7.5多元复合函数的求导法则和微分法则

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dz z du z dv . z dx u dx v dx
求导公式
u
x
v （21型）
函数结构（路线图）
例1设 z u2v, u cos x, v sin x 求全导数 dz
dx
解1 由复合函数求导法则，得
u
dz z du z dv
z
v
x
dx u dx v dx
wy
求和的项数等于路径条数(加法原理）
每一项的因子数等于每条路线上的步骤数 （乘法原理）
推广(2) 设w = f (u, v) , u (x, y, z), v (x, y, z) 其复
合函数为 w f [(x, y, z), (x, y, z)] u
x
w w u w v x u x v x
D 二阶导数
例f (u, v) u2 2uv v2
思考：设z f (u,v),则,一般地：
(A) fu既是u的函数,也是v的函数 √
(B) fu只是u的函数,不是v的函数
同理fv既是u的函数,也是v的函数
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
w
y
vz
（2 3型）
w w u w v w w u w v y u y v y z u z v z
u z
v
x
ux
ux
zv
y
w
w
y
v
y z
2 2型
3 2型
2 3型
x
z u y 1 2型 z dz u z dz u x du x y du y
类似题： P322 16（5） P284 例1（1）
求全导还是求偏导 不用死记硬背
这些结构均为典型结构
B 特殊结构：双重身份，身兼数职
设z=f (x, v) ,v (x, y) 复合函数为z f [x, (x, y)]
z f f v x x v x
z f v . y v y
（此题为教材P285例3和例4的综合）
例 z xyf (x y, x y), 求 z , z .
x y
z y

x
f (x y, x y)
xy f1 1 f2 (1)
x f (x y, x y) xy f1 f2 .
练习：P324 16(8,9)
z
x v
x y
注意1:
这里的
z 与 f
x x
是代表不同的意义.
彻底求导
不彻底求导
z f f v x x v x
z f v . y v y
z
x v
x y
注意1: 这里的
z与
x
f x
是代表不同的意义.
彻底求导
不彻底求导
将复合函数 z f [x, (x, y)] 将函数z=f (x, v)中的v 中的y看成不变对x求偏导 看成不变对x求偏导
z f f v z f v . z x
x x v x y v y
v
x y
注意2：一般地对于函数z f (x, y)
即 z v
不至于引起混淆时，不必区分
z x
,
f x
，z
x
,
z 'x ,
fx,
f x
以上几种符号，神马（什么）都是一样的 见教材
（2 1型）
解2 将u cos x,v sin x,代入z u2v得z F(x, y)
用7.3的方法直接求偏导数
类似题型：P322 16（4）；P285 例2（1）
推广：设z= f (u,v,w), u u(x),v v(x), w w(x)
其复合函数为 z f [u(x), v(x), w(x)]
dz z du z dv z dw dx u dx v dx w dx
最终的自变量只有一个时求全导
u zv x
w
（31型）
这些结构均为典型结构
B.特殊结构:双重身份，身兼数职 z
ex2.设z u2v3 cost,u sin t, v et ,求 dz . dt
2w
xz
f11
f12 xy
yf2
yz( f21
f22 xy)
f1'
1
x y
2z
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2
f
' 2
1
x y
2z
二、多元复合函数的微分法则
得（偏）导数者得（全）微分
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分 dz z du z dv ; u v
f z
P271倒数
上式中的
与 代表 相同 的意义.
v v
第2行
ex3.设u f ( x, y, z) e x2 y2 z2 , z x2 sin y, 求 u , u . x y
Solution.
x
x
uy
y
z
u f f z x x z x
类似题型： P285 例2（2） ； P323 16（7）
2.偏导数
A.典型结构
定理2（偏导数） 设 u (x, y),v (x, y)在点(x,
y)处有偏导数, 而 z = f (u, v)在对应点(u, v)有连续偏导
数, 对于复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 有：
x u x v x w x
wy
z z u z v z w. z y u y v y w y
u v
x
wy
（3 2型）
复合函数求导法则特征说明
u z z u z v z w. z v
x
x u x v x w x


z u

u x

z v

v x
dx
z u

u y

z v

v y
dy
作业：P323 16（3，4，5，7，8，9）
dy dy du dx du dx
y
u
x
1.全导数
A.典型结构
定理1（全导数） 设函数 u = (x) 与v = (x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对 应点(u , v)处有一阶连续偏导数，则对于复合函数
z f [(x), (x)] 最终的自变量只有一个时求全导
u dt
特殊结构:双重身份
zv t
身兼数职
t
Sol. dz z z du z dv dt t u dt v dt
u2v3 sin t 2uv3 cost cost 3u2v2 costet
e3t sin t(2 cos2 t 3sin t cost sin2 t)
7.5 多元复合函数的求导法则和微分法则 一、多元复合函数的求导链式法则 二、多元复合函数的微分法则
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导言：首先要求对一元（复合）函数求导 法则烂熟于胸
其次，要求对本节所介绍的多元函数求导法 则理解透彻。简言之，要熟悉多元的游戏规则。
一、多元复合函数的求导链式法则
一元复合函数求导法则
y f (u), u (x), y f [(x)]
yzf2; w
yzfv）
u v 1
x y x
或w
2
y
例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 1
x
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
w 2y
w f1 yzf2 x
f1 f1 f1(x y z, xyz),
注意 f2 f2 f2(x y z, xyz)
解 令 u x y z, v xyz; 记
同理有 f2, f11, f22 .
f (u, v) u
fu
f1
f1,
2 f (u, v)
uv
fuv f12 f12
w x

f u u x
f v

xv（ 或f1fu
解：
彻底 dz z z du z dv 求导 dt t u dt v dt
u vt t
不彻底 求导
将复合函数 z f (u, v,t) 将函数z=f (u, v, t)中
挖地三尺，对所有的t（包 的u, v看成不变，而
括在线的和隐身的）求导 对明摆着的t求偏导
ex2.设z u2v3 cost,u sin t, v et ,求 dz .
2 xe x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 2x sin y
u f f z y y z y
2 ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
C.抽象函数的导数 及其导数简便符号的引入
（如教材P285例4）
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分 dz z du z dv ; u v
又若u, v是x, y的函数,即u ( x, y), v ( x, y), 且 有连续偏导,则z f [ ( x, y), ( x, y)]的全微分为
dz z dx z dy x y
用7.3的方法直接求偏导数
推广(1) 设z= f (u,v,w), u u(x, y),v v(x, y), w w(x, y) 其复合函数为 z f [u(x, y),v(x, y), w(x, y)]
z z u z v z w. z
u v
x
z z u z v x u x v x
z
u v
x y
z z u z v y u y v y
（2 2型）
求导公式
函数结构（路线图）
例 z u2v uv2,u x cos y, v x sin y, 求 z , z .
例 设 z xyf (x y, x y), 求 z , z .
x y
解 对于函数的乘积，先用乘积的求导法则
设 f1, f2 分别表示函数 f 对第一、二个变量求
导
z x
y
f (x y, x y)
xy • f1 1 f2 1
y f (x y, x y) xy f1 f2 ,
x y
解1由复合函数求导法则
ux
z z u z v ... z
v
y
x u x v x
类似题：
z z u z v ... P322 16（1,2,3）
y u y v y
P284 例1（2）
解2 将u x cos y,v xsin y,代入z u2v uv2得z F(x, y)