2.1 不等式的性质与证明
2.1等式性质与不等式性质说课课件(人教版)
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
（六）布置作业 必做题：P42复习巩固与综合运用 选做题：P43拓广探索 设计意图：
必做题安排学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用。 选做题是比较难的，发展尖子生思维，分层教学。
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
（三） 例题讲解 1. 证明性质 6 如果 a b 0 ， c d 0 ， 那么 ac bd ． 证明： a b 0 ， c d 0那么 ac bc ，
a b 0 ， c d 0那么 bc bd ，所以 ac bd
性质 5：如果 a b ， c 0 ， 那么 a b ；（可除性） cc
设计意图：引导学生用同 样的方法去发现不等式的 性质。
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
模块3：等式性质1 模块4：等式性质2 模块5：等式性质3 模块6：等式性质4
说教材
说课内容 教材分析 学情分析 教学目标 教学重难
点
认知基础
学生是某一重点中学的 普通班，学生处于中上 层次。在初中阶段学生 会灵活运用不等式的基 本性质；会解一元一次 不等式与一元一次不等 式组；掌握利用相等关 系、不等关系构建方程、 不等式（组）解决数学 内的应用问题。
情感基础
学生大多来自广州市市区， 接触面较广，个性较活跃， 数学基础的差异不大，所 以可以采用启示、讨论、 参与的教学方式和自主、 合作、探究的学习方式。 但学生缺乏自主合作探究 的经验，学生学习的自主 性、主动性不够，学习有 依赖性，自主研究学习的 信心不足。
2.1等式性质与不等式性质(1)(第二版)
7
二、实数的大小比较
比较实数大小的基本原理
思考1：实数可以比较大小, 对于两个实数a, b, 其大小关系 有哪几种可能？
a＞b，a＝b，a＜b. 思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点, 那么较大数 与较小数所对应的点的相对位置关系如何？
S正方形GHEF=0.
于是有a2+b2 ≥2ab.
一般地，a, b∈R, 有 a2+b2 ≥2ab.
当且仅当a=b时上式取等号 .
D
利用完全平方差公式也可求得 ∵(a-b)2=a2-2ab+b2≥0, ∴ a2+b2 ≥2ab. 当且仅当a=b 时上式取等号 .
A aE
C
b
a2 b2
B
15
3. 已知x≠0, 多少？
变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
4.重要不等式
a2+b2 ≥2ab .
当且仅当a = b时上式取等号 .
17
9
例1.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 .
分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得 出它们的大小关系.
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0 .
←作差 ←变形 ←判号
所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
(3)比较 6 5 与 7 6 的大小.
解：(1)∵ x2+3-3x= (x 3)2 3 3
2.1不等式的基本性质3
cd bcbd 由传递性可得 a c b d 证毕
(1)又称为不等式的移项法则 (2)又称为不等式的同向可加性
例2.利用性质3证明：
如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd 证明：a b, c 0 ac bc
c d,b 0 bc bd
当 c 0时，由于正数与正数的乘积为正数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
当 c 0时，由于正数与负数的乘积为负数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
该性质叫做不等式的乘法性质。
例1.利用性质1和性质2证明：
(1)如果 a b c ，那么a c b (2)如果a b,c d ，那么a c b d 证: (1) a b c a b (b) c (b)
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
思考
a b 0 n a n b (n N *, n 1) 成立吗？
证：反证法，假设 n a n b
即 n a n b 或者 n a n b
由一般结论和根式性质得 a b ，与已知矛盾
因此假设不成立，即原不等式成立. 证毕
在由传递性得 ac bd 证毕
思考 命题 a b, c d ac bd 成立吗？
原题被称为不等式的正数同向可乘性！
a b 0
思考
n个
可得出什么结论？
a b 0
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
即 (a c) (b c) 0
因此 a c b c 证毕
性质2表明不等式两边加上同一个数， 所得不等式与原不等式同向，又称为 不等式的加法性质
§2-1不等式的性质、绝对值
－3；
－3．
注意
不等式的两边同时乘以同一个负数时， 不等号的方向必须改变．
含有绝对值的不等式
|x|＞a与|x|＜a的几何意义
问题1
（1）解方程|x|=3，并说明|x|=3的几何意义是什么？
（2）试叙述|x|＞3，|x|＜3的几何意义，你能写出其解集
吗？
结论： |x|＞a的几何意义是到原点的距离大于a的点，
式的性质求出原不等式的解集．
|a x＋b|＞c（c＞0）的解法是
先化不等式组a x＋b＞c 或a x＋b＜－c，
再由不等式的性质求出原不等式的解集．
练习
解下列不等式 （1）|x＋5|≤7 ； （2）|5 x－3|＞2
总结
(1)解含绝对值的不等式关键是转化为不含绝对
值符号的不等式；
(2)去绝对值符号时一定要注意不等式的等价性， 即去掉绝对值符号后的不等式（组）与原不等 式是等价的．
练习
(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
(2)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小．
(3)比较 2 x2＋3 x＋4 和 x2＋3 x＋3 的大小；
(4)比较 (x＋1)2 和 2 x＋1的大小．
总结
作差法的步骤： 作差 变形 定号(与0比较大 小) 结论．
证明 因为 (a＋c)－(b＋c)＝a－b， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 a＋c＞b＋c．
•思考：如果 a＞b，那么 a－c＞b－c．是否正确？ • 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号
高中数学2.1等式性质与不等式性质第2课时教学设计新人教A版必修第一册
2.1等式性质与不等式性质（第2课时）教学目标学习目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.核心素养1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，培养学生数学抽象的核心素养；2. 进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养；3. 能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养。
教学重难点重点：掌握不等式性质及其应用．难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异．学情分析学生在小学和初中阶段已经接触过不等式，但上升到理论层次，例如比较大小的理论根据--作差法，对不等式性质的推导与证明，利用不等式性质解决简单的证明等问题，还有一定的难度，所以在教学过程中，注意引导学生分析不等式个性质的条件及结论，做到有理有据、严谨细致、条例清楚，提高逻辑推理和数学运算的核心素养。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图情境导入上一课时我们学习了比较两个数的大小，为我们学习不等式的性质奠定了基础.让我们先回顾等式的有关性质：性质1 如果那么（对称性）性质2 如果那么（传学生回忆所学知识通过引导学生回忆，帮助学生用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力递性）性质3 如果那么性质4 如果那么性质5 如果那么新知讲授【知识一：不等式的性质】性质1 如果如果，那么.性质2 如果，那么(传递性）性质3 如果，那么性质4 如果那么；如果那么性质5 如果，那么性质6 如果，那么性质7 如果那么. 符号表示：文字表示：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.移项法则：文字表示：不等式的两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式的两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向.注意：同向不等式相加得同向不等式，并无相减。
职高一年级 第二章 不等式
第二章《不等式》§2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b =0⇔a =b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c; (3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞b c;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜b c; (4)移项法则:如果a+b ＞c ,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d; (6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞b d. 3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1); a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1); a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c ; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4. 重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2a b （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3a bc （a 、b 、c ∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; aa 1+≤-2（a ∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c ≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q ≤2; (4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0; (5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B; (3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (96高职-2)在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b ≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. (98高职-2)已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c2⋅＞b c2⋅ 3. (99高职-2)如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1C.a 2＞b 2D.a 2＜b 2 4. (2001高职-4)“a ＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a ≠b B.ab ≠0且a ≠b C.a ＞0,b ＞0且a ≠b D.a ≠1且b ≠1 6. (2003高职-2)已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.17. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 8. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b ≥c ＞a B.b ＞c ＞a C.b ＜c ＜a D.b ＜c ≤a 9. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化 10. 若a ≠2或b ≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( )A.M ＞-5B.M ＜-5C.M=-5D.不能确定 11. 已知0＜a ＜1,则aa 1、aa -、aa 的大小关系是( )A.aa 1＞aa ＞aa- B.aa -＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞aa- D.aa-＞aa 1＞a a12. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a > C. b a 11> D. ab a 11>- 13. 设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab ba +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 14. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x ≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.xy 2 D.x 2+y 215. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.3417. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.22 18. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 19. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21B.aC.2abD.a 2+b 2 20. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③21. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （二）填空题：22. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 23. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bda c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题.24. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 .25. (99高职-17)已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 . 26. (2002高职-16)已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 . （三）解答题： 27. (1)已知:1>x ,求294x x +的最小值；(2)已知:0<x ,求3364xx y +=的最大值.28. 已知:a 、b ∈R +,求证:2ba +≥ab .(要求用比较法、综合法、分析法、反证法分别证明)29. 若a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1,求证:(a 1-1)(b 1-1)(c1-1)≥8.六、综合能力提高： 30. 函数116-+=x x y (x ＞1)的最小值是 .31. 已知:R x ∈,求2322++=x x y 的最小值.§2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a ≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集. 三、典型例题： 例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练： （一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-2B.m ≤-4C.m ＞-5D.-5＜m ≤-4 2. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜41-B.m ＞41-C.m ≥41-D.m ＞41-且m ≠0 （二）填空题： 3. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . （三）解答题： 4. 解不等式(组): (1)52(x-2)≤x-52 ⎪⎩⎪⎨⎧<->+<-06305201)2(x x x§2.3分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax .二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题： 例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法. 注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或2. 下列不等式中与xx --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x-4)(3-x)＞03. 不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x ＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x ＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2} 4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x ≠1} D.{x|x ＜3且x ≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x ＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x =-3}D.{x|1≤x ≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c )∪[b,a )B.(c,b ]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题： 7. 不等式1312>+-x x 的解集是 . 8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9. 若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x ≥2},则a= . 10. b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0),若再添上m 克糖(m ＞0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式 .11. 设关于x 的不等式ax+b ＞0的解区间为(1,+∞),则关于x 的不等式0652<+--bax x x 的解区间为 . （三）解答题： 12. 解下列不等式: (1) 12+<x x (2) 110<-<xx六、综合能力提高： 13. 若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2},则不等式06522>--++x x qpx x 的解集是( ) A.(1,2) B.(-∞,-1)∪(6,+∞) C.(-1,1)∪(2,6) D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)§2.4含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集. 二、知识要点：1. |x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a ≤x ≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集. 三、典型例题： 例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x-1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (2002高职-2)不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x ≤21或x ≥65}D. {x|21≤x ≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( )A.{x|x ≤7或x ＞1}B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x ≤7或x ≥3} 5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A ∩B 等于( )A.{x|x ＜0或x ＞2}B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} 6. 设ab ＞0,下面四个不等式①|a+b|＞|a|；②|a+b|＜|b|；③|a+b|＜|a-b|；④|a+b|＞|a|-|b|中,正确的是( )A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④7. 下面四个式子①|a-b|=|b-a|；②|a+b|+|a-b|≥2|a|；③a a =-2)(；④()b a +21＞ab 中,成立的有( )A.①、②B.①、②、④C.①、②、③D.①、②、③、④ （二）填空题：8. (2001高职-14)若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 9. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= . 10. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是 . （三）解答题：11. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B ≠Φ.12. 解下列不等式: (1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1六、综合能力提高： 13. 解下列不等式:(1) |3x-1|＞x+3 (2) 42>++x x§2.5一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x 2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x 2-32x+3＞0；(4)x 2+6(x+3)＞3；(5)3x 2+5≤3x.例2:m 是什么实数时,方程(m-1)x 2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x ≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a ≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac ≥0D.a ＜0且b 2-4ac ≤04. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜05. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m ≠±2D.m ∈R6. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：7. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .（三）解答题：9. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x ∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a ∈R},A ∩B=Φ,求a 的取值范围.10. 不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a 的取值范围.11. 若函数y=x 2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k 的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.六、综合能力提高：13.已知不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＜0；③2x2-9x+m＜0.要使同时满足①、②的x也满足③,则有( )A.m＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤914.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0,另一根大于1而小于3,求实数a的取值范围.15.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为0＜α＜x＜β,求不等式cx2-bx+a＞0的解集.§2.6不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=2b a +B.x ≤2b a +C.x ＞2b a +D.x ≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?6. 某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税,已知这种电子产品国内市场零售价每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为每百元t 元时,则每年销售将减少58t 万件. (1) 将税金收入表示为征收附加税率的函数;(2) 若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么政府征收附加税率应控制在什么范围内?。
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
高一数学讲义 第二章 不等式
高一数学讲义 第二章 不等式§2．1不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系 ().a b a b a b a b a b a b 1->⇔>⎧⎪2-=0⇔=⎨⎪3->0⇔<⎩（）；（）； 若a 、b +∈R ，则()()().aa b b aa b b aa b b ⎧4>1⇔>⎪⎪⎪5=1⇔=⎨⎪⎪6<1⇔<⎪⎩；；2．不等式的性质 （1）（对称性或反身性）a b b a >⇔<； （2）（传递性）a b b c a c >>⇒>，；（3）（可加性）a b a c b c >⇒+>+，此法则又称为移项法则； （同向可相加）a b c d a c b d >>⇒+>+，； （4）（可乘性）a b c ac bc >>0⇒>，；a b >，c ac bc <0⇒<； （正数同向可相乘）a b c d ac bd >>0>>0⇒>，； （5）（乘方法则）()n n a b n a b >>0∈⇔>>0N ； （6）（开方法则）()a b o n n >>∈2⇔>0N ，≥；（7）（倒数法则）a b ab a b11>>0⇒<，. 我们证明性质（4）如果a b >，且c >0，那么ac bc >；如果a b >，且c <0，那么ac bc <. 证明：()ac bc a b c -=-. .a b a b >∴->0，根据同号相乘得正，异号相乘得负，得 当c >0时，()a b c ->0，即ac bc >； 当c <0时，()a b c -<0，即ac bc <.由性质（4），又可以得到：推论：如果a b >>0，且c d >>0，那么ac bd >．（同学们可以自己证明）很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：如果a b >>0，那么()n n a b n n >∈2N ，且≥. 例1．设()f x ax bx 2=+，且()()f f 1-12214，≤≤≤≤，求()f -2的取值范围.解：因()()f a b f a b 1-1=-221=+4，，≤≤≤≤为 所以()()f f a 3-1+1=26，≤≤ 又()f a b a b a -2=4-2=2-2+2， 所以()f 5-210≤≤.例2．已知二次函数()f x ax bx c 2=++的图像过点()-10，，问是否存在常数a b c ，，，使不等式()()x f x x 21+1≤≤2对一切x ∈R 都成立？ 解：假设存在常数a b c ，，，满足题意， ()f x 的图像过点()-10，， ()f a b c ∴-1=-+=0又不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立， ∴当x =1时，()()f 21111+12≤≤，即a b c 1++1≤≤， a b c ∴++=1由①②可得：a c b 11+==22，，()f x ax x a 211⎛⎫∴=++- ⎪22⎝⎭，由()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立得：()x ax x a x 22111⎛⎫++-1+ ⎪222⎝⎭≤≤恒成立， ()ax x a a x x a 22⎧11⎛⎫-+-0 ⎪⎪22∴⎝⎭⎨⎪2-1+-20⎩≥≤的解集为R ， a a a >0⎧⎪∴11⎨⎛⎫-4-0 ⎪⎪42⎝⎭⎩≤且()a a a 2-1<0⎧⎪⎨1+82-10⎪⎩≤， 即()a a 2>0⎧⎪⎨1-40⎪⎩≤且()a a 21⎧<⎪2⎨⎪1-40⎩≤， a c 11∴=∴=44，，∴存在常数a b c 111===424，，使不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立. 例3．已知()()f x x a x 2=+2-2+4，（1）如果对一切()x f x ∈>0R ，恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[]()x f x ∈-31>0，，恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()a a 2∆=4-2-16<0⇒0<<4；（2）()()a f ⎧--2<-3⎪⎨-3>0⎪⎩或()a ⎧-3--21⎪⎨∆<0⎪⎩≤≤或()()a f ⎧--2>1⎪⎨1>0⎪⎩，解得a ∈∅或a 1<4≤或a 1-<<12，∴a 的取值范围为1⎛⎫-4 ⎪2⎝⎭，.基础练习1．判断下列命题是否成立，并说明理由． （1）如果a b c d ><，，那么a c b d +>+； （2）如果a b c d >>，，那么a c b d -2>-2； （3）如果a b c d >>，，那么ac bd >. 2．对于实数a b c ，，中，判断下列命题的真假： ①若a b >，则ac bc 22>； ②若ac bc 22>，则a b >；③若a b <<0，则a ab b 22>>；④若a b <<0，则a b 11<；⑤若a b <<0，则b a a b>； ⑥若a b <<0，则a b >； ⑦若c a b >>>0，则a bc a c b>--； ⑧若a b a b11>>，，则a b >0<0，.3.设n >-1，且n ≠1，则n 3+1与n n 2+的大小关系是________. 4．比较下列两个数的大小：（1与2（2）2（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 5．已知()()()f x ax c f f 2=--41-1-125，，≤≤≤≤，求()f 3的取值范围. 能力提高6．若不等式()()a x a x 2-2+2-2-4<0对一切x ∈R 成立，求a 的取值范围. 7．若关于x 的方程x ax a 22++-1=0有一正根和一负根，求a 的取值范围.8．关于x 的方程()m x m x 2-3+3=的解为不大于2的实数，求m 的取值范围．9．已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A ．2枝玫瑰花价格高； B ．3枝康乃馨价格高； C ．价格相同； D ．不确定．§2．2一元二次不等式及其解法求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式，一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形．像x x 2-5<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 下面，我们来探究一元二次不等式x x 2-5<0的解集： （1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系： 容易知道：二次方程有两个实数根：x x 12=0=5， 二次函数有两个零点：x x 12=0=5，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． （2）观察图像，获得解集画出二次函数y x x 2=-5的图像，如图2-1，观察函数图像，可知：x图2-1当x <0，或x >5时，函数图像位于x 轴上方，此时，y >0，即x x 2-5>0； 当x 0<<5时，函数图像位于x 轴下方，此时，y <0，即x x 2-5<0； 所以，不等式x x 2-5<0的解集是{}|x x 0<<5. 探究一般的一元二次不筹式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ()ax bx c a 2++>0>0，或()ax bx c a 2++<0>0，一般地，怎样确定一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集呢？从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线y ax bx c 2=++与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax bx c 2++=0的根的情况；（2）抛物线y ax bx c 2=++的开口方向，也就是a 的符号. 总结结果：（1）抛物线()y ax bx c a 2=++>0与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c 2++=0的判别式b ac 2∆=-4三种取值情况（∆>0∆=0∆<0，，）来确定．因此，要分二种情况讨论；（2）a <0可以转化为a >0，分∆>0∆=0∆<0，，三种情况，得到一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集.一元二次不等式ax bx c 2++>0或()ax bx c a 2++<0≠0的解集；设相就的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根为x 1、x 2且x x 12≤，b ac 2∆=-4，则不等式的解不等式的解集经常用区间来表示.区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点. a b ∀∈R ，，且a b <.{}|x a x b <<称为开区间，记为；()a b ，； {}|x a x b ≤≤称为闭区间，记为[]a b ，； {}|x a x b <≤称为左闭右开区间，记为[)a b ，；{}|x a x b <≤，称为左开右闭区间，记为(]a b ，.以上都是有限区间，以下是无限区间：[){}|a x x a +∞=，≥、(){}|a x x a +∞=>，、(]{}|a x x a -∞=，≤、(){}|b x x b -∞=<，、实数集()=-∞+∞R ，，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.区间长度的定义：两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度. 例1．解不等式x x 2-+2-3>0.解：整理，得x x 2-2+3<0.因为∆<0，方程x x 2-2+3=0无实数解， 所以不等式x x 2-2+3<0的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 例2．已知{}|A x x x 2=-3+20≤，(){}|B x x a x a 2=-+1+0≤， （1）若AB ，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围. 解：{}|A x x =12，≤≤当a >1时，{}|B x x a =1≤≤；当a =1时，{}B =1；当a <1时，{}|B x a x =1≤≤.（1）若AB ，则a a a >1⎧⇒>2⎨>2⎩；（2）若B A ⊆，当a =1时，满足题意；当a >1时，a 2≤，此时a 1<2≤；当a <1时，不合题意. 所以，a 的取值范围为[)12，.例3．已知关于x 的不等式()()kx k x 2--4-4>0，其中k ∈R .（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 解：（1）当k =0时，()A =-∞4，；当k >0且k ≠2时，()A k k 4⎛⎫=-∞4++∞ ⎪⎝⎭，，；当k =2时，()()A =-∞44+∞，，；（不单独分析k =2时的情况不扣分） 当k <0时，A k k 4⎛⎫=+4 ⎪⎝⎭，.（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k k4+-4≤时取等号当且仅当k =-2时取等号，所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少. 此时()A =-44，，故集合()B =-3-2-10123，，，，，，.例4，已知a 为实数，关于x 的二次方程()()x a x a a 227-+13+--2=0有两个实根分布在()()0112，，，上，求a 的取值范围.解：令()()()f x x a x a a 22=7-+13+--2，由二次函数图像知 ()()().f f f 0>0⎧⎪1<0⎨⎪2>0⎩，，即.a a a a a 222⎧--2>0⎪-2-8<0⎨⎪-3>0⎩，，解得a -2<<-1或a 3<<4. 所以a 范围是()()-2-134，，.基础练习1．设a b c a b c 111222，，，，，均为非零实数，不等式a x b x c 2111++>0，a x b x c 2222++>0的解集分别是集合M N ，，则a b c a b c 111222==是“M N =”的充要条件对吗？ 2．已知不等式ax bx c 2++>0的解集为{}|x x 2<<4，求不等式cx bx a 2++<0的解集. 3．不等式()ax ab x b 2++1+>0的解是x 1<<2，求a b ，的值. 4．若不等式x kx 2-+-4<0的解集为R ，求实数k 的取值范围. 5．已知不等式ax x 2-3+6>4的解集为{}|x x x b <1>或. （1）求a 、b ； （2）解不等式x cax b->0-（c 为常数）. 能力提高6．若关于m 的不等式()mx m x m 2-2+1+-10≥的解集为空集，求m 的取值范围. 7．已知不等式组x x a a x a 22⎧-+-<0⎨+2>1⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围．8．已知()f x ax bx c 2=++在[]01，上满足()f x 1≤，试求a b c ++最大值.§2．3分式不等式像x x 16<-1-1这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式，解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为： 分式不等式()()f xg x >0（或0≥）或()()f xg x <0（或0≤）要正确运用以下同解原理.（1）()()f xg x ≥0（或<0）与()()f x g x ⋅>0（或<0）同解.（2）()()f x g x 0≥（或0≤）与不等式组()()()f x g x g x ⎧⋅0⎪⎨≠0⎪⎩≥()()()f x g x g x ⎛⎫⎧⋅0⎪ ⎪⎨ ⎪≠0⎪⎩⎝⎭或≤同解. 例1．解不等式x x x x 22-9+117-2+1≥.解：移项，通分得x x x x 22-6+5+40-2+1≥，()()()x x x 22+13-4∴0-1≤ 转化为()()()()x x x x 22⎧2+13-4-10⎪⎨-1≠0⎪⎩，，≤ ()()x x x ⎧2+13-40⎪∴⎨-1≠0⎪⎩，，≤ 则所求不等式的解集为x x x ⎧14⎫-<11<⎨⎬23⎩⎭或≤≤.例2．解关于x 的不等式()x a x x ax222+-1+3>1+.解：原不等式等价于x x x ax22-+3>0+.由于x x 2-+3>0对x ∈R 恒成立， ∴x ax 2+>0，即()x x a +>0当a >0时，{}|x x a x <->0或； 当a =0，{}|x x x ∈≠0R 且； 当a <0时，{}|x x x a <0>-或.例3．k 为何值时，下式恒成立：x kx kx x 322+2+<14+6+3.解：原不等式可化为：()()x k x k x x 222+6-2+3->04+6+3，而x x 24+6+3>0，∴原不等式等价于()()x k x k 22+6-2+3->0，由()()k k 2∆=6-2-4⨯2⨯3-<0得k 1<<3. 基础练习1．解下列不等式： （1）x x x x 22-3+2<0-2-3；（2）x x -30-2≥； （3）x x1>； （4）()()x x x x 232-2≥+1>0++1；（5）x x x x 2215-11+2<0-2+3+2.2．已知关于x 的不等式k x bx a x c++<0++的解集为()()-2-123，，，求关于x 的不等式kx bx ax cx -1+<0-1-1的解集. 3．若a b c >>，a 、b 、c 为常数，求关于x 的不等式()()()x a x c x b 2-->0-的解集. 4．解不等式x x x x 1111+>++4+5+6+3. 5．若不等式x ax x 2+0+4+3≥的解集为{}|x x x -3<<-12或≥，求实数a 的值.6．若m n >>0，求关于x 的不等式()()mx n x x --20-1≥解集.§2．4 高次不等式像x x x 22+3>2+6这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数高于两次的不等式称为高次不等式. 我们研究()()()()x x x x -1+1-2-3<0的解，此不等式的左端是关于x 的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程()()()()x x x x -1+1-2-3=0得x 的四个解分别为1，-1，2，3．然后将x 的取值分成5段，使得四个因式x x x x -1+1-2-3，，，的积为负的范围就是所求的解集. 列表：借助于数轴并根据积的符号法则表示为图2-2.图2-2由图可知：原不等式的解集为()()23-11，，． 此方法为“数轴标根法”也可以叫“串线法”，高次不等式常常用“数轴标根法”来解，其步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定为正数） ②把各因式的根标在数轴上. ③用曲线穿根，（奇次根穿透，偶次根不穿透）看图像写出解集． 例1．解不等式x x x 32+3>2+6.解：原不等式化为()(x x x +3>0∴原不等式的解为x x -3<<例2．解不等式：()()()()x x x x x 2+1-20-3-5≤.解：原不等式等价于()()()x x x x -20-3-5≤或x =-1.标根（见图2-3）；图2-3解集为[](){}0235-1，，.基础练习1．解不等式x x x 32+3>2+6.2．解不等式()()x x x x 22-4-5++2<0. 3．解不等式()()()()x x x x 23+2-1+1-2<0. 能力提高4．对于一切x 1⎡⎤∈-2⎢⎥2⎣⎦，，不等式ax x x 32-++10≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．设P x x x x 432=+6+11+3+31，求使P 为完全平方数的整数x 的值.6．已知x y a x y b c >0>0=+=，，，m 使得对于任意正数x y ，可使a b c ，，为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由. 7．已知函数()()x k k x f x x x 42242++2-4+4=+2+4的最小值是0，求非零实数k 的值.§2．5无理不等式像x3-不等式，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：()()()()f xg xf xg x⎧0⎫⎪⇒⎪⎬⎪⇔0⎨⎪⎭⎪>⎪⎩定义域≥≥例1>0.解：根式有意义∴必须有：xxx3-40⎧⇒3⎨-30⎩≥≥≥又有x-3x-3解之：x1>2∴{}{}|x x x x x x⎧1⎫>3>=>3⎨⎬2⎩⎭()()()()f xg xf xg x2⎧0⎪⎪⇔0⎨⎪>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥≥或()()fxg x⎧0⎪⎨<0⎪⎩≥例2x>4-3.解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：()xx xx x x222⎧4-30⎪⎪-+3-20⎨⎪-+3-2>4-3⎪⎩≥≥Ⅱ：x xx2⎧-+3-20⎨4-3<0⎩≥解Ⅰ：xx xx4⎧⎪3⎪64⎪12⇒<⎨53⎪⎪63<<⎪52⎩≤≤≤≤解Ⅱ：x4<23≤∴原不等式的解集为xx⎧6⎫<2⎨⎬5⎩⎭≤.()()()()()f xg x g xf xg x2⎧0⎪⎪⇔>0⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩型≥例3x +2. 解：原不等式等价于()x x x x x x 222⎧2-6+4⎪⎪+2>0⎨⎪2-6+4<+2⎪⎩≥0x x x x 21⎧⎪⇒>-2⎨⎪0<<10⎩或≥≤{}|x x x ⇒2<100<1或≤≤ 例4>.解：要使不等式有意义必须：x x x x x 1⎧2+10-⎧1⎪⇒⇒-2⎨⎨+102⎩⎪-1⎩≥≥≥≥≥.>)22∴>，即()x >-+1.x +10≥，∴不等式的解为x 2+10≥ 即x 1≥-2.基础练习1．解下列不等式：（1> （2）x x 3-3+3 （3> （4）(x -10. 2>3. 3>. 4>1.5．满足x 3-x 的集合为A ；满足()x a x a 2-+1+0≤的x 的集合为B . （1）若A B ⊂，求a 的取值范围； （2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B 为仅含一个元素的集合，求a 的值． 6．求不等式()x x 224<2+9的解集.7．求使关于x k 有解的实数k 的最大值. §2.6 绝对值不等式1．含有绝对值不等式有以下两种基本形式：（1）()x a a a x a <>0⇔-≤≤（()x a a a x a >0⇔-≤≤≤）， （2）()x a a x a x a >>0⇔><-或（()x a a x a x a >0⇔-或≥≥≤）. 2．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法： （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图像法或数形结合法. 例1．解不等式x x 2-5+5<1.解法一：利用不等式()x a a <>0的解集是{}|x a x a -<<和整体的思想()()f x f x <1⇔-1<<1，因此，这个不等式可化为x x x x 22⎧-5+5<1⎪⎨-5+5>-1⎪⎩ ①②解不等式①得解集{}|x x 1<<4 解不等式②得解集{}|x x x <2>3或∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{}|x x x 1<<23<<4或解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：()()xx x x 22-5+6-5+4<0，即()()()()x x x x -2-3-4-1<0 利用“数轴标根法”（见图2-4），图2-4∴原不等式的解集是{}|x x x 1<<23<<4或.例2．解关于x 的不等式()x m m 2-1<2-1∈R .解：若m 2-10≤，即m 12≤，则x m 2-1<2-1恒不成立，此时原不等式无解；若m 2-1>0，即m 1>2，则()m x m -2-1<2-1<2-1，所以m x m 1-<<. 综上，当m 12≤时，原不等式的解集为∅；当m 1>2时，原不等式解集为{}|x m x m 1-<<. 例3．解下列不等式： （1）x 4<2-37≤； （2）x x -2<+1； （3）x x 2+1+-2>4.解：（1）原不等式可化为x 4<2-3≤7或x 2-3<-4-7≤，∴原不等式解集为17⎡⎫⎛⎤-2-5⎪ ⎢⎥22⎣⎭⎝⎦，，.（2）原不等式可化为()()x x 22-2<+1，即x 1>2， ∴原不等式解集为1⎛⎫+∞ ⎪2⎝⎭，.（3）当x 1-2≤时，原不等式可化为x x -2-1+2->4，x ∴<-1，此时x ∴<-1；当x 1-<<22时，原不等式可化为x x 2+1+2->4，∴x >1，此时x 1<<2；当x 2≥时，原不等式可化为x x 2+1+-2>4， ∴x 5>3，此时x 2≥. 综上可得：原不等式的解集为()()-∞-11+∞，，.例4．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，km AB =5，km BC =3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h v 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． （1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围. 解：（1）列车在B 、C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 v 300-7和v 480-11 （2）由于列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 v v 300480-7+-112≤ 当v 3000<7≤时，①式变形为v v300480-7+-112≤，解得v 300397≤≤. 当v 300480<711≤时，①式变形为v v 3004807-+-112≤，解得v 300480<711≤. 当v 480>11时，①式变形为v v3004807-+11-2≤， 解得v 480195<114≤. 综上所述，v 的取值范围是195⎡⎤39⎢⎥4⎣⎦，.基础练习1.解不等式x x x 2-1<++1.2．已知{}|A x x a =2-3<，{}|B x x =10≤，且A B ，求实数a 的取值范围．3．求不等式x x 3+14+2>5的解集. 4．求不等式x x -1+-5<7的解集.5．（1）对任意实数x x x a +1+-2>，恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x x x a -1-+3<，恒成立，求a 的取值范围.能力提高6．在一条公路上，每隔km 100有个仓库（如图2-5），共有5个仓库，一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？五四三二一图2-57．若关于x 的不等式x x a -4++3<的解集不是空集，求a 的范围．§2.7绝对值的不等式的性质定理：a b a b a b -++≤≤证明：()a a a a b a b a b b b b ⎫-⎪⇒-+++⎬-⎪⎭≤≤≤≤≤≤a b a b ⇒++≤ ①又a a b b =+- b b -=由①a a b b a b b =+-++-≤ 即 a b a b -+≤ ② 综合①②：a b a b a b -++≤≤.注意：1︒左边可以“加强”同样成立，即a b a b a b -++≤≤.2︒这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3︒a b ，同号时右边取“=”，a b ，异号时左边取“=”. 推论1．n n a a a a a a 1212++++++……≤. 推论2．a b a b a b --+≤≤. 证明：在定理中以b -代b 得：()()a b a b a b a b --+-+-+-≤≤≤，即a b a b a b --+≤≤.例1．设a b <1<1，，求证a b a b ++-<2.证明：当a b +与a b -同号时，a b a b a b a b a ++-=++-=2<2； 当a b +与a b -异号时，()a b a b a b a b b ++-=+--=2<2. a b a b ∴++-<2.例2．已知()f x a b ≠时，求证：()()f a f b a b -<-. 证明：()()f a f b -===()()a b a b a b a b a ba b+-+-=++≤a b =-.基础练习1．ab >0，则①a b a +> ②a b b +< ③a b a b +<- ④a b a b +>-四个式中正确的是（ ） A.①②B.②③C.①④D.②④2．x 为实数，且x x m -5+-3<有解，则m 的取值范围是（ ）A.m >1B.m 1≥C.m >2D.m 2≥ 3．不等式a b a b+1+≤成立的充要条件是（ ）A.ab ≠0B.a b 22+≠0C.ab >0D.ab <04．已知a b ≠，a b a b m n a ba b-+==-+，，那么m 、n 之间的大小关系为（ ）A.m n >B.m n <C.m n =D.m n ≤能力提高5．已知()()f x x ax b a b 2=++∈R ，，求证：()()()f f f 1+22+32≥. 6．实数x 1、x 2、…、x 2007∈R ，满足x x x x x x 213220072008-+-++-=2007…，设kk x x x y k12+++=…，k =123，，…，2007.求y y y y y y 213220072006-+-++-…的最大值.§2.8 含字母系数的不等式像()ax a x 2-+1+1<0这样，只含有两个或两个以上的未知数的不等式，称为含字母系数的不等式．解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解． 例1．解关于x 的不等式()ax a x 2-+1+1<0其中a >0 解：由一元二次方程()ax a x 2-+1+1<0的根为x x a121-1=，知 （1）当a1>1，即a 0<<1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-6： 故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，.图2-6（2）a10<<1，即a >1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-7：图2-7故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，. （3）a1=1，即a =1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-8：故原不等式的解为∅.图2-8综上，当a 0<<1时原不等式的解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a >1时原不等式解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a =1时原不等式解集∅.例2．解关于x 的不等式()x x a a 2---1>0. 解：原不等式可以化为：()()x a x a +-1->0. 若()a a >--1即a 1>2，则x a >或x a <1-. 若()a a =--1即a 1=2，则x x x 211⎛⎫->0⇒≠∈ ⎪22⎝⎭R ，.若()a a <--1即a 1<2，则x a <或x a >1-. 例3．关于x 的不等式()ax a x a 2+-1+-1<0对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 解：当a >0时不合题意，a =0也不合题意，必有：()()a a a a a a a 22<0⎧<0⎧⎪⇒⎨⎨3-2-1>0∆=-1-4-1<0⎪⎩⎩()()a a a a <0⎧1⎪⇒⇒<-⎨3+1-1>03⎪⎩.例4．解不等式：aa x >1--2. 解：原不等式可化为：()()a x a x -1+2->0-2，即()()()a x a x -1+2--2>0⎡⎤⎣⎦.当a >1时，原不等式与()a x x a -2⎛⎫--2>0 ⎪-1⎝⎭同解.若a a -22-1≥，即a 0<1≤时，原不等式无解：若a a -2<2-1，即a <0或a >1， 于是a >1时，原不等式的解为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，.当a <1时，若a <0，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；若a 0<<1，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，. 综上所述：当a >1时，解集为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，；当a 0<<1时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，； 当a =0时，解集为∅；当a <0时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，.基础练习1．设a b >0>0，，解关于x 的不等式ax bx -2≥.2．解关于x 的不等式：()()x a x x x 22-+1+1>1-1（其中a >1）.3．解关于x 的不等式：()m x x 2+1-4+10≤()m ∈R . 4．解关于x 的不等式：ax x x 2-1>0--2．5．关于x 的不等式()()()m x m x m 2+1-2-1+3-1<0的解是一切实数，求实数m 的取值范围． 能力提高6．设m m ∈≠0R ，，解关于x 的不等式x m x m m m 211⎛⎫-++-<0 ⎪⎝⎭.7．设不等式()()x m x 22-1>-1对满足m 2≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围. 8．若关于x 的不等式ax +2<6的解休是()-12，，求不等式xax 1+2≤的解集. 9．设不等式x ax a 2-2++20≤的解集为M ，如果[]M ⊆14，，求实数a 的取值范围． 10．已知不等式xy ax y 22+2≤对于[][]x y ∈12∈23，，，恒成立，求a 的取值范围. §2．9基本不等式及其应用图2-9是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？图2-9将图中的“风车”抽象成如图2-10，在正方形ABCD 中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a b ，.这样，4个直角三角形的面积的和是ab 2，正方形的面积为a b 22+.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b ab 22+2≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a b ab 22+=2. 定理1（基本不等式1）：C图2-10一般的，如果a b ∈R ，，那么a b ab 22+2≥（当且仅当a b =时取“=”号） 证明：因为()a b ab a b 222+-2=-当a b ≠时，()a b 2->0，当a b =时，()a b 2-=0， 所以，()a b 2-0≥，即a b ab 22+2≥.特别的，如果a b >0>0，，我们用分别代替a 、b，可得a b +≥()a ba b +>0>02， 通常我们称a b+2为a 、ba 、b 的几何平均数. 例1．已知x 、y 都是正数，求证： （1）y xx y+2≥； （2）()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.证明：x y ，都是正数x yx y x y y x2233∴>0>0>0>0>0>0，，，，， （1）x y y x +=2≥即x yy x+2≥. （2）x y x y x y 2233+0+>0+0，，≥≥≥()()()x y x y x y x y 223333∴+++=8≥ 即()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.说明：在运用定理：a b+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形. 例2．（1）用篱笆围成一个面积为2m 100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）段长为m 36的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则xy =100，篱笆的长为()m x y 2+.由x y+2x y +≥()x y 2+40≥.等号当且仅当x y =时成立，此时x y ==10.因此，这个矩形的长、宽都为m 10时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为m x ，则长为()m x 36-2，其中0x <<18， 其面积()()x x S x x x x 22112+36-236⎛⎫=36-2=⋅236-2=⎪2228⎝⎭≤ 当且仅当x x 2=36-2，即x =9时菜园面积最大，即菜园长m 18，宽为9m 时菜园面积最大为2162m . 归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a b +∈R ，，且a b M +=，M 为定值，则M ab 24≤，等号当且仅当a b =时成立.2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a b +∈R ，，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立.定理2（基本不等式2）：如果a b c +∈R ，，，那么a b c abc 333++3≥（当且仅当a b c ==时取“=”）证明： ()a b c abc a b c a b ab abc 3333322++-3=++-3-3-3 ()()()()a b c a b a b c c ab a b c 22⎡⎤=+++-++-3++⎣⎦()a b c a ab b ac bc c ab 222⎡⎤=+++2+--+-3⎣⎦()()a b c a b c ab bc ca 222=++++---()()()()a b c a b b c c a 2221⎡⎤=++-+-+-⎣⎦2. a b c ∈+R ，，， ∴上式0≥.从而a b c abc 333++3≥.推论：如果a b c ∈+R ，，，那么a b c ++3a b c ==时取“=”）证明：a b c 333++++≥≥a b c++⇒3由此推出：a b c abc 3++⎛⎫⎪3⎝⎭≥.例3．求证：（1）()a b c a b c 111⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9；（2）a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥.证明：（1） a b c ，，都是正数a b c a b c ++111∴>0++>03，≥ ()a b c a b c 111⎛⎫∴++++=9 ⎪⎝⎭≥.（2）a b c ，，都是正数a b c b c a ∴++3≥，b c a a b c ++3≥. a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫∴++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥. 例4．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平正比，与它的长度l 的平方成反比，见图2-11．lda图2-11（1）将此枕木翻转90︒（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗?为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）由题可设安全负荷ad y k l 212=⋅（k 为正常数），则翻转90︒后，安全负荷da y k l 222=⋅.因为y dy a 12=，所以，当d a 0<<时，y y 12<，安全负荷变大；当a d 0<<时，y y 12>，安全负荷变小.（2）如图2-12，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则图2-12a d R 222⎛⎫+= ⎪2⎝⎭即a d R 222+4=4 枕木长度不变，u ad 2∴=最大时，安全负荷最大．u d d ∴====当且仅当d R d 222=-2，即取d a ==，时，u 最大，即安全负荷最大. 定理3（基本不等式3）*ni a a a n a R i n n+12+++∈∈1N …，，≤≤.这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念.如果n a a a n +12∈>1R ，，…，，且n +∈N ，则na a a n12+++…叫做这n 做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基础练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()a b b c c a abc +++8≥. 2．设a b c +∈R ，，，且ab bc ca ++=108，求ab bc cac a b++的最小值. 3．（1）若x >0，求()f x x x9=4+的最小值； （2）若x <0，求()f x x x9=4+的最大值. 4．（1）若x ≠0，求x x1+的取值范围； （2）若ab =1，求a b +的取值范围； （3）若x 5<4，求x x 14-2+4-5的最大值； （4）若x >2，求x x x 2-3+3-2的最小值；（5）若x y >0，，且x y 19+=1，求x y +的最小值；（6）若x y >0，，x y +=1，求x y41+的最小值；（7）求y 2y 2=（8）若a b >0，，且ab a b =++3，求ab 的取值范围.5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3m 4800，深为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每2m 1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层m 21000的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高%5．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 能力提高7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清冼一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ． （1）试规定()f 0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（3）设()f x x 21=1+，现有()a a >0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．8．设a a a a 11211>-1≠=1+1+，.（1a a 12，之间； （2）a a 12，；（3.9．设常数a b +∈R ，，试探求不等式()ax a b b 2=+-1+>0对任意x >1成立的充要条件. 10.已知集合(){}|D x x x x x x k 121212=>0>0+=，，，（其中k 为正常数）. （1）设u x x 12=，求u 的取值范围；（2）求证：当k 1≥时，不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()x x D 12∈，恒成立；（3）求使不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()x x D 12∈，恒成立誓k 2的范围.11．已知a b c +∈R ，，，且满足()()kabc a b a b c a b c22++++4++≥，求k 的最小值.§2.10 不等式的证明证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容方方面面．如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识.不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握等式的性质和一些基本不等式.不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法． 1，比较法比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式： ①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式． 这种比较法是普遍适用的，是无条件的.它的理论依据是实数大小关系：a b a b a b a b a b a b ->0⇔>⎧⎪-=0⇔=⎨⎪-<0⇔<⎩应用范围：常用于指（对）数式的比较．这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定. 例1．若a b n >0>1，，，则n n n n a b a b ab -1-1++≥ 证明：()()()()n n n n n n a b a b ab a a b b a b -1-1-1-1++=---()()n n a b a b A -1-1=--=.若a b >，则n n a b -1-1>，则A >0； 若a b <，则n n a b -1-1<，则A <0； 若a b =，则A =0. ∴原不等式成立.②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断. 做商法是依据当b >0，且ab>1时，则a b >，反之则亦然． 例2．设a b c ，，为正数，证明()a b c a n ca b c abc ++3≥.证明：易知上式是轮换的，不妨设a b c ≥≥. 上式即()a b ca b c a b c abc ++333≥a bb ca ca b c b c a c a b a b c a b a a b c b c c ---222+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=1 ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥.∴原不等式成立．比较法是证明不等式最基本，也是最常用的方法之一，它主要有作差或作商，变形，判断三个步骤． 基础练习1．（1）若x >1，求证：x x x31>+-1； （2）若a b ∈R ，，求证：a b ab a b 22+++-1≥；（3）若a b <<0，求证：a b a b a b a b2222++<--；（4）若a b >0>0，，求证：a b b a a b a b ≥. 2．若x y z a b c +∈∈R R ，，，，，，则()b c c a a b x y z xy yz zx a b c222+++++2++≥. 3．若a b c ，，为不全相等的正数，则a b ab b c a c ac abc 22222++++>6. 4．已知ab R +∈，且a b ≠，求证：()()()a b a ab b a b 222222--+<-.2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法，分析法也称逆推法.例3>1+(22>即12+>16+2即35>19+，即4，即15<16(22>即12+>16+35>19+即35>19+，即4，即15<16例4．已知n ∈N ，求证：n n n n 111111111⎛⎫⎛⎫1++++++++ ⎪ ⎪+1352-12462⎝⎭⎝⎭……≥① 证明：要证明不等式（1），只须证()n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫1+++++1++++ ⎪ ⎪352-12462⎝⎭⎝⎭……≥②②式左边即n n n n 111⎛⎫+++++ ⎪22352-1⎝⎭…③ ②式右边即n n n 11111111⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪24622462⎝⎭⎝⎭……④n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪22462462⎝⎭⎝⎭…… 比较③和④可知要证②式成立，只须证明 n n 1111⎛⎫++++ ⎪22462⎝⎭…≥⑤ n n111111++++++352-1462……≥⑥ ⑤，⑥两式显然成立，故不等式①成立．用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长，因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题． 基础练习1<2．设,x y >0>0，证明不等式：()()x yxy11223323+>+.3．已知,,a b c 分别为一个三角形的三边之长，求证c a b a b b c c a++<2+++. 4.若,,x y z +∈R ，且x y z xyz ++=，证明不等式y z z x x yx y z x y z 2⎛⎫+++111++2++ ⎪⎝⎭≥.5，已知,,x y z ∈+R ，且x y z 222++=1，求证：x y z x y z 222++1-1-1-6．已知,,a b c 01≤≤，求证：a b cbc ca ab ++2+1+1+1≤. 3．综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．例5．已知△的三边长为,,a b c ，且a b c s ++=2，求证：()()()abcs a s b s c ---8≤. 证明：由条件得：,,s a s b s c ->0->0->0 ()()()s a s b c s a s c s a b 222-+-1⎛⎫∴--=2--= ⎪244⎝⎭≤.同理：()()()(),a b s b s c s c s a 22----44≤≤.三式相乘再开方得()()()abcs a s b s c ---8≤.在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，请看下例：例6．设,,,a b x y R ∈，且,a b x y 2222+=1+=1，试证：ax by +1≤. 证法1：用分析法。
2.1不等式的基本性质高中
(1)作差； 常用手段:配方法，因式分
(2)变形；
解法。
常见形式:变形为常数；
(3)定号；
一个常数与几
(4)下结论；
个平方和； 几个因式的积。
作商比较两数大小的依据
若 b0
(1) a 1 a b b
(2) a 1 a b b
(3) a 1 a b b
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
三、例题分析：
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
• 上式中的左边反映的是实数的运算性质， 而右边则是实数的大小顺序，合起来就成 为实数的运算性质与大小顺序之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大 小，而且是推导不等式的性质，不等式的 证明，解不等式的主要依据。
《2.1等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
【新教材】2.1等式性质与不等式性质教学设计（人教A版）等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义•同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫课程目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题.2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小.3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。
数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法,将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。
重点：掌握不等式性质及其应用.难点：不等式性质的应用.教学方法：以学生为主体，米用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系, 不超过或不少于等•举例说明生活中的相等关系和不等关系 •要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察•研探•二、 预习课本，弓I 入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题1. 不等式的基本性质是？2. 比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3. 重要不等式是？4. 等式的基本性质？5. 类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、 新知探究1、两个实数比较大小的方法?? ??> 0 ? ??>?? 作差法 {??■ ??= 0 ? ??= ???? ??< 0 ? ??<????> ?? 1 ? ??> ??作商法???? 1 ? ??= ????{ V { ??1 ? ??< ??2.不等式的基本性质对称性：a >b<^b<a 传递性：>⅛⅛⅛g=>tf>C ② 、α?乩I € R . a÷c>b÷c （可加性） ③ 、a>br g>θ>那么ac>b ς3 I 町乘性』a>b> XQ 那么ac<bc④ ,a >b>O∏ £' a a 0 那么* jc>bd f 集法法则） 近、a>b>0τ那么日心帆〔条件A 詁卫兰2丄（乘厅杵）⑥、3>b>0 φ么 诉A 诉（亲H√旦匕空J （开方性）3.重要不等式-⅛⅛的”0ct,h 皂 Rr ⅛ + ⅛2≥ 2abUlL 仅F c7 = b I 忖”"股；成此/ + b2一⅛⅛的，Pa 、b w R 、⅛ ab<——-——例如多与少、大与小、长与短、轻与重、沟M仅当a = h时.等号成四、典例分析、举一反三 题型一不等式性质应用例1判断下列命题是否正确题型二 比较大小例 2(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知 a > b > 0, c > 0,求 C > C 。
2.1等式性质与不等式性质PPT课件(人教版)
A.P≥Q
B.P＞Q
C.P＜Q
D.P≤Q
解析：P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0， 所以P≥Q.故选A．
学以致用：
2.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3， 求a＋3b的取值范围．
解：设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b， 解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23， 所以－131≤a＋3b≤1. 故 a＋3b 的取值范围为－131≤a＋3b≤1.
（可加性）反之亦然
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与 原不等式同向。
性质4：如果 a b且 c 0 ，那么 ac bc；
如果 a b且 c 0，那么 ac bc.
（可乘性）
不等式的性质：
性质5：如果 a b 且 c d ，那么
a c b d （相加法则）
两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。
性质5：如果a=b，c≠0，那么 a b cc
不等式的性质：
性质1：如果 a b ，那么 b a ；如果
b a ，那么 a b. （对称性）
abba
性质2：如果 a b ，b c ，那么 a c.
（传递性）
a b,b c a c
不等式的性质：
性质3：如果 a b，那么 a c b c.
(n N且n 2) （可开方性）
例2：已知 a b 0，c 0，求证：c c . ab
证明： a b 0， ab 0， 1 0 ab
a 1 b 1 ab ab
11 ba
即
11 ab
又 c 0， c c ab
-第一章 -2.1等式性质与不等式性质
我成立，你不 一定成立！
为什么 啊？
c≠0时，你成立； c=0时，你不一定 成立！
那可不一定，你 是不是成立，得 问问c，c=0时， 你就不成立！
不等式有什么性质？ ★【对称性】 ★【传递性】
证明：
不等式有什么性质？
★【可加性】 不等式两边同时加上一个数，不变号
★【可乘性】 不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
到 100 米以外的安全区，导火索的长度 x(厘米)应该满足的不等
式为( )
A.4×2x≥100
B.4×2x≤100
C.4×2x＞100时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为(4×2x)
米，为了保证安全，有4×2x＞100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
课堂小结
1.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大 小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比 较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些 易判断符号的因式积的形式.
2.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行， 千万不可想当然.
第二章 2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.理解不等式的概念. 2.了解不等式（组）的实际背景. 3.掌握不等式的性质. 核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
不等关系及其表示 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不 少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等 式表示不等用不等式表示。
A.a－b>0
12第二章 2.1 等式性质与不等式性质第2课时
5.若 α，β 满足－12<α<β<12，则 α－β 的取值范围是－__1_<__α_－__β_<_0_.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)等式的性质. (2)不等式的性质及其应用. 2.方法归纳：作商比较法，乘方比较法. 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.
第二章 2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 等式的基本性质
(1)如果a＝b，那么 b＝a . (2)如果a＝b，b＝c，那么 a＝c . (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc. (5)如果a＝b，c≠0，那么 ac＝bc .
C
A.P<Q
B.P＝Q
C.P>Q
D.不能确定
解析 P2＝2a＋13＋2 a＋6a＋7，
Q2＝2a＋13＋2 a＋5a＋8， 因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8) ＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0， ∴ a＋6a＋7> a＋5a＋8， ∴P2>Q2，∴P>Q.
三、利用不等式的性质求范围
知识点二 不等式的性质
性质 1 2 3
别名 对称性 传递性 可加性
4
可乘性
性质内容 a>b⇔b < a a>b，b>c⇒a>c a>b⇔a＋c > b＋c a>b⇒ac > bc c>0 a>b⇒ac < bc c<0
专题2.1不等式的性质及常见不等式解法（精讲）（解析版）
专题2.1不等式的性质及常见不等式解法（精讲）（解析版）专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和⽇常⽣活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.⼀元⼆次不等式：(1)会从实际情境中抽象出⼀元⼆次不等式模型.(2)通过函数图像了解⼀元⼆次不等式与相应的⼆次函数、⼀元⼆次⽅程的联系.(3)会解⼀元⼆次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应⽤.5．培养学⽣的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核⼼数学素养.【知识清单】1．实数的⼤⼩(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数⽐左边点对应的实数⼤.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a2．不等关系与不等式我们⽤数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表⽰它们之间的不等关系，含有这些符号的式⼦，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b如果bb.即a>b?b(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．⼀元⼆次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有⼀个未知数，并且知数的最⾼次数是2的不等式，称为⼀元⼆次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)；②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)；③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)；④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)⼀元⼆次不等式的解集的概念：⼀般地，使某个⼀元⼆次不等式成⽴的x 的值叫做这个不等式的解，⼀元⼆次不等式的所有解组成的集合叫做这个⼀元⼆次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分⼦、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0?f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0?f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0??f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ?f (x )·g (x )__>__0或?f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0?f (x )·g (x )__<__0或?f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的⾼次不等式的解法⾼次不等式：不等式最⾼次项的次数⾼于2，这样的不等式称为⾼次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最⾼次项系数化为正数；②将f (x )分解为若⼲个⼀次因式的积或⼆次不可分因式的积；③将每⼀个⼀次因式的根标在数轴上，⾃上⽽下，从右向左依次通过每⼀点画曲线(注意重根情况，偶次⽅根穿⽽不过，奇次⽅根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成⽴问题 1．⼀元⼆次不等式恒成⽴问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成⽴(或解集为R )时，满⾜?a <0Δ≤0.2．含参数的⼀元⼆次不等式恒成⽴．若能够分离参数成k f (x )形式．则可以转化为函数值域求解．设f (x )的最⼤值为M ，最⼩值为m .(1)k f (x )恒成⽴?k >M ，k ≥f (x )恒成⽴?k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利⽤两边平⽅的形式转化为⼆次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ?－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ?ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应⽤如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成⽴．【考点梳理】考点⼀：⽤不等式表⽰不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提⾼0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样⽤不等式表⽰销售的总收⼊仍不低于20万元？【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收⼊为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收⼊不低于20万元”⽤不等式可以表⽰为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】⽤不等式(组)表⽰实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题⽬，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“⾄少”“⾄多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件⽤不等式表⽰．【变式探究】某钢铁⼚要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照⽣产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满⾜上述所有不等关系的不等式．【答案】见解析【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表⽰上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点⼆：⽐较数或式⼦的⼤⼩【典例2】(1)⽐较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的⼤⼩； (2)设a ∈R 且a ≠0，⽐较a 与1a 的⼤⼩．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.⽐较⼤⼩的常⽤⽅法 (1)作差法⼀般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采⽤配⽅、因式分解、通分、有理化等⽅法把差式变成积式或者完全平⽅式．当两个式⼦都为正数时，有时也可以先平⽅再作差． (2)作商法⼀般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的⼤⼩关系；④结论． (3)函数的单调性法将要⽐较的两个数作为⼀个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出⼤⼩关系．【变式探究】已知x ＜y ＜0，⽐较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的⼤⼩．【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．考点三：不等式性质的应⽤【典例3】（2020·⿊龙江省佳⽊斯⼀中⾼⼀期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（）A ．若,0a b c >≠，则ac bc >；B ．若a b >，则22ac bc >；C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<．【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满⾜a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<，因此0b a b aa b a b-【典例4】若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】⽅法⼀易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . ⽅法⼆对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2，易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减．因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是．【答案】[5,10]【解析】⽅法⼀(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得 m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得?m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．⼜因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. ⽅法⼆(解⽅程组法)由?f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．⼜因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)⾸先要注意不等式成⽴的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采⽤特值法进⾏排除，注意取值要遵循以下原则：⼀是满⾜题设条件；⼆是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进⾏证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举⼀反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应⽤．(2)应⽤不等式的性质进⾏推证时，应注意紧扣不等式的性质成⽴的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建⽴待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利⽤不等式的性质进⾏运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使⽤这种转化，就有可能扩⼤其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应⽤最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以⼀个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学⾼⼆期中（⽂））已知0a b <<，则下列不等式成⽴的是（） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学⾼⼀开学考试（⽂））下列结论正确的是（） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满⾜，但a b <，B 选项错误；对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D ，D 选项错误.故选：C. 3.已知12b的取值范围．【错解】∵123.【辨析】错解中直接将12b 的取值范围⽽致错．【正解】∵1515.⼜12b <4.【易错警⽰】错⽤不等式的性质致错. 考点四：⼀元⼆次不等式的解法【典例6】（2020·全国⾼考真题（⽂））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，⼜因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律⽅法】1.解⼀元⼆次不等式的⼀般步骤(1)化：把不等式变形为⼆次项系数⼤于零的标准形式． (2)判：计算对应⽅程的判别式．(3)求：求出对应的⼀元⼆次⽅程的根，或根据判别式说明⽅程有没有实根． (4)写：利⽤“⼤于取两边，⼩于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进⾏分类讨论．(1)若⼆次项系数为常数，⾸先确定⼆次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进⾏分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进⾏分类讨论．(2)若⼆次项系数为参数，则应先考虑⼆次项系数是否为零，确定不等式是不是⼆次不等式，然后再讨论⼆次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对⽅程的根进⾏讨论，⽐较⼤⼩，以便写出解集．【易错警⽰】忽视⼆次项系数的符号致误【变式探究】1．（2019·全国⾼考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ?=-<<．故选C ．2. （2020·⿊龙江省⼤庆实验中学⾼三⼀模（⽂））已知集合1|03x A x x -?=≥??-??，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】因为集合{1|033x A x x x x -?=≥=??-??或}1x ≤，集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省⾼考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-??---?++21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周⼝市中英⽂学校⾼⼆⽉考（⽂））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ?-<，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3；当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,⽆解；当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－10时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =⽆解；当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符；当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律⽅法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利⽤绝对值号内式⼦对应⽅程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设ac(c>0)的⼏何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和⼤于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．【变式探究】1.（2017天津，⽂2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（）（A ）充分⽽不必要条件（B ）必要⽽不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤?≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·⼴东⾼考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-?+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-；（2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式⽆解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥；综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-?+∞. 考点六：绝对值不等式的应⽤如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成⽴．【典例9】（2020·陕西省西安中学⾼⼆期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对⼀切x ∈R 恒成⽴，则实数m 的取值范围为（） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成⽴，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代⼊函数解析式，求得，利⽤零点分段将解析式化为，然后利⽤分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中⼀个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成⽴等价于当时成⽴．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题⼀类是⽐较简单的不等式，往往可通过平⽅法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利⽤绝对值三⾓不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另⼀类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利⽤⼀般情况成⽴，则特殊情况也成⽴的思想，或利⽤⼀元⼆次⽅程的根的分布等⽅法来证明．2.含绝对值不等式的应⽤中的数学思想(1)利⽤“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利⽤函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种⽅法(1)转化法：转化为分段函数进⽽利⽤分段函数的性质求解.(2)利⽤绝对值三⾓不等式进⾏“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利⽤绝对值的⼏何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族⾃治区⾼三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成⽴，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33??- ；(2) 15,44??-【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ?-+≤??=+<-≥；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成⽴，解得122x <<；当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3 137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33??-(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ?-+≤??=+<-≥，当12x ≤时，()1322f x f ??≥= ；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最⼩值为3 2.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44??-2.已知函数f(x)=|x?1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤?5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x?1|+|x+3|={?2x?2,x1,当x当?3≤x≤1时，f(x)≥8不成⽴；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤?5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab?1|>|a?b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab?1|2?|a?b|2=(a2b2?2ab+1)?(a2?2ab+b2)=(a2?1)(b2?1)>0，所以|ab?1|>|a?b|，故所证不等式成⽴．。
2.1不等式的性质
所以 8 ≤ 8 f (2) ≤ 40
33
3
5 ≤ 5 f (1) ≤ 20
33
3
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
练习．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－ b≤5，求9a－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)
=(m+4n)a－(m+n)b，
令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，
高一数学
不等式的性质
性质1：如果a>b，那么b<a； 如果b<a，那么a>b.
性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所 得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等 式的对称性。
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
证明：根据两个正数之和仍为正数，得
a b a b 0
b
性质3表明，不等式的两边都加上同一个实 数，所得的不等式与原不等式同向.
由性质3可以得出
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
推论1： 如果 a+b>c 那么 a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成 相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。
（移项法则）
推论2：如果a>b， c>d，
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：ac
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
论得 1 1 0
cd
又因为a>b>0，所以 a 1 b 1
cd
不等式的基本性质
2.1 不等式的基本性质知识点一、不等式的基本性质：性质1 对称性：a b b a <⇔>；性质2 传递性：b a >，c b >c a >⇒；性质3 可加性：b a >⇒c b c a +>+；性质4 可乘性：b a >，0>c ⇒bc ac >；b a >，0<c ⇒bc ac <； 性质5 同向可加性：b a >，d c >⇒d b c a +>+；性质6 同向可乘性：0>>b a ，0>>d c ⇒ bd ac >；性质7 乘方法则：0>>b a ⇒n n b a >；性质8 开方法则：0>>b a ⇒n n b a >；知识点二、不等式的一些常用性质（1）若b a >，0>ab ⇒b a 11<； （2）b a <<0⇒ba 11<； （3）0>>b a ，dc <<0⇒d b c a >； （4）若0>>b a ，0>m ，则m a m b a b ++< 知识点三、实数大小的比较一、实数（代数式）大小的比较1、比较下列两组数的大小，并说明理由（1）107+与143+（2）当1>x 时，3x 与12+-x x2、已知0>>b a ，比较2222b a b a +-与ba b a +-的大小.3、已知a ，b ，c 是不全相等的实数，试比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小关系．4、已知0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小关系．5、已知142++=a a P ，422-+-=b b Q 则（ ）A ．Q P >B ．Q P <C ．Q P ≥D ．Q P ≤二、不等式性质的应用1、给出下列命题：①a ＞b ⇒a c 2＞b c 2；②a ＞|b |⇒a 2＞b 2；③a ＞b ⇒a 3＞b 3；④|a |＞b ⇒a 2＞b 2，其中正确的命题是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2、若0a b >>，0c d <<，则下列选项中正确的是（ ）A ．11ac bd < B ．ad bc > C ．a b c d > D ．a b d c<3、已知a ＞0＞b ＞-a ，c ＜d ＜0，给出下列四个命题：（1）a d ＞b c ；（2）a d ＋ b c＜0； （3）a -c ＞b -d ；（4）a ·(d-c )＞b (d-c )中能成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、利用不等式性质求代数式的取值范围1、已知14-≤-≤-y x ，32≤+≤-y x ，求y x -2的取值范围.2、设a ，b 为实数，已知432≤≤ab ，322≤≤b a ，求43b a 的取值范围3、(1)已知21≤-≤b a ，42≤+≤b a ，求b a 24-的取值范围；（2）已知-1<a <b <1，求a -b 的取值范围；（3）已知∈y x ,R ，且832≤≤xy ，942≤≤y x ，求43y x 的取值范围.四、不等式的证明1、已知0>>b a ，0>>d c ，求证：d b bd c a ac +>+．2、已知a ，b 是两个不相等的正实数，试比较b a b a 与a b b a 的大小关系．1、若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是( )4、若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b 5、盐水溶液的浓度公式为()b p a b a =>盐的量克盐水的量克，向盐水中再加入m 克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ）A ． b b m a a m+<+ B ． b b m a a m +>+C ． b b m +<D ． b b m +>7、某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种规格． 按照生产的要求，600mm 的钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍． 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？8、比较下列代数式的大小（1）比较(x ＋2)(x ＋3)和(x ＋1)(x ＋4)的大小．（2）已知a >2，b >2，试比较a ＋b 与a b 的大小．9、已知,,a b m 都是正数，且a b <，求证：a mab m b +>+．10、下面的推理过程 ⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒a c >b d ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．311、已知0,0a b c d >>>><12、已知－2<a≤3,1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b．13、已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围为____ __．。