数的求导法则

,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x

y) z x

(x

y) z y

zu

zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y

df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:

第四节多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则多元函数是指含有多个自变量的函数，多元复合函数则是由多个函数相互组合而成的复合函数。

在求多元复合函数的导数时，我们需要运用多元复合函数的求导法则。

多元复合函数的求导法则有以下几种情况：1.复合函数的链式法则：设有两个变量x和y，其中y=f(u)是自变量u的函数，u=g(x)是自变量x的函数，则函数y=f(g(x))就是一个多元复合函数。

根据链式法则，该函数的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx2.高阶多元复合函数的求导：对于高阶多元复合函数，我们需要运用多次链式法则来求导。

例如，考虑一个三元复合函数z=f(y),y=g(x),x=h(t)，其中t是自变量。

根据链式法则，可以得到如下公式：dz/dt = dz/dy * dy/dx * dx/dt这里 dz/dy 表示 z 关于 y 的导数，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，dx/dt 表示 x 关于 t 的导数。

3.多元复合函数中的偏导数：对于多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用偏导数的链式法则。

偏导数的链式法则可以表示为：∂z/∂x=(∂z/∂y)*(∂y/∂x)其中∂z/∂y表示z关于y的偏导数，∂y/∂x表示y关于x的偏导数。

同样地，对于高阶多元复合函数中的偏导数求导，我们需要运用多次链式法则来求解。

总结起来，多元复合函数的求导法则主要有链式法则和偏导数的链式法则。

通过这些法则，我们可以方便地求解多元复合函数的导数。

在实际应用中，求多元复合函数的导数常常用于最优化问题、概率统计、机器学习等领域。

这些领域中的问题往往涉及多个变量，而多元复合函数的导数可以帮助我们了解函数随变量的变化趋势，从而得出一些有用的结论。

多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则对于多元函数的复合函数，我们可以通过链式法则来求导。

设$z=f(u,v)$为一个二元函数，其中$u=u(x,y)$和$v=v(x,y)$。

我们希望求得 $z$ 对于 $x$ 和 $y$ 的偏导数 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

首先，我们可以使用全微分的概念来表示函数 $z$ 的微分 $dz$，即$dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partialz}{\partial v} dv$。

然后，我们可以使用 $x$ 和 $y$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来表示$du$ 和 $dv$，即 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx +\frac{\partial u}{\partial y} dy$ 和 $dv = \frac{\partialv}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy$。

将 $du$ 和 $dv$ 的表达式代入 $dz$ 的式子中，我们可以得到$$dz = \frac{\partial z}{\partial u} \left(\frac{\partialu}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy\right) +\frac{\partial z}{\partial v} \left(\frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy\right)$$然后，我们可以根据函数 $z = f(u, v)$ 对于 $u$ 和 $v$ 的偏导数来化简上面的表达式。

假设 $\frac{\partial z}{\partial u}$ 和$\frac{\partial z}{\partial v}$ 都存在，我们可以得到$$dz = \left(\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partialu}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partialv}{\partial x}\right) dx + \left(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dy$$从上面的式子中我们可以看出 $\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$。

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

多元复合函数及其求导法则

（10-1）
1.1 多元复合函数的求导法则
证明因为 z f (u ，v) 具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有
dz z du z dv ． u v
又因为 u (t) 及 v (t) 都可导，因而可微，即有
以此代入 dz 的表达式中得
du du dt ， dv dv dt ，
dt
dt
1.1 多元复合函数的求导法则
例 4 设 u f (x ，y ，z) ex2 y2 z2 ， z x2 sin y ，求 u 和 u ． x y
解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y 2x(1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y ， x x z x
dz
z u
du dt
dt
z v
dv dt
dt
z u
du dt
z v
dv dt
dt
，
从而
dz z du z dv ． dt u dt v dt
1.1 多元复合函数的求导法则
推广设 z f (u ，v ，w) ，u (t) ，v (t) ，w (t) ，则 z f [(t) ， (t) ，(t)] 对 t
6x(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 4(3x2 y2 )4x2 y ln(3x2 y2 ) ， z z u z v v uv1 2y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 2(3x2 y2 )4x2y ln(3x2 y2 ) ．
解本例中的变量有函数 z ，中间变量u ，v ，自变量 x，y ，根据链式法则式（10-3），有 z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y eu (x sin v cos v) exy[x sin(x y) cos(x y)]．

7.5 多元复合函数与隐函数的微分法解析

且
z z u z v …(7.5.3) x u x v x
z
u
x y
z z u z v y u y v y
…(7.5.4)
v
9
注1 此定理也可称为求导的链式法则. 事实上, 当z对x求偏导时, 应将y看作常数, 此时的中间变量 u,v均是x的一元函数, 从而z亦是x的一元函数, 于是可利用公式(7.5.1). 此时应把相应的导数记号改写成偏导数记号, 就可得公式(7.5.3)；类似地可得公式(7.5.4)．可将此定理中复合函数的中间变量推广到多于两个的情形. 例如, 设由函数
(t ), (t )均连续, 所以当t 0时, 0;
x dx y dy 同时亦有 , ; 于是有 t dt t dt o( ) o( ) o( ) x 2 y 2 lim lim lim ( ) ( ) 0 t 0 t 0 t t t 0 t t
故
dz z z dx z dy lim dt t 0 t x dt y dt
4
即复合函数z f ( (t ), (t ))在点t处可导, 且有公式(7.5.1)
成立.
由于多元函数的复合关系可能出现多种情形, 因此, 分清复
合函数的复合层次是求偏导数的关键.
u s t x y z
f u f s f t f 2y t y s y t y s
u f s f t f f 2z z s z t z s t
15
注2 在计算多元复合函数的偏导数时, 可不写中间变量, 而
又有
而
z z u z v y u y v y
u v 2 y, x y y

多元函数求导法则公式

多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。

1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。

求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。

根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。

2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。

求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。

同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。

根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。

同理，可以得到 dz/dy 的表达式。

3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。

求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。

求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。

7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

多元复合函数的求导法则

多元复合函数的求导法则

复合函数微分法

多元函数的求导法则-精选

多元复合函数的求导法则

多元复合函数求导的链式法则

多元复合函数的求偏导法则

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第四节 复合函数的求导法则

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多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

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7.5 多元复合函数与隐函数的微分法解析

多元函数求导法则公式

第四节复合函数的求导法则