高考一轮复习学案：追及与相遇问题

第5课时追及与相遇问题基础知识归纳1.追及和相遇问题当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距会越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.2.追及问题的两类情况(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：①当两者速度相等时，若两者位移之差仍小于初始时的距离，则永远追不上，此时两者间有最小距离.②若两者位移之差等于初始时的距离，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者相遇时避免碰撞的临界条件.③若两者位移之差等于初始时的距离时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个极大值.(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：①当两者速度相等时有最大距离.②若两者位移之差等于初始时的距离时，则追上.3.相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即相遇.(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.重点难点突破一、追及和相遇问题的常见情形1.速度小者追速度大者常见的几种情况：类型图象说明匀加速追匀速①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t＝t0时，两物体相距最远为x0＋Δx③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小④能追及且只能相遇一次注：x0为开始时两物体间的距离匀速追匀减速匀加速追匀减速2.速度大者追速度小者常见的情形：类型图象说明匀减速追匀速开始追及时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：①若Δx＝x0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δx<x0，则不能追及，此时两物体间最小距离为x0－Δx③若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇注：x0是开始时两物体间的距离匀速追匀加速匀减速追匀加速二、追及、相遇问题的求解方法分析追及与相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离.方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t)，若对任何t，均存在y＝f(t)>0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得y＝f(t)≤0，则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇.方法3：利用图象求解.若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积.方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定.三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题1.解“追及”、“相遇”问题的思路(1)根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图.(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程.(4)联立方程求解.2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点(1)分析“追及”、“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口.因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益.(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上该物体前是否停止运动.(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件.1.运动中的追及和相遇问题【例1】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s，加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).【解析】设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追上乙车时，应有v甲t－22ta甲＝v乙t＋L其中t＝甲乙甲a vv ，解得L＝25 m若L>25 m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，即两车不相遇.若L＝25 m，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大.若L<25m，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次.【思维提升】对于追及和相遇问题的处理，要通过两质点的速度进行比较分析，找到隐含条件(即速度相同时，两质点间距离最大或最小)，再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解.【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上另一辆( AC )【解析】由v-t 图象的特点可知，图线与t 轴所围成面积的大小，即为物体位移的大小.观察4个图象，只有A 、C 选项中，a 、b 所围面积的大小有相等的时刻，故A 、C 正确.2.追及、相遇问题的求解【例2】在水平轨道上有两列火车A 和B 相距s ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0应满足什么条件？【解析】解法一：(物理分析法)A 、B 车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解.对A 车有s A ＝v 0t ＋21×(－2a )×t 2 v A ＝v 0＋(－2a )×t对B 车有s B ＝21at 2，v B ＝at 两车有s ＝s A －s B追上时，两车不相撞的临界条件是v A ＝v B联立以上各式解得v 0＝as 6故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤as 6解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知s A ＝s ＋s B ，即v 0t ＋21×(－2a )×t 2＝s ＋21at 2 整理得3at 2－2v 0t ＋2s ＝0这是一个关于时间t 的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v 0)2－4×3a ×2s <0时，t 无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤as 6解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解，先作A 、B 两车的速度—时间图象，其图象如图所示，设经过t 时间两车刚好不相撞，则对A 车有v A ＝v ＝v 0－2at对B 车有v B ＝v ＝at以上两式联立解得t ＝av 30经t 时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离s ，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知s ＝21v 0•t ＝21v 0•a v a v v 63212000=• 所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤as 6【思维提升】三种解法中，解法一注重对运动过程的分析，抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程，然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来，也可以将位移情况显示，从而快速解答.【拓展2】从地面上以初速度2v 0竖直上抛物体A ，相隔Δt 时间后再以初速度v 0竖直上抛物体B .要使A 、B 在空中相遇，Δt 应满足什么条件？【解析】A 、B 两物体都做竖直上抛运动，由s ＝v 0t －21gt 2作出它们的s-t 图象，如图所示.显然，两图线的交点表示A 、B 相遇(s A ＝s B ).由图象可看出Δt 满足关系式gv t g v 004＜＜2∆时，A 、B 在空中相遇. 3.分析追及、相遇问题的思路【例3】现检测汽车A 的制动性能：以标准速度20 m/s 在平直公路上行驶时，制动后40 s 停下来.若A 在平直公路上以20 m/s 的速度行驶时发现前方180 m 处有一货车B 以6 m/s 的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？【错解】设汽车A 制动后40 s 的位移为x 1，货车B 在这段时间内的位移为x 2.据a ＝tv v 0-得车的加速度a ＝－0.5 m/s 2 又x 1＝v 0t ＋21at 2得 x 1＝20×40 m ＋21×(－0.5)×402 m ＝400 m x 2＝v 2t ＝6×40 m ＝240 m两车位移差为400 m －240 m ＝160 m因为两车刚开始相距180 m>160 m所以两车不相撞.【错因】这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车A 与货车B 同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解.【正解】如图，汽车A 以v 0＝20 m/s 的初速度做匀减速直线运动经40 s 停下来.据加速度公式可求出a ＝－0.5 m/s 2.当A 车减为与B 车同速时，是A 车逼近B 车距离最多的时刻，这时若能超过B 车则相撞，反之则不能相撞.据v 2－20v ＝2ax 可求出A 车减为与B 车同速时的位移x 1＝5.023********⨯-=-a v v m ＝364 m 此时间t 内B 车的位移为x 2，则t ＝5.06200-=-a v v s ＝28 s x 2＝v 2t ＝6×28 m ＝168 mΔx ＝364 m －168 m ＝196 m>180 m所以两车相撞. 【思维提升】分析追及问题应把两物体的位置关系图(如解析中图)画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解，如图所示，阴影区是A 车比B 车多通过的最大距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出A 车速度成为零时，不是A 车比B 车多走距离最大的时刻，因此不能作为临界条件分析.。