等腰三角形的轴对称性(完整资料).doc
等腰三角形有几条对称轴
等腰三⾓形有⼏条对称轴
等腰三⾓形的对称轴：除了等边三⾓形有三条对称轴之外，等腰三⾓形都只有⼀条对称轴。
等腰三⾓形性质
1.等腰三⾓形的两个底⾓度数相等（简写成“等边对等⾓”）。
2.等腰三⾓形的顶⾓平分线，底边上的中线，底边上的⾼相互重合（简写成“等腰三⾓形三线合⼀”）。
3.等腰三⾓形的两底⾓的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的⾼相等）。
4.等腰三⾓形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三⾓形的⼀腰上的⾼与底边的夹⾓等于顶⾓的⼀半。
6.等腰三⾓形底边上任意⼀点到两腰距离之和等于⼀腰上的⾼（需⽤等⾯积法证明）。
7.⼀般的等腰三⾓形是轴对称图形,只有⼀条对称轴，顶⾓平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三⾓形（特殊的等腰三⾓形）有三条对称轴。
每个⾓的⾓平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和⾼所在的直线就是等边三⾓形的对称轴。
8.等腰三⾓形中腰长的平⽅等于底边上⾼的平⽅加底的⼀半的平⽅（勾股定理）。
9.等腰三⾓形的腰与它的⾼的关系：腰⼤于⾼；腰的平⽅等于⾼的平⽅加底的⼀半的平⽅。
各个图形的对称轴数量
长⽅形有2条对称轴。
正⽅形有4条对称轴。
等腰梯形有1条对称轴。
圆有⽆数条对称轴。
五⾓星有5条对称轴。
菱形有2条对称轴。
等腰三角形的轴对称性(解析版)
2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（ ）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（ ）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =． 求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。
八上 1.5 等腰三角形的轴对称性(2)
1.5 等腰三角形的轴对称性（2）--- [ 教案]班级 姓名 学号教学目标：1、掌握等角对等边的性质2、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质3、经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；4、会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力教学重点：熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质； 教学难点：正确熟练的运用新知解决简单问题； 教学过程： 一、情境创设：前一课，我们知道了：在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边的大小有什么关系呢？ 这一节课，我们首先就来探索这个问题.探索1：（1）如图1，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB ，所得∠1与∠2相等吗？为什么？（2）如图2，将纸条沿截线AB 折叠，在所得的△ABC 中，仍有∠1=∠2.度量AB 和AC 的长度.你有什么发现？ 二、新课讲解：通过上面的探索，同学们发现了AB=AC.这是不是巧合呢？我们再来做一个实验： 在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 的同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABN ，设AM 与BN 相交于点C ，量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？ （度量后，我们还会发现AC ＝BC ）AB21BAC21 图1 图2于是，我们可以得到结论：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对的边也相等.（简称为“等角对等边”） 即：如上图∵在△ABC 中，∠B=∠C ∴AB=AC （等角对等边）三、例题示范：例1.如图，在△ABC 中，AB=AC ，角平分线BD 、CE 相交于点O ，OB与OC 相等吗？请说明理由.探索2：师生当堂互动（1）任意剪一张直角三角形纸片，如图1. （2）剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状？ （3）把纸片展开，连接CD ，你有什么发现？ 由于经过折叠，①和②，③和④是重合的，所以 ∠A=∠ACD ，∠B=∠BCD 即：AD=CD ，BD=CD 所以 CD=12AB 即“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”例2. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是AB 边上的中线且CD = 5cm ，则AB= .四、课堂小结：探究得到了一判定一个三角形是等腰三角形的条件以及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，在应用这些结论解决问题的过程中进一步提高了说理、分析、识图和归纳的能力. 六、课后作业：P29 4,5,6 七、教学后记：21O D EC BADCA（1） （2） （3） （4）。
2.52等腰三角形的轴对称性(2)
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
A
A
顶角
腰
顶角
腰
底角
底角
B
C
B
底边
C
2.5 等腰三角形的轴对称性(1)
苏州工业园区东沙湖学校 李明树
对称是一种思想，通过它， 人们毕生追求并创造次序, 美丽和完美。 赫尔曼 . 外尔
折一折 把等腰三角形沿 顶角平分线对折 并展开，你有什 么发现？把结论 写在练习本上。
A
方法小结： 在等腰三角形中
底边中点
E F C D
B
三线合一
做一做 如图,已知点D,E在△ABC中的边BC上,AB=AC,AD=AE, 那么BD与EC 相等吗？为什么？
A
一 线 生 机
E
C
B
D
F
跳一跳
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AC、 AB上的点，且BD=BC，AD=DE=BE. A （1）找出图中相等的角 （2）求∠A的度数 几何问题 小结：
说一说
符号语言：如图：在△ABC中,
1 2
⑴∵AB=AC, ∠1＝∠2(已知)，
AD ⊥_____ BD ＝_____ DC ； BC ，____ (三线合一) ∴_____ ⑵∵AB＝AC, AD⊥BC(已知 ),∴∠____ 2 DC (三线合一) 1 ＝∠____ , BD ____=____. ⑶∵AB=AC, BD=CD(已知), 1 ＝∠___ 2 , ___ AD ⊥BC ∴∠___ __;
C
求∠FEN的度数． A
B
D
F
例题讲解 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点， ∠B=30°，求∠1的度=AC，AD⊥BC于D，BC=12， 6 40° ，BD=_____. ∠BAC=80°，则∠1=____
八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版
要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。
课件：1.5.3等腰三角形的轴对称性3
三边相等的三角形叫做等边 三边相等的三角形叫做等边 三角形或正三角形. 三角形或正三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形， 等边三角形是特殊的等腰三角形， 它除了具有等腰三角形的一切性质外， 它除了具有等腰三角形的一切性质外， 还具有哪些特殊的性质呢？ 还具有哪些特殊的性质呢？
★等边三角形是轴对称图形,并且有 等边三角形是轴对称图形, 条对称轴. 3条对称轴.
A
C.3
D.4
F E
B P
C
展 现 自 我 ：
⑵如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=900,点D是BC上的任 意一点,DF⊥AB,DE⊥AC,M为BC的中点,试判断△MEF是 什么三角形,并证明你的结论.
△MEF 是等腰直角三角形 连接AM 连接
A E
易得△ BMF≌ △ AME 易得△ ≌ 从而有MF=ME， ， 从而有 ∠BMF=∠AME ∠ 再根据∠ 再根据∠AMB=90°，可 ° 得出∠ 得出∠EMF=90° °
■等边三角形的每个角都等于600. 等边三角形的每个角都等于60
观察 图中有几条 对称轴?请你 画出来.
议一议： 议一议：
判别一个三角形是等边 三角形有哪些方法呢？ 三角形有哪些方法呢？
探索活动：
思考： 思考：
（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？ 个角相等的三角形是等边三角形吗？ 为什么？ 为什么？ （2）有两个角等于的60°三角形是等 有两个角等于的60° 60 边三角形吗？为什么？ 边三角形吗？为什么？ （3）有一个角等于60°的等腰三角形 有一个角等于60° 60 是等边三角形吗？为什么？ 是等边三角形吗？为什么？
⑵△ADE 是等边三角形 ⑵△
∵∠ADE=∠AED=60° ∠ ∵∠ ° ∴ ∠ADE=∠AED=∠DAE ∠ ∠ ∴ △ADE是等边三角形 是 （三个角相等的三角形是等边 三角形 ） B
等腰三角形的轴对称性(3)
A D
⑴
⑵
⑶
B
⑷
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半. 的一半.
A D
C
B
在△ABC中，∠ACB=90° ∵AD=BD ∴CD= 1/2 AB
A
B
Eபைடு நூலகம்
D
C
例1如图,在△ABC中,∠BAC=1200 AD⊥AB 如图, ABC中 AE⊥AC. ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? ADE是等边三角形吗 ⑶在Rt△ABD中, ∠B=_____,AD=_____BD; Rt△ABD中 Rt△ACE中 有类似结论吗? 在Rt△ACE中,有类似结论吗?
A
B
D
C
E
书P26/练习 P26/练习
试一试
1.如图,在四边形ABCD中 1.如图,在四边形ABCD中, 如图 ABCD ∠ABC=∠ADC=900，M、N分别 AC、BD的中点 试说明： 的中点. 是AC、BD的中点.试说明： D MN⊥BD.
A N M
B
C
拓展提高 如图在△ABC中 M,N分 如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分 别是BC EF的中点 试说明： BC与 的中点, 别是BC与EF的中点, 试说明：MN ⊥EF.
A
B
E
D
C
如图, BAC中 例2 ⑴如图,在△BAC中,∠BAC=900 AB=AC,点 AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的 BC上 BD=BA,点 BC的 延长线上, CE=CA.试求 DAE的度数 试求∠ 的度数. 延长线上,且CE=CA.试求∠DAE的度数.
11、轴对称与等腰三角形
轴对称与等腰三角形知识点1、等腰三角形1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
注意：①等腰三角形的顶角不一定是锐角，但是底角一定是锐角；②钝角三角形也可以是等腰三角形2、等腰三角形的性质①等边对等角：等腰三角形的两底角相等；②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；③等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线相等；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角角平分线（三线合一）所在直线。
注意：①等腰三角形的性质是指在同一个等腰三角形而言的；②三线合一要注意位置，在等腰三角形中所有的中线、角平分线等并不是合一的。
3、等腰三角形的判定①有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）②三线合一也能作为判定等腰三角形的依据③推论在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半1-9、如图，已知在等腰三角形ABC 中，AC AB =，BC AE //．求证：AE 平分∠DAC ．例2、等腰三角形的判定2-1、如图，OC 平分∠AOB ，OB CD //，若cm OD 3=，则CD 等于.2-2、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 上的高，AE 分别交CB 、CD 于E 、F ，且CF CE =，求证：AE 平分∠BAC .2-3、如图，△ABC 中，∠ACB =90º,CD ⊥BA 于D ，AE 平分∠BAC 交CD 于F ，交BC 于E ，求证△CEF 是等腰三角形。
DC AB 02-5、如图，在△ABC中，AB知识点2、等边三角形1、等边三角形的定义三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形2、等边三角形性质：①每个角都是60°；②轴对称图形；③有3条对称轴。
3、等边三角形的判定定理①三边相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
等腰三角形的轴对称性 (2)
教师:学生:日期: 年月日星期:时段:课题等腰三角形的轴对称性学情分析学习目标与考点分析了解等腰三角形的轴对称性，熟悉并掌握等腰三角形及等边三角形的性质和识别方法，掌握直角三角形斜边上的中线的性质，会用“因为…所以…”进行说理学习重点难点重点：等腰三角形和等边三角形性质的熟练运用难点：掌握证明题的推理过程学习方法引导探究教学过程一．导入把等腰三角形沿顶角平分线对折再展开，你有什么发现？（提示：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴）二．授课内容（一）概念及性质1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线式它的对称轴。
（2）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（三线合一）2.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）3.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半注意：必须是在直角三角形中中线必须是斜边上的中线4.等边三角形（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。
（2）性质：因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一些性质外，还具有如下性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；等边三角形的每个角都等于60°。
（3）判定等边三角形的方法：三边相等的三角形是等边三角形龙文教育学科导学案三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（二）例题精讲例1．如图，等腰△ABC中，AB=AC,∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE=___________例2.如图，在△ABC中，D、E是BC边上的点，且BD=CE,AD=AE。
试说明：（1）∠B=∠C;(2) ∠BAD=∠CAE 例3.如图，BD是△ABC角平分线，∠ABD=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形有_____个。
2.5等腰三角形的轴对称性(2)
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）教学目标:1．掌握等腰三角形的判定定理．2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理．3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力． 教学重点:熟练地掌握等腰三角形的判定定理．教学难点:正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．教学过程:前面我们学习了等腰三角形的轴对称性，说说你对等腰三角形的认识． 本节课我们将继续学习等腰三角形的轴对称性．一、创设情境如图所示△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC 和一个底角∠C ．请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC 重新画出来？大家试试看．1．学生观察思考，提出猜想．2．小组交流讨论．二、探索发现一 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：（1）在半透明纸上画一条长为6cm 的线段BC ．（2）以BC 为始边，分别以点B 和点C 为顶点，在BC 的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A ．（3）用刻度尺找出BC 的中点D ，连接AD ，然后沿AD 对折．问题1：AB 与AC 有什么数量关系？问题2：请用语言叙述你的发现．三、分析证明B C思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？问题3：已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．引导学分析问题，综合证明．思考：你还有不同的证明方法吗？问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？四、探索发现二问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？问题6：等边三角形有什么性质？问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？五、学以致用请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题．六、归纳小结1．这节课你有怎样的收获？还有哪些困惑呢？2．布置作业：课本P67习题2.5第7、8、10题．。
等腰三角形性质2课件(浙教版)
于BC．工程人员这种操作方法的根据是（ C ）
.
A．等边对等角
C．等腰三角形“三线合一”
B．垂线段最短
D．线段垂直平分线上的点
到这条线段两端点的距离相等
3.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽
AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
等腰三角形腰上的高线，腰上的中线，底角的平分线不一定互相重合。
非等腰三角形一边上的高线，该边上的中线，该边所对的角的平分线两两不重合
学以致用：
1.判断对错
1、等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合。
（X）
2、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
（√）
3、等腰三角形的角平分线、高线和中线的
总数一共能画出9条。
Hale Waihona Puke a3.在直线 m上截取DA=h,连接AB,AC.
△ABC就是所求的等腰三角形.
B
A
h
D
C
A
归纳小结：
1、等腰三角形的两个底角相等.
1 2
B
或 “在同一个三角形中,等边对等角”
D
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线
和底边上的高互相重合.
简称“等腰三角形三线合一”
C
当堂检测：
夯实基础，稳扎稳打
1.如图，在△ABC中，AB=AC.
ቐ =
∠ = ∠
∴ △ABD ≌ △ACD （ASA）
∴AB=AC
∵AE平分∠BAC
∴AE⊥BC
即AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）
例2 已知线段a, h,用直尺和圆规作等腰三
等腰三角形的轴对称性
(苏科版)
上册
1.5 等腰三角形的轴对称性（1）
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角 底角
腰
腰
B
底边
Cபைடு நூலகம்
动手操作
A
把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开 A A
B
C
D
C
B
D
C
你有什么发现?
A
等腰三角形的轴对称性:
B
D
C
结论：等腰三角形是轴对称图形.
顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
A E B D
C
F
如图，AB = AC = AD，且AD∥BC， ∠C =2∠D吗？试说明理由.
A D
B
C
如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE， ∠BAD=30°，求∠EDC的度数.
A
E
B
D
C
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边 BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF， ∠A=70°，求∠FDE的度数.
D
C
等腰三角形的性质
• 等腰三角形是轴对称图形, 顶角平 分线所在直线是的它的对称轴. • 等腰三角形的两个底角相等. (简称 “等边对等角”)
• 等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合（“三线 合一”）.
例1 根据下列条件求等腰三角形中其余 两个角的度数.
◆一个内角为700 ★一个外角为1000
A
用符号语言表示为：
12
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， BD CD 2 ∴∠___=∠___，____=____； B 1 （2）∵AB=AC，AD是中线， AD BC 1 2 ∴∠＿=∠＿，____⊥____； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， BD CD AD BC ∴____⊥____，____=____。
2.5 等腰三角形的轴对称性(2)
E
F
B
D
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【课内演练】
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在 三边上，且BE=CD,BD=CF,G为EF中点.求证：DG垂 直平分EF
A
EG F
BD
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【课堂小结】
本节课你的收获是什么？
初中数学 八年级(上册)
2.5 等腰三角形的轴对称性(2)
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【旧知回顾】
（1）若等腰三角形的一个内角等于88°，则
另外两个角的度数分别为
.
（2）等腰三角形的一个外角等于140°，则
与它不相邻的两个内角的度数分别为
.
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【探究归纳】
定理：等腰三角形底边上的高线、中线、及 顶角平分线重合。（简称“ 三线合一”）
几何语言： 在△ABC中, AB=AC,点D在BC上. 因为∠BAD=∠CAD, 所以AD⊥BC,BD=CD; 因为BD=CD, 所以∠_____=∠____, ____⊥___; 因为AD⊥BC, 所以____________, __________.
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【操作】
用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,高AD=h.
D A
E
Байду номын сангаас
B
F
C
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
【课内演练】
1.在如图的房屋人字梁架中AB=AC, ∠BAC＝110°,AD⊥BC. 求∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
2.5 等腰三角形的轴对称性（2）
苏科版八年级上册数学 第2章 等腰三角形的性质
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 适用条件：必须在同一个三角形中. 2. 作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角 相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.
感悟新知
由上面的操作过程获得启发，我们可以利用 三角形的全等证明这些性质. 如图, △ABC中， AB=AC，作底边BC的中线AD. AB=AC,
知1－练
感悟新知
知1－练
1 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底 2 角的度数.
解：(1)72°; (2)30°.
感悟新知
知1－练
2 (中考•盐城)若等腰三角形的顶角为40°，则它的 底角度数为( ) D
3 A．40°B．50°C．60°D．70°
感悟新知
知1－练
3 (中考•湘西州)如图，等腰三角形ABC中，AB＝ AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度 数为( )
第2章轴对称图形
2.5等腰三角形的轴对称性
第1课时等腰三角形的性质
学习目标
1 课时讲解
等腰三角形边角性质：等边对等角 等腰三角形的轴对称性：“三线合
一”
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
看到下边三角形了吗，它有何特点呢？ 我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
腰
顶 角
腰
底角 底角 底边
4 A．36°CB．60°C．72°D．108°
感悟新知
4 (中考•广西)如图，在△ABC中，AB＝AC，
知1－练
∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、
BC于点D、E，则∠BAE＝( ) 5 A．80°B．60°C．50D°D．40°
第08讲 图形的轴对称 等腰三角形(原卷版)
第08讲图形的轴对称等腰三角形一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.要点：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．四、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C 为圆心，以b 为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC 为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B＝∠C(3)BD＝CD，AD 为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD 为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A ︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些，能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx 即为所求”.(3)等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是32a ，面积是234a .例1．下列说法中正确的是（）①对称轴上没有对称点；②如果ABC ∆与△A B C '''关于直线L 对称，那么ABC A B C S S ∆'''= ；③如果线段AB A B =''，直线L 垂直平分AA '，则AB 和A B ''关于直线L 对称；④射线不是轴对称图形．A ．②B ．①④C ．②④D ．②③例2．下列说法中，正确的是（）A ．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称B ．全等三角形是关于某直线对称的C ．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D ．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形例3．等腰三角形的对称轴是（）A ．底边上的中线B ．顶角平分线C ．底边上的高D ．底边的垂直平分线例4．列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A ．B ．C ．D ．例5．有下列图形：角，线段，直角三角形，等边三角形，长方形.其中一定是轴对称图形的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例6．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？（）A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒例7．如图，将ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合．已知10AC cm =，ADC 的周长为34cm ，则BC 的长为（）A ．14cmB ．20cmC ．24cmD ．44cm例8．如图，ABC 与A B C '''V 关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点（P 不与AA '共线），下列结论中错误的是（）A ．AA P '△是等腰三角形B ．MN 垂直平分AA 'C ．//AA CC ''D ．A P AC'⊥例9．等边三角形是特殊的___________三角形，因此它也是___________图形，有_______条对称轴．例10．等腰三角形的一腰上的中线将三角形的周长分成9和15两部分，则该等腰三角形的腰长是______．一、单选题1．下列图案中是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，若ABC 与A B C ''' 关于直线MN 对称，BB '交MN 于点O ，则下列说法中不一定正确的是（）A ．AC A C ''=B ．AB BC ''∥C ．AA MN '⊥D ．BO B O'=3．如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，连接OP ，3OP =，点P 关于OA 、OB 所在直线的对称点分别是1P 、2P ，则1P 、2P 两点之间的距离可能是（）A ．8B ．7C ．6D ．54．如图，AC 是四边形ABCD 的对称轴，若AD ∥BC ，则下列结论中正确的有（）①AB ∥CD ；②AB ＝CD ；③AB ＝BC ；④AO ＝OC ．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．②③A．10︒6．等腰三角形的周长为A．3cm7．若等腰三角形有一个角等于A．50°8．如图，AD是∆度为（）A．12B．1310．如图所示，45MON∠=︒，点A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．150︒二、填空题11．等边三角形的边长为a ，则它的周长为______，等边三角形共有________条对称轴．12．等腰三角形周长为35，其中两边长之比为3∶1，则底边长为______．13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，那么这个等腰三角形的顶角的度数为_______．14．如图所示，点P 为AOB ∠内一点，分别作出P 点关于OA OB 、的对称点12P P 、，连接12PP交OA 于M ，交OB 于N ，1215PP =，则PMN 的周长为_______．15．已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是______．16．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠B ＝42°，点D 是边AB 上一点，点B 关于直线CD 的对称点为B '，当B D AC '∥时，则∠BCD 的度数为_____．17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．18．如图，点P 是AOB ∠内一点，点P 关于OA 的对称点为C ，点P 关于OB 的对称点为D ，连结CD 交OA 、OB 于点M 和点N ，连结PM 、PN ．若70AOB ∠=︒，则MPN ∠的大小为______度．三、解答题19．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．20．燕子风筝的骨架如图所示，它是以直线L 为对称轴的轴对称图形．已知∠1＝∠4＝45°，求∠2和∠5的度数．21．（1）已知等腰三角形的一边等于2cm ，另一边等于4cm ，求它的周长；（2）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长；（3）一个等腰三角形的周长为20cm ，一边长为6cm ，求其它两边的长；（4）一个等腰三角形的周长为12cm ，一边与另一边的差是3cm ，求三边的长；（5）等腰三角形的腰长是整数，周长是8，求它的各边长．22．已知一个等腰三角形的周长为24cm ．(1)若一条边的长为10cm ，求其余两条边的长；(2)若一条边的长为4cm ，求其余两条边的长．23．如图，点P 为AOB 内一点，分别作出点P 关于OA ，OB 的对称点1P ，2P ，连接12PP，交OA 于点M ，交OB 于点N ，则PMN 的周长等于图中哪一条线段的长？说明理由．24．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm 和15cm 的两个部分，求这个等腰三角形底边的长．25．已已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且b 、c 满足（b -5）2+（c -7）2=0，a 为方程|a -3|=2的解，求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．26．如图，点D 在AC 上，AB AC =，AD BD =．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．27．如图，ABC 的顶点A ，B ，C 都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．(1)画111A B C △，使它与ABC 关于直线l 成轴对称；(2)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A ，点B 的距离之和最短；(3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC BC ，的距离相等．28．如图，ABC 与DEF △关于直线MN 对称，其中90C ∠=︒，8cm AC =，10cm DE =，6cm BC =．(1)连接AD，线段AD与MN的关系是什么？(1)图中点C的对应点是点，∠B的对应角是(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为；(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF30．【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线(1)【理解题意】如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝度；(2)【应用实际】如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对称，OP，对称，求∠P1OP2的度数；(3)如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，于OA对称，求∠P1OP2的度数；(4)【拓展提升】如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP （直接写出答案）．一、单选题1．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2022·西藏·统考中考真题）下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2007·河南·中考真题）如图，ΔABC 与ΔA’B’C’关于直线l 对称，则∠B 的度数为（）A ．30°B ．50°C ．90°D ．100°4．（2022·山东威海·统考中考真题）图1是光的反射规律示意图．其中，PO 是入射光线，OQ 是反射光线，法线KO ⊥MN ，∠POK 是入射角，∠KOQ 是反射角，∠KOQ ＝∠POK ．图2中，光线自点P 射入，经镜面EF 反射后经过的点是()A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点5．（2022秋·八年级课时练习）如图，将ABC ∆沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边上的1B 处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为1h ；还原纸片后，再将BDE ∆沿着过BD 的中点1D 的直线折叠，使点B 落在DE 边上的2B 处，称为第二次操作，折痕11D E 到AC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去……经过第n 次操作后得到折痕11n n D E --，到AC 的距离记为n h ．若11h =，则n h 的值为（）二、填空题三、解答题9．（2019·湖北省直辖县级单位·统考中考真题）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠D，画出边BC的垂直平分线n．。
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等腰三角形的轴对称性
1.知识.能力聚焦
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。
（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）
2.等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。
3.直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
在应用该性质时应注意以下两点：
（1）必须是在直角三角形中；
（2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。
4.等边三角形
（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。
（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质：
①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②等边三角形是每个角都等于60°
（3）识别：判定等边三角形有如下三种方法:
①三边相等的三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
E
D C
B A
第2题图
创新.思维拓展
等腰三角形性质的拓展
由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质；
（1） 等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。
（2） 等腰三角形两底角的平分线相等。
（3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。
（4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，
并且大边对大角。
再探直角三角形的性质
在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。
习题
1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；
(2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，
那么它的周长是 ；
(3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( )
A ．9
B ．12
C ．15
D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=B
E ，则∠ADE 是 °．
3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为( )
A ．80°、80°、20°
B ．80°、50°、50°
C ．80°、80°、20°或80°、50°、50°
D ．以上答案都不对
D
C
B
A
4．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o
5． 如图，已知E 、F 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，BF ＝CE ，你能判断线段AF 和AE 的大小关系吗?说明理由．(用两种不同的方法说明)
6．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．
专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
10．在直角三角形ABC 中，如果斜边上的中线CD=3cm ，斜边上的高为2cm ，△ABC 的面积是___________．
11．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是 ( ) A ．21 B ．18 C ．13 D ．15
12．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC 交BC 于点
E
D A
B
F
E
C
B
A
A
E
F
M
C
B
第11题图 E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△ADE 的周长是_________．(结果保留根号)
专题三：等腰三角形的判定 13．（2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中， ∠A ＝36°，∠ABC 的平
分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，图中共有等腰三角形( )A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 14．把一张长方形纸，按如图所示折叠，重合部分是什么形状？请说明理由． 15．如图，等边△ABC 中，点D 在延长线上，CE 平分∠ACD ，且CE=BD ． 说明：△ADE 是等边三角形．
16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=90°，D 、E 分别为AB 、BC 上
A
D C
E B
1
A
B C D E
5 4
2
3 第12题图
C‘
E D C B A
的动点，且BD=CE ，M 是AC 的中点，试探究在DE 运动的过程中，△DEM 的形状是否发生变化？它是什么形状的三角形？
M
E
D C B A。