极值点偏移定义及判定定理
极值点偏移的判定办法
极值点偏移的判定方法和运用策略一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0212x x x ≠+，则称函数)(x f y =在),(2021x a x x ∈+，所以021)(2x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
结论（2）证明略。
判定定理2对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。
证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大,133132221++t t 21由于仅用a 难表示21x x +，故两式相减，构造用12x x t =表示21x x +的函数求解。
解法2:（运用判定定理1证明）：设21x x <，2344)('x x x f -=，函数3434)(x x x f -=的单调递减区间为)1,(-∞，单调递增区间为),1(+∞，又,)(34222122212121x x x x x x x x +++=+有0)(3)()2('22212222121<+--=+x x x x x x f ，则1221<+x x ，即221<+x x 。
(完整版)极值点偏移问题
极值点偏移问题总结判定方法1极值点偏移的定义对于函数y f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点X。
，方程f (x) 0的解分别为Xp x2，且a X i X2 b，(1)若冬X2x0，则称函数y f(x)在区间(X i，X2)上极值点X o偏移；2(2)若空X2x0，则函数y f (x)在区间(x i, X2)上极值点X o左偏，简称极值点X o2左偏；(3)若X o，贝U函数y f(x)在区间(X i,X2)上极值点X o右偏，简称极值点X o2右偏。
2、极值点偏移的判定定理则函数y f (x)的单调递增(减)区间为(a,x o)，单调递减(增)区间为(x o,b)，又 a x i x2b，有'X2(a,b)由于f'(X1 X2) o，故匹X2(a,x o)，所以2 2 2乞△ ( )X o，即函数极大(小)值点X o右(左)偏。
2判定定理2 对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点沧，方程f(x) 0的解分别为x「X2，且a X i X2 b ,(1)若f(xj f (2x o X2)，则一X2( )x o 即函数y f (x)在区间(x i, X2)上极2,大(小)值点X o右(左)偏；(2)若f(xj f(2x o X2)，则■昙()X o 即函数y f(x)在区间(X i，X2)上极2大(小)值点X o左(右)偏。
证明：(1)因为对于可导函数y f (x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x o，则函数y f (x)的单调递增(减)区间为(a,x o)，单调递减(增)区间为(x o,b)，又a X i X2 b，有X! X o，且2x o X2 X o，又 f (xj f (2x°X2)，故X i ( )2X o X2，所以空X2( )x o，即函数极大(小)值点X o右(左)偏.2结论(2)证明略。
二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1•方法概述：(1)求出函数f(x)的极值点；(2)构造一兀差函数F(x) f (x o x) f (x o x)(3)确定函数F(x)的单调性；(4)结合F(o)o，判断F(x)的符号，从而确定f(x o x), f(x o x)的大小关系。
极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权
极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且<<b.则称函数f(x)在区间（a,b ）上极值点偏移；）上极值点偏移；二：极值点偏移的判定定理,方程的解分且<<b.（1即函数 （2即函数 （3则即函数 （4则即函数x=x=x=1)(x )()x a f x -=+（或），则f 函数f(x)满足(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中①极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：x 对称若则<=>1) )(xf的图象关于直线a,(=0,);2)则则,极值点偏移解题步骤：的极值点；(F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+ ,F(x)=f(x)-f()=0,F(判断)与f( f(x),①求函数f(x)的极值点；②构造函数F(x)=f(x+)-f(确定F(x)单调性③判断F(x)符号从而确定f(x+),f(的大小关系;假设F(x)在(0,+单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+)>f(④1.（2016年全国I 高考）已知函数有两个零点. 设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.2. (2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe -x （x ∈R ）.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>当)是增函)2.因为21x >>22x -,123. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x a f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．解：（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x+-'=-+-=-（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.（ii ）若10,()0,a f x x a'>==则由得且当 所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. （II ）设函数11()()(),g x f x f x a a=+--则 当10,()0,(0)0,()0x g x g g x a'<<>=>而所以. 故当10x <<时，11()().f x f x +>- ………………8分4．已知函数 且5. 已知函数 =(a 若且求证:①②（已知函数 =(a ，其图象与轴交于A()B()两点且求证：）6. 已知函数 =(a 若f(x)有两个不同零点且求证：7. 已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且求证：-18. 已知函数=f(求证:①②9．已知函数=(a若f(x)有两个不同零点且=f(求证:11. (a若有两个不同零点且求证：12. =(a若求证：已知函数=(a①令g(x)②当a=2A(又导函数,满足证明①若;②若对都有f(x)求k范围;③若且f(证明：;15. 已知函数(a①②f(x)的极值点为若存在且求证:;16. 已知函数(a);存在两个极值点证明：与g(x)=3-在两个极值点，证明：；已知函数(a①有两个不同零点,①②若f(x)=lng(x)-a与y=m,(m图象有两个交点A、B,线段A、B中点为证明：;20. 已知函数图象的一条切线为x轴；①求a值；②令g(x)=若存在满足证明:21.已知函数F(x)与f(x)=lnx关于直线y=x对称；①若xf(x)对恒成立,求a最大值；②设f(x)在(1,)的实根，若在区间(1,)上, (a；g(x)=f(x)-(a-恰有两个不同的极值点证明已知函数；①②设函数若使得;已知函数①若使得对上f(x)恒成立求实数a的取值范围；②若g(x)=f(x)-ax-有两个不同零点求证：;25．已知函数①当时讨论y=f(x)在）上的单调性；②y=f(x)有两个不同零点且求证：。
极值点偏移极值点偏移定理
精心整理极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点X。
，方程f(x) 0的解分别为x1, x2，且a x1 x2 b，(1)若f(xj f(2x o X2)，则x^x2 ( )x o，即函数y f(x)在区间(X iX)上极(小)大值点x o右(左)偏；(2)若f(xj f(2x°X2)，则一x2 ( )x o，即函数y f(x)在区间(人％)上极(小)2大值点x o右(左)偏.证明：(1)因为对于可导函数y f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x o，则函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，x o)，单调递减(增)区间为(X o，b)，由于a X i X2 b，有X i X o，且2x o X2 X o，又 f (xj f(2x°x?)，故x((2)证明略.左快右慢(极值点左偏m Xi 2X2)左慢右快(极值点右偏m 左快右慢(极值点左偏m 笃生)左慢右快(极值点右偏m二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1)求出函数f (X)的极值点X o ；(2)构造一兀差函数 F (x) f (x o x) f (x o x)；(3)确定函数F(x)的单调性；()2x o X2，所以X i X22()X o，即函数极(小)大值点X o右(左)偏;X1x22X1x2(4)结合F(0) 0，判断F(x)的符号，从而确定f(x o x)、f(x o x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x i) f(X2), X o为函数f(x)的极值点，求证：X i X2 2x o .(1)讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x o ；假设此处f(x)在(，X o)上单调递减，在(x o,)上单调递增.(2)构造F(x) f (X o X) f (X o x)；注：此处根据题意需要还可以构造成F(x) f(x) f(2x o x)的形式.(3)通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f (X o X)与f (X o X)的大小关系；假设此处F(x)在(O,)上单调递增，那么我们便可得出F(x) F (X o) f (X o) f (X o) O，从而得到：X X o 时，f(X o x) f (X o x).(4)不妨设X i X o X2，通过f (x)的单调性，f (X i) f (X2)， f (X o x)与f (X o x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于X X o 时，f(X o x) f (X o x)且X i X o X2， f (x1) f (x2)，故f(X i) f(X2) f[X o (X2 X o)] f[x o (X2 X o)] f (2X o X2)，又因为X i X o，2X o X2 X o且f (X)在(，X o)上单调递减，从而得到X i 2X o X2，从而X i X2 2X o得证.(5)若要证明f'(卷X2) O，还需进一步讨论X2与X o的大小，得出凶X2所在的2 2 2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为X i X2 2X o，故Xi Xi X)，由于f (x)在(，X o)上单调递2减，故f'(Xi X2) O.2精心整理(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f (X o x)与f (X o x)(或f (x)与f (2x o x))的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x i x2 2X0或f'(「2) 0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该2小问分解为三问逐步解题•三、对点详析，利器显锋芒★已知函数 f (x) xe x(x R).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；⑵若X i X2，且f(X i) f(X2)，证明：X i X2 2.________________________________________________ /」I / y * _____________________________【解析】容易求得第⑴即/V)在(fl)上单调递増，在(1；皿)上单调递;丽刃刃的极值是f(r)=~.第(2)问：构造F(x) = /(I + x)- /(I-JC><1 + J-(1 -xX14,则尹(町匸珂屛-一」删当时，F(JC)>0. 在(Q2)上单调递增』又F(O) = G, A 即/XI十力皿―'.'JC J工耳,不妨设冯由<1)知列<1?冯=1,儿/佃〉=/5》=/[1十*—厲―—兮一严"\ ///.//[ ) •X2 1，二 2 X2 1 , f(x)在(,1)上单调递增，•••X i 2 X2，二X i X2 2.4 1 _★函数f(x) X4 -X3与直线y a(a -)交于A(x1,a)、B(x2,a)两点.3 3证明：X1 X2 2.【解析】设羽5,11数『3"—討的里调递誠区间为0」),里鱷増区间为(1.^0)，有花", 设F(x) =/(1 十劝一7X1 —血」尸(力=8G『一2x +1)>Q?故F(x)单调递增区间为又F(0)=b所決当尤,0时「F(QF(0T,即兀5寸，/(1+Jc)>y(i-Jt),f<^) =fg=y (可-D) > fa- X2)、乂兀<1, 2-耳cl ,又函数/(© =x4-^ 区间为(YQ”、所说巧c2—无：艮卩珂+在c2 一、F 2 …已知函数f(x) —Inx，若X i X2，且f(xj f(X2)，证明：X i X2 4 .x 1 . ：■■■■-'.【解析】由函数f (x) - In x单调性可知：若f(xj f(X2)，贝y必有X i 2 X2 ,。
极值点偏移极值点偏移定理
极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =;在区间),(b a 上只有一个极大小值点0x ;方程0)(=x f 的解分别为21,x x ;且b x x a <<<21;1若)2()(201x x f x f -<;则021)(2x x x ><+;即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极小大值点0x 右左偏；2若)2()(201x x f x f ->;则021)(2x x x <>+;即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极小大值点0x 右左偏. 证明：1因为对于可导函数)(x f y =;在区间),(b a 上只有一个极大小值点0x ;则函数)(x f 的单调递增减区间为),(0x a ;单调递减增区间为),(0b x ;由于b x x a <<<21;有01x x <;且0202x x x <-;又)2()(201x x f x f -<;故2012)(x x x -><;所以021)(2x x x ><+;即函数极小大值点0x 右左偏； 2证明略. 左快右慢极值点左偏221x x m +<⇔ 左慢右快极值点右偏221x x m +>⇔ 左快右慢极值点左偏221x x m +<⇔ 左慢右快极值点右偏221x x m +>⇔ 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：1求出函数)(x f 的极值点0x ；2构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；3确定函数)(x F 的单调性；4结合0)0(=F ;判断)(x F 的符号;从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴;构造函数觅行踪；四个步骤环相扣;两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =;0x 为函数)(x f 的极值点;求证：0212x x x <+. 1讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减;在),(0+∞x 上单调递增.2构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.3通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性;判断出)(x F 在某段区间上的正负;并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增;那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ;从而得到：0x x >时;)()(00x x f x x f ->+.4不妨设201x x x <<;通过)(x f 的单调性;)()(21x f x f =;)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况;由于0x x >时;)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<;)()(21x f x f =;故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==;又因为01x x <;0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减;从而得到2012x x x -<;从而0212x x x <+得证.5若要证明0)2('21<+x x f ;还需进一步讨论221x x +与0x 的大小;得出221x x +所在的单调区间;从而得出该处函数导数值的正负;从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+;故0212x x x <+;由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减;故0)2('21<+x x f . 说明1此类试题由于思路固定;所以通常情况下求导比较复杂;计算时须细心；2此类题目若试题难度较低;会分解为三问;前两问分别求)(x f 的单调性、极值点;证明)(0x x f +与)(0x x f -或)(x f 与)2(0x x f -的大小关系；若试题难度较大;则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论;让你给予证明;此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析;利器显锋芒★已知函数)()(R x xe x f x∈=-.1求函数)(x f 的单调区间和极值；2若21x x ≠;且)()(21x f x f =;证明：221>+x x .∵12>x ;∴122<-x ;)(x f 在)1,(-∞上单调递增;∴212x x ->;∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+;若1x ≠2x ;且)()(21x f x f =;证明：421>+x x . 解析由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =;则必有212x x <<;.. 所以241>-x ;而)4ln(42ln 2)4()(111111x x x x x f x f -+--+=--; 令)4ln(ln 422)(x x xx x h -++--=;则 所以函数)(x h 在)2,0(为减函数;所以0)2()(=>h x h ;所以0)4()(11>--x f x f 即)4()(11x f x f ->;所以)4()(22x f x f ->;所以421>+x x .★已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.设12,x x 是()f x 的两个零点;证明：122x x +<. 四、招式演练★已知函数()22x a g x e x =+;其中, 2.71828a R e ∈=为自然对数的底数;()f x 是()g x 的导函数. Ⅰ求()f x 的极值；Ⅱ若1a =-;证明：当12x x ≠;且()()12f x f x =时; 120x x +<.答案1 当0a ≥时; ()f x 无极值; 当0a <时; ()f x 有极小值()()()ln ln f a a a a -=-+-;2详见解析. 解析试题分析：Ⅰ求出函数的导数;解关于导函数的不等式;求出函数的单调区间;从而求出函数的极值即可； Ⅱ求出函数fx 的导数;设函数Fx=fx ﹣f ﹣x;求出函数的导数;根据函数的单调性证明即可．试题解析：Ⅰ()()x f x g x e ax ==+'的定义域为(),-∞+∞; ()x f x e a '=+ 当0a ≥时; ()0f x '>在(),x ∈-∞+∞时成立()f x ∴ 在(),-∞+∞上单调递增; ()f x 无极值.当0a <时; ()0xf x e a ='+=解得()ln x a =- 由()0f x '< 得()ln x a <-；由()0f x '> 得()ln x a >-所以()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减;在()()ln ,a -+∞上单调递增;故()f x 有极小值()()()ln ln f a a a a -=-+-.Ⅱ当1a =-时; ()x f x e x =-的定义域为(),-∞+∞; ()1x f x e '=-; 由()10xf x e ='-=;解得0x =.当x 变化时; ()f x '; ()f x 变化情况如下表： 00 + 单调递减 极小值 单调递增∵12x x ≠;且()()12f x f x =;则120x x <<不妨设12x x <★已知函数()2ln f x x ax =-;其中a R ∈ 1若函数()f x 有两个零点;求a 的取值范围；2若函数()f x 有极大值为12-;且方程()f x m =的两根为12,x x ;且12x x <;证明： 124x x a +>. 答案1102a e<<;2见解析. 1当0a ≤时; ()0f x '>函数()f x 在()0,+∞上单调递增;不可能有两个零点 2当0a >时; ()10,2f x x a='=0 - 极大值()f x 的极大值为1ln 2f =-;由1ln 02->得102a e <<； 因为()()22ln 0a a a a f e e ae a ae ----=-=--<;所以()f x 在a e -⎛ ⎝必存在一个零点； 显然当x →+∞时; ()0f x <;所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上必存在一个零点；。
(完整版)极值点偏移问题
(完整版)极值点偏移问题
判定方法
1极值点偏移的定义
对于函数yf(x)在区间(a,b)内只有一个极值点X.,方程f(x)0的解分别为 Xpx,且aXX ₂b.
(2)若空-x ₙ,则函数yf(x)在区间(x,x ₂)上极值点X ₀左偏,简称极值点X 。
2左偏：
(3)若XC,2贝u 函数yf(x)在区间(x,x ₂)上极值点X,右偏,简称极值点X 。
右偏。
2、极值点偏移的判定定理
证明:(1)因为可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x ₀. '。
(a,b)由于f(-^o.故匹。
(a,x),所以
222
公令(风。
即函数极大(小)值点X 。
右(左)偏。
判定定理2对于可导函数yf(x)，在区间(a ，b)上只有一个极大(小)值点沧，方程f(x)0的解分别为x[X,且aXX,b. (1) 若冬=x 。
则称函数yf(x)在区间(x, x ₂ )上极值点X ₐ偏移: 2。
相对极值点偏移定义及判定定理
相对极值点偏移定义及判定定理一、定义相对极值点偏移是指函数的相对极大点和相对极小点在函数图像上的位置相对于原点发生了偏移。
具体而言，对于函数f(x)，如果存在一个常数c，使得在相对极大点或相对极小点上，函数图像在x方向上整体移动c个单位，那么我们称该点发生了相对极值点偏移。
二、判定定理相对极值点偏移可以通过以下定理进行判定：定理1：设函数f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1, x2)内可导。
如果在x0处存在相对极大点或相对极小点，且f'(x0)≠0，则该点没有发生相对极值点偏移。
定理2：设函数f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1, x2)内可导。
如果在x0处存在相对极大点或相对极小点，且f'(x0)=0，则需要进一步判断。
若在x0的某个邻域内f'(x)>0且在另一个邻域内f'(x)<0，则该点发生了相对极大点偏移。
反之，若在x0的某个邻域内f'(x)<0且在另一个邻域内f'(x)>0，则该点发生了相对极小点偏移。
三、实例解析1. 函数f(x)=x^2在原点x=0处存在相对极小点，且f'(0)=0。
根据定理2，我们可以进一步判断其发生了相对极小点偏移。
2. 函数f(x)=sin(x)在x=π/2处存在相对极大点，且f'(π/2)=0。
根据定理2，我们可以进一步判断其发生了相对极大点偏移。
总结：通过定义和判定定理，我们可以判断一个函数的相对极值点是否发生了偏移。
这有助于我们更好地理解函数的性质和图像的变化。
以上是关于相对极值点偏移定义及判定定理的简要介绍。
极值点偏移的判定方法
极值点偏移的判定方法和运用策略一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且bx x a <<<21，（1）若0212x xx ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212x xx >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若0212x xx <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。
2、极值点偏移的判定定理判定定理 1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2('21>+x x f ，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。
证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又b x x a <<<21，有),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2021x a xx ∈+，所以21)(2x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
结论（2）证明略。
导数之极值点的偏移
导数之极值点的偏移基础内容讲解：一、极值点偏移的含义单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。
如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。
说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。
若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2210x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。
反之极值点偏移。
如果2210x x x ＋＜，则极值点左偏；如果2210xx x ＋＞，则极值点右偏。
二、极值点偏移的判定定理对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。
其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏；（2）若0221＞＋⎪⎭⎫⎝⎛'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极小值点右偏；三、极值点偏移的用处函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。
四、极值点偏移的用法例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
求证：2211ex x ＜变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。
求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足()()21x f x f ＝。
求证：()()021＜＋x f x f ''变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点()11y x A ，，()22y x B ，。
绝对极值点偏移定义及判定定理
绝对极值点偏移定义及判定定理
1. 定义
绝对极值点偏移是指函数的极值点在自变量改变一定范围内的情况下发生变化。
当函数的极值点在自变量改变一定范围内发生偏移时，我们称之为绝对极值点偏移。
2. 判定定理
若函数在区间[a, b]上连续且可导，并且在区间[a, b]的内部存在绝对极值点，则有以下判定定理：
- 若函数在区间[a, b]的边界点a和b处的导数同号（均大于零或均小于零），且在[a, b]的内部存在极值点，则极值点发生偏移。
- 若函数在区间[a, b]的边界点a和b处的导数异号（一个大于零一个小于零），且在[a, b]的内部存在极值点，则极值点不发生偏移。
3. 举例说明
设函数f(x)在区间[a, b]上连续且可导，并且在[a, b]的内部存在绝对极值点。
若在区间[a, b]的边界点a和b处的导数同号，且在[a, b]的内部存在极值点，那么根据判定定理，极值点会发生偏移。
举例来说，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5在区间[-2, 4]上的极值点。
该函数在边界点-2和4处的导数分别为-9和-15，均小于零。
在区间[-2, 4]的内部，函数存在一极小值点x = 1.88。
因此，根据判定定理，在区间[-2, 4]上，极值点1.88会发生偏移。
4. 总结
绝对极值点偏移是指函数的极值点在自变量改变一定范围内发生变化的现象。
根据判定定理，在一定的条件下可以判断极值点是否会发生偏移。
此定理有助于我们理解和研究函数的极值性质。
以上所述为绝对极值点偏移定义及判定定理的内容。
References:。
高中数学极值点偏移问题
极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组:赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f（x)=m)的解分别为且〈<b.则称函数f（x)在区间（a,b）上极值点偏移；（1）则称函数f(x）在区间（a,b）上极值点偏移；（2）则称函数f(x）在区间(a，b）上极值点偏移;二:极值点偏移的判定定理对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程的解分别为且〈<b。
（1）若则即函数f（x）在区间(a，b）上极大值点右偏；（即峰偏右)（2）若则即函数f(x）在区间上（a,b）极小值点左偏;（即谷偏左）（3）若则即函数f(x)在区间上（a，b）极大值点左偏;（即峰偏左）（4）若则即函数f(x)在区间上(a,b)极小值点右偏；（即谷偏右）x= x=y=mxy=f（x) x= x=拓展：1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2ba x +=对称;特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f （x ）=f （2a —x ）)，则)(x f 的图象关于直线a x =对称2） 若函数f （x ）满足有下列之一成立：①f （x ）在递增，在（a ，2a)递减，且f （a —x ）<（〉）f （a+x ）(f （x)〈(〉)f(2a—x ）)②f （x ）在(0，a ）递减,在(a ，2a)递增,且f （a-x)>（〈）f(x+a ）（f （x)〉(〈）f(2a—x)）则函数f （x ）在(0，2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称）(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏(或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右)； 性质：1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若则〈=>,(=0，）；2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则则，及极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x ）的极值点； ②构造函数F （x)=f （x+）—f( (F （x ）=f （）—f （, F （x ）=f(x+)-f（ , F （x ）=f(x ）-f （）确定F （x ）单调性 ③结合F(0)=0(F(-)=0，F （判断F （x)符号从而确定f （x+），f （( f （x+)与f （ f （x)与f （的大小关系；答题模式:已知函数y=f （x ）满足,为函数y=f （x ）的极值点,求证：①求函数f(x ）的极值点; ②构造函数F （x ）=f （x+）-f(确定F （x)单调性③判断F(x ）符号从而确定f(x+）,f （ 的大小关系;假设F （x)在(0,+单调递增则F(x)>F （0）=0，从而得到x 〉0时f(x+)>f （④1。
高中数学极值点偏移问题
极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移俗称峰谷偏问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间a,b上只有一个极大小值点x0,方程f(x)=0fx=m的解分别为x1,x2且a<x1<x0<x2<b.若x1+x22≠x0，,则称函数fx在区间a,b上极值点x0偏移；（1）x1+x22>x0,则称函数fx在区间a,b上极值点x0左偏移；（2）x1+x22<x0,则称函数fx在区间a,b上极值点x0右偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数y=f(x)在区间a,b上只有一个极大小值点x0,方程f(x)=0（f(x)=m)的解分别为x1,x2且a<x1<x2<b.（1）若f(x1)<f(2x0−x2)则x1+x22<x0即函数fx在区间a,b上极大值点x0右偏；即峰偏右（2）若f(x1)<f(2x0−x2)则x1+x22>x0即函数fx在区间上a,b极小值点x0左偏;即谷偏左（3）若f(x1)>f(2x0−x2)则x1+x22>x0即函数fx在区间上a,b极大值点x0左偏;即峰偏左（4）若f(x1)>f(2x0−x2)则x1+x22<x0即函数fx在区间上a,b极小值点x0右偏;即谷偏右y=fx1） 若)()(x b f x a f -=+,则)(x f 的图象关于直线2ba x +=对称；特别地,若)()(x a f x a f -=+或fx=f2a-x,则)(x f 的图象关于直线a x =对称2） 若函数fx 满足∀x ∈(0,a)有下列之一成立：①fx 在(0,a)递增,在a,2a 递减,且fa-x<>fa+xfx<>f2a-x ②fx 在0,a 递减,在a,2a 递增,且fa-x><fx+afx><f2a-x则函数fx 在0,2a 的图象关于直线x=a 偏移偏对称俗称峰谷偏函数其中① 极大值左偏或右偏也称峰偏左或右②极小值偏左或偏右也称谷偏左或右； 性质：1 )(x f 的图象关于直线a x =对称若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则 x 1+x 2=2a <=>f (x 1)=f(x 2),f ′(x 1)+f ′(x 2)=0,f ′(x 1+x 22)=0;2已知函数是满足条件的极大值左偏峰偏左若x 1,x 2∈(0,2a)x 1≠x 2则f (x 1)=f(x 2)则x 1+x 2>2a ,及f ′(x 1+x 22)<0极值点偏移解题步骤： ①求函数fx 的极值点x 0；②构造函数Fx=fx+x 0-f x 0−x) Fx=f x 0−x -f x 0+x), Fx=fx+2x 0-f −x) , Fx=fx-f 2x 0−x)确定Fx 单调性③结合F0=0F-x 0=0,F x 0)=0)判断Fx 符号从而确定fx+x 0,f x 0−x) fx+2x 0与f −x); fx 与f 2x 0−x)）的大小关系; 答题模式：已知函数y=fx 满足f (x 1)=f(x 2),x 0为函数y=fx 的极值点,求证：x 1+x 2<2x 0 ①求函数fx 的极值点x 0；②构造函数Fx=fx+x 0-f x 0−x) 确定Fx 单调性 ③判断Fx 符号从而确定fx+x 0,f x 0−x) 的大小关系;假设Fx 在0,+∞）上单调递增则Fx>F0=0,从而得到x>0时fx+x 0>f x 0−x) ④1.2016年全国I 高考已知函数有两个零点. 设x 1,x 2是的两个零点,证明：+x 2<2.2. 2010年高考天津卷理科21本小题满分14分已知函数fx=xe -xx ∈R.Ⅰ 求函数fx 的单调区间和极值；Ⅱ已知函数y=gx 的图象与函数y=fx 的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,fx>gx Ⅲ如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +> 证明：由题意可知gx=f2-x,得gx=2-x 2x e-令Fx=fx-gx,即2()(2)xx F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x ee --=--当x>1时,2x-2>0,从而2x-2e 10,0,F x e -->>又所以’x>0,从而函数Fx 在1,+∞是增函数;又F1=-1-1e e 0-=，所以x>1时，有Fx>F1=0,即fx>gx. Ⅲ证明：1若121212(1)(1)0,)), 1.x x x x x x --=I ===≠12由（）及f(x f(x 则与矛盾。
极值点偏移1-2---极值点偏移定理
极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2('21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题. 三、对点详析，利器显锋芒★已知函数)()(R x xe x f x∈=-.(1)求函数)(x f 的单调区间和极值；(2)若21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明：221>+x x .∵12>x ，∴122<-x ，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，∴212x x ->，∴221>+x x . ★函数3434)(x x x f -=与直线)31(->=a a y 交于),(1a x A 、),(2a x B 两点. 证明：221<+x x .★已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x . 【解析】由函数2()ln f x x x =+单调性可知：若)()(21x f x f =，则必有212x x <<，。
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极值点偏移定义及判定定理
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。
若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12(
,)2x x M b +1202
x x x +≠所示.
极值点没有偏移
一、极值点偏移判定方法
1、极值点偏移的定义
对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若
，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212
x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212
x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。
0x 2、极值点偏移的判定定理
判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点
)(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2
x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2
x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。
0x
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；
2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；
3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2
210x x x +=
，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f
三、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；
（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；
（3）确定函数)(x F 的单调性；
（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.
（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；
假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.
（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；
注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.
（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；
假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.
（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；
接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.
（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出2
21x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故
0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故02
(
'21<+x x f . 【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或02
(
'21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.。