傅里叶变换在图像处理中的应用研究

在1937年，Condon提出了分数傅里叶变换的初步概念。1961年，Bargmann又进一步发展了这一概念，他认为FRFT可以分别用厄米多项式和积分变换加以定义，而这两种定义实质上是相同的。在1980年， Namias从特征值和特征函数的角度完整地提出了分数傅里叶变换的数字定义和性质。1987年McBride和Kerr采用积分定义形式，从纯数学角度又进一步研究了FRFT，把FRFT看作是充分光滑的函数构成的向量空间中的算子，并且建立了分数傅里叶变换的完整而严谨的理论系统，为其后从光学角度提出分数傅里叶变换的概念奠定了基础。直到20世纪90年代，光学界的科学家和工程师才开始关注分数傅里叶变换与光学的关系。1993年，Ozaktas和Mendlovic给出了分数傅里叶变换的光学实现，提出用平方折射率光波导(GRIN)来实现分数傅里叶变换，并将其应用于光学信息处理。Lohmann和Bernardo等用透镜系统成功地实现了分数傅里叶变换，Lohmann还设计了阶次连续可变的光学分数傅里叶变换系统。1995年，Mendlovic等人进一步讨论用分数傅里叶变换来表征信号的新方法。Dorsch，Bernardo等人分别提出了用光学系统来实现任意级傅里叶变换的方案。Ozaktas等人还研究了分数傅里叶变换和小波变换的关系。Pellat-Finet探讨了菲涅耳衍射和分数傅里叶变换的关系。至此，分数傅里叶变换在光学信息领域已受到充分的重视。由于分数傅里叶变换采用光学设备容易实现， 所以在光学领域很快便得到了广泛应用。
工
作
计
划
2012.10.14----2012.10.17搜集关于数字全息广场的相关资料；
2012.10.18----2012.10.27运用MATLIB软件模拟全息广场；
2012.10.28----2012.11.3在老师的指导下，参阅相关资料，进行论文的撰写；
2012.11. 4-----2012.11.6进行论文的修改，完成论文；
年 月 日
燕山大学课程设计评审意见表
指导教师评语：
成绩：
指导教师：
年月日
答辩小组评语：
成绩：
评阅人：
年月日
课程设计总成绩：
答辩小组成员签字：
年月日
摘要
傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化了计算工作量，被喻为描述图像信息的第二种语言，广泛应用于图像变换，图像编码与压缩，图像分割，图像重建等。因此，对涉及数字图像处理的工作者，深入研究和掌握傅里叶变换及其扩展形式的特性，是很有价值得。
FRFT与光学成像系统有着紧密的联系，它最早应用于光学领域的光信息处理系统。传统的光学仅在空域中研究光学现象，现代信息光学将研究方法扩展到空间频率，对光学成像系统进行空间频谱分析。1873年，阿贝在显微镜成像原理的论述中，首次提出了空间频率和空间频谱以及两次衍射成像的概念，并用傅里叶变换来阐明显微镜成像的物理机制。阿贝成像过程可以理解为光线经过二次衍射实现了对频谱的分解和综合作用。
关键字：傅里叶变换 数字图像处理 图像压缩 图像恢复
Abstract
Fourier transform in digital image processing is widely used in spectral analysis, Fourier transform is linear system analysis of a powerful tool, it enables us to quantitatively analysis such as digital system, sampling point, electronic amplifier, convolution filter, noise, display point, action (effect). Fourier transform (FT) is the basis of digital image processing techniques, the through in time-space domain and frequency domain switching back and forth image, the image information features extraction and analysis, simplify the calculation workload, is becoming description image information of the second kind of language, which are widely used in image transform, image coding and compression, image segmentation, image reconstruction, etc. Therefore, the workers involved in digital image processing, in-depth study and master Fourier transform and its expanded form characteristics, is very worthy.
FRFT与光学成像系统有着紧密的联系，它最早应用于光学领域的光信息处理系统。传统的光学仅在空域中研究光学现象，现代信息光学将研究方法扩展到空间频率，对光学成像系统进行空间频谱分析。1873年，阿贝在显微镜成像原理的论述中，首次提出了空间频率和空间频谱以及两次衍射成像的概念，并用傅里叶变换来阐明显微镜成像的物理机制。阿贝成像过程可以理解为光线经过二次衍射实现了对频谱的分解和综合作用。
光信息科学
设计题目
数字图像的傅里叶变换的程序设计
设
计
技
术
参
数
设
计
要
求
1、考查学生查阅有关资料能力；
2、了解图像变换的意义和ຫໍສະໝຸດ Baidu段；
3、熟悉傅里叶变换的基本性质；
4、通过本实验熟练掌握MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换。
工
作
量
在21个工作日内采用MATLIB软件编写程序，完成数字图像的傅里叶变换的程序设计。
1.2
数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。
20世纪20年代，图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。
2.2
a.线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
燕山大学
课程设计
题目：数字图像的傅里叶变换程序设计
学院（系）：理学院
年级专业：09 光信息科学
学 号：090108030026
学生姓名：徐庆明
指导教师：侯岩雪
教师职称：硕导
燕山大学课程设计（论文）任务书
院（系）：理学院 基层教学单位：09应用物理
学 号
080108030004
学生姓名
徐庆明
专业（班级）
傅里叶变换(Fourier Transformation，FT)是一种常用的数学工具，在数学、物理及工程技术领域都得到了广泛的应用。但随着研究对象和研究范围的不断扩展，也逐渐暴露了傅里叶变换在研究某些问题的局限性。这种局限性主要体现在:它是一种全局性变换，得到的是信号的整体频谱，因而无法表述信号的时频局部特性，为了分析和处理非平稳信号，人们在傅里叶变换理论基础上提出了一种广义化的傅里叶变换—分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transformation，FRFT)，提供了傅里叶变换所不具备的某些特点。分数傅里叶变换是对给定信号的Wigner分布的旋转操作，也称旋转傅里叶变换或角度化傅里叶变换，它保留傅里叶变换的所有特性，在所有的傅里叶变换应用领域，FRFT具有极大的改进潜力。
傅里叶变换(Fourier Transformation，FT)是一种常用的数学工具，在数学、物理及工程技术领域都得到了广泛的应用。但随着研究对象和研究范围的不断扩展，也逐渐暴露了傅里叶变换在研究某些问题的局限性。这种局限性主要体现在:它是一种全局性变换，得到的是信号的整体频谱，因而无法表述信号的时频局部特性，为了分析和处理非平稳信号，人们在傅里叶变换理论基础上提出了一种广义化的傅里叶变换—分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transformation，FRFT)，提供了傅里叶变换所不具备的某些特点。分数傅里叶变换是对给定信号的Wigner分布的旋转操作，也称旋转傅里叶变换或角度化傅里叶变换，它保留傅里叶变换的所有特性，在所有的傅里叶变换应用领域，FRFT具有极大的改进潜力。
尽管在信号处理领域分数傅里叶变换具有潜在的用途，但是由于缺乏有效的物理解释和快速算法，使得分数傅里叶变换在信号处理领域迟迟未得到应有的认识。直到1993年Almeida指出分数傅里叶变换可以理解为时频平面的旋转，1996年Ozaktas等提出了一种计算量与FFT相当的离散算法后，分数阶Fourier变换才吸引了越来越多信号处理领域学者的注意。
总的来说， 目前分数傅里叶变换在理论上已较为成熟，但在实际应用方面有待进一步研究。随着对分数傅里叶变换研究的不断深入，人们发现分数傅里叶变换的应用领域越来越广。
第2章
2.1
所谓的傅立叶变换就是以时间为自变量的 “信号”和以频率为自变量的 “频谱“函数之间的某种变换关系。这种变换同样可以用在其他有关数学和物理的各种问题之中，并可以采用其他形式的变量。当自变量 “时间”或 “频率”取连续时间形式和离散时间形式的不同组合，就可以形成各种不同的傅立叶变换对。傅立叶变换家族中的变换很多，主要包括：连续傅立叶变换，拉普拉斯变换，离散傅立叶变换，序列傅立叶变换，Z变换和离散傅立叶变换。连续傅立叶变换，连续傅立叶级数变换，连续拉普拉斯变换适用于连续时间信号的情形。离散傅立叶级数变换，序列傅立叶变换，Z变换和离散傅立叶变换适用于离散时间信号的情形。
Keyword:Fouriertransform,digital image processing,imagecompression,image restoration.
第1章
1.1
今年来，随着电子技术、图像处理方法和信号理论的迅猛发展，数字图像处理技术得到飞速发展，它广泛应用于几乎与成像有关的领域。传统的光学系统在信号处理时，存有它自身很难克服的不足：第一，它对空间频谱平面的处理很难，尤其在低频和甚低频时，即使可通过大量仪器来实现，但代价往往很高；第二，光学处理由于采样孔径（即传感单元）太窄而不能起到抗混叠作用，不能除去高频信息。而傅里叶变换和线性移不变系统有紧密联系，它有一个很好的理论背景来知道它在图像处理的左右，可以方便有效地克服上述不足，使其在数字图像处理中占有一席之地。
2012.11.7提交论文。
参
考
资
料
[1]余成波数字图像处理及MATLAB实现 重庆大学出版社2003
[2]王家文MATLAB 6.5图形图像处理 国防工业出版社
[3]郝文化MATLAB图形图像处理应用教程 中国水利水电出版社2004
指导教师签字
基层教学单位主任签字
说明：此表一式四份，学生、指导教师、基层教学单位、系部各一份。