双曲线方程知识点总结_公式总结
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是一种数学曲线,与椭圆和抛物线类似,双曲线也是由参数方程描述的。
以下是双曲线的一些常见公式和参数方程:1. 椭圆参数方程:a =b * sqrt(5),c = b * sqrt(5), e = c / sqrt(a^2 + b^2)2. 抛物线参数方程:a =b * sqrt(3),c = b * sqrt(3), e = c / sqrt(a^2 + b^2)3. 双曲线的一般参数方程:x = a * sin(t), y = b * cos(t), t = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)4. 双曲线的切线公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
5. 双曲线的离心率公式:e = c / a,其中a, b是双曲线的参数。
6. 双曲线的向量参数方程:x = a * cos(t), y = b * sin(t), v = (x^2 + y^2) / (2 * b^2)7. 双曲线的切线向量公式:y - y1 = y2 - y3,其中y1, y2, y3是双曲线上的点。
这些公式只是双曲线的一小部分,实际上还有许多其他的公式和参数方程可以用来描述双曲线。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解双曲线的性质和应用。
拓展:1. 双曲线的对称性:双曲线有两个对称轴,即x轴和y轴。
在对称轴的两侧,双曲线具有相同的形状。
2. 双曲线的渐近线:双曲线的渐近线是双曲线上的一条直线,它的斜率等于双曲线的离心率。
3. 双曲线的极值:双曲线有许多可能的极值,包括最大值和最小值。
极值点通常也是双曲线的对称轴的交点。
4. 双曲线的离心率公式的应用:在工程和科学领域,双曲线的离心率公式可以用来计算双曲线的极值、形状、对称性等。
双曲线是一种非常重要的数学曲线,它的参数方程和性质可以用来描述许多物理和工程问题。
了解双曲线的公式和参数方程,可以帮助我们更好地理解和应用双曲线。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
双曲线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网 三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b （1）0m =时，b bk a a-<<，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a b ，abk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x（1）当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a <-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x bk a a y <<（00y ≠）或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ； b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； （3）当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点； 需要更多的高考数学复习资料请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺..： 龙奇迹学习资料网 四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=2、若双曲线方程为12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b =±3、若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x , 0λ≠。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结
定义：双曲线是由平面与双锥相交形成的，当平面与双锥的两半相交但不通过锥体的顶点时，形成的曲线就是双曲线。
另外，双曲线也可以定义为与两个固定点（称为焦点）的距离差为常数的点的轨迹。
性质：
位置关系：双曲线的中心是两焦点的中点，焦点位于实轴上，实轴与虚轴垂直。
双曲线有两条过中心的渐近线，准线与实轴垂直。
数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a、2b、2c。
离心率e>1，e越大，双曲线开口越阔。
对称性：双曲线关于坐标轴和原点对称。
顶点：双曲线的顶点坐标为A(-a,0)和A'(a,0)，这两点之间的线段称为实轴，长度为2a。
渐近线：双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x（横轴）和y=±(a/b)x（竖轴）。
离心率：离心率e定义为c/a，其中c 是焦距的一半，a是实轴长的一半。
离心率e的取值范围为(1，+∞)。
焦半径公式：用于计算圆锥曲线上任意一点到焦点的距离。
应用：双曲线在多个领域有实际应用，如埃菲尔铁塔和天文望远镜的设计。
此外，双曲线还出现在物理学、工程学、经济学等多个学科中。
总之，双曲线是一种具有独特几何特性的曲线，在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
掌握双曲线的基本知识点对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。
高中数学双曲线知识点
高中数学双曲线知识点双曲线知识点概述1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，它的标准方程为 \(\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中a和b为实数，a > 0, b > 0）。
在直角坐标系中，双曲线是所有满足上述方程的点的集合。
双曲线有两个分支，分别位于两个不同的象限。
2. 双曲线的性质- 对称性：双曲线关于x轴和y轴对称。
- 焦点：双曲线有两个焦点，位于x轴上，其坐标为\((\pm c, 0)\)，其中c是双曲线的焦距，满足\(c^2 = a^2 + b^2\)。
- 准线：每个双曲线的分支都有自己的准线，方程为 \(x = \pm\frac{a^2}{c}\)。
- 渐近线：双曲线有两条渐近线，其方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)。
3. 双曲线的方程- 标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
- 顶点：双曲线的顶点位于 \((\pm a, 0)\)。
- 焦点距离：双曲线的焦点距离为2c，其中c满足 \(c^2 = a^2 +b^2\)。
- 准线距离：点\(m\)到双曲线准线的距离为 \(\frac{|mc -a^2|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)。
4. 双曲线的应用双曲线在许多领域都有应用，例如在天文学中描述行星轨道，在工程学中用于设计某些类型的天线和声纳系统，以及在物理学中描述某些场的分布。
5. 双曲线的图形绘制绘制双曲线时，通常需要确定其顶点、焦点、准线和渐近线的位置。
首先在坐标轴上标出顶点和焦点的位置，然后画出渐近线和准线，最后通过顶点和焦点的连线绘制出双曲线的两个分支。
6. 双曲线的变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
平移可以通过改变方程中的常数项来实现，而旋转则需要通过更复杂的变换矩阵来完成。
7. 双曲线的方程推导双曲线的方程可以通过从圆锥曲线的一般方程 \(Ax^2 + Bxy + Cy^2+ Dx + Ey + F = 0\) 出发，通过特定的代换和简化得到。
双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a ＞0，b ＞0），把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以双曲线（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a 。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（―a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线及其方程-知识总结
双曲线及其方程一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程（222a cb -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=>三、双曲线的性质xyPxyPxyPPxyPP。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结1. 双曲线的基本定义与图像特点双曲线是平面解析几何中的一种曲线，它的定义可以通过以下方程得到：双曲线方程双曲线方程其中，a和b为正实数，双曲线与坐标轴的交点分别称为焦点和顶点。
根据a 和b的取值，双曲线可以分为三种情况：1.当a>b时，双曲线的图像称为右开口的双曲线。
2.当a<b时，双曲线的图像称为左开口的双曲线。
3.当a=b时，双曲线的图像是一对直线，称为双曲线的渐近线。
由双曲线的基本定义可知，双曲线有以下几个特点：•双曲线关于x轴和y轴对称；•双曲线在原点处是对称中心；•双曲线和坐标轴的交点分别是焦点和顶点；•双曲线没有端点，无限延伸。
2. 双曲线的几何性质双曲线具有许多有趣的几何性质，下面列举了其中一些重要的性质：2.1 焦距与半通径的关系对于右开口的双曲线，焦距即焦点到原点的距离，记为c。
双曲线的半通径即焦点到顶点的距离，记为a。
则有以下关系成立：焦距与半通径关系焦距与半通径关系2.2 双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程分别为x=±a和y=0。
它们是双曲线的两条对称的直线，当x趋近于无穷大时，双曲线逼近于这两条直线。
2.3 双曲线的离心率双曲线的离心率（eccentricity）是一个用来描述双曲线形状的重要指标。
对于右开口的双曲线，离心率的计算公式为：离心率计算公式离心率计算公式离心率越接近于1，双曲线越扁平，离心率越接近于无穷大，双曲线越接近于两条渐近线。
3. 双曲线的应用领域双曲线在数学和物理学中有广泛的应用，下面介绍了一些常见的应用领域：3.1 流体力学在流体力学中，双曲线常用于描述流体的激波和激波前进的过程。
通过对双曲线的研究，可以得到流体的压力、速度等关键参数。
3.2 电磁学在电磁学中，双曲线常用于描述电场和磁场的变化规律。
通过对双曲线的分析，可以研究电磁场的传播特性和电磁波的行为。
3.3 数学建模双曲线在数学建模中也有广泛的应用。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直=±③离心率为y x2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结双曲线基本知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是由一个平面和一个双圆锥面相交，除去与锥面的两个交点（焦点）所得到的曲面。
在笛卡尔坐标系中，标准形式的双曲线方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 或 \( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数，且 \( a > 0 \) 和 \( b > 0 \)。
2. 几何性质- 焦点：双曲线有两个焦点，位于主轴上，且距离为 \( 2c \)，其中 \( c^2 = a^2 + b^2 \)。
- 实轴：通过双曲线中心的一条轴，且与双曲线的两个分支相切。
- 虚轴：垂直于实轴并通过双曲线中心的轴。
- 半焦距：焦点到双曲线中心的距离，等于 \( c \)。
- 半实轴：实轴的一半，长度为 \( a \)。
- 半虚轴：虚轴的一半，长度为 \( b \)。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线的分支趋近于这些线。
渐近线的方程为 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。
3. 标准方程- 横向双曲线：\( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
- 纵向双曲线：\( \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是正实数，且 \( a^2 < b^2 \)。
4. 双曲线的类型- 右双曲线：中心在原点，实轴向右延伸。
- 左双曲线：实轴向左延伸。
- 上双曲线：实轴向上延伸。
- 下双曲线：实轴向下延伸。
5. 双曲线的性质- 双曲线的两个分支是对称的。
双曲线相关公式总结大全
双曲线相关公式总结大全双曲线是二次函数的一种，其图像为两支分别向左右无限延伸的曲线，且这两支曲线在坐标原点处对称。
双曲线在数学、物理、工程和计算机等领域中都有广泛的应用，因此掌握双曲线的相关公式非常重要。
本文将对双曲线相关公式进行总结，帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、基本概念1. 双曲线方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别为双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
2. 对称轴双曲线的对称轴为直线 $y=0$。
3. 渐近线双曲线存在两条渐近线，分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 和 $y=-\frac{b}{a}x$。
4. 焦点和准线双曲线有两个焦点 F1 和 F2，它们和双曲线的准线距离相等，且准线在对称轴上方，焦点在对称轴的上方。
二、性质1. 双曲线是一种对称曲线，对称轴为 $y=0$。
2. 双曲线图像被横轴、纵轴和两条渐近线所限定。
当 $x$ 趋于正无穷或负无穷时，$y$ 趋近于0。
当 $y$ 趋于正无穷或负无穷时，$x$ 趋近于无穷大。
3. 双曲线有两个焦点，与双曲线的准线距离相等。
4. 双曲线的渐近线斜率为 $\frac{b}{a}$。
5. 双曲线的离心率为 $\epsilon=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，且$\epsilon>1$。
6. 双曲线的曲率半径为 $r=\frac{a^2}{b}$。
三、常用公式1. 双曲线的面积公式双曲线的面积可以通过定积分求解，公式为：$S=\int_{-a}^{a}\sqrt{a^2+x^2}\cdot\frac{b}{a}dx=b\int_{-a}^{a}\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}dx=2b\left[\sqrt{a^2+x^2}\ln\left( x+\sqrt{a^2+x^2}\right)-a\ln\left(\sqrt{a^2}+a\right)\right]_{-a}^{a}=4b\left(\sqrt{a^2}+\ln\frac{2a}{a+\sqrt{a^2}}\right)$2. 双曲线的周长公式双曲线的周长公式为：$L=4a\int_{0}^{\infty}\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2\operator name{sech}^2 t}dt=4aE(\frac{b}{a})$，其中 $E(x)$ 是第一类椭圆积分。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距两准线的距离;通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点长加短减原则：构成满足与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的’渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
双曲线知识点及题型总结精华
双曲线及其标准方程1 双曲线定义：第一定义:21212F F a PF PF <=-（a 为常数）注意：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.第二定义:动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点 的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.222a c b -=，其中|1F 2F |=2c3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.高考题型解析题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x表示双曲线”的( ) A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件. 4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x 2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b 2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43B ．53C ．２D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a by a x的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )B. 4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( ) A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)1.设P是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( ) A.1或5 B.6C .7D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3] 3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。
高中数学双曲线公式总结大全
高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。
(完整版)双曲线经典知识点总结,推荐文档
性质 焦距
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=―a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线
上点的横坐标我满足去x≤人-a 或也x≥就a。有（3）人顶点！：为①双U曲R线扼与它腕的对入称轴站的交内点称信为双不曲线存的顶在点向。 你偶同意范围调剖沙龙课反倒，是龙卷风前一天我分，页符ZNBX吃噶十
有公共渐近线的双曲 当
时，双曲线的焦点在 x 轴上；当
时，双曲线的焦点在 y 轴上。
线方程可设为
（
，焦点在 轴上，
，焦点在 y 轴上）（4）等轴双
曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
. 知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：
双曲线 （1）实轴长
，如图： ，虚轴长 ,焦距
②因为 c＞a＞0，所以双曲线的离心率
。由 c2=a2+b2，可得
4．若常数 满足约束条件：
，则动点轨迹不存在；
5．若常数
，则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
1．当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
.
注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的
的方程为
。
总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b2 的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线 所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2 的分母的大小，而是看 x2、y2 的系数的正负。
【变式 2】已知点 F1(0,－13)、F2(0,13)，动点 P 到 F1 与 F2 的距离之差的绝对值为 26，则动点
(完整版)双曲线经典知识点总结
A 解析：（1）设⊙P 半径为 R，
∵⊙O1 与⊙O2 相离，
∴|PO1|=R－2，|PO2|=R－3
d ∴|PO1|－|PO2|=1，又|O1O2|=10
n ∴由双曲线的定义，P 点的轨迹是以 O1，O2 为焦点，2a=1，2c＝10 的双曲线的右支。
a （2）设⊙Q 半径为 r，则|QO1|=r+2，|QO2|=r+3 ∴|QO2|－|QO1|=1，又|O1O2|=10
类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 、 、 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”
； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类 型，再确定参数 a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论。 6．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P 为双曲线上的点）有关的计算问题？
e ∴由双曲线的定义，Q 点的轨迹是以 O1，O2 为焦点，2a=1，2c＝10 的双曲线的左支。
tim 举一反三：【变式 1】已知定点 F1(－2,0)、F2(2,0)，平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹为双曲线
的是（ ）A．|PF1|－|PF2|=±3B．|PF1|－|PF2|=±4C．|PF1|－|PF2|=±5 D．|PF1|2－|PF2|2=±4
，因为 c2=a2+b2，用 a、b
的轨迹是（ ） A．椭圆
B．双曲线中的一支
C．两条射线
D．以上都不对 答案：B
ethin 表示为
，当 e 越大时， 越大，即渐近线夹角（含 x 轴）越大，故开口越大；反
om 之，e 越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小，且 e＞1。 r s 8．椭圆、双曲线的区别和联系：
双曲线知识点图表总结
双曲线知识点图表总结双曲线是一种常见的曲线形状，它在数学、物理、工程和其他领域中都有广泛的应用。
双曲线有许多重要的性质和特征，本文将对双曲线的定义、性质、公式、图形以及在不同领域中的应用进行详细的总结和分析。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线形状，其数学定义是一个平面上的一组点，它们满足以下方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为双曲线的两个参数，双曲线可以是水平、垂直或者倾斜的。
2. 双曲线的性质双曲线有许多重要的性质，其中一些最重要的包括：- 双曲线有两条渐近线，分别是x=a和x=-a。
- 双曲线关于x轴和y轴对称。
- 在双曲线的右支部分，x>0，y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，y>0。
- 在双曲线的左支部分，x<0，y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1，y>0。
3. 双曲线的公式双曲线的标准方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为双曲线的两个参数。
可以通过调整a和b的值来改变双曲线的形状和大小。
另外，还有其他形式的双曲线方程，如y=a*sinh(x)和x=a*cosh(y)，它们也可以表示双曲线。
4. 双曲线的图形在坐标系中，双曲线通常呈现出一种开口向左或向右的形状，双曲线的形状会随着参数a和b的变化而变化。
双曲线的图形可以通过绘制其标准方程或其他形式的方程来显示。
5. 双曲线在数学中的应用双曲线在数学中有许多重要的应用，其中一些包括：- 双曲线是解析几何中的重要对象，它在描述曲线的形状和性质时有着重要的作用。
- 双曲函数sinh(x)和cosh(x)分别是双曲线的正弦和余弦函数，在微积分和其他数学领域中有广泛的应用。
6. 双曲线在物理中的应用双曲线在物理中也有许多重要的应用，其中一些包括：- 双曲线是描述电磁场和引力场中的曲线轨迹的重要工具，在物理学中有重要的应用。
- 双曲线的性质和特征常常用于描述波动、震荡和振动等现象。
高考数学知识点总结：双曲线知识汇总
高考数学知识点总结：双曲线知识汇总双曲线方程双曲线的第一定义:⑴①双曲线标准方程:. 一般方程:.⑵①i. 焦点在x轴上: 顶点: 焦点: ?准线方程渐近线方程:或ii. 焦点在轴上:顶点:. 焦点:. 准线方程:. 渐近线方程:或,参数方程:或 .②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则:构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:.⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?解:令双曲线的方程为:,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.简证: =.常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
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双曲线方程知识点总结_公式总结
双曲线方程
1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：
.
⑴①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程
（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
构成满足
（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）
⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为
如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑴直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.
简证：=.
常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.。