一元一次方程知识点归纳

一元一次方程
方程的有关概念
夯实基础
一．等式
用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。

温馨提示
①等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等，所以等式可以表示不同的意义。

②不能将等式与代数式混淆，等式含有等号，是表示两个式子的“相等关系”，而代数式不含等号，它只能作为等式的一边。

如x x 2735-=+才是等式。

二．等式的性质
性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即如果b a =，那么c b c a ±=±。

性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即如果
b a =，那么b
c ac =；如果b a =()0≠c ，那么
c
b c a =。

温馨提示
①等式类似天平，当天平两端放有相同质量的物体时，天平处于平衡状态。

若在天平的两端各加（或减）相同质量的物体，则天平仍处于平衡状态。

所以运用等式性质1时，当等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式时，才能保证所得的结果仍是等式，应特别注意“都”和“同一个”。

如31=+x ，左边加2，右边也加2，则有2321+=++x 。

②运用等式的性质2时，等式两边不能同除以0，因为0不能作除数或分母。

③等式性质的延伸：a.对称性：等式左、右两边互换，所得结果仍是等式，即如果b a =，
那么a b =。

b.传递性：如果c b b a ==,，那么c a =（也叫等量代换）。

例1：用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式哪一条性质，以及怎样变形得到的。

（1）如果
51134=-x ，那么+=53
4
x ； （2）如果c by ax -=+，那么+-=c ax ；
（3）如果4
3
34=-t ，那么=t 。

三．方程
含有未知数的等式叫做方程。

温馨提示 方程有两层含义：
①方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子。

②方程中必有一个待确定的数，即未知的字母，这个字母就是未知数。

如12=+x 。

四．方程与等式的区别与联系 五．方程的解与解方程
④方程的解释结果，而解方程是得到这个结果的一个过程。

例3：下列方程中解为2=x 的是（ ） A.x x =+33 B.03=+-x
C.62=x
D.825=-x 例4：利用等式的性质解下列方程：
（1）x x 726=+ （2）3265+=-x x
掌握方法
一．等量关系的确定方法
列方程解应用题是初中数学的一个重点也是一个难点，要突破这一难关，学会寻找等量关系是关键，那么怎样寻找应用题中的等量关系呢？ （1）从关键词中找等量关系；
（2）对于同一个量，从不同角度用不同的方法表示，得到等量关系； （3）运用基本公式找等量关系；
（4）运用不变量找等量关系。

例1：某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20％，设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程为（ ）。

A.108%2054⨯=-x
B.)108%(2054x x +=-
C.162%2054⨯=+x
D.)54%(20108x x +=-
二．利用方程的解求待定字母的方法
利用方程的解求方程中的待定字母时，只要将方程的解代入方程，得到关于待定字母的方程，即可解决问题。

例2：已知2=x 是关于x 的方程
)2(3
1
+=+-x k k x 的解，
则k 的值应为（ ）。

A.9 B.9
1
C.31
D.1
一元一次方程
解一元一次方程
夯实基础
一．一元一次方程
1.定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。

2.标准形式：方程0=+b ax （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且0≠a ）叫做一元一次方程的标准形式。

温馨提示
①一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母不含未知数。

②一元一次方程只含有一个未知数，未知数的次数都为1。

如
32
1
=+x ，6=+y x ，+2x 06=-x 都不是一元一次方程。

例1：下列方程中，哪些是一元一次方程？哪些不是？
（1）1145=+x ；（2）52=+y x ；（3）0652=+-x x ； （4）
32=-x x ；（5）13
21=+-y
y 。

二．移项
1.定义：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

2.示例：解方程5223+=-x x 时，可在方程的两边先加2，再减x 2，得=-+-x x 2223
x x 2252-++，即变形为2523+=-x x 。

与原方程比较，这个变形过程如下：
3
2523+=-x x
温馨提示
①移项的原理就是等式的性质1。

②移项所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是方程的一边交换两个项的位置。

③移项时一定要改变所移动的项的符号，不移动的项不能变号。

如解方程1053-=x x ， 若移项，得1035-=-x x 就出错了，原因是被移动的项“x 5”的符号没有改变，而改变了没有被移动的项“x 3”的符号。

④在移动时，最好先写左右两边不移动的项，再写移来的项。

例2：下列各题中的变形为移项的是（ ）。

A.由
1)2(21=+x ，得112
1
=+x B.由5735+=-x x ，得3557-=+x x C.由625=+--x x ，得652=--x x D.由x x -=-85，得58+=+x x 三．去括号与去分母
解一元一次方程的最终目标是要得到“a x =”这一结果。

为了达到这一目标，方程中有括号就要根据去括号法则去掉括号，即为去括号；方程中有分母的，根据等式性质2去掉分母，即为去分母。

温馨提示
（1）解含有括号的一元一次方程时，去括号时一般遵循去括号的基本法则。

但在实际去括号时，应根据方程的结构特点利用一些方法技巧，恰当地去括号，以简化运算。

对于一些特殊结构的方程，可采用以下去括号的技巧：
①先去外再去内。

即在解题时，打破常规，不是由内到外去括号，而是由外到内去括号。

②整体合并去括号。

有些方程，把含有的某些多项式看作整体，先合并，再去括号，往往会简单。

如，解方程)8(2
3
)8(21--=--
-x x x 时，可把8-x 看作整体先合并，再去括号。

（2）去分母时，在方程两边要同时乘以所有分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项。

当分母时小数时，需要把分母化整。

同时注意分母化整只与这一项有关，而与其他项无关，要与去分母区分开。

例3：下列方程去括号正确的是（ ）。

A.由6)24(32=--x x 得62122=--x x B.由6)24(32=--x x 得66122=--x x C.由6)24(32=--x x 得66122=+-x x D.由6)24(32=--x x 得6632=+-x x 例4：方程2
1
33123+-
=-+
x x x ，去分母正确的是（ ）。

A.)1(318)12(218+-=-+x x x B.)1(3)12(3+-=-+x x x C.)1(18)12(18+-=-+x x x D.)1(33)12(23+-=-+x x x
四．解一元一次方程的一般步骤
例5：解一元一次方程
12
3+=。

掌握方法
一．一元一次方程概念的应用
原方程为一元一次方程，即未知数的次数为1，系数不为0，由此来确定原方程中待定
字母的值。

例1：（1）若2122
=+-m x
是关于x 的一元一次方程，则m = ；
（2）若方程20152014)4(=+-x m 是关于x 的一元一次方程，则=m 。

二．利用合并同类项与移项解方程的方法
（1）合并同类项时，不能用连等号与原方程相连。

（2）几个常数项也是同类项，移项时应该把它们放到一起。

（3）移项时把某项改变符号后移到等式的另一边，而不是等式一边的两项交换位置。

（4）移项必变号，不变号不能移项。

例2：解方程：（1）x x 23273-=+；（2）14
3
621-=-a a 。

三．利用去分母解方程的方法
利用等式的性质2，在方程的两边同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，把系数为分数的方程转化为系数为整数的方程。

（1）分数线具有括号的作用，分子如果是一个多项式，去掉分母后，要把分母后，要把分子放在括号里。

（2）去分母时，不能漏乘不含分母的项。

例3：解方程
3
5
3213+=
+-x x 。

四．含小数的一元一次方程的解法
将小数化成整数，是根据分数的基本性质把含小数的项的分子、分母乘同一个适当的数，而不是方程所有的项都乘这个数。

小数化成整数，是对分母含小数的项的恒等变形。

例4：解方程：
03
.002.003.0255.094.0x
x x +=---。

五．有关同解方程的解题方法
如果两个方程的解相同，那么我们把这两个方程称为同解方程。

已知两个一元一次方程
是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有两种常见题型，其解法有所不同。

（1）在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。

（2）如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值。

例5：已知方程x
=
+m
m
x的解相同，求m
(3-
-1
x=
+
)1
)
(2的解与关于x的方程1
的值。

一元一次方程
列一元一次方程解应用题
夯实基础
一．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审：弄清题意和题目中的数量关系。

（2）设：用字母表示题目中的一个未知量。

（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。

（4）列：根据这个相等关系列出方程。

（5）解：解所列的方程，求出未知数的值。

（6）验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。

（7）答：写出答案。

二．设未知数的几种方法
设未知数的方法有三种：
（1）直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。

（2）间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。

（3）设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。

温馨提示
①采用直接设未知数的方法，原则是使分析条件更方便，列方程更简单，这样比较容易得到方程，同时还要兼顾所得到的方程求解时难易。

直接设未知数，好处是容易选取未知数，而且在解方程时可以直接得到问题的解。

②如果题目里涉及的几个量存在某种数量关系或某种比例关系，多采用间接设未知数的方法，间接设未知数是在直接设未知数、分析条件或列方程感到困难的时候才采取的方法。

其优点是列出方程和解方程的过程都比较容易。

③如果应用题涉及的量较多，各量之间的关系又不明显，若能设立适当的辅助未知数，把不明显的关系表示出来，就可以顺利地列出方程或方程组。

例1：通讯员原计划5h 从甲地到乙地，因为任务紧急，他每小时比原计划快3km ，结果提前1h 到达，求甲、乙两地间的距离。

解析：解法一：直接设未知数。

设甲、乙两地间的距离为x km 。

利用速度间的关系作相等关系：原计划速度=+3实际速度，得
1
535-=
+x
x ，解得60=x 。

解法二：间接设未知数，设原计划的速度为x km/h ，则实际的速度为
)3(+x km/h 。

利用路程关系作相等关系：原计划的路程=实际的路程，得)3()15(5+⋅-=x x ，解得12=x ，甲、乙两地的距离为)(601255km x =⨯=。

答：甲、乙两地的距离为60km 。

例2：一只船在逆水中航行，船上的一只救生圈掉入水中，5分钟后，发现救生圈落水，船掉头去追赶救生圈，几分钟能够追上救生圈？（船掉头的时间忽略不计）
解析：（设辅助未知数）设船在静水中的航行速度为a 米/分，水流速度为b 米/分，t 分钟后船能够追上落水的救生圈。

根据题意，得)(55)(b a b bt t b a -+=-+。

a at 5=，5=t 。

答：5分钟后船能够追上落水的救生圈。

三．一元一次方程应用题的常见类型
一．列一元一次方程解决配套问题
在现实生活中常见到一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等。

解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题。

例1：某场共有120名生产工人，每名工人每天可产生螺栓50个或螺母20个，
如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少人名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
二．用列表法解决增长率、数字等问题
解复杂的问题时，可借助表格来确定等量关系。

先找出已知量、未知量，并用含已知量或未知量的式子把中间的那些起桥梁作用的量表示出来，同时利用表格显示出等量关系。

例2：已知甲、乙两种商品的原单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%，求甲、乙两种商品的单价各是多少元。

三．用图示法解决行程、工程等问题
有关工程、行程问题，经常利用图示表示题目中各量间的关系，揭示出潜在的条件，使问题清晰明了，能迅速列出方程，求解问题。

例3：甲、乙相距40km，甲先出发，1.5h后乙再出发，甲在后，乙在前，两人同向而行，甲的速度是8km/h，乙的速度是6km/h，问甲出发多久后追上乙？例4：一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成。

开始时三队合作，中途甲队另有任务，由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了多少小时？
四．列一元一次方程解决销售利润问题
例5：书店里每本定价10元的书，成本是8元。

为了促销，书店决定让利10％给读者，问该书应打多少折？
五．列一元一次方程解决比赛中的积分问题
解决比赛中积分问题要注意问题中积分多少与胜负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，需先规定胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分。

这类问题中的基本等量关系有： 比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负数总积分
例6：某班一次数学小测验中，出了选择题和填空题共20道，总分为100分，现从中抽出5份试卷进行分析，如下表所示：
（1）某同学得70分，他答对了多少道题？
（2）有一同学H 说他得86分，另一个同学G 说他得72分，谁在说谎？
六．列一元一次方程解决储蓄问题
解决储蓄问题，首先要弄清以下几个概念：顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金与利息的和叫本息和，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率。

根据上述定义，每个期数内，
利率本金
利息
，所以利息=本金×利率×期数，这个公式是解决储蓄问题时常用的等量关系式。

例7：某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元，甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获利息共9500元，
求甲、乙两种存款分别为多少元。

七．列一元一次方程解决等积变形问题
解等积变形问题的关键是准确牢记有关图形的体积、面积、周长公式。

抓住两个等量关系：①形变体积不变；②有时形变引起体积变化，但质量不变。

例8：要锻造一个底面直径为70mm，高为45mm的圆柱形零件毛坯，需要截取底面直径为50mm的圆柱钢材多长？（不算加工余料）。