高考一轮复习学案：追及与相遇问题

第5课时追及与相遇问题

基础知识归纳

1.追及和相遇问题

当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.

2.追及问题的两类情况

(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：

①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最小距离.

②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时避免碰撞的临界条件.

③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个极大值.

(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：

①当两者速度相等时有最大距离.

②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上.

3.相遇问题的常见情况

(1)同向运动的两物体追及即相遇.

(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.

重点难点突破

一、追及和相遇问题的常见情形

1.速度小者追速度大者常见的几种情况：

类型图象说明

匀加速追匀速①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大

②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx

③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小

④能追及且只能相遇一次

注：x0为开始时两物体间的距离

匀速追匀减速

匀加速追匀减速

2.速度大者追速度小者常见的情形：

类型图象说明

匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：

①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件

②若Δx

③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇

注：x0是开始时两物体间的距离

匀速追匀加速

匀减速追匀加速

二、追及、相遇问题的求解方法

分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：

方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离.

方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇.

方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积.

方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝

v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定.

三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题

1.解“追及”、“相遇”问题的思路

(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图.

(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.

(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程.

(4)联立方程求解.

2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点

(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：

“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.

“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益.

(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动.

(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件.

1.运动中的追及和相遇问题

【例1】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).

【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有

v甲t－

22

t

a甲＝v

乙

t＋L

其中t＝

甲乙

甲a v

v ，解得L＝25 m

若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇.

若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大.

若L<25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次.

【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解.

【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆( AC )