2020合肥三模文科数学 答案

合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)

参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.22e 14.480 15.4 16.①②④

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间[)90 110，

内的天数为 77113020302300600100600⎡⎤

⎛⎫-+++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

天，

空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，

∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为1114

13015

P +=-

=. ………………………6分 (2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有771203027300600100⎡⎤

⎛⎫++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

(天)， ∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分

18.(本小题满分12分)

解：(1)∵四边形11A ACC 是菱形，∴AC ∥11A C . 又∵AC ⊂平面ABC ，11AC ⊄平面ABC ，∴11A C ∥平面ABC . 同理得，11B C ∥平面ABC .

∵11A C ，11B C ⊂平面111A B C ，且11A C 111B C C =， ∴平面ABC ∥平面111A B C . 又∵11A B ⊂平面111A B C ，

∴11A B ∥平面ABC . ………………………………5分 (2)∵AC ∥11A C ，11B C ∥BC ，∴11160AC B ACB ∠=∠=. ∵112AC AC ==，1122B C BC ==， ∴111133122A B C S ∆=⨯⨯=

在菱形11A ACC 中，∵1

13AC =， ∴160ACC ∠=，11

3

2223A ACC S

=⨯=. ∵平面ABC ⊥平面1ACC ，取AC 的中点为M ，连接1BM C M ，，

∴BM ⊥平面1ACC ，1C M ⊥平面ABC . 由(1)知，平面ABC ∥平面111A B C ， ∴点B 到平面111A B C 的距离为13C M =又∵点B 到平面11A ACC 的距离为3BM =1BC ， 则111

1

1

135

23332B A B C B A ACC V V V --=+=⨯⎝. ………………………………12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

C

B

B

D

C

B

A

D

C

A

D

—

19.(本小题满分12分)

解：(1)由已知得24282k k πϕππωϕππϕ⎧

=-⎪⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪

<⎪⎩

(k Z ∈)，解得24ωπϕ=⎧⎪

⎨=-⎪⎩，

∴(

)24f x x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭. ……………………………6分

(2)由题意得，(

)4g x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭.

∵[]0x π∈，，∴5

444x πππ⎡⎤

+∈⎢⎥⎣⎦

，，

∴sin 14x π⎡⎤⎛

⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝

⎭

⎣

⎦

， ∴()g x

的值域为1⎡-⎣. ……………………………12分

20.(本小题满分12分)

解：设点()00P x y ，，()11A x y ，，()22B x y ，. (1)∵直线l 经过坐标原点，∴2121x x y y =-=-，.

∵022014x y +=，∴022

014

x y =-. 同理得，122114

x

y =-.

∴0011010101

01

22

2222

01012222

22

010*********PA PB

x x x x y y y y y y k k x x x x x x x x x x ⎛⎫

⎛⎫

----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⋅=⋅====--+---， ∴直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值. ……………………………6分

(2)设线段AB 的中点为()Q x y ，，则2.OA OB OQ += ∵0OA OB OP ++=，∴2OP OQ =-，则00

22x x

y y =-⎧⎨

=-⎩.

将0022x x y y

=-⎧⎨=-⎩代入02

2014x y +=得，2241x y +=，

∴线段AB 的中点Q 的轨迹方程为2241x y +=.

同理，线段AP 和线段BP 中点的轨迹方程也为2241x y +=.

∴ABP ∆三边的中点在同一个椭圆2241x y +=上. ……………………………12分

21.(本小题满分12分)

解：(1)()x x F x e e a -'=+-.

当2a ≤时，()20x x F x e e a a -'=+-≥-≥恒成立，()F x 在R 上单调递增. 当2a >时，由()0F x '=

得，x e =

x =. ∴()F x

在 ⎛ -∞ ⎝⎭，

和 ⎛⎫ ⎪+∞ ⎪⎝⎭

上单调递增，