1.2 一元二次方程的解法(5)

（3）∵方程无实根 ∴△<0，即4k+1<0 1 ∴k< 4
说明：二次项系数是字母时，一定要注意 根的判别式是二次项系数≠0的情况下运用 的，本例中的k≠0不能忽略。
例3、已知关于x的方程, 证明:不论m为何值,这个方程 总有两个不相等的实数根
解: 4m 4 2m 4 2 4m 8m 16
方程有两个相等的实数根.
△ ＜０
一元二次方程没有实数根
例1. 当k为何值时，关于x的方程 x2+(1-2k)x+k2-1=0有两个相等的实数根？
△ =(1-2k)2-4×1×(k2-1)=5-4k 解：
令5-4k=0
5 得k= 4 5 ∴当k= 4时, 方程有两个相等的实数根.
1、不解方程，判别下列方程根的情况 (1)x2＋3x－1＝0 (2)x2-6x+9＝0 (3)2y2-3y+4=0 (4)x2＋5＝2 5 x
（3）方程没有实数根，
2 m 1 x 2mx m 2 0 3.一元二次方程
有两个不等的实数根,则m的取值 范围是______________
解 2m 4m 1m 2
2
变
4m 8 0 m 2
又 m 1 0即m 1
2
当
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 4ac 0
2 2
时，方程有两个相等的实数根；
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根.
不解方程,判别方程 5x 2 1 x 0 的根的情况______________
解 : 5x x 5 0
2
b 4ac 1 4 5 5 101 0
高手过招： 1、已知a,b,c是△ ABC的三边，且 关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个 相等的实数根． 求证：这个三角形是直角三角形．
2：已知关于x的方程：
2x2-(4k+1)x+2k2-1=0
想一想，当k取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根，
（2）方程有两个相等的实数根，
2.当k为何值时，关于x的方程 kx2+kx+2-k=0有两个相等的实数 根？ 此时方程的根是多少呢?
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根
解：由定义可知，k≠0 △=[-(2k+1)]2-4k2=4k+1 （1）∵方程有两个不相等的实数根。 1 ∴ 0 即 4k 1 0 ∴ k 4 k 0 k 0 k 0 1 ∴k> 且k≠0
2
x 2mx 2m 4 0
2
4 m 2m 1 12 2 4m 1 12 0
2


所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根
例 4 、已知： a 、 b 、 c 是△ ABC 的 三边，若方程b(x2－1)－2ax+c(x2+1)=0 有两个等根，试判断△ ABC 的形 状.
(1)
当b2-4ac＞0时
b b 2 4ac x 2a
根的判别式(△)： 方程有两个不相等的实数根.
ax2+bx+c=0(a≠0)
(2)
当b2-4ac=0时 方程有两个相等的实数根.
b x1=x2= 2a 当b2-4ac<0时
(3)
一元二次方程没有实数根
根据△的值的符号，可以确定一元二次方 程根的情况． 反过来，也可由 一元二次方程根的情况 来确定△的值的符号． 即有： △ ＞０ 方程有两个不相等的实数根 △ ＝０
4m 4m 4m 8
2 2
m 2且m 1
1.求判别式时，应该先将方程化为一 般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提 条件为 “方程是一元二次方程”，即 二次项系数不为0.
大丰市三龙初级中学 陈志军
用公式法解一元二次方程的步骤:
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 4、写出方程的解x1与x2.
2
方程根的情况：
当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数 根；
4
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根
（2）∵方程有两个相等的实数根。 ∴△=0，即4k+1=0
1 ∴k= 4
例2．若关于x一元二次方程 kx2-(2k+1)x+k=0， （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根，分别求k的取值范围。
2 2
原方程有两个不相等的 实数根
练习： 不解方程，判别下列方程根的情况
(1)2x2＋3x－4＝0
(2)16y2＋9＝24y
(3)5(x2＋1) －7x＝0
由此说明, 可以根据b2-4ac的符号来判断一 元二次方程根的情况， 代数式b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式， 可用符号 “△”表示．