2018沪科版数学九年级下册246《正多边形和圆》练习题2

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(安徽专版)2018年秋九年级数学下册 24.6 正多边形与圆习题 (新版)沪科版

24.6 正多边形与圆第1课时正多边形与圆01 基础题知识点1 正多边形的概念 1．下列叙述正确的是（B ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形C ．各角相等的多边形是正多边形D ．轴对称图形是正多边形2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（B ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正七边形D ．正八边形3．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（A ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（D ）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C .AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是45度．6．若正多边形的一个内角等于140°，则该正多边形的边数是9．7．如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA.求证：五边形ABCDE 是正五边形．证明：∵AB＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ， ∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵.∴ABD ︵＝BCE ︵＝CDA ︵＝DEB ︵＝EAC ︵.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.∴五边形ABCDE 是正五边形．8．如图，AD ，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．（不必说明理由）解：本题答案不唯一，如： ①△ADE 是直角三角形；②AD 是正六边形外接圆的直径； ③AD ∥BC 等．知识点2 等分圆周画正多边形9．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB 的度数近似于（C ）A ．11°B ．17°C ．21°D ．25°10．画一个半径为2 cm 的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星．解：画法：（1）以O 为圆心，OA ＝2 cm 为半径画圆；（2）以O 点为顶点，以OA 为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B ，C ，D ，E ；（3）分别连接AB ，BC ，CD ，DE ，EA.则五边形ABCDE 就是所要画的正五边形（如图1）；（4）依次连接AC ，AD ，BD ，BE ，CE.就画出了所要作的对角线和要求的五角星（如图2）．02 中档题11．如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，则∠ACB 等于（C ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°12．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列关系成立的是（C ）A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1<S 2<S 3D ．S 2>S 3>S 113．如图，已知⊙O 内接等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC，∠ACB ，BE ＝BC.求证：五边形AEBCD 是正五边形．证明：∵AB＝AC ，∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝72°.∵BD ，CE 平分∠ABC，∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴AE ︵＝BE ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵.∴AE ＝BE ＝BC ＝CD ＝AD ，∠AEB ＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P.（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN 的度数．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN. 在△ABM 和△BCN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）．（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN. ∵∠APN ＝∠ABP＋∠BAM，∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC.∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝3×180°5＝108°.∴∠APN ＝108°.03 链接中考15．如图1，2，3，正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN 的度数；（写出解题过程）（2）写出图2中∠APN 的度数和图3中∠APN 的度数；（3）试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系．（直接写答案）解：（1）∵∠APN＝∠ABP＋∠BAP，又∵点M ，N 以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴BM ︵＝CN ︵.∴∠BAM ＝∠CBN.∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°. （2）图2中∠APN 的度数为90°；图3中∠APN 的度数为108°. （3）∠APN＝（n －2）·180°n.第2课时正多边形的性质01 基础题知识点1 正多边形的性质与计算1．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（B ）A . 3B ．2C ．3D ．2 32．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（A ）A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C ．a ＝2r tan 36°D ．r ＝R cos 36°第2题图第4题图3. （2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A ）A . 2B ．2 2C .22D ．14．如图，AD ，BE ，CF 是正六边形ABCDEF 的对角线，则图中平行四边形的个数有（C ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（C ）A ．3 3B ．3 6C .323D .326 6．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为54°．第6题图第7题图7．如图，⊙O 的内接正三角形ABC 的边心距OD 为2 cm ，则⊙O 的半径为4cm .8 9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O 与半圆P 的半径的比为2∶1．10．（教材P 51例题变式）求边长为20 cm 的正六边形的面积与此正六边形内切圆周长和外接圆面积．解：如图，易知∠AOB＝360°6＝60°，∴∠DOB ＝30°. 又∵边长为20 cm ， ∴DB ＝10 cm .在Rt △OBD 中，可求得OD ＝10 3 cm ，OB ＝20 cm .∴S 正六边形＝6S △OAB ＝6×12×20×10 3＝6003（cm 2）．正六边形内切圆周长为2π·OD ＝203π cm .正六边形外接圆面积为πOB 2＝400π cm 2.知识点2 正多边形的对称性11．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（C ）A ．216°B ．144°C ．120°D ．72° 12．正二十边形的对称轴有20条．02 中档题 13．（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为（A ）A .22B .32C . 2D . 314．如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为（C ）A ．2 3B ．4C .13D .1115．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白＝（C ）A ．3B ．4C ．5D ．6第15题图第16题图16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM ＝48°．17．如图，已知⊙O 的两直径AB ，CD 互相垂直，弦MN 垂直平分OB ，交OB 于点E.求证：MB 与MC 分别为⊙O 的内接正六边形和正十二边形的边长．证明：连接OM. ∵MN 垂直平分OB ， ∴MN ⊥OB ，OE ＝12OB ＝12OM ，∴∠EMO ＝30°.∴∠MOB ＝60°.∴∠MOC ＝30°.∵∠MOB ＝360°6＝60°，∠MOC ＝360°12＝30°，∴MB ，MC 分别是⊙O 内接正六边形和正十二边形的边长．18．如图，正五边形ABCDE 的对角线AC ，BE 相交于点M.（1）求证：四边形CDEM 是菱形；（2）设ME 2＝BE·BM，若AB ＝4，求BE 的长．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠D ＝∠DCB＝108°，∠ACB ＝36°， ∴∠DCA ＝72°.∴∠D ＋∠DCA＝180°. ∴DE∥AC.同理可证DC∥BE.∴四边形DEMC 为平行四边形．又∵DE＝DC ，∴四边形CDEM 是菱形．（2）∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠AEB ＝36°，∠EAM ＝72°. 同理可得∠BAC＝∠ABE＝36°. ∴△ABE ∽△MAB. ∴AB MA ＝BE AB. ∴AB 2＝BE·BM.∵ME 2＝BE·BM，∴ME ＝AB ＝4，BM ＝BE －4. ∴BE （BE －4）＝16.解得BE ＝2＋25或2－25（舍去），即BE 的长为2＋2 5.03 链接中考19．图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O 处．（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比．（直接写出答案）解：（1）连接OA ，OB ，过点O 作OM⊥AB，垂足为M. ∵点O 是正方形ABCD 外接圆圆心， ∴OA ＝OB.∵四边形ABCD 为正方形，∴OM ＝12AB.∴S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∵∠AOB ＝90°，∠AOF ＋∠A′OB＝∠A ′OB ＋∠BOE＝90°， ∴∠AOF ＝∠BOE.又∵∠OAF＝∠OBE＝45°， ∴△AOF ≌△BOE （ASA ）． ∴S △AOF ＝S △BOE .∴S 重叠＝S △BOF ＋S △BOE ＝S △BOF ＋S △AOF ＝S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∴S 阴影＝34S 正方形ABCD.∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.（2）1∶2.本文档仅供文库使用。

沪科版数学九年级下册(同步练习)24.6《正多边形与圆》

《正多边形与圆》同步练习1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）A.10B.8C.6D.52.圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A.12B.6C.12 D63.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A. B.2 C. D.34.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）A.8cmB.4cmC.8cmD.4cm5.正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）A. B. C. D.6.正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）A.4B.6C.7D.87.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）A.3B.2C.3D.68.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A. B. C. D.答案和解析◆一、基础检测◆二、拓展提升一、基础检测1.考点：正多边形和圆。

分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可。

解答：解：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10。

故选A。

点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键。

2.考点：正多边形和圆。

分析：根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可。

解答：解：∵圆内接正六边形的周长为24，∴圆内接正六边形的边长为4，∴圆的半径为4，如图，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=4×=2，∴BC=2BD=4；∴该圆的内接正三角形的周长为12，故选A。

点评：本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键。

(安徽专版)秋九年级数学下册 24.6 正多边形与圆习题 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中九年级下

24.6 正多边形与圆第1课时正多边形与圆01基础题知识点1 正多边形的概念 1．下列叙述正确的是（B ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形C ．各角相等的多边形是正多边形D ．轴对称图形是正多边形2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（B ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正七边形D ．正八边形3．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（A ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（D ）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C .AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是45度．6．若正多边形的一个内角等于140°，则该正多边形的边数是9．7．如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA.求证：五边形ABCDE 是正五边形．证明：∵AB＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ， ∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵.∴ABD ︵＝BCE ︵＝CDA ︵＝DEB ︵＝EAC ︵.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E. ∴五边形ABCDE 是正五边形．8．如图，AD ，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．（不必说明理由）解：本题答案不唯一，如： ①△ADE 是直角三角形； ②AD 是正六边形外接圆的直径； ③AD ∥BC 等．知识点2等分圆周画正多边形9．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB 的度数近似于（C ）A ．11°B ．17°C ．21°D ．25°10．画一个半径为2 cm 的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星．解：画法：（1）以O为圆心，OA＝2 cm为半径画圆；（2）以O点为顶点，以OA为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B，C，D，E；（3）分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则五边形ABCDE就是所要画的正五边形（如图1）；（4）依次连接AC，AD，BD，BE，CE.就画出了所要作的对角线和要求的五角星（如图2）．02中档题11．如图，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，则∠ACB等于（C）A．60°B．45°C．30°D°12．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（C）A．S1＝S2＝S3B．S1>S2>S3C．S1<S2<S3D．S2>S3>S113．如图，已知⊙O内接等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求证：五边形AEBCD是正五边形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BD，CE平分∠ABC，∠ACB，∴∠BAC ＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴AE ︵＝BE ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵. ∴AE ＝BE ＝BC ＝CD ＝AD ，∠AEB ＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝，AM 交BN 于点P.（1）求证：△ABM≌△B；（2）求∠APN 的度数．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠B. 在△ABM 和△B 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠B，BM ＝，∴△ABM ≌△B （SAS ）．（2）∵△ABM≌△B，∴∠BAM ＝∠CBN. ∵∠APN ＝∠ABP＋∠BAM， ∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC.∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝3×180°5＝108°.∴∠APN ＝108°.03中考15．如图1，2，3，正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN 的度数；（写出解题过程）（2）写出图2中∠APN 的度数和图3中∠APN 的度数；（3）试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系．（直接写答案）解：（1）∵∠APN＝∠ABP＋∠BAP，又∵点M ，N 以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴BM ︵＝︵. ∴∠BAM ＝∠CBN.∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°. （2）图2中∠APN 的度数为90°；图3中∠APN 的度数为108°. （3）∠APN＝（n －2）·180°n.第2课时正多边形的性质01基础题知识点1正多边形的性质与计算1．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（B ）A .3B ．2C ．3D ．2 32．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（A ）A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°第2题图第4题图3.（2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A）A.2B．2 2C.22D．14．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，则图中平行四边形的个数有（C）A．2个B．4个C．6个D．8个5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（C）A．33B．3 6C.323D.3266．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°．第6题图第7题图7．如图，⊙O的内接正三角形ABC的边心距OD为2 cm，则⊙O的半径为4cm. 8．（2018·呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为2∶1．9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为2∶1．10．（教材P 51例题变式）求边长为20 cm 的正六边形的面积与此正六边形内切圆周长和外接圆面积．解：如图，易知∠AOB＝360°6＝60°，∴∠DOB ＝30°. 又∵边长为20 cm ， ∴DB ＝10 cm .在Rt △OBD 中，可求得OD ＝103cm ，OB ＝20 cm . ∴S 正六边形＝6S △OAB ＝6×12×20×10 3＝6003（cm 2）．正六边形内切圆周长为2π·OD ＝203πcm . 正六边形外接圆面积为πOB 2＝400πcm 2.知识点2正多边形的对称性11．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（C ）A ．216°B ．144°C ．120°D ．72°12．正二十边形的对称轴有20条．02中档题13．（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为（A ）A .22B .32C .2D . 314．如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为（C ）A ．2 3B ．4C .13D .1115．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白＝（C ）A ．3B ．4C ．5D ．6第15题图第16题图16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM ＝48°．17．如图，已知⊙O 的两直径AB ，CD 互相垂直，弦MN 垂直平分OB ，交OB 于点E.求证：MB 与MC 分别为⊙O 的内接正六边形和正十二边形的边长．证明：连接OM. ∵MN 垂直平分OB ， ∴MN ⊥OB ，OE ＝12OB ＝12OM ，∴∠EMO ＝30°.∴∠MOB ＝60°.∴∠MOC ＝30°.∵∠MOB ＝360°6＝60°，∠MOC ＝360°12＝30°，∴MB ，MC 分别是⊙O 内接正六边形和正十二边形的边长．18．如图，正五边形ABCDE 的对角线AC ，BE 相交于点M.（1）求证：四边形CDEM 是菱形；（2）设ME 2＝BE·BM，若AB ＝4，求BE 的长．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠D ＝∠DCB＝108°，∠ACB ＝36°， ∴∠DCA ＝72°. ∴∠D ＋∠DCA＝180°. ∴DE∥AC. 同理可证DC∥BE.∴四边形DEMC 为平行四边形．又∵DE＝DC ，∴四边形CDEM 是菱形．（2）∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠AEB ＝36°，∠EAM ＝72°. 同理可得∠BAC＝∠ABE＝36°. ∴△ABE ∽△MAB.∴AB MA ＝BE AB . ∴AB 2＝BE·BM. ∵ME 2＝BE·BM，∴ME ＝AB ＝4，BM ＝BE －4. ∴BE （BE －4）＝16.解得BE ＝2＋25或2－25（舍去），即BE 的长为2＋2 5. 03中考19．图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O 处．（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比．（直接写出答案）解：（1）连接OA ，OB ，过点O 作OM⊥AB，垂足为M. ∵点O 是正方形ABCD 外接圆圆心， ∴OA ＝OB.∵四边形ABCD 为正方形，∴OM ＝12AB.∴S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∵∠AOB ＝90°，∠AOF ＋∠A′OB＝∠A ′OB ＋∠BOE＝90°， ∴∠AOF ＝∠BOE.word11 / 11 又∵∠OAF＝∠OBE＝45°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ）．∴S △AOF ＝S △BOE .∴S 重叠＝S △BOF ＋S △BOE ＝S △BOF ＋S △AOF ＝S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∴S 阴影＝34S 正方形ABCD. ∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.（2）1∶2.。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

沪教版九年级数学下册《27.6正多边形与圆》同步练习题-带答案

沪教版九年级数学下册《27.6正多边形与圆》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列作图属于尺规作图的是（） A ．利用三角板画45︒的角B ．用直尺画一条线段5AB cm =C ．用直尺和三角板画平行线D ．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段2．正十边形的中心角的度数为（）A ．30︒B ．36︒C ．45︒D ．60︒ 3．一个正多边形的中心角为45︒，这个正多边形的边数是（）A ．3B ．5C ．8D ．10 4．已知圆内接正六边形的半径为23 则该内接正六边形的边心距为（）A ．3B ．23C ．3D ．325．已知一个扇形的面积是240π，弧长是20π，则这个扇形的半径为（）A ．22B ．22πC ．24D ．24π6．已知一个扇形的圆心角为100︒，半径是6，则这个扇形的面积是（）A ．15πB ．10πC ．5πD ．2.5π7．若圆锥的底面圆半径是5，圆锥的侧面展开图是一个半径为35扇形，则此扇形的圆心角为（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，AC=2，40ODC ∠=︒则在扇形OCD 中，弧CD 长是（）9．如图，边长为1的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O 点所经过的路径长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．如图所示，已知正方形2ABCD AB =，，分别以线段AB BC ，为直径作半圆，则图形中空白部分①与①的面积之差是（）．A ．4π-B ．24π-C ．22π-D ．2π-二、填空题如图，ABC 是O 的内接三角形分的面积为．（结果保留π）．15．如图，在ABC 中4BC BA ==，30C ∠=︒以AB 中点D 为圆心、AD 长为半径作半圆交线段AC 于点E ，则图中阴影部分的面积为．三、解答题16．如图，已知长方形ABCD 的宽6AB =，以B 为圆心，AB 长为半径画弧与边BC 交于点E ，连接DE ，若CE x =.(计算结果保留π)(1)用含x 的代数式表示图中阴影部分的面积；(2)当4x =时，求图中阴影部分的面积．17．铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在40︒角的扇形区域内（以投掷圈的中心为圆心），这一区域为危险区域．如果运动员最多可投7m ，那么这一比赛的危险区域的面积至少应是多少？（结果精确到20.1m ）18．如图，圆形铁皮O 的半径为22m ，从中剪出一个圆心角90BAC ∠=︒的扇形BAC ，点,,A B C 都在O 上．(1)求扇形BAC 的面积；(2)将这个扇形围成一个圆锥，直接写出圆锥的底面半径和高．参考答案：。

沪科版数学九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)24.6正多边形与圆

24.6 正多边形与圆一．选择题（共20小题）1．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4 2．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1 B．C．D．2 4．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°6．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2 7．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．9．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5 11．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．2 12．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．（2017•日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等14．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．15．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2C．D．1 16．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．17．（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形18．（2016•曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个19．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2D．4 20．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2二．填空题（共20小题）21．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为．22．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．23．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．24．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝度．25．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝．26．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．27．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．28．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．29．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．30．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．31．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．32．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝．33．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．34．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．35．（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为．36．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．37．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．38．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．39．（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．三．解答题（共2小题）41．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．42．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．24.6 正多边形与圆参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝．∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝2，∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选D．2．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选A．3．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1 B．C．D．2解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝AC＝，∴GB＝1，AB＝2，即边长为2．故选D．4．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选C．5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选B．6．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选C．7．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选B．8．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．解：如图（1），O为△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，∴∠BAD＝30°，又∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAD＝30°，∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，在Rt△OBD中，BO＝2DO，即AO＝2DO，∴OD：OA：AD＝1：2：3．在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．∵正三角形ABC面积为cm2，∴BC•AD＝，∴×2x•x＝，∴x＝1．即BD＝1，则AD＝，∵OD：OA：AD＝1：2：3，∴AO＝cm．即这个圆的半径为cm．所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，故选B．9．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵五方形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣＝108°，∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∴∠ACD＝108°﹣36°＝72°，同理得∠ADE＝36°，∵∠BAE＝108°，AB＝AE，∴∠ABE＝36°，∴∠CBF＝108°﹣36°＝72°，∴BC＝FC，∵BC＝CD，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝＝54°，∴∠FDG＝∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE＝108°﹣54°﹣36°＝18°；所以①正确；②∵∠ABE＝∠ACB＝36°，∠BAC＝∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∵BC＝ED，BF＝EG，∴，∴AB•ED＝AC•EG，∵AB＝ED＝2，AC＝BE＝BG+EF﹣FG＝2AB﹣FG＝4﹣FG，EG＝BG﹣FG＝2﹣FG，∴22＝（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG＝3+＞2（舍），FG＝3﹣；所以②正确；③如图1，∵∠EBC＝72°，∠BCD＝108°，∴∠EBC+∠BCD＝180°，∴EF∥CD，∵EF＝CD＝2，∴四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，∵DG＝DE，∴EM＝MG＝EG＝（EF﹣FG）＝（2﹣3+）＝，由勾股定理得DM＝＝＝，∴（S四边形CDEF）2＝EF2•DM2＝4×＝10+2；所以③不正确；④如图2，连接EC，∵EF＝ED，∴▱CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC＝BE＝4﹣FG＝4﹣（3﹣）＝1+，∴S四边形CDEF＝FD•EC＝2×，×FD×（1+）＝，FD2＝10﹣2，∴DF2﹣DG2＝10﹣2﹣4＝6﹣2，所以④不正确；本题正确的有两个，故选B．10．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，故选C．11．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．2解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故选B．12．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A．13．（2017•日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等解：如图∠AOB＝＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA，∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC 与△ADE全等，D错误；故选A．14．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，则该三角形的三边分别为1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是×1×＝．故选A．15．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2C．D．1解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝OA＝．故选A．16．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．解：如图1，∵OC＝1，∴OD＝1×sin30°＝；如图2，∵OB＝1，∴OE＝1×sin45°＝；如图3，∵OA＝1，∴OD＝1×cos30°＝，则该三角形的三边分别为，，，∵（）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是××＝，故选D．17．（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，则OC＝，OA＝OB＝2，在直角△AOC中，cos∠AOC＝＝，∴∠AOC＝30°，∴∠AOB＝60°，则正多边形边数是＝6．故选B．18．（2016•曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选C．19．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2D．4解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．20．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选B．二．填空题（共20小题）21．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6．解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．22．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，∵OE⊥BC，∴OE＝BE＝，即a＝5．故答案为5．23．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为144．24．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝15度．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为15．25．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝15．解：连接BO，∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案为15．26．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．解：∵AF是⊙O的直径，∴＝，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴＝，∠BAE＝108°，∴＝，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故答案为54．27．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为．28．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21．解：图2中的图案外轮廓周长是8﹣2+2+8﹣2＝14；设∠BPC＝2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为＝，以∠APB为内角的正多边形的边数为，∴图案外轮廓周长是＝﹣2+﹣2+﹣2＝+﹣6，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是＝+﹣6＝21，故答案为14，21．29．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为8cm．解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为cm，即PM＝7cm，∴S△MPN＝cm2，∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG＝PM＝cm，OG＝PM＝，在Rt△OPG中，根据勾股定理得OP＝＝7cm，设OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH＝x，OH＝x，∴PH＝（5﹣x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2＝（x）2+（5﹣x）2＝49，解得x＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为830．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72度．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故答案为72．31．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°，故答案为72°．32．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝12+4．解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A＝＝120°，AF＝AB，∴∠AFB＝∠ABF＝（180°﹣120°）＝30°，∴△AFB边BF上的高AM＝AF＝（6+4）＝3+2，FM＝BM＝AM＝3+6，∴BF＝3+6+3+6＝12+6，设△AFB的内切圆的半径为r，∵S △AFB＝++，∴×（12+6）×（3+2）＝×r+×r+×（12+6）×r，解得r＝3，即O1M＝r＝3，∴O1O2＝2×3+6+4＝12+4，故答案为12+4．33．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为：1．解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC＝90°，∵OQ⊥BC，OB＝CO，∴QC＝BQ，∠COQ＝∠BOQ＝45°，∴OQ＝OC×cos45°＝R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF＝∠EGF＝30°，∴OH＝OG×sin30°＝R，∴OQ：OH＝（R）：（R）＝：1，故答案为：1．34．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，故答案为48°．35．（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为（﹣1，﹣）．解：根据图形得D（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）36．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为3．解：连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM＝＝30°，∴OM＝OB•cos∠BOM＝6×＝3；故答案为3．37．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，∴＝＝•πAB＝π，∴C阴影＝++BC＝π+1．故答案为π+1．38．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴＝cos30°＝，∴λ6＝，故答案为．39．（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是8+8．解：由题意可得，AD＝2+×2＝2+2，∴四边形ABCD的周长是4×（2+2）＝8+8，故答案为8+8．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：．解：由题意可得，正三角形的边心距是2×sin30°＝2×＝1，正四边形的边心距是2×sin45°＝2×，正六边形的边心距是2×sin60°＝2×，∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：，故答案为1：：．三．解答题（共2小题）41．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝30°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠BAF＝＝108°，∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，故答案为30；（2）作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6，∴GC＝BC﹣BG＝9.6．42．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．证明：∵正五边形ABCDE中，∴AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC．。

沪科版初中数学九年级下册专题练习24.6 正多边形与圆

24.6 正多边形与圆一．选择题（共14小题）1．正六边形的外接圆的半径为2，则它的内切圆的半径为（）A． B． C．2 D．12．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）（第2题图）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC=30°3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A． B．2 C．3 D．24．如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为（）（第4题图）A．6a B．5a C．2aπ D．5．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（）A．6a B．4a C．2a D．6．正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C．1：2 D．：27．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）（第7题图）A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣28．如图，MN是⊙O的直径，∠A=20°，∠PMQ=50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）（第8题图）A．正七边形 B．正八边形C．正六边形D．正十边形9．半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（）A．1： B．： C．3：2 D．1：210．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系正确的是（）（第10题图）A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a411．中心角为60°的正多边形的边数是（）A．3 B．6 C．8 D．1212．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）（第12题图）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．D．∠BAC=30°13．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2 B． C．1 D．14．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE的长为（）（第14题图）A． B． C． D．二．填空题（共10小题）15．正五边形的中心角的度数是．16．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为．17．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为．18．如图，正方形ABCD内接于半径为的⊙O，E为DC的中点，连接BE，则点O到BE的距离等于．（第18题图）19．正六边形的半径与边长的比为．20．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．21．设A0，A1，…，A n﹣1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是，此时正n边形的面积是．22．如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP 上，并且∠POM=45°，则AB的长为．（第22题图）23．一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm （保留根号）．24．边长为6的正六边形外接圆的半径是．三．解答题（共1小题）25．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．参考答案一．1．【解析】如答图.连接OA，OB，OG.∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故选A．（第1题答图）【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．2．【解析】∵OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，故选项A正确，∴∠AOB=60°.∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，∴选项B、C正确，选项D错误.故选D．【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用．3．【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA.∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．（第3题答图）【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．4．【解析】如答图.∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°，∴∠FAF′=60°，∴==πa，∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为πa×6=2aπ．故选C．（第4题答图）【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解答此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长．注意数形结合思想的应用．5．【解析】∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径.又∵正六边形的周长为12a，∴正六边形边长为2a，∴正六边形的半径等于2a．故选C．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式．6．【解析】如答图，设六边形的边长是a，则半径也是a；经过正六边形的中心O作边AB 的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为a：a=：2．故选B．（第6题答图）【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．【解析】如答图.当点E旋转至y轴上时DE最小.∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵AB=BC=2，∴AD=AB•sin∠B=.∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2.∵点A的坐标为（0，6），∴OA=6，∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣.故选B．（第7题答图）【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．8．【解析】连接QO，PO，如答图.∵QO=PO，∴∠OPQ=∠OQP.∵∠PMQ=50°，∴∠POQ=100°，∴∠OPQ+∠OQP=180°﹣100°=80°，∴∠OPQ=∠OQP=40°，∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°.∵PO=OM，∴△POM是等边三角形，∴PM=OP=OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选C．（第8题答图）【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．9．【解析】设其半径是R，则其正三角形的边长是R，正方形的边长是R，则它们的比是：．故选B．【点评】能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即．10．【解析】设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3.设正方形的边长是x，由勾股定理，得对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828.设正六边形的边长是b，过点F作FQ∥AB交BE于点Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选B．（第10题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．11．【解析】∵360°÷60°=6，∴中心角为60°的正多边形的边数是6．故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的边数和圆心角的关系是解题的关键．12．【解析】A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，=；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，=，故C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D错误．故选D．【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．13．【解析】设多边形的边数为n．因为正多边形的内角和为（n﹣2）•180°，正多边形的外角和为360°，根据题意，得（n﹣2）•180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多边形为六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.故选A．【点评】本题考查学生对正多边形的概念的掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．14．【解析】如答图.连接AM，与DE、BC分别交于点F、点S，则点F是圆心，又是三角形的内心.∵S是BC的中点，F是DE的中点，则有DE∥BC，∴AF：AS=DE：BC=2：3，∴DE=．故选C．（第14题答图）【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形的高的的性质，进行求解．二．15．72°【解析】正五边形的中心角为=72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．16．2【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．（第16题答图）【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．17．【解析】如答图.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2.∵OM⊥AB，∴AM=BM=1.在△OAM中，由勾股定理，得OM==．（第17题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．18．【解析】如答图，连接EO，BO，作OF⊥BE.由正方形ABCD 内接于半径为的⊙O，可得CD=AD=BC=2.∵E是CD中点，∴DE=CE=1.在△BCE中由勾股定理，得BE=，则BE×.OF=OE×CE×FO=1×1，解得OF=【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质等知识点，关键是求出EC，BE的长．19．1：1【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径=边长，∴正六边形的半径与边长的比为1：1.【点评】本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．20．9【解析】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．21．23，1【解析】用找规律找出P与n的关系式，不难发现，P与n有下表所列的关系.因此，P=（n﹣3）•n÷2+1，即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化为P=（n﹣）2+，由于n≥3，故P值越大，n取值越大．在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大代入各值，得231÷1=n2﹣n+1，整理，得n2﹣3n﹣460=0 解得n=23或n=﹣20（不合题意，舍去）故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．【点评】本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换．解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P的值最大．22．【解析】如答图.∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．（第22题答图）【点评】解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．23．12【解析】如答图.已知此圆的半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．（第23题答图）【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．24．6【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为6的正六边形外接圆半径是6．【点评】正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．三．25．解：如答图①.连接O1 A，作O1 E⊥AD于点E.∵O1 A=R，∠O1 AE=45°，∴AE=O1 A•cos45°=R，∴AD=2AE=R.如答图②.连接O2 A，O2 B，则O2 B⊥AC.∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cos30°=R，∴AB=R，AC=2AF=R；∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R=：：1．（第25题答图）【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．。

教育最新K122018年秋九年级数学下册 24.6 正多边形与圆习题 (新版)沪科版

24.6 正多边形与圆第1课时正多边形与圆01 基础题知识点1 正多边形的概念 1．下列叙述正确的是（B ）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形C ．各角相等的多边形是正多边形D ．轴对称图形是正多边形2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（B ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正七边形D ．正八边形3．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（A ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形4．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（D ）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C .AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°第4题图第5题图5．如图，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是45度．6．若正多边形的一个内角等于140°，则该正多边形的边数是9．7．如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA.求证：五边形ABCDE 是正五边形．证明：∵AB＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ， ∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵.∴ABD ︵＝BCE ︵＝CDA ︵＝DEB ︵＝EAC ︵.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.∴五边形ABCDE 是正五边形．8．如图，AD ，AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．（不必说明理由）解：本题答案不唯一，如： ①△ADE 是直角三角形；②AD 是正六边形外接圆的直径； ③AD ∥BC 等．知识点2 等分圆周画正多边形9．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB 的度数近似于（C ）A ．11°B ．17°C ．21°D ．25°10．画一个半径为2 cm 的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星．解：画法：（1）以O 为圆心，OA ＝2 cm 为半径画圆；（2）以O 点为顶点，以OA 为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B ，C ，D ，E ；（3）分别连接AB ，BC ，CD ，DE ，EA.则五边形ABCDE 就是所要画的正五边形（如图1）；（4）依次连接AC ，AD ，BD ，BE ，CE.就画出了所要作的对角线和要求的五角星（如图2）．02 中档题11．如图，A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，则∠ACB 等于（C ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°12．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，则下列关系成立的是（C ）A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1<S 2<S 3D ．S 2>S 3>S 113．如图，已知⊙O 内接等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC，∠ACB ，BE ＝BC.求证：五边形AEBCD 是正五边形．证明：∵AB＝AC ，∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB＝72°.∵BD ，CE 平分∠ABC，∠ACB ，∴∠BAC ＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°. ∴AE ︵＝BE ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵.∴AE ＝BE ＝BC ＝CD ＝AD ，∠AEB ＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE. ∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P.（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN 的度数．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN. 在△ABM 和△BCN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）．（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM ＝∠CBN. ∵∠APN ＝∠ABP＋∠BAM，∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC.∵∠ABC ＝（5－2）×180°5＝3×180°5＝108°.∴∠APN ＝108°.03 链接中考15．如图1，2，3，正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 分别是⊙O 的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M ，N 分别从点B ，C 开始，以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．（1）求图1中∠APN 的度数；（写出解题过程）（2）写出图2中∠APN 的度数和图3中∠APN 的度数；（3）试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系．（直接写答案）解：（1）∵∠APN＝∠AB P ＋∠BAP，又∵点M ，N 以相同的速度在⊙O 上逆时针运动， ∴BM ︵＝CN ︵.∴∠BAM ＝∠CBN.∴∠APN ＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°. （2）图2中∠APN 的度数为90°；图3中∠APN 的度数为108°. （3）∠APN＝（n －2）·180°n.第2课时正多边形的性质01 基础题知识点1 正多边形的性质与计算1．正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是（B ）A . 3B ．2C ．3D ．2 32．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（A ）A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C ．a ＝2r tan 36°D ．r ＝R cos 36°第2题图第4题图3. （2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A ）A . 2B ．2 2C .22D ．14．如图，AD ，BE ，CF 是正六边形ABCDEF 的对角线，则图中平行四边形的个数有（C ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（C ）A ．3 3B ．3 6C .323D .326 6．如图，点O 是正五边形ABCDE 的中心，则∠BAO 的度数为54°．第6题图第7题图7．如图，⊙O 的内接正三角形ABC 的边心距OD 为2 cm ，则⊙O 的半径为4cm .8 9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O 与半圆P 的半径的比为2∶1．10．（教材P 51例题变式）求边长为20 cm 的正六边形的面积与此正六边形内切圆周长和外接圆面积．解：如图，易知∠AOB＝360°6＝60°，∴∠DOB ＝30°. 又∵边长为20 cm ， ∴DB ＝10 cm .在Rt △OBD 中，可求得OD ＝10 3 cm ，OB ＝20 cm .∴S 正六边形＝6S △OAB ＝6×12×20×10 3＝6003（cm 2）．正六边形内切圆周长为2π·OD ＝203π cm .正六边形外接圆面积为πOB 2＝400π cm 2.知识点2 正多边形的对称性11．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（C ）A ．216°B ．144°C ．120°D ．72° 12．正二十边形的对称轴有20条．02 中档题 13．（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为（A ）A .22B .32C . 2D . 314．如图，正六边形ABCDEF 中，AB ＝2，点P 是ED 的中点，连接AP ，则AP 的长为（C ）A ．2 3B ．4C .13D .1115．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白＝（C ）A ．3B ．4C ．5D ．6第15题图第16题图16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM ＝48°．17．如图，已知⊙O 的两直径AB ，CD 互相垂直，弦MN 垂直平分OB ，交OB 于点E.求证：MB 与MC 分别为⊙O 的内接正六边形和正十二边形的边长．证明：连接OM. ∵MN 垂直平分OB ， ∴MN ⊥OB ，OE ＝12OB ＝12OM ，∴∠EMO ＝30°.∴∠MOB ＝60°.∴∠MOC ＝30°.∵∠MOB ＝360°6＝60°，∠MOC ＝360°12＝30°，∴MB ，MC 分别是⊙O 内接正六边形和正十二边形的边长．18．如图，正五边形ABCDE 的对角线AC ，BE 相交于点M.（1）求证：四边形CDEM 是菱形；（2）设ME 2＝BE·BM，若AB ＝4，求BE 的长．解：（1）证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠D ＝∠DCB＝108°，∠ACB ＝36°， ∴∠DCA ＝72°.∴∠D ＋∠DCA＝180°. ∴DE∥AC.同理可证DC∥BE.∴四边形DEMC 为平行四边形．又∵DE＝DC ，∴四边形CDEM 是菱形．（2）∵五边形ABCDE 是正五边形， ∴∠AEB ＝36°，∠EAM ＝72°. 同理可得∠BAC＝∠ABE＝36°. ∴△ABE ∽△MAB. ∴AB MA ＝BE AB. ∴AB 2＝BE·BM .∵ME 2＝BE·BM，∴ME ＝AB ＝4，BM ＝BE －4. ∴BE （BE －4）＝16.解得BE ＝2＋25或2－25（舍去），即BE 的长为2＋2 5.03 链接中考19．图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O 处．（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比．（直接写出答案）解：（1）连接OA ，OB ，过点O 作OM⊥AB，垂足为M. ∵点O 是正方形ABCD 外接圆圆心， ∴OA ＝OB.∵四边形ABCD 为正方形，∴OM ＝12AB.∴S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∵∠AOB ＝90°，∠AOF ＋∠A′OB＝∠A ′OB ＋∠BOE＝90°， ∴∠AOF ＝∠BOE.又∵∠OAF＝∠OBE ＝45°， ∴△AOF ≌△BOE （ASA ）． ∴S △AOF ＝S △BOE .∴S 重叠＝S △BOF ＋S △BOE ＝S △BOF ＋S △AOF ＝S △ABO ＝14S 正方形ABCD .∴S 阴影＝34S 正方形ABCD.∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.（2）1∶2.小学+初中+高中小学+初中+高中。

(安徽专)九年级数学下第24章圆24.6正多边形与圆24.6.1正多边形与圆习题沪科

13．如图，在△AFG 中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点 C，D 在 FG 上，且 CF＝CA，DG＝DA，过点 A，C，D 的⊙O 分别交 AF，AG 于点 B，E. 求证：五边形 ABCDE 是正五边形．
证明：∵AF＝AG，∠FAG＝108°， ∴∠F＝∠G＝36°. ∵CF＝CA，DG＝DA，∴∠FAC＝∠GAD＝36°.
(2)猜想图②中∠MON 的度数是___9_0_°___，图③中∠MON 的度数是___7_2_°___；
(3)探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n(n≥3)之间的关系(直接写答案即可)．
解：∠MON＝36n0°(n≥3)．
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/292022/3/29March 29, 2022
在AC上，且 BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，若 AB 是⊙ O 的内接正 n 边形的一边，则 n＝________.
【点拨】如图，连接 BO，∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边， ∴∠AOC＝360°÷6＝60°. ∵BC 是⊙O 内接正十边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷10＝36°. ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－36°＝24°， ∴n＝360°÷24°＝15. 【答案】15

初中数学沪科版九年级下册(课时训练)24.6正多边形与圆(2)

第24章圆24.6正多边形的性质（2）填空题1.要用圆形铁片截出边长为4cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_______cm ．2.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内外圆的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放___________颗半径为2的滚珠．F ED C B A A'H G A（第2（2）题）（第2（3）题）（第2（4）题）3.如图，有一个边长为1.5cm 的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm ．4.如图，将一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖的纸盒（侧面均垂直于底面），需在每一个顶点处剪去一个四边形，则∠GA /H 为________度．5．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．6．正n 边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．7．设正n 边形的半径为R ，边长为a n ，边心距为r n ，则它们之间的数量关系是______．这个正n 边形的面积S n =________．8．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．9．正六边形的边长a ，半径R ，边心距r 的比a ∶R ∶r =_______．10．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．综合提高题11．已知两个正多边形的边数之比为2：1，而它们的内角和之比为8：3，求这两个正多边形的边数．12．如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．。

(沪科版)九年级数学下册 (课时训练)24.6正多边形与圆(

第24章圆
24.6正多边形与圆（1）
填空题
1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．
2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．
3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．
4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．
选择题
5.如图，将若干全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要五边形（）
（A）7个．（B）8个．（C）9个．（D）10个．
（第1（1）题）（第1（2）题）
6.如图，正方形ABCD与等边△PRQ内接于⊙O，RQ∥BC，则∠AOP等于（）
（A）45o．（B）60o．（C）30o．（D）55o．
7.下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
（A）正三角形．（B）正五边形．（C）正六边形．（D）正七边形．
8.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的边数是（）
（A）4．（B）6．（C）8．（D）12．
9.圆内接正六边形一边所对的圆周角是（）
（A）30．（B）60．（C）150．（D）30或150．。