江苏省如皋中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段检测数学(创新班)试题 含答案
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题4
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题4一、单选题1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2﹣1≤0}，B ＝{x |1x≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤0} B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤0}D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}2若函数()2111x x f x lgx x ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)= （ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．03．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ）A ．2x x a ⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4．已知tan 2α=，则()()sin cos sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-15．函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为（ ） A ．[0，1]B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3B ．-3C ．32D ．32-7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0-B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．[]1,1-8．设0x >，0y >，且1142x y +=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）A ．4-B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >时，2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值为5D ．当0x >，0y >时，2x yy x+≥ 10．下列表述正确的是：（ ）A ．“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ） A ．12CB AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1263CF AB AD =-D ．2133BF AB AD =-+12．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则（ ）A ．函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数cos3y x =-的图象B ．函数π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数 C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π3二、填空题13．化简4log 32.5log 6.25lg0.0012ln 2e ++-=_____．14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则12b a +的最小值是________16．函数212log 32y x x =--的值域为____________，单调递增区间为__________．三、解答题17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-.（1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若25=5a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值 18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2a ＋b ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，－5≤()f x ≤1. （1）求常数a ，b 的值；（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.21．已知函数2()223f x x mx m =+--.（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围；（2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)若关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范围.江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试4数学试卷一、单选题1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2﹣1≤0}，B ＝{x |1x≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ）A ．{x |﹣1＜x ≤0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤0}D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}【答案】C2若函数()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)= （ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．03．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ）A ．2x x a⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【分析】分解因式得()()210ax x -->，由2a >可得21a<，即可得出解集. 【详解】不等式2(2)20ax a x -++>化为()()210ax x -->，2a >，21a ∴<，故不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或}1x >. 故选：A.4．已知tan 2α=，则()()sin cos sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】A 【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】()()sin cos sin cos tan 1213cos sin 1tan 12sin cos 22αππααααππααααα-+-------====---⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A5．函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为（ ） A ．[0，1]B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据自变量x 的范围，得到23x π+的范围，进一步得到答案.【详解】 解：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2132y x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，. 故选：B.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3 B ．-3C ．32D ．32-【答案】D 【分析】利用向量的数量积即可求解. 【详解】解析：311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ︒︒︒⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-.故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0- B ．(]0,1 C ．(),0-∞ D ．[]1,1-【答案】A 【分析】根据偶函数的性质将不等式()()11f m f m -<+转化为(|1|)(|1|)f m f m -<+，再根据单调性可解得结果.因为函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数， 所以()()11f m f m -<+等价于(|1|)(|1|)f m f m -<+， 因为当[0,2]x ∈时，()f x 单调递减， 所以0|1||1|2m m ≤+<-≤，解得10m -≤<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解题时，注意偶函数性质()()(||)f x f x f x =-=恒成立在解题中的应用，属于中档题.8．设0x >，0y >，且1142x y +=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）A ．4-B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8【答案】B 【分析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值. 【详解】0x ，0y >，且1142x y +=，1142x y ∴=+≥=2， 18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号. 42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >时，2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值为5D ．当0x >，0y >时， 2x yy x +≥ 【答案】AD 【分析】利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可. 【详解】选项A 中，0x >≥=1x =时等号成立，故正确；选项B中，2x >时，12x x +≥=， 当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，但是2x >，取不到最小值2，故错误； 选项C 中，54x <时，450x -<，则540x ->，故1142=5433=14554y x x x x ⎛⎫=-+--++≤- ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x-=-时，即541x -=时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误；选项D 中，当0x >，0y >时，0,0x y y x >>，故 2x y y x +≥=， 当且仅当xyy x =时等号成立，故正确. 故选：AD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．下列表述正确的是：（ ） A ．“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义可判断A ；根据向量共线的坐标表示可判断B ；根据向量垂直的坐标表示可判断C ；利用含有一个量词的命题否定变换形式可判断D. 【详解】对于A ，“76x =π”可推出“1sin 2x =-”， 反之，当1sin 2x =-，可得72,6x k k Z ππ=+∈或112,6x k k Z ππ=+∈， 故“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，若//a b ，则40x -=，解得4x =，故B 错误；对于C ，若a b ⊥，则240x y -+-=，即6x y +=，故C 正确； 对于D ，由特称命题的否定变换形式，可得“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”，故D 正确.故选：ACD11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ） A ．12CB AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1263CF AB AD =- D ．2133BF AB AD =-+ 【答案】BD 【分析】利用向量的线性运算将CB ,,AF CF BF 用基底AB 和AD 表示，与选项比较即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确； 1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确， 11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：BD12．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则（ ）A ．函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数cos3y x =-的图象B ．函数π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π3【答案】BCD【分析】函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，可得π4ϕ=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，根据函数()f x 的图象平移可判断；对于B ，求出函数π12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式可判断；对于C ，求出ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，根据函数()f x 在区间上单调递增可判断；对于D ，求出()max f x ，()min f x ，()f x 的周期可判断.【详解】函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称， ππ3π42k ϕ∴⨯-=+，k ∈Z ；ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=，()πsin 34f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数πππsin 3sin3444f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故错误；对于B ，函数πππsin 3cos312124f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据余弦函数的奇偶性，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，故正确；对于C ，由于ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，函数()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于D ，因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π3T =，所以则12x x -的最小值为π3，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了()()sin f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 二、填空题13．化简4log 32.5log 6.25lg0.0012++=_____．【答案】【分析】利用对数的运算性质和换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】由对数的运算性质得，原式log 232.51log 2.5lg10222312-=++⨯-=-+-=故答案为： 【点睛】本题考查对数的运算，涉及对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 【答案】12- 【分析】运用向量加法公式和向量平行公式即可. 【详解】向量()1,2a =-，(),1b m = ，所以()1,3a b m +=-，若向量a b +与a 平行，可得()13210m -⨯--= ，解得12m =-. 故答案为:12-15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则12b a +的最小值是________ 【答案】3+ 【分析】由题意得出11221b aa a+=+-，令0,10x a y a =>=->，结合基本不等式得出最小值.【详解】 由题意得101b a =>-，11221b a a a +=+- 令0,10x a y a =>=->，则1x y +=1121222()3323y x y b x y a x y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当y =，即1a =时，取等号，则12b a+的最小值是3+故答案为：3+16．函数12log y =的值域为____________，单调递增区间为__________．【答案】[)1,-+∞ ()1,1- 【分析】先由题意求出函数的定义域，令()g x = ，确定其单调性和值域，再利用复合函数的单调性判断原函数的单调性即可求解. 【详解】令2032x x -->，即2230x x +-<，解得：31x -<< 所以函数的定义域为{}|31x x -<<，12log y =()12log y g x =和()g x =因为()12log y g x =为减函数，要求12log y =()g x =()g x =()1,1-，所以12log y =()1,1-，因为()02g x <==≤，所以11222log log 1y =-=， 所以原函数的值域为[)1,-+∞， 故答案为：[)1,-+∞；()1,1- 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先求函数的定义域，研究函数的单调性和值域都是在函数的定义域范围内研究，()02g x <==≤，即可根据对数函数的性质求值域.三、解答题17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-. （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若25=5a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值 （1）//sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-， ()()3423sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241θθθθθθ⨯----∴===++⨯-+ （2）由题可得()21cos sin 12cos sin 5x x x x -=-⋅=， 所以42cos sin 5x x ⋅=， 所以()29cos sin 12cos sin 5x x x x +=+⋅=， ∵x 是第三象限角，∴cos sin x x +=； 18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2a ＋b ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，－5≤()f x ≤1.（1）求常数a ，b 的值；（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.【答案】（1）25a b =⎧⎨=-⎩；（2）单调增区间2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；对称轴方程,62k x k Z ππ=+∈. 【分析】（1）首先求sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域，结合a >0且－5≤()f x ≤1即可求a ，b 的值；（2）利用三角函数的单调区间，结合复合函数单调性知2π＋2kπ ≤ 2x ＋6π≤32π＋2kπ为单调增，同时由正弦函数的对称轴方程知2,62x k k Z πππ+=+∈，即可求单调递增区间及对称轴方程； 【详解】（1）由x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，知：6π≤ 2x ＋6π≤76ππ，∴－12≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，又a > 0，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有－5≤()f x ≤1， ∴22521a a b a a b -++=-⎧⎨++=⎩，即25a b =⎧⎨=-⎩（2）()f x ＝－4sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭－1， 由2π＋2kπ ≤ 2x ＋6π≤32π＋2kπ，k ∈Z ，得6π＋kπ ≤ x ≤23π＋kπ，k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )， 令2,62x k k Z πππ+=+∈，得：,62k x k Z ππ=+∈， ∴对称轴方程为：,62k x k Z ππ=+∈； 【点睛】本题考查了三角函数，利用三角函数的性质求参数、单调区间、对称轴方程，注意复合函数的单调性判断，属于中档题；19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）1313-. 【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ，AE 与a ，b 的关系；（2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值. 【详解】 解法一：（1）由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭.（2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =， 所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22212124123413||192343943292AE a b a a b b ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设AE与AB的夹角为θ，则1cos||||13AE ABAE ABθ-⋅===，所以在AE与AB夹角的余弦值为13-.解法二：（1）同解法一.（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A，12⎛-⎝⎭B，12C⎛⎝⎭，(3,0)D.因为E是CD的中点，所以7 4E⎛⎝⎭，所以74AE⎛=⎝⎭，12AB⎛=-⎝⎭，所以71142422AE AB⎛⎫⋅=⨯-+⨯=-⎪⎝⎭，7||42AE⎛==设AE与AB的夹角为θ，则1cos13||||13AE ABAE ABθ-⋅===-，所以AE与AB夹角的余弦值为【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）32万部，最大值为6104万美元.【分析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可. （2）当040x<时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论. 【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=， 解得6k =， 当040x<时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-，当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x<时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==；②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000400001621600x x x+=，当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 21．已知函数2()223f x x mx m =+--.（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围；（2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()1,-+∞；（2）9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据二次函数的性质以及零点存在性定理可得()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解不等式组即可.（2）将不等式转化为22(21)80x m x m -+++≥在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，令21()2(21)82g x x m x m x ⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭，讨论二次函数的性质，只需()min 0g x ≥，解不等式即可求解. 【详解】（1）由于2()223f x x mx m =+--的图象开口向上， 且在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一零点，故()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即23010m m --<⎧⎨--<⎩，解得1m >-，即实数m 的取值范围为()1,-+∞.（2）不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，()2222313132(21)801m x mx m m x x m x m +--⇔+--≥⇔-+++≥，令21()2(21)82g x x m x m x ⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭，其对称轴为214124m m x =++=， 当12m ≤时，对称轴11242m x =+≤， ∴()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()802g x g ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭，故12m ≤满足题意.当12m >时，对称轴11242m x =+>， 又()0g x ≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，故214463024m g m m ⎛⎫+=-++≥ ⎪⎝⎭，解得7922m -≤≤，故1922m <≤，综上，实数m 的取值范围为9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22．已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)若关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范围.【答案】(1)1；(2)()f x 为减函数，证明见解析；(3)3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【分析】(1)由奇函数的性质可知，()00f =，从而求解a 值，然后检验证即可. (2)根据定义法证明函数()f x 的单调性，即可.(3)根据函数()f x 为奇偶性，以及单调性，将不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤等价变形为22224m mt m m -≥-+，即，421t m m ≤--+，原问题转化为421t m m≤--+在()1,3m ∈上有解，根据41y m m=--+的单调性，求解最大值，即可. 【详解】(1)由()f x 为定义在R 上奇函数可知，()00f =，解得1a =. 经检验，此时对任意的x 都有()11212122222x x xxxf x ---=-+=-⨯+++ ()111121221221121212xx x x x=-+=-+=-+-++++-()1121222111x x f x ⎛⎫=-=--+= ⎪++⎝⎭故1a =.(2)由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，证明如下：对于任意实数1x ，2x ，不妨设12x x <()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++∵2x y =递增，且12x x <∴12022x x <<即21220x x ->，1210x +>，2210x +>∴()()120f x f x ->,∴()()12f x f x >故()f x 在R 上为减函数.(3)由()f x 为奇函数得：()()222420f m m f m mt -+-+-≤等价于()()22224f m mt f m m -≤-+.又由()f x 在R 上为减函数得：22224m mt m m -≥-+即224mt m m ≤-+-因为()1,3m ∈，所以421t m m ≤--+.若使得关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解 则需421t m m ≤--+在()1,3m ∈上有解41y mm =--+在区间()1,2上单调递增，在区间[)2,3上单调递减∴当2m =时，41y m m =--+取得最大值3-.∴23t ≤-，解得32t ≤-∴t 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明及其应用，属于较难的题.。
江苏省如皋中学2020-2021学年度高三第一学期阶段检测数学试卷附参考答案
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤-⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题2
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题2一、单选题1.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42.已知,x y R ∈，则“220x y +=”是“0xy =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A ．1+=x yB ．3x y -=C ．x y 1=D ．xx y =4．已知a ，(0,)b ∈+∞，22a b +=，则1a b a +的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1,)+∞C ．5[,)2+∞ D ．)+∞5.定义在R 上的奇函数()f x 在定义域上是单调函数，且()10f <，若()()3530f t f t -+-<，则实数t 的取值范围为（ ） A ．()3-，∞B ．()∞+，2C ．()-2∞，D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞35-，6．当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）A ．53B ．5310C ．410D ．4e7．若函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f =( )A ． 1B ．3C ．25D ．278.若关于x 的方程有四个不同的实数解,则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)∞+，1B ．(]5,1C ．[]5,1D ．()5,1二、多选题9. 已知集合{}23100A x Z x x =∈+-<，{}22240B x x ax a =++-=.若A B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-10．已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ） A ．函数y x α=的图象过原点 B ．函数y x α=是偶函数 C ．函数y x α=是单调减函数 D ．函数y x α=的值域为R 11.函数是定义在R 上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是A. 的最大值为B.在上是增函数 C.的解集为D.的解集为12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B ．该单位每月最低可获利20000元C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损三、填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.14.已知x x x f 8)4(+=+，则)(x f =____________.15．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数中：①()1f x x =；②()2f x x =；③()35f x x x =+；④()220 0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).16.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的当=x 时，最小值为_________， 四、解答题17.不等式3201x x +-≥+解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---><解集为B ． （1）求A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 18（1）已知()112231m m m -+=>，求22m m --的值. 19．已知函数()f x ＝21ax bx ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数； （3）解不等式：(1)()0f t f t -+<.20．已知函数()f x 的值满足()0f x >（当0x ≠时），对任意实数x ，y 都有()()() f xy f x f y =⋅，且()11f -=，()279f =，当01x <<时，()()0,1f x ∈. （1）求()1f 的值，判断()f x 的奇偶性并证明； （2）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围.21．已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足(2)1f =，当40x -<≤时，有()4ax bf x x +=+. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式； （3）求函数()f x 在区间(4,4)-上的值域.22．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由； （2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数；（3）若0)y k k =<是闭函数，求实数k 的取值范围五、江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试2六、单选题1.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D2.已知,x y R ∈，则“220x y +=”是“0xy =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )B ．1+=x y B ．3x y -=C ．x y 1=D ．xx y =【答案】 D4．已知a ，(0,)b ∈+∞，22a b +=，则1ab a+的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．[21,)++∞ C ．5[,)2+∞D ．[22,)+∞【答案】B5.定义在R 上的奇函数()f x 在定义域上是单调函数，且()10f <，若()()3530f t f t -+-<，则实数t 的取值范围为（ ） A ．()3-，∞ B ．()∞+，2C ．()-2∞，D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞35-，【答案】C6．当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）A ．53B ．5310C ．410D ．4e【答案】C7．若函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f =( )A ．1B ．3C ．25D ．27【答案】 B8.若关于x 的方程245x x m -+=有四个不同的实数解,则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)∞+，1B ．(]5,1C ．[]5,1D ．()5,1【答案】D七、多选题9. 已知集合{}23100A x Z x x =∈+-<，{}22240B x x ax a =++-=.若A B 中恰有2个元素，则实数a 值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】BD10．已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ） A ．函数y x α=的图象过原点 B ．函数y x α=是偶函数 C ．函数y x α=是单调减函数 D ．函数y x α=的值域为R 【答案】AD 11.函数是定义在R 上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是A. 的最大值为B.在上是增函数 C.的解集为D.的解集为【答案】AD12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（ ）A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B ．该单位每月最低可获利20000元C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 【答案】AD八、填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.【答案】3214.已知x x x f 8)4(+=+，则)(x f =____________.【答案】4,16)(2≥-=x x x f15．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”.给出下列四个函数中：①()1f x x =；②()2f x x =；③()35f x x x =+；④()220 0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号). 【答案】④16.设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的当=x 时，最小值为_________， 【答案】2，9九、解答题17.不等式3201x x +-≥+解集为A ，关于x 的不等式()()()1201x a a x a ---><解集为B ． （1）求A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()[),11,-∞-+∞；（2）2a ≤-或112a ≤<【解析】（1）因为3201x x +-≥+，所以101x x -≥+， 所以()()110,1x x x +-≥≠-， 解得1≥x 或1x <-， 所以()[),11,A =-∞-+∞，（2）因为()()()1201x a a x a ---><， 所以()()120x a x a ---<， 因为1a <， 所以12a a >+， 解得21a x a <<+， 所以()2,1B a a =+ 因为B A ⊆，所以11a ≤-+或21a ≥， 解得2a ≤-或112a ≤<. 18（1）已知()112231m m m -+=>，求22m m --的值.【答案】【解析】11223m m -+=平方得129m m -++=，17m m -∴+=平方得2222249,47m m m m --++=∴+=，12221()245,10m m m m m m m ----=-+=>∴->，12211()()m m m m m m m m -----=-=+-=(2) 2352lg 2lg3111log .log .log 1125891lg0.36lg823++++【答案】11- 【解析】2352lg 2lg3111log .log .log 1125891lg0.36lg823++++2lg53lg 22lg3lg121211lg 2lg3lg5lg12---=+⋅⋅==-=- 19．已知函数()f x ＝21ax bx ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数； （3）解不等式：(1)()0f t f t -+<.解析（1）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21x x +， 此时2()(),()1xf x f x f x x --==-∴+为奇函数， 故()f x ＝21xx+； （2）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++而122100,1xx x -<+>，且1211x x -<<，即1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，()f x 在(－1，1)上是增函数. （3）(1)()()f t f t f t ，又()f x 在(－1，1)上是增函数∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12∴不等式的解集为1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭20．已知函数()f x 的值满足()0f x >（当0x ≠时），对任意实数x ，y 都有()()() f xy f x f y =⋅，且()11f -=，()279f =，当01x <<时，()()0,1f x ∈. （1）求()1f 的值，判断()f x 的奇偶性并证明； （2）判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并给出证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围. 解：（1）令1x y ==-，()11f =； 函数()f x 为偶函数. 证明如下：令1y =-，则()()()1f x f x f -=⋅-，()11f -=，∴()()f x f x -=，故()f x 为偶函数；（2）()f x 在()0,∞+上是增函数. 证明如下：设120x x <<，∴1201x x <<，1112222()()()()x xf x f x f f x x x =⋅=⋅， 则()()()()121222()x f x f x f x f f x x -=-=()122[1()]xf x f x -， 120()1x f x <<，()20f x >，∴()()21f x f x -0>， ∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上是增函数. （3）()279f =，又()()()3939f f f ⨯=⨯=()()()()33333f f f f ⋅⋅=⎡⎤⎣⎦，∴()393f =⎡⎤⎣⎦，∴()3f = ()1f a +≤∴()()13f a f +≤，0a ≥，则11a +≥，又函数()f x 在()0,∞+上是增函数，∴13a +≤，即2a ≤，综上知，a 的取值范围是[]0,2.21．已知函数()f x 是定义在(4,4)-上的奇函数，满足(2)1f =，当40x -<≤时，有()4ax b f x x +=+. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间(0,4)上的解析式；（3）求函数()f x 在区间(4,4)-上的值域.【答案】（1）10a b =⎧⎨=⎩；（2）()4x f x x =-+；（3）R 【解析】（1）由题可知,2(2)12(0)04a b f b f -+⎧-==-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,解得10a b =⎧⎨=⎩； （2）由（1）可知当(4,0)∈-x 时,()4x f x x =+, 当(0,4)x ∈时,(4,0)-∈-x ,()()44x x f x f x x x -=--=-=-+-+. （3）4()14f x x =---, 当(0,4)x ∈时,4(,1)4x ∈-∞--, 4()1(0,)4f x x =--∈+∞-, ∵()f x 是奇函数,∴(4,0)∈-x 时,()(,0)f x ∈-∞,又∵(0)0f =,∴()f x 的值域为R .22．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由；（2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数；（3）若0)y k k =<是闭函数，求实数k 的取值范围【详解】（1）函数f （x ）在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．（2）先证y ＝﹣x 3符合条件①：对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，且x 1＜x 2，有331221y y x x -=-＝()()22212121x x x x x x -++＝()222121113024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ∴y 1＞y 2，故y ＝﹣x 3是R 上的减函数．又因为y ＝﹣x 3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]． 所以函数y ＝﹣x 3（x ∈[﹣1，1]）为闭函数；（3）易知y k =0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则有a k b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩故a ，b是x k =22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪⎨⎪⎩有两个不等非负实根；设x 1，x 2为方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0的二根，则2212212(21)402100k k x x k x x k k ⎧∆=+->⎪+=+>⎪⎨=⎪⎪<⎩，解得：104-<<k ∴k 的取值范围：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
2020-2021学年江苏省如皋市第一中学高一上学期学校调研测试3数学试题 Word版
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试3一、单选题1. 已知集合{}1<=x x A ，{}022<-=x x x B ，则=B A （ ）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．()+∞,0D ．φ2． 若扇形的面积为16cm 2,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（ ）cm ．A ．4B ．8C ．12D ．163.已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3 B ．3-C ．3D ．3-4.已知幂函数()223()22mm f x m m x-+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3-5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知()2f x -是偶函数、()f x 在(],2-∞-上单调递增，()10f =．若()210f m ->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,1- B ．()3,1-C ．1,2D ．()2,2-7.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（ ）A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<8．已知函数()()ϕω+=x x f sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>2π0,0ϕω在⎪⎭⎫ ⎝⎛85π,8π上单调，且083π8π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，则⎪⎭⎫⎝⎛2πf 的值为（ ）A ．22B ．1C ．1-D ．22-二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数有（ ） A ．cos y x x =B ．2y ex x =+C．y =D ．sin y x x =10.有如下命题，其中真命题的标号为（ ） A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点(1,2) C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]11.对于函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ）.A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 D ．π6x =为()πf x +的一个零点 12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ）A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy+最小值为4三、填空题13. 函数x y 2tan =在区间ππ,]86（上的值域为 ． 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 15．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.16.已知函数51,01()21,1xx x f x x -<<⎧=⎨+≥⎩，设0m n >>，若()()f n f m =，则()n f m ⋅的取值范围是__________．四、解答题17.计算下列各式的值.（1）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++ （2）若α为第二象限角，4sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，()()()()()7sin 5cos tan 2tan 19sin f παπαπααπαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----，求()f α的值；18.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求AB ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，①必要不充分条件，①充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题. 19．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.20．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π= .（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间;21．已知函数1()ln1x f x x +=-. (1)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性;(2)解不等式:22(3)(247)0f x x f x x +++-+->. 22．已知函数()()1931xxf x a a =+⋅-⋅-（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若方程()0f x =在R 上有两个不相等的实数根据，求实数a 的取值范围江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试3一、单选题1. 已知集合{}1<=x x A ，{}022<-=x x x B ，则=B A （ ）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．()+∞,0D ．φ答案A2． 若扇形的面积为16cm 2,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（ ）cm ．A ．4B ．8C ．12D ．16答案.B3.已知πcos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．3 B ．3-C ．3D ．3-【答案】B4.已知幂函数()223()22m m f x m m x-+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3- 【答案】C5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A6.已知()2f x -是偶函数、()f x 在(],2-∞-上单调递增，()10f =．若()210f m ->，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,1- B ．()3,1-C ．1,2D ．()2,2-【答案】A7.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（ ）A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<【答案】D8．已知函数()()ϕω+=x x f sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>2π0,0ϕω在⎪⎭⎫ ⎝⎛85π,8π上单调，且083π8π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，则⎪⎭⎫⎝⎛2πf 的值为（ ）A ．22B ．1C ．1-D ．22-【答案】D二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数有（ ） A ．cos y x x = B ．2y ex x =+C．y =D ．sin y x x =【答案】CD10.有如下命题，其中真命题的标号为（ ） A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD11.对于函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ）.A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 D ．π6x =为()πf x +的一个零点 【答案】ACD12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ）A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy+最小值为4【答案】AB三、填空题13. 函数x y 2tan =在区间ππ,]86（上的值域为 ．1（ 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 【答案】43-15．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.【答案】216.已知函数51,01()21,1xx x f x x -<<⎧=⎨+≥⎩，设0m n >>，若()()f n f m =，则()n f m ⋅的取值范围是__________．【答案】11[,4)5五、解答题17.计算下列各式的值.（1）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++ （2）若α为第二象限角，4sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，()()()()()7sin 5cos tan 2tan 19sin f παπαπααπαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----，求()f α的值；（【答案】 （1）52.（2）35.18.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求A B ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题.【答案】（1）{}35A B x x ⋂=<≤，(){3R A B x x ⋂=≤或}5x >；（2）选择①，1a ≤-；选择②，532a <≤；选择③，无解. 19．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()max 3f x =；()min 2f x =；（2）()1,+∞.【分析】 （1）由42ππx ≤≤，可得22633x πππ≤-≤，结合三角函数的性质，即可求解； ()2由不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，转化为()2f x m <+对42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，结合函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为42ππx ≤≤，可得22633x πππ≤-≤， 所以当232x ππ-=，即512x π=时，函数取得最大值，最大值为()max 3f x =； 当236x ππ-=，即4x π=时，函数取得最小值，最小值为()min 2f x =.()2由题意，不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即不等式()2f x m <+对42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，又当42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()max 3f x =，所以23m +>，解得1m ，故m 的取值范围是()1,+∞.20．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π= .（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间;解：（1）8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ-<<，34πϕ∴=-（2）由（1）知3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 52,88k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 所以函数3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 21．已知函数1()ln1x f x x +=-. (1)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性;(2)解不等式:22(3)(247)0f x x f x x +++-+->. (1)令12()111x g x x x +==+--,易知()g x 在区间(1,)+∞单调递减, 由复合函数的单调性可得()f x 在区间(1,)+∞单调递减; (2)函数()f x 为奇函数. 证明如下:由101x x +>-,解得1x <-或1x >, 所以函数的定义域为()(),11,-∞-+∞.对任意的()(),11,x ∈-∞-+∞,有11111()ln ln ln ln ()1111x x x x f x f x x x x x ----++⎛⎫-====-=- ⎪--+--⎝⎭, 所以函数()f x 为奇函数.由221113124x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭;222472(1)51x x x -+=-+>所以222(3)(247)(247)f x x f x x f x x ++>--+-=-+,等价于223247x x x x ++<-+,2540x x -+>，(1)(4)0x x -->．∴()(),14,x ∈-∞+∞.22．已知函数()()1931x x f x a a =+⋅-⋅-（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若方程()0f x =在R 上有两个不相等的实数根据，求实数a 的取值范围【答案】（1）{}0x x ≥；（2）1a <-且2a ≠-.【分析】（1）将1a =代入，解指数型不等式：29310x x ⋅--≥即可求解. （2）方法一：根据解析式可得：()()131310x x a ⎡⎤+⋅+-=⎣⎦，从而只需111101a a ⎧-≠⎪⎪+⎨⎪->⎪+⎩，解不等式即可；方法二：令()30x t t =>，只需()2110a t at +--=在()0,∞+上有两个不等的实根，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】（1）当1a =时，()2931x xf x =⋅--，∴29310x x ⋅--≥， ∴()()231310x x ⋅+-≥，∴0x ≥，∴不等式的解集为{}0x x ≥.（2）法一：()()()()1931131310x x x x f x a a a ⎡⎤=+⋅-⋅-=+⋅+-=⎣⎦， ∴31x =或()1310xa +⋅+=， ∵()0f x =在实数集R 上有两个不相等的根， ∴111101a a ⎧-≠⎪⎪+⎨⎪->⎪+⎩，∴1a <-且2a ≠-. 法二：令()30x t t =>，则()2110a t at +--=在()0,∞+上有两个不等的实根，∴()210102410a a aa a +<⎧⎪+⎪>⎨⎪=++>⎪⎩，∴12a a <-⎧⎨≠-⎩. 所以实数a 的取值范围1a <-且2a ≠-.。
2020-2021学年江苏省如皋中学高一上学期第一次阶段检测数学(创新班)试题及答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设全集=R U ，集合{}{}=13=24A x x B x x ≤≤<<，，则( )A ．{}23x x <≤B ．{}14x x ≤<C ．{}12x x ≤≤D ．{}12x x ≤< 2．若角α为第二象限角，则角2α为( )象限角． A ．第一B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三 3．已知()3log f x x =，若()()1f f a =，则实数a 的值是()A ．3B ．9C ．27D ．814．已知扇形的圆心角为32π，半径为cm 3，则扇形的面积是( ) A ．3πB ．3π2cmC ．3π±2cmD ．π2cm5．代数式()21lg910lg 2lg 2lg5lg5+++⨯+的值是( ) A ．90 B ．91 C ．101D ．1096．函数()()2ln 2f x x x =-的单调减区间是( )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．()2+∞，D ．(),0-∞7．以下命题：①对于定义在R 上的函数()f x ，若()()11f f -=-，则()f x 一定不是偶函数； ②幂函数y x α=图象与坐标轴无公共点的充要条件是0α<； ③函数()22xg x x =-只有两个零点；④存在周期函数无最小正周期. 其中，假命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．设()2,0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为是（ ）A ．[]0,2B ．(][),02,-∞+∞C ．[]1,2-D ．[]2,1-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分. 9．下列给出的角中，与11π3-终边相同的角有( ) A ．π3B ．13π3 C ．2π3- D ．29π3-10．下列能成为26x >充分条件的是( ) A ．111x ->B ．101000x >C ．22350x x -->D ．2log 4x >11．若函数()()sin f x x ω=的最小正周期为4π，则ω的值可能是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：在平面直角坐标系中，能够将圆心在坐标原点的圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题： 对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；函数()()22log +1f x x x =+可以是某个圆的“优美函数”；余弦函数cos y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形．其中，所有真命题的选项为（ ） A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应．．．．． 位置上．．．. 13．若角πα+终边上一点坐标为()5,12-，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭▲ ．14．若,x y为正数，满足x y +=222log 3log log x y=+ ▲ ． 15．若函数22()24f x x ax a =-+-在区间2[2,](0)a a a ->上的值域为[4,0]-，则实数a 的 取值范围是 ▲ ．16．若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有正实根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知集合{}(6)(25)0A x x x a =--->，集合{}2(2)(2)0B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦，其中a 为实数.（1）若5a =，求集合A B ；（2）若12a >，且B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将角α的终边顺时针旋转π2后得到角β，记角β的终边与单位圆的交点为Q ． （1）若45m =-，求Q 点的坐标；（2）若7sin cos 5ββ+=，求tan α的值．19．(本小题满分12分)已知函数4()mf x x x=-，且(4)3f =． （1）判定()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并用定义证明．20．(本小题满分12分)已知()π()sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭．某同学用“五点法”画()f x 在一个周期上的简图时，列表如下：（1）因不慎将墨汁泼在表格阴影部分，请你将缺失数据补在答题卡上表格的相应位置，并在坐标系中画出()f x 在π3π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的简图；（2）求函数()f x 的单调增区间．21．(本小题满分12分)已知函数2()4log f x x =-，(2)x g x =． （1）求函数()()()()()2f xg x f x g x M x +--=的最大值；（2）若对任意的1[,8]4x ∈，不等式32()()()f x f x kg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=，其中k 为正常数．（1）设12u x x =，求u 的取值范围； （2）求证：当1k ≥时，不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-对任意12(,)x x D ∈恒成立； （3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的正数．．k 的取值范围．2020~2021学年度第一学期第一次阶段检测高一数学（创新班）参考答案1-5．CDCBB 6-8．DBA 9．ABD 10．BD 11．BC 12．AB 13．513 14．14 15．[1,2] 16．2(,]3-∞- 17．解：（1）若5a =，则{}{}(6)(25)0(6)(15)0A x x x a x x x =--->=-->， 解得()(),615,A =-∞+∞． …………………………………………2分{}()(){}2(2)(2)010270B x x a x a x x x ⎡⎤=--+<=--<⎣⎦，解得()10,27B =． ………………………………………………………4分 所以()15,27AB =． …………………………………………………5分（2）若12a >，则256a +>，222a a +>，…………………………6分 所以()(),625,A a =-∞++∞，()22,2B a a =+．…………………7分因为B A ⊆， ………………………………………………………………8分 所以226a +≤，即24a ≤，解得22a -≤≤． ………………………9分 因为12a >，所以122a <≤，所以实数a 的取值范围是1,22⎛⎤⎥⎝⎦．……10分 （每少1个题目条件扣1分）18．解：因为角α的终边与单位圆交于点3,5P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin ,cos 5m αα==-．……2分 因为角α的终边顺时针旋转π2后得到角β，所以π33sin sin cos 255βαα⎛⎫⎛⎫=-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πcos cos sin 2m βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭． ……………………………………………………4分（1）当45m =-时，因为角β的终边与单位圆的交点为Q ， 所以点Q 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭．……………………………………………………………6分 （2）因为7sin cos 5ββ+=，3sin 5β=，所以4cos 5β=，即4sin 5α=．………8分 因为3cos 5α=-，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--．………………………………12分 （其他方法酌情给分，每少1个题目条件扣1分，不写公式扣2分，不代数据扣2分） 19．解：由(4)3f =，得413m -=，解得1m =，所以，4()f x x x =-.……1分 （1）()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，且44()()f x x x f x x x⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以，()f x 为奇函数. ……………………………………………………………4分 （说明：不写定义域扣2分）（2）()f x 在()0,+∞上单调递增. ………………………………………5分 证明：设12,x x 为()0,+∞上任意两个实数，且12x x <，则120x x -<，120x x >()12121212124444()()f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………8分()()()21121212124410x x x x x x x x x x -⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭所以，()f x 在()0,+∞上单调递增. …………………………………12分20．解：（1）因为π3π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦为()f x 一个周期的区间，所以3ππ2π4123T =-=，…………2分 所以2π2π3T ω==，解得3ω=，……………………………………………………………4分 所以π()sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π34x -π2π3π22ππsin 34x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 01 0 1- 0………………………………………………………………6分……………………8分（2）因为π()sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以πππ2π32π,242k x k k Z -+≤-≤+∈，解得π2ππ2π,12343k k x k Z -+≤≤+∈，………10分 所以函数()f x 的单调增区间为π2ππ2π,,12343k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．…………………………12分 21．解：(1)令20x t =>，则2log x t =，于是2()log g t t =，则函数2()log g x x =． …………1分 2()()42log f x g x x -=-，当04x <≤时，()()f x g x ≥；当4x >时，()()f x g x <，所以22log ,04,()4log , 4.x x M x x x <≤⎧=⎨->⎩ …………………………………………………………………3分 当04x <≤时，()M x 单调递增，2()log 42M x ≤=； 当4x >时，()M x 单调递减，2()4log 42M x <-=.所以当4x =时，连续函数()M x 取最大值2. ……………………………………………5分 (2)因为32()()()f x f x kg x ⋅>，令2log u x =，1[,8]4x ∈，则[2,3]u ∈-.故(43)(42)u u ku -->对任意[2,3]u ∈-恒成立.令()u ϕ=2(43)(42)6(20)16u u ku u k u ---=-++，则[2,3]u ∈-时，()0u ϕ>恒成立. …7分 因为()u ϕ的图象抛物线开口向上，对称轴方程为2012k u +=，所以， ①当20212k +≤-，即44k ≤-时，函数()u ϕ在[2,3]-上单调递增， 故由(2)2800k ϕ-=+>，得40k >-，又因为44k ≤-，所以，实数k 不存在； …………………………………………9分xOy②当20312k +≥，即16k ≥时，函数()u ϕ在[2,3]-上单调递减，故由(3)1030k ϕ=->，得103k <，又因为16k ≥，所以，实数k 不存在. …………………………………………10分 ③当202312k +-<<，即4416k -<<时，函数()u ϕ在20[2,]12k +-上单调递减，在20[,3]12k +上单调递增，故由20()012k ϕ+>，得2020k --<-+ 综上，实数k的取值范围是(20,20---+. …………………………………………12分（注：第(2)问利用分离参数k 求解和特值缩参求解对应给分）22．解：（1）221212()24x x k x x +≤=，当且仅当122k x x ==时等号成立， 故u 的取值范围为2(0,]4k． ……………………………………………2分（2）变形，得121212121221111()()x x x x x x x x x x x x --=+-- 222212121212121211122x x k k x x x x u x x x x x x u+--=+-=-+=-+. ………4分由204k u <≤，又1k ≥，210k -≥，所以21()2k f u u u -=-+在2(0,]4k 上是增函数， 所以121211()()x x x x --=212k u u--+22222214222()4424k k k k k k k -≤-+=-+=-． 即当1k ≥时不等式21212112()()()2k x x x x k--≤-成立．……………6分 （3）令121211()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则)4()22(22k f k k =-，即求使2()()4k f u f ≥对2(0,]4k u ∈恒成立的k 的范围．……………8分由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数21()2k f u u u-=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥，必有24k ≤，即4216160k k +-≤，解得0k <≤．…………………12分。
2021届江苏省如皋中学高三第一学期阶段检测试卷 数学
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤-⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。
江苏省如皋中学2020-2021学年度高三第一学期阶段检测试卷数学
2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（ ）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3）4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ） A ．单调递增 B ．单调递减C ．在上递增，在上递减 D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤⎦B ．1⎤-+⎦C.2⎤+⎦ D ．1⎤-⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为 A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x10. 给出四个选项能推出1a <1b的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。
江苏省如皋市2020-2021学年度高一第一学期期末质量调研模拟数学试题 (含答案)
数学试题
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，满分 40 分）
1. 设全集 뜀 嫿，集合 뜀 鬂ĀĀ 䓨，集合 뜀 鬂ĀĀ 1䓨，则
t뜀 t
A. 1t
B. 1
C. 1 m t
D. 1 m t
. “ 뜀 ”是“函数 Āt 뜀 Ā 在区间 m t上为增函数”的 t
A. 1 m t
B. 1 m t
C.
1t
D.
1t
5. 已知函数 Āt 뜀 Ā与函数 Ā 的图像关于 뜀 Ā 对称，且 Āt 뜀
1Ā 1mĀ
t，有如下五个
命题，正确的个数为 t
函数 Āt的定义域为 1 1t； 函数 Āt是偶函数；
若
뜀
，则 m 的取值范围是 m
对于任意的
1 1t，都有
tm
t뜀
m 1m
t．
A. 充分条件不必要
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1
1
3. 已知 뜀 1 ， 뜀 3 ， 뜀 log 3，则 a，b，c 的大小关系为 t
A.
B.
C.
D.
. 已知函数 Āt 뜀 log Ā m t m 3 的图象恒过定点 t t，且函数 Āt 뜀 tĀ
Ām
在 1 m t上单调递减，则实数 b 的取值范围是 t
1t求 的弧度；
cos m sin
t求
cos
11
sin 诊 m 的值．
高一数学模拟 第3页共4页
1诊. 在 뜀 Ā Ā m Ā 的问题中．
， 뜀 Ā 뜀 Ā 1 这两个条件中任选一个，补充在下面
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题3
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一数学上学期学校调研测试试题3一、单选题 1. 已知集合{}1<=x xA ，{}022<-=x x x B ，则=B A （ ）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．()+∞,0D ．φ 2． 若扇形的面积为16,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（ ）cm ．A ．4B ．8C ．12D ．163.已知π3cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．33B ．33-C ．63D ．63-4.已知幂函数()223()22m m f x m m x -+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3-5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知()2f x -是偶函数、()f x 在(],2-∞-上单调递增，()10f =．若()210f m ->，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,1-B ．()3,1-C ．1,2D ．()2,2-7.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（ ）A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<8．已知函数()()ϕω+=x x f sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>2π0,0ϕω在⎪⎭⎫ ⎝⎛85π,8π上单调，且083π8π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，则⎪⎭⎫⎝⎛2πf 的值为（ ） A ．22 B ．1 C ．1- D ．22-二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数有（ ） A ．cos y x x =B ．2y ex x =+C ．y x 2=-2D ．sin y x x =10.有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)2f >B ．函数1()1x f x a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 11.对于函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ）.A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 D ．π6x =为()πf x +的一个零点12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ） A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy +最小值为4三、填空题13. 函数x y 2tan =在区间ππ,]86（上的值域为 ． 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________.15．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.16.已知函数51,01()21,1xx x f x x -<<⎧=⎨+≥⎩，设0m n >>，若()()f n f m =，则()n f m ⋅的取值范围是__________．四、解答题17.计算下列各式的值. （1）ln 2145log 22lg 4lg 8e+++（2）若α为第二象限角，4sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()()()()7sin 5cos tan 2tan 19sin f παπαπααπαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----，求()f α的值；18.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求A B ，()R A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题. 19．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围. 20．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π= .（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间; 21．已知函数1()ln1x f x x +=-. (1)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性; (2)解不等式:22(3)(247)0f x x f x x +++-+->.22．已知函数()()1931x xf x a a =+⋅-⋅-（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若方程()0f x =在R 上有两个不相等的实数根据，求实数a 的取值范围江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试3一、单选题 1. 已知集合{}1<=x xA ，{}022<-=x x x B ，则=B A （ ）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．()+∞,0D ．φ 答案A2． 若扇形的面积为16,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（ ）cm ．A ．4B ．8C ．12D ．16 答案.B3.已知π3cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．33B ．33-C ．63D ．63-【答案】B4.已知幂函数()223()22m m f x m m x -+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3- 【答案】C5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A6.已知()2f x -是偶函数、()f x 在(],2-∞-上单调递增，()10f =．若()210f m ->，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,1-B ．()3,1-C ．1,2D ．()2,2-【答案】A7.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（ ）A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<【答案】D8．已知函数()()ϕω+=x x f sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>2π0,0ϕω在⎪⎭⎫ ⎝⎛85π,8π上单调，且083π8π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，则⎪⎭⎫⎝⎛2πf 的值为（ ） A ．22 B ．1 C ．1- D ．22-【答案】D二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数有（ ） A ．cos y x x = B ．2y ex x =+ C ．y x 2=-2D ．sin y x x =【答案】CD10.有如下命题，其中真命题的标号为（ ）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2] 【答案】BD11.对于函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 D ．π6x =为()πf x +的一个零点【答案】ACD12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（ ）A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy +最小值为4【答案】AB三、填空题13. 函数x y 2tan =在区间ππ,]86（上的值域为 ．1（ 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________.【答案】43-15．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______. 【答案】216.已知函数51,01()21,1x x x f x x -<<⎧=⎨+≥⎩，设0m n >>，若()()f n f m =，则()n f m ⋅的取值范围是__________．【答案】11[,4)5五、解答题17.计算下列各式的值.（1）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++ （2）若α为第二象限角，4sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()()()()7sin 5cos tan 2tan 19sin f παπαπααπαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----，求()f α的值；（【答案】 （1）52.（2）35.18.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求A B ，()R A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题.【答案】（1）{}35A B x x ⋂=<≤，(){3R A B x x ⋂=≤或}5x >；（2）选择①，1a ≤-；选择②，532a <≤；选择③，无解. 19．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()max 3f x =；()min 2f x =；（2）()1,+∞. 【分析】（1）由42ππx ≤≤，可得22633x πππ≤-≤，结合三角函数的性质，即可求解； ()2由不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，转化为()2f x m <+对42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，结合函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为42ππx ≤≤，可得22633x πππ≤-≤， 所以当232x ππ-=，即512x π=时，函数取得最大值，最大值为()max 3f x =； 当236x ππ-=，即4x π=时，函数取得最小值，最小值为()min 2f x =.()2由题意，不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即不等式()2f x m <+对42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立， 又当42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()max 3f x =，所以23m +>，解得1m，故m 的取值范围是()1,+∞.20．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间; 解：（1）8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ-<<，34πϕ∴=-（2）由（1）知3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭由题意得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 52,88k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 所以函数3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦21．已知函数1()ln1x f x x +=-. (1)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性; (2)解不等式:22(3)(247)0f x x f x x +++-+->. (1)令12()111x g x x x +==+--,易知()g x 在区间(1,)+∞单调递减, 由复合函数的单调性可得()f x 在区间(1,)+∞单调递减; (2)函数()f x 为奇函数. 证明如下:由101x x +>-,解得1x <-或1x >, 所以函数的定义域为()(),11,-∞-+∞. 对任意的()(),11,x ∈-∞-+∞,有11111()ln ln ln ln ()1111x x x x f x f x x x x x ----++⎛⎫-====-=- ⎪--+--⎝⎭, 所以函数()f x 为奇函数.由221113124x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭;222472(1)51x x x -+=-+> 所以222(3)(247)(247)f x x f x x f x x ++>--+-=-+,等价于223247x x x x ++<-+,2540x x -+>，(1)(4)0x x -->．∴()(),14,x ∈-∞+∞.22．已知函数()()1931x x f x a a =+⋅-⋅-（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若方程()0f x =在R 上有两个不相等的实数根据，求实数a 的取值范围【答案】（1）{}0x x ≥；（2）1a <-且2a ≠-.【分析】（1）将1a =代入，解指数型不等式：29310x x ⋅--≥即可求解.（2）方法一：根据解析式可得：()()131310x x a ⎡⎤+⋅+-=⎣⎦，从而只需111101a a ⎧-≠⎪⎪+⎨⎪->⎪+⎩，解不等式即可；方法二：令()30x t t =>，只需()2110a t at +--=在()0,∞+上有两个不等的实根，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】（1）当1a =时，()2931x x f x =⋅--，∴29310x x ⋅--≥，∴()()231310x x ⋅+-≥，∴0x ≥，∴不等式的解集为{}0x x ≥.（2）法一：()()()()1931131310x x x x f x a a a ⎡⎤=+⋅-⋅-=+⋅+-=⎣⎦， ∴31x =或()1310x a +⋅+=，∵()0f x =在实数集R 上有两个不相等的根， ∴111101a a ⎧-≠⎪⎪+⎨⎪->⎪+⎩，∴1a <-且2a ≠-.法二：令()30x t t =>，则()2110a t at +--=在()0,∞+上有两个不等的实根， ∴()210102410a a a a a +<⎧⎪+⎪>⎨⎪=++>⎪⎩，∴12a a <-⎧⎨≠-⎩. 所以实数a 的取值范围1a <-且2a ≠-.。
江苏省南通市如皋市2020-2021学年高一上学期期末数学试题
2020-2021学年度高一第一学期期末质量调研模拟数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）1. 设全集U =R ，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则M ∩（U C N ）=（ ） A. 0,1 B. 0,1C. [)1,+∞D. 1,C先求出{|11}N x x =-<<和UN ，再求M ∩（U C N ）得解.由题得2{|1}{|11}N x x x x =<=-<<， 所以{|1UN x x =≤-或1}x ≥，所以M ∩（U C N ）=[)1,+∞.故选：C本题主要考查集合的补集和交集运算，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. “2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 A试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.考点：充分必要性．3. 已知1212a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. b a c <<B首先根据幂函数的性质得到1a b >>，根据对数函数的性质得到1c <，从而得到答案.1122122a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，11223443b -⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10122441233⎛⎫⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1a b ∴>>， 44log 3log 41c =<=，a b c ∴>>，故选：B4. 已知函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n =-+在[1,)+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. [1,)-+∞ C. (,1)-∞- D. (,1)-∞B根据对数函数图像的性质可确定定点(),m n ，再根据二次函数的性质可求实数b 的取值范围. ∵函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，令21x +=，求得1x =-，3y =，故它的图象经过定点()1,3-，∴1m =-，3n =．故函数()22223g x mx bx n x bx =-+=--+，因为()g x 在[1,)+∞上单调递减，∴1bb m=-≤，∴1b ≥-，故选：B ． 本题考查含参数的对数型复合函数的图象过定点问题、二次函数的单调性，前者是在函数图象上找一个与参数无关的点（即真数部分整体为1），后者可根据开口方向和对称轴的位置来考虑．5. 已知函数()xh x e =与函数()g x 的图像关于y x =对称，且()11x f x g x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，有如下五个命题，正确的个数为（ ）①函数()f x 的定义域为()1,1-； ②函数()f x 偶函数③若()()()g a b g b a =<，则4a b +的取值范围是[)4,+∞④对于任意的(),1,1a b ∈-，都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⑤对于函数()f x 定义域中任意的两个不同实数1x ，2x ，总满足()()12120f x f x x x ->-．A. 4B. 3C. 2D. 1C①首先求()1ln1x f x x -=+，根据101xx->+求函数的定义域，②利用偶函数的定义判断函数是否是偶函数，③利用a b <，去绝对值，求得1ab =，再利用基本不等式求4a b +的取值范围；④利用函数的解析式，代入证明等式；⑤利用复合函数的单调性，判断函数是否是增函数.由条件可知()ln g x x =，()11ln 11x x f x g x x --⎛⎫== ⎪++⎝⎭， ①10111xx x->⇔-<<+，所以函数的定义域为()1,1-，故①正确； ②()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭，函数是奇函数，故②不正确； ③()ln ln ,a b a b =<，则ln ln ln ln 01a b a b ab -=⇔+=⇒=，0,0a b >>，44a b +≥=，当4a b =时等号成立，a b <，等号不能取得，∴4a b +的取值范围是()4,+∞，故③不正确；④()()()()()()()()11111ln ln ln ln 11111a b a b ab a bf a f b a b a b a b ab---++--+=+==+++++++， ()()111ln ln 1111a bab a b a b ab f a b ab ab a b ab+-+-++⎛⎫+== ⎪+++++⎝⎭++，所以()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，故④正确； ⑤()()1212lnln ln 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，211t x =-++在()1,1-上单调递减，根据复合函数的单调性可知()f x 在()1,1-上单调递减，而()()12120f x f x x x ->-表示函数单调递增，故⑤不正确.故选：C关键点点睛：本题的第一个关键是正确求出函数()1ln1xf x x-=+，这样为后面的性质判断提供基础，后面再判断函数性质时，对于③，根据ln y x =的性质，正确去掉绝对值是关键. 6. 对于函数()f x ，()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得||2αβ-，则称(),()f x g x 互为“零点相邻函数”.若2()3x f x e x -=+-与2()2g x x ax a =---互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A. 142,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 14(,2),5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 14(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B由已知可得()f x 在R 上为增函数，且(2)0f =，从而判断()f x 只有唯一零点2，由题意可得()g x 在[0,4]至少有一零点，令()0g x =，分离参数可得22,[0,4]1x a x x -=∈+， 令22(),[0,4],1x h x x y a x -=∈=+，转化为()h x 与y a =在[0,4]有交点，化简1()11h x x x =--+，由一次函数和反比例函数的单调性可知(),[1,4]h x x ∈为增函数，所以可得14()[2,]5h x ∈-，从而得到a 的取值范围.(2)0f =，且()f x 在R 上为增函数，所以()f x 只有唯一零点2， (),()f x g x 是“零点相邻函数”，()g x 在[0,4]至少有一零点，由2()20g x x ax a =---=，所以22,[0,4]1x a x x -=∈+， 设22(),[0,4],1x h x x y a x -=∈=+，()h x 与y a =在[0,4]有交点， 222(1)2(1)11()1,[0,4]111x x x h x x x x x x -+-+-===--∈+++，一次函数和反比例函数的单调性可知(),[1,4]h x x ∈为增函数， 所以14()[2,]5h x ∈-，要使()h x 与y a =在[0,4]有交点， 需1425a -≤≤，即为a 的取值范围.故选:B. 本题以新定义为背景，考查函数的零点以及零点存在的范围，解题的关键是分离参数构造新函数，转化为参数与新函数的图像、值域关系，属于较难题.7. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln 19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69C将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C. 本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.8. 在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（）A.B.C.D.D以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系.由余弦定理可求出11cos16ABC ∠=， 结合同角三角函数的基本关系可求出sin 16ABC ∠=，从而可求出()0,0B ，()4,0C ，118A ⎛ ⎝⎭，设(),0M x ，用x 表示向量432MA MB MC ++的坐标，从而可求出432MA MB MC ++的表达式，进而可求出最小值.解：由余弦定理可知22222224311cos 222416AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，所以sin ABC ∠=== 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立坐标系，则()0,0B ，()4,0C ，设(),0M x ， 因为1111cos 2168AB ABC ⋅∠=⨯=，sin 2AB ABC ⋅∠==则11315,88A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11315,88MA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),0MB x =-，()4,0MC x =-， 因为()()11274324982x x x x ⎛⎫-+-+-=- ⎪⎝⎭，3153154302082⨯+⨯+⨯= 所以273154329,2MA MB MC x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，则2227315432922MA MB MC x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因227902x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， 当32x =时等号成立，所以315432MA MB MC ++≥，故选:D.本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，全部选对得5分，只要有一个选错得0分，漏选得3分，满分20分）9. 已知集合{|13}A x x =-<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B =∅的一个充分不必要条件是（ ） A. 2m ≤- B. 2m <-C. 2m <D. 43m -<<-BD由A B =∅可得2m ≤-，再由充分不必要条件的定义即可得解. 因为集合{|13}A x x =-<<，集合{|1}B x x m =<+， 所以A B =∅等价于11m +≤-即2m ≤-，对比选项，2m <-、43m -<<-均为A B =∅的充分不必要条件.故选：BD. 本题考查了由集合的运算结果求参数及充分不必要条件的判断，属于基础题. 10. 下列结论中正确的是（ ）A. 终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C. 若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角； D. {}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈，{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈，则M N ⊆． ABD直接以角的表示方法，象限角的概念，集合间的关系求出结果.A.终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在第一和第三象限的角平分线上，故角的集合是,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，正确；B. 将表的分针拨慢10分钟，按逆时针旋转，则分针转过的角的弧度数是3π，正确； C.因为α是第三象限角，即322,2k k k αππ+π<<π+∈Z ，所以3,224k k k απππ+<<π+∈Z ，当k 为奇数时，2α是第四象限角，当k 为偶数时，2α是第二象限角；42243,k k k Z ππαππ+<<+∈，所以2α的终边位置在第一或第二象限或y 轴非负半轴，所以错误； D . {}{}4590,(21)45,M x x k k Z x x k k Z ==︒+⋅︒∈==+⋅︒∈，{}{}9045,(2)45,N y y k k Z y y k k Z ==︒+⋅︒∈==+⋅︒∈，易知M N ⊆，所以正确；故选：ABD. 11. 如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A. 当0x =时，[]2,3y ∈B. 当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C. 若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D. x y -的最大值为1- BCD利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD 结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=. 12. 设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A. 若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；B. 若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C. 若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D. 若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．ACD利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项.解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+， 令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e ∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值，min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根， 等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠， 令0y '>，即ln 1x >，有x e >， 知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e , 由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立， 等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立， 即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数， 即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立， 令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x-'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点， 等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根， 即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根， 由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确.故选：ACD.关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力． 三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知121120510sin sin πθπθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2tan 5πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____. 2121120510sin sin ππθθ⎛⎫⎛⎫++⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111cos cos 2cos cos 0551010sinsin sin sin ππππθθθθ⎛⎫⇒++⨯-= ⎪⎝⎭2222cos cos 2cos cos 05555sinsin sin sin ππππθθθθ⎛⎫⇒++⨯-+= ⎪⎝⎭，等式两边同时除以222cos cos tan tan 2tan tan 10555πππθθθ⎛⎫⇒++-= ⎪⎝⎭2tantan 252tan 2251tan tan 5πθπθπθ+⎛⎫⇒=⇒+= ⎪⎝⎭-，故答案为2. 14. 若1x >，则191x x +-的最小值等于_____. 15将所求代数式变形为()11991911x x x x +=-++--，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.1x >，10x ∴->，由基本不等式可得()()111991991915111x x x x x x +=-++≥-⋅=---. 当且仅当43x =时，等号成立.因此，当1x >时，191x x +-的最小值为15. 故答案为：15.本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是对所求代数式进行合理变形，考查计算能力，属于基础题.15. 若函数221()lg 1x x f x x mx ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________910m ≤由函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，得到()f x 在每一部分都单调递增，且212lg 1m -≤-，即可求出结果.因为函数()221lg 1x x f x x mx ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在每一部分都单调递增，且212lg 1m -≤-，即1121m lg m ≤⎧⎨-≤-⎩，解得910m ≤.故答案为910m ≤本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位置的取值即可，属于常考题型.16. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC 的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为__________.3-如图，设12OA OC BC t ===，先求出,,OD AD CD ,再根据2AD AB CD CB ⋅-⋅=得到5t =，再求AC BD ⋅的值得解.如图，,,,A B C D 四点共圆，AB 为圆的直径.设12OA OC BC t ===，所以225AB t OB t ==，由相交弦定理得5OD =，在直角△AOD 中，由勾股定理得5AD =， 在△COD 中，由余弦定理得225tCD =. 因为2AD AB CD CB ⋅-⋅=， 2222cos 2cos(180)255t t DAB t DAB ∠--∠=， 又cos 10AD DAB AB ∠==,所以5t =所以212125=(2)(5)cos(180)35545AC BD t t t α⋅+-=-=-=-.故答案为：3-本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查平面几何圆的知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.四、解答题（本大题共6小题，满分70分）17. 若集合501x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}2210B x x x =--<，集合{}11C x m x m =-≤≤+． （1）求集合()RAB ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围．（1）[)11,1,52R A B ⎛⎤⋂=--⋃ ⎥⎝⎦；（2）()0,4m ∈．（1）解出集合,A B 中的不等式即可算出答案；（2）由A C A ⋃=可得C A ⊆，然后可建立不等式组求解.（1）∵{}15A x x =-<<，112B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，∴[)1,1,2R B ⎛⎤=-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦， ∴[)11,1,52R A B ⎛⎤⋂=--⋃ ⎥⎝⎦．（2）∵A C A ⋃=，∴C A ⊆，∴110415m m m ->-⎧⇒<<⎨+<⎩，∴()0,4m ∈． 18. 已知扇形的面积为6π，弧长为6π，设其圆心角为α （1）求α的弧度；（2）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.（1）12πα=（2）2（1）由弧长求出半径，再由面积求得圆心角；（2）先由诱导公式化简待求式为tan α，利用两角差的正切公式可求tan tan()1234πππ=-． （1）设扇形的半径为r ，则6ar π=，所以6r πα=. 由12S rl =可得12666πππα⨯⨯=， 解得12πα=.（2）()cos sin sin sin 2tan 119sin cos cos sin 22παπααααππαααα⎛⎫+-- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.tan tan34tan tan212341tan tan34πππππππ-⎛⎫=-===⎪⎝⎭+.本题考查扇形的弧长与面积公式，考查诱导公式，同角间的三角函数关系，考查两角差的正切公式．求值时用诱导公式化简是解题关键．.19. 在①2{|2},B x x x=+>②{|B x y=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中.问题.已知全集U=R，A={x|2x-1<0}，且_________，求().UA B⋂注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.若选择①，()UA B ={|1}x x>；若选择②，(){|}2UA B x x=≥化简集合A，求出U A，若选择①，化简集合B，再根据交集概念运算可得答案；若选择②，化简集合B，再根据交集概念运算可得答案.因为{}1210{|}2A x x x x=-<=<，所以1{|}2UA x x=≥，若选择①，{}22{|2B x x x x x=+>=<-或1}x>，所以()UA B ={|1}x x>.若选择②，由2210x-≥得2x≤-或2x≥，所以{|B x y={=|x2x≤-或2x≥}，所以(){|}2UA B x x=≥.20. 在直角坐标系中，O为坐标原点，(3,1)OA=，(2,1)OB=-，(,)OC a b=.（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；（2）若3AC AB=-，求点C的坐标.（1）25b a=-；（2）(6,7)（1）求出,AB AC的坐标，根据共线向量的坐标关系，即可得出,a b关系；（2）根据向量相等坐标关系，求出关于,a b的方程，求解，即可得出结论.解：由题意知，(1,2)AB OB OA =-=--，(3,1)AC OC OA a b =-=--.（1）因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB AC ， 所以(1)(2)(3)0b a ----⨯-=， 所以25b a =-.（2）因为3AC AB =-，所以(3,1)3(1,2)(3,6)a b --=---=，所以33,16,a b -=⎧⎨-=⎩解得6,7,a b =⎧⎨=⎩所以点C 的坐标为(6,7).本题考查向量的坐标表示，涉及到共线向量和相等向量的坐标关系，属于基础题.21. 中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x 台,需另投入成本()C x (万元),当年产量不足80台时,()21402C x x x =+ (万元); 当年产量不小于80台时()81001012180C x x x=+- (万元),若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y (万元)关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？（1）2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）90试题分析：（1）年利润100()500y x C x =--，再根据产量分段求解析式：2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）求分段函数最值，先分段求，再比较大小得最值，当080x <<时,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系求得：当60x =时,y 取得最大值1300；当80x ≥时,利用基本不等式求最值：当90x =时,y 最大值为1500，比较大小得当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元.试题解析：（1）当080x <<时,2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭; 当80x ≥时,,2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<∴=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭.（2）当080x <<时,()216013002y x =--+, 此时, 当60x =时,y 取得最大值, 最大值为1300 (万元); 当80x ≥时,810081001680168021500y x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭, 当且仅当8100x x =,即90x =时,y 最大值为1500(万元), 所以, 当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元. 考点：分段函数求最值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 分段函数最值可以先求各区间段上最值，再综合比较得函数最值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.22. 已知函数()4141x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性，并利用结论解不等式：()()22320f x x f x -+-<；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,44m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.（1）1a =；（2）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；21x -<<；（3）存在；实数k 的取值范围是()322,0-+.（1）根据奇函数的性质，求出a 的值，再利用奇函数的定义进行验证即可；（2）运用函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断函数()f x 的单调性，最后根据单调性的性质，通过解一元二次不等式进行求解即可；（3）根据（2），通过函数的单调性的性质，结合换元法，一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 解：（1）()4141x xa f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数， ()00f ∴=，从而得出1a =，1a =时，()()114141414114401414141411414xxxx xx xx x x xx f x f x --------+-=+=+=+=++++++， 1a ；（2）()f x 是R 上的增函数，证明如下： 设任意1x ，2x ∈R 且12x x <，()()121222114141x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()1221212442241414141x x x x x x -=-=++++， 12x x <，1244x x ∴<，1410x +>，2410x +>，()()12f x f x ∴<，()f x ∴是在(),-∞+∞上是单调增函数. ()()22320f x x f x -+-<， 又()f x 是定义在R 上的奇函数且在(),-∞+∞上单调递增，()()2223f x x f x ∴-<-， 2223x x x ∴-<-，21x ∴-<<； （3）假设存在实数k ，使之满足题意， 由（2）可得函数()f x 在[],m n 上单调递增，()()44m n k f m k f n ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，4141441414m m m n n n k k ⎧-=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩m ∴，n 为方程41414x x x k -=+的两个根，即方程41414xx x k -=+有两个不等的实根， 令40x t =>，即方程()210t k t k -+-=有两个不等的正根，于是有[(1)]0k --+>且0k ->且2[(1)]4()0k k -+-->，解得：30k -+<<.∴存在实数k ，使得函数()f x 在[],m n 上的取值范围是,44m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且实数k的取值范围是()3-+.本题考查了函数单调性的判断和性质应用，考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力.。
江苏省如皋中学2020_2021学年高一数学上学期第一次阶段检测试题创新班
江苏省如皋中学2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段检测试题（创新班）一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．设全集=R U ，集合{}{}=13=24A x x B x x ≤≤<<，,则（ ）A ．{}23x x <≤B ．{}14x x ≤<C ．{}12x x ≤≤D ．{}12x x ≤< 2．若角α为第二象限角，则角2α为( ）象限角．A ．第一B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三3．已知()3log f x x =,若()()1f f a =，则实数a 的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．814．已知扇形的圆心角为32π，半径为cm 3，则扇形的面积是( )A ．3πB ．3π2cm C ．3π±2cm D ．π2cm5．代数式()21lg910lg 2lg 2lg5lg5+++⨯+的值是（)A ．90B ．91C ．101D ．1096．函数()()2ln 2f x xx=-的单调减区间是（ )A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．()2+∞，D ．(),0-∞ 7．以下命题：①对于定义在R 上的函数()f x ，若()()11f f -=-，则()f x 一定不是偶函数；②幂函数y x α=图象与坐标轴无公共点的充要条件是0α<；③函数()22xg x x =-只有两个零点;④存在周期函数无最小正周期。
其中,假命题的个数为( ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．18．设()2,0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f 是()f x 的最小值,则实数a 的取值范围为是( ）A ．[]0,2B ．(][),02,-∞+∞C ．[]1,2-D ．[]2,1-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分。
2020-2021学年江苏省如皋市高一上学期教学质量调研(一)数学试题
如皋市2020～2021学年度高一年级第一学期教学质量调研（一）数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}2,1,0,2,3--=A ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=012|x x x B ，则=B A （ ） A ．{}1,0,2- B ．{}0,2- C ．{}2,1,3- D ．{}2,3-2． 满足{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆A 的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．163． 不等式()()042222≥--+-x a x a 的解集为φ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()[)+∞⋃-∞-,22,B ．()2,2-C ．(]2,2-D ．()2,∞- 4． 设R ∈a ，则"2">a 是"2"2a a >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5． 函数()2216->++=x x x y 取最小值时x 的值为（ ） A.6 B.2 C.3 D.66． 下列命题中，真命题的个数是（ ） ①4622++=x x y 的最小值是22；②x x x ≤∈∃2N,； ③若B A x ∈,则B A x ∈；④集合{}01|2=+-=x kx x A 中只有一个元素的充要条件是41=k ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．47． 若关于x 的不等式()()042<---a x x 的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,0B ．()2,1C ．[)(]6,51,2--D ．(]2,18． 已知集合(){}R ,02|,2∈=+-+=m y mx x y x A ，集合(){}20,01|,≤≤=+-=x y x y x B ，若集合B A 中有2个元素，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23B ．()1,3--C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23 D ．()()+∞⋃-,31,3 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知集合{}{}R ,1|,2,1∈===m mx x B A ，若A B ⊆,则实数m 可能的取值为（ ） A ．0 B ．1 C ．21 D ．210．已知m b a ,,均为正实数，则b a 11>成立的充要条件是（ ） A ．b a < B ．2>+b a a b C ．m b m a b a ++< D ．22ab b a >11．若不等式0322≤--x x 对[]2,+∈∀a a x 恒成立，则实数a 的值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．21D ．212．若0,0>>y x 且满足xy y x =+，则（ ）A ．y x +的最小值为4B ．y x +的最小值为2C ．1412-+-y y x x 的最小值为642+D ．1412-+-y y x x 的最小值为246+ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题：032R,2>++∈∀x x x 的否定是__________．14．若不等式1<-m x 成立的一个充分不必要条件是121<<x ，则实数m 的取值范围是 __________．15．设集合{}{}b a a B a a A ++=+=,12,,6,12，若{}4=B A ,则=a _______,=b _______．16．古希腊数学家希波克拉底曾研究过右面的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AC AB ,．若以AC AB ,为直径的两个半圆的弧长总长度为2π，则以斜边BC 为直径的半圆面积的最小值为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}183|2--==x x y x A ，{}012|≥+-=a x x B ，{}2|≥=x x C ．（1）求集合C A ;（2）若R R A C B =（）,求实数a 的范围．18．（本小题满分12分）已知全集R =U ，集合{}[]R m m m B x x x A ∈++=≤+-=，32,1,045|2． （1）若21-=m ，求U A B （）; （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数m 的取值范围．条件① B B A = ; 条件② φ≠B A ；条件③=R U A B （）（注：如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）19.（本小题满分12分）已知不等式02>++c bx ax 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,31. （1）证明：0337=++c b a ;（3）求不等式02<+-a bx cx 的解集．20．（本小题满分12分）设集合{}02|2=--=x x x A ，(){}0623|22=-+-+=a x a x x B ． （1）0=a 时，求B A 中各元素之和；（2）若A B ⊆,求实数a 的取值的集合．21．（本小题满分12分）已知0>a ，命题:p 二次函数29y x ax =-+在()2，4内有且只有一个零点；命题:q 对()140,1,31x a x x∀∈+≥-恒成立．若p 是真命题，q 是假命题，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()32-++=x b a ax y .（1）当2-=a 时，不等式()b x b a ax ≤-++32对()+∞∈∀,1x 恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当3-=b 时，解关于x 的不等式()032<-++x b a ax ．。
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年上学期高一学校调研测试3数学试卷
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试3一、单选题1. 已知集合{}1<=x x A ，{}022<-=x x x B ，则=B A （）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．()+∞,0D ．φ2．若扇形的面积为16,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（）cm ． A ．4B ．8C ．12D ．163.已知π3cos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．3B ．3-C ．6 D ．6-4.已知幂函数()223()22m m f x m m x-+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3-5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是图中的（）A ．B ．C ．D ．6.已知()2f x -是偶函数、()f x 在(],2-∞-上单调递增，()10f =．若()210f m ->，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,1- B ．()3,1-C ．1,2D ．()2,2-7.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（）A ．3414412log 6log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．3441412log log 65f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．341441log 62log 5f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．341441(log 6)(log )(2)5f f f -<<8．已知函数()()ϕω+=x x f sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>2π0,0ϕω在⎪⎭⎫ ⎝⎛85π,8π上单调，且083π8π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，则⎪⎭⎫⎝⎛2πf 的值为（）A ．22B ．1C ．1-D ．22-二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数有（） A ．cos y x x =B ．2y ex x =+C ．y x 2=-2D ．sin y x x =10.有如下命题，其中真命题的标号为（） A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1(3)2f > B ．函数1()1x f x a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点(1,2)C ．函数212()1log f x x x =--有两个零点 D ．若函数2()24f x x x =-+在区间[0,]m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[1,2]11.对于函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）.A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 D ．π6x =为()πf x +的一个零点12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy+最小值为4三、填空题13. 函数x y 2tan =在区间ππ,]86（上的值域为． 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 15．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.16.已知函数51,01()21,1x x x f x x -<<⎧=⎨+≥⎩，设0m n >>，若()()f n f m =，则()n f m ⋅的取值范围是__________．四、解答题17.计算下列各式的值. （1）ln 2145log 22lg 4lg8e +++ （2）若α为第二象限角，4sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，()()()()()7sin 5cos tan 2tan 19sin f παπαπααπαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----，求()f α的值；18.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（1）若4a =，求A B ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题. 19．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.20．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π= .（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间;21．已知函数1()ln1x f x x +=-. (1)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性;(2)解不等式:22(3)(247)0f x x f x x +++-+->. 22．已知函数()()1931xxf x a a =+⋅-⋅-（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若方程()0f x =在R 上有两个不相等的实数根据，求实数a 的取值范围江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试3一、单选题1. 已知集合{}1<=x x A ，{}022<-=x x x B ，则=B A （）A ．()1,0B ．()1,∞-C ．()+∞,0D ．φ答案A2．若扇形的面积为16,圆心角为2rad ,则该扇形的弧长为（）cm ．A ．4B ．8C ．12D ．16答案.B3.已知π3cos 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．33 B ．3-C ．63D ．6-【答案】B4.已知幂函数()223()22mm f x m m x -+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3- 【答案】C5.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A6.已知()2f x -是偶函数、()f x 在(],2-∞-上单调递增，()10f =．若()210f m ->，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,1- B ．()3,1-C ．1,2D ．()2,2-【答案】A7.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(),0-∞上单调递增，则（）A．341441 2log6log5 f f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．3441412log log65f f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．341441log62log5f f f-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．341441(log6)(log)(2)5f f f-<<【答案】D8．已知函数()()ϕω+=xxf sin⎪⎭⎫⎝⎛<<>2π0,0ϕω在⎪⎭⎫⎝⎛85π,8π上单调，且083π8π=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-ff，则⎪⎭⎫⎝⎛2πf的值为（）A．22B．1C．1-D．22-【答案】D二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数有（）A．cosy x x=B．2y ex x=+C．y x2=-2D．siny x x=【答案】CD10.有如下命题，其中真命题的标号为（）A．若幂函数()y f x=的图象过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)2f>B．函数1()1xf x a-=+(0a>，且1a≠)的图象恒过定点(1,2)C．函数212()1logf x x x=--有两个零点D．若函数2()24f x x x=-+在区间[0,]m上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是[1,2]【答案】BD11.对于函数()πcos3f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，下列结论正确的是（）.A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 的图象关于直线8π3x =对称 D ．π6x =为()πf x +的一个零点 【答案】ACD12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A ．xy 最大值为18B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +最大值为14D ．22x yxy+最小值为4 【答案】AB三、填空题13. 函数x y 2tan =在区间ππ,]86（上的值域为．1（ 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 【答案】43-15．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.【答案】216.已知函数51,01()21,1xx x f x x -<<⎧=⎨+≥⎩，设0m n >>，若()()f n f m =，则()n f m ⋅的取值范围是__________． 【答案】11[,4)5五、解答题17.计算下列各式的值.（1）ln 2145log 22lg 4lg 8e +++ （2）若α为第二象限角，4sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，()()()()()7sin 5cos tan 2tan 19sin f παπαπααπαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----，求()f α的值；（【答案】 （1）52.（2）35.18.设全集为R ，{|12}A x a x a =-<<，|B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩. （1）若4a =，求A B ，()RA B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的___________条件，求实数a 的取值范围.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，使实数a 有解，并解答问题.【答案】（1）{}35A B x x ⋂=<≤，(){3R A B x x ⋂=≤或}5x >；（2）选择①，1a ≤-；选择②，532a <≤；选择③，无解. 19．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()max 3f x =；()min 2f x =；（2）()1,+∞. 【分析】 （1）由42ππx ≤≤，可得22633x πππ≤-≤，结合三角函数的性质，即可求解；()2由不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，转化为()2f x m <+对42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，结合函数的最值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 因为42ππx ≤≤，可得22633x πππ≤-≤， 所以当232x ππ-=，即512x π=时，函数取得最大值，最大值为()max 3f x =； 当236x ππ-=，即4x π=时，函数取得最小值，最小值为()min 2f x =.()2由题意，不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，即不等式()2f x m <+对42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，又当42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()max 3f x =，所以23m +>，解得1m ，故m 的取值范围是()1,+∞.20．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π= .（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间;解：（1）8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ-<<，34πϕ∴=-（2）由（1）知3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 52,88k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 所以函数3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 21．已知函数1()ln1x f x x +=-. (1)判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性;(2)解不等式:22(3)(247)0f x x f x x +++-+->. (1)令12()111x g x x x +==+--,易知()g x 在区间(1,)+∞单调递减, 由复合函数的单调性可得()f x 在区间(1,)+∞单调递减; (2)函数()f x 为奇函数. 证明如下:由101x x +>-,解得1x <-或1x >, 所以函数的定义域为()(),11,-∞-+∞.对任意的()(),11,x ∈-∞-+∞,有11111()ln ln ln ln ()1111x x x x f x f x x x x x ----++⎛⎫-====-=- ⎪--+--⎝⎭, 所以函数()f x 为奇函数.由221113124x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭;222472(1)51x x x -+=-+>所以222(3)(247)(247)f x x f x x f x x ++>--+-=-+,等价于223247x x x x ++<-+,2540x x -+>，(1)(4)0x x -->． ∴()(),14,x ∈-∞+∞.22．已知函数()()1931xxf x a a =+⋅-⋅-（1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；（2）若方程()0f x =在R 上有两个不相等的实数根据，求实数a 的取值范围【答案】（1）{}0x x ≥；（2）1a <-且2a ≠-.【分析】（1）将1a =代入，解指数型不等式：29310x x ⋅--≥即可求解. （2）方法一：根据解析式可得：()()131310x x a ⎡⎤+⋅+-=⎣⎦，从而只需111101a a ⎧-≠⎪⎪+⎨⎪->⎪+⎩，解不等式即可；方法二：令()30x t t =>，只需()2110a t at +--=在()0,∞+上有两个不等的实根，根据一元二次方程根的分布即可求解.【详解】（1）当1a =时，()2931x xf x =⋅--，∴29310x x ⋅--≥， ∴()()231310x x ⋅+-≥，∴0x ≥，∴不等式的解集为{}0x x ≥.（2）法一：()()()()1931131310x x x x f x a a a ⎡⎤=+⋅-⋅-=+⋅+-=⎣⎦， ∴31x =或()1310xa +⋅+=， ∵()0f x =在实数集R 上有两个不相等的根， ∴111101a a ⎧-≠⎪⎪+⎨⎪->⎪+⎩，∴1a <-且2a ≠-. 法二：令()30x t t =>，则()2110a t at +--=在()0,∞+上有两个不等的实根， ∴()210102410a a a a a +<⎧⎪+⎪>⎨⎪=++>⎪⎩，∴12a a <-⎧⎨≠-⎩. 所以实数a 的取值范围1a <-且2a ≠-.。
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一上学期学校调研测试4数学试题
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试4数学试卷一、单选题1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2﹣1≤0}，B ＝{x |1x≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |﹣1≤x ≤0}D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}2若函数()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)= （ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．03．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ） A ．2x x a ⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4．已知tan 2α=，则()()sin cos sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ） A ．3B ．2C ．1D ．-15．函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为（ ） A ．[0，1]B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3 B ．-3C ．32D ．32-7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0-B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．[]1,1-8．设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）A ．4-B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >时，2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值为5D ．当0x >，0y >时，2x yy x+≥ 10．下列表述正确的是：（ ） A ．“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤” 11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ）A ．12CB AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1263CF AB AD =-D ．2133BF AB AD =-+12．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则（ ） A ．函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 B ．函数π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数 C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π3二、填空题13．化简4log 32.5log 6.25lg0.0012++=_____．14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则12b a+的最小值是________ 16．函数12log y =____________，单调递增区间为__________．三、解答题17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-. （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若25=5a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值 18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2a ＋b ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，－5≤()f x ≤1. （1）求常数a ，b 的值；（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.21．已知函数2()223f x x mx m =+--.（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)若关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范围.江苏省如皋市第一中学2020-2021学年度高一数学校调研测试4数学试卷一、单选题1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2﹣1≤0}，B ＝{x |1x≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |﹣1≤x ≤0} D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}【答案】C2若函数()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)= （ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．0【答案】B3．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ） A ．2x x a ⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【分析】分解因式得()()210ax x -->，由2a >可得21a<，即可得出解集. 【详解】不等式2(2)20ax a x -++>化为()()210ax x -->，2a >，21a ∴<，故不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.故选：A.4．已知tan 2α=，则()()sin cos sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-1【答案】A 【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】()()sin cos sin cos tan 1213cos sin 1tan 12sin cos 22αππααααππααααα-+-------====---⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A5．函数cos 2,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为（ ） A ．[0，1] B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【分析】根据自变量x 的范围，得到23x π+的范围，进一步得到答案.【详解】解：0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2132y x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，. 故选：B.6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）.A ．3B ．-3C ．32D ．32-【答案】D 【分析】利用向量的数量积即可求解. 【详解】解析：311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ︒︒︒⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-. 故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0- B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．[]1,1-【答案】A 【分析】根据偶函数的性质将不等式()()11f m f m -<+转化为(|1|)(|1|)f m f m -<+，再根据单调性可解得结果. 【详解】因为函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，所以()()11f m f m -<+等价于(|1|)(|1|)f m f m -<+， 因为当[0,2]x ∈时，()f x 单调递减， 所以0|1||1|2m m ≤+<-≤，解得10m -≤<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解题时，注意偶函数性质()()(||)f x f x f x =-=恒成立在解题中的应用，属于中档题.8．设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ）A ．4-B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8【答案】B 【分析】利用基本不等式可求出xy 的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z 的最小值. 【详解】0x，0y >，且1142x y +=，1142x y ∴=+≥=2， 18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >时，2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值为5D ．当0x >，0y >时， 2x yy x+≥ 【答案】AD 【分析】利用基本不等式和等号成立时取最值对选项逐一判断即可. 【详解】选项A 中，0x >≥=1x =时等号成立，故正确；选项B 中，2x >时，12x x +≥=， 当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，但是2x >，取不到最小值2，故错误； 选项C 中，54x <时，450x -<，则540x ->，故1142=5433=14554y x x x x ⎛⎫=-+--++≤- ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x-=-时，即541x -=时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误；选项D 中，当0x >，0y >时，0,0x y y x >>，故 2x y y x +≥=， 当且仅当x yy x=时等号成立，故正确. 故选：AD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10．下列表述正确的是：（ ） A ．“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤” 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的定义可判断A ；根据向量共线的坐标表示可判断B ；根据向量垂直的坐标表示可判断C ；利用含有一个量词的命题否定变换形式可判断D. 【详解】对于A ，“76x =π”可推出“1sin 2x =-”， 反之，当1sin 2x =-，可得72,6x k k Z ππ=+∈或112,6x k k Z ππ=+∈， 故“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ，若//a b ，则40x -=，解得4x =，故B 错误；对于C ，若a b ⊥，则240x y -+-=，即6x y +=，故C 正确； 对于D ，由特称命题的否定变换形式，可得“x R ∀∈，20x >”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”，故D 正确. 故选：ACD11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ）A ．12CB AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1263CF AB AD =-D ．2133BF AB AD =-+【答案】BD 【分析】利用向量的线性运算将CB ,,AF CF BF 用基底AB 和AD 表示，与选项比较即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确；()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确； 故选：BD12．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则（ ）A ．函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 B ．函数π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数 C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π3【答案】BCD【分析】函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，可得π4ϕ=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，根据函数()f x 的图象平移可判断；对于B ，求出函数π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭的解析式可判断；对于C ，求出ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，根据函数()f x 在区间上单调递增可判断；对于D ，求出()max f x ，()min f x ，()f x 的周期可判断. 【详解】函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，ππ3π42k ϕ∴⨯-=+，k ∈Z ；ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=，()πsin 34f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数πππsin 3sin 3444f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故错误；对于B ，函数πππsin 3cos312124f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据余弦函数的奇偶性，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，故正确； 对于C ，由于ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，函数()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于D ，因为()max 1f x =，()min 1f x =-， 又因为()()122f x f x -=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π3T =， 所以则12x x -的最小值为π3，故正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了()()sin f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 二、填空题13．化简4log 32.5log 6.25lg0.0012++=_____．【答案】【分析】利用对数的运算性质和换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】由对数的运算性质得，原式log 232.51log 2.5lg10222312-=++⨯-=-+=.故答案为：. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及对数运算性质和换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 【答案】12- 【分析】运用向量加法公式和向量平行公式即可. 【详解】向量()1,2a =-，(),1b m = ，所以()1,3a b m +=-， 若向量a b +与a 平行，可得()13210m -⨯--= ，解得12m =-. 故答案为:12-15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则12b a+的最小值是________【答案】3+【分析】 由题意得出11221b a a a+=+-，令0,10x a y a =>=->，结合基本不等式得出最小值. 【详解】 由题意得101b a =>-，11221b a a a+=+- 令0,10x a y a =>=->，则1x y +=1121222()3323y x y b x y a x y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当y =，即1a =时，取等号，则12b a+的最小值是3+故答案为：3+16．函数12log y =____________，单调递增区间为__________．【答案】[)1,-+∞ ()1,1- 【分析】先由题意求出函数的定义域，令()g x =，确定其单调性和值域，再利用复合函数的单调性判断原函数的单调性即可求解. 【详解】令2032x x -->，即2230x x +-<，解得：31x -<< 所以函数的定义域为{}|31x x -<<，12log y =()12log y g x =和()g x =因为()12log y g x =为减函数，要求12log y =()g x =间，()g x ==()1,1-，所以12log y =()1,1-，因为()02g x <==≤，所以11222log log 1y ≥=-=，所以原函数的值域为[)1,-+∞， 故答案为：[)1,-+∞；()1,1- 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先求函数的定义域，研究函数的单调性和值域都是在函数的定义域范围内研究，()02g x <==≤，即可根据对数函数的性质求值域.三、解答题17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-. （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若25=5a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值 （1）//sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-，()()3423sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241θθθθθθ⨯----∴===++⨯-+（2）由题可得()21cos sin 12cos sin 5x x x x -=-⋅=， 所以42cos sin 5x x ⋅=，所以()29cos sin 12cos sin 5x x x x +=+⋅=， ∵x 是第三象限角，∴cos sin 5x x +=-； 18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2a ＋b ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，－5≤()f x ≤1. （1）求常数a ，b 的值；（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.【答案】（1）25a b =⎧⎨=-⎩；（2）单调增区间2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )；对称轴方程,62k x k Z ππ=+∈. 【分析】（1）首先求sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域，结合a >0且－5≤()f x ≤1即可求a ，b 的值；（2）利用三角函数的单调区间，结合复合函数单调性知2π＋2kπ ≤ 2x ＋6π≤32π＋2kπ为单调增，同时由正弦函数的对称轴方程知2,62x k k Z πππ+=+∈，即可求单调递增区间及对称轴方程； 【详解】 （1）由x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，知：6π≤ 2x ＋6π≤76ππ， ∴－12≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，又a > 0，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有－5≤()f x ≤1， ∴22521a a b a a b -++=-⎧⎨++=⎩，即25a b =⎧⎨=-⎩（2）()f x ＝－4sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1， 由2π＋2kπ ≤ 2x ＋6π≤32π＋2kπ，k ∈Z ，得6π＋kπ ≤ x ≤23π＋kπ，k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )，令2,62x k k Z πππ+=+∈，得：,62k x k Z ππ=+∈， ∴对称轴方程为：,62k x k Z ππ=+∈； 【点睛】本题考查了三角函数，利用三角函数的性质求参数、单调区间、对称轴方程，注意复合函数的单调性判断，属于中档题；19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）. 【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ，AE 与a ，b 的关系； （2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值. 【详解】 解法一：（1）由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭. （2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =， 所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222121241||1234394AEa b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=⨯= ⎪. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1cos ||||13AE AB AE AB θ-⋅===，所以在AE 与AB夹角的余弦值为. 解法二：（1）同解法一.（2）以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0)A，1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B，1,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(3,0)D. 因为E 是CD 的中点，所以74E ⎛⎝⎭，所以74AE ⎛= ⎝⎭，12AB ⎛=-⎝⎭，所以711422AE AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，7||42AE ⎛== . 设AE与AB 的夹角为θ，则1cos 13||||132AE AB AE AB θ-⋅===-，所以AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）32万部，最大值为6104万美元. 【分析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得6k =，然后由()(1640)W xR x x =-+，将()R x 代入即可.（2）当040x <时利用二次函数的性质求解；当40x >时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论. 【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以4002440216704k ⨯---⨯=， 解得6k =，当040x <时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+. 所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==；②当40x >时， 40000167360xW x --=+，由于40000400001621600x x x+=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元. 21．已知函数2()223f x x mx m =+--.（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()1,-+∞；（2）9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据二次函数的性质以及零点存在性定理可得()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，解不等式组即可.（2）将不等式转化为22(21)80x m x m -+++≥在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上恒成立，令21()2(21)82g x x m x m x ⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭，讨论二次函数的性质，只需()min 0g x ≥，解不等式即可求解. 【详解】（1）由于2()223f x x mx m =+--的图象开口向上，且在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一零点，故()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即23010m m --<⎧⎨--<⎩， 解得1m >-，即实数m 的取值范围为()1,-+∞. （2）不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭上恒成立， ()2222313132(21)801m x mx m m x x m x m +--⇔+--≥⇔-+++≥，令21()2(21)82g x x m x m x ⎛⎫=-+++>⎪⎝⎭，其对称轴为214124m m x =++=，当12m ≤时，对称轴11242m x =+≤，∴()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()802g x g ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭，故12m ≤满足题意.当12m >时，对称轴11242m x =+>， 又()0g x ≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，故214463024m g m m ⎛⎫+=-++≥ ⎪⎝⎭， 解得7922m -≤≤，故1922m <≤， 综上，实数m 的取值范围为9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)若关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范围.【答案】(1)1；(2)()f x 为减函数，证明见解析；(3)3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【分析】(1)由奇函数的性质可知，()00f =，从而求解a 值，然后检验证即可. (2)根据定义法证明函数()f x 的单调性，即可. (3)根据函数()f x 为奇偶性，以及单调性，将不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤等价变形为22224m mt m m -≥-+，即，421t m m ≤--+，原问题转化为421t m m ≤--+在()1,3m ∈上有解，根据41y m m=--+的单调性，求解最大值，即可.【详解】(1)由()f x 为定义在R 上奇函数可知，()00f =，解得1a =. 经检验，此时对任意的x 都有()11212122222x x xxxf x ---=-+=-⨯+++()111121221221121212xx x x x=-+=-+=-+-++++- ()1121222111x x f x ⎛⎫=-=--+= ⎪++⎝⎭故1a =.(2)由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，证明如下： 对于任意实数1x ，2x ，不妨设12x x <()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++∵2xy =递增，且12x x <∴12022x x <<即21220x x ->，1210x +>，2210x +> ∴()()120f x f x ->, ∴()()12f x f x > 故()f x 在R 上为减函数.(3)由()f x 为奇函数得：()()222420f m m f m mt -+-+-≤等价于()()22224f m mt f m m -≤-+.又由()f x 在R 上为减函数得：22224m mt m m -≥-+ 即224mt m m ≤-+- 因为()1,3m ∈，所以421t m m≤--+. 若使得关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解则需421t m m≤--+在()1,3m ∈上有解 41y mm=--+在区间()1,2上单调递增，在区间[)2,3上单调递减 ∴当2m =时，41y m m =--+取得最大值3-.∴23t ≤-，解得32t ≤-∴t 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明及其应用，属于较难的题.试卷第21页，总21页。
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一上学期学校调研测试1数学试题
江苏省如皋市第一中学2020至2021学年度第一学期高一校调研数学测试一一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.给出下列四个关系式：①7∈R ；②Z ∈Q ；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.42.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |2≤x <5}，则A ∩(∁U B )＝( ) A.{x |1≤x <2} B.{x |x <2} C.{x |x ≥5}D.{x |1<x <2}3.已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.下列命题中的假命题是( ) A.∀x ∈R ，|x |＋1>0 B.∀x ∈N ＋，(x －1)2>0 C.∃x ∈R ，|x |<1D.∃x ∈R ，1|x |＋1＝2 5.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．A.425 B.45C.225D.25 6.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1，若不等式2a ＋b ≥3m 恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.2C.3D.77．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( )A ．a ≥1B ．a ＜－1C．a＞－1 D．a∈R8.设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为()A.4B.5C.19D.20二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x 可能为()A.2B.－2C.－3D.110.若1a<1b<0，则下列不等式中，正确的不等式有()A.a＋b<abB.|a|>|b|C.a<bD.ba＋ab>211.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是()A.ab≤1B.a＋b≤ 2C.a2＋b2≥2D.1a＋1b≥212.下列命题是假命题的是()A.不等式1x>1的解集为{x|x<1}B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)C.若x∈R，则函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分不必要条件三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.14.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_____________________. 16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分8分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，x 2<1； (2)6－2x ≤x 2－3x <18.18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |1≤x ≤2}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分8分)已知a >0，b >0且1a ＋2b ＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？22.(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a，b的值；(2)m为何值时，ax2＋m x＋3≥0的解集为R.(3)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.江苏省如皋市第一中学2020至2021学年度第一学期高一校调研测试一一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.给出下列四个关系式：①7∈R；②Z∈Q；③0∈∅；④∅⊆{0}，其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①④正确；对于②，Z与Q的关系是集合间的包含关系，不是元素与集合的关系；对于③，∅是不含任何元素的集合，故0∉∅，选B.答案 B2.设全集U＝R，集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|2≤x<5}，则A∩(∁U B)＝()A.{x|1≤x<2}B.{x|x<2}C.{x|x≥5}D.{x|1<x<2}解析∁U B＝{x|x<2或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|1<x<2}.答案 D3.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析∵a＝3⇒A⊆B，而A⊆B a＝3，∴“a＝3”是“A⊆B的充分不必要条件”.答案 B4.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R，|x|＋1>0B.∀x∈N＋，(x－1)2>0C.∃x ∈R ，|x |<1D.∃x ∈R ，1|x |＋1＝2解析 A 中命题是全称量词命题，易知|x |＋1>0恒成立，故是真命题；B 中命题是全称量词命题，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故是假命题；C 中命题是存在量词命题，当x ＝0时，|x |＝0，故是真命题；D 中命题是存在量词命题，当x ＝±1时，1|x |＋1＝2，故是真命题. 答案 B5.对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于______．A.425 B.45C.225D.25 答案 A6.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝1，若不等式2a ＋b ≥3m 恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.2C.3D.7解析 ∵2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋4＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号).∴3m ≤9，即m ≤3. 答案 C7．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则( )A ．a ≥1B ．a ＜－1C ．a ＞－1D ．a ∈R解析：选C x (x －a ＋1)＞a ⇔(x ＋1)(x －a )＞0， ∵解集为{x |x ＜－1或x ＞a }，∴a ＞－1.8.设P ＝{1，2，3，4}，Q ＝{4，5，6，7，8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( ) A.4 B.5 C.19D.20解析由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)共5个元素.同样当a＝2，3时集合P*Q的元素个数都为5个.当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)共4个.因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.答案 C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知集合M＝{－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x 可能为()A.2B.－2C.－3D.1解析由题意得，2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4.若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，∴x＝－2或x＝1，检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去.若2＝x2＋x －4，即x2＋x－6＝0，∴x＝2或x＝－3，经验证x＝2或x＝－3为满足条件的实数x.故选AC.答案AC10.若1a<1b<0，则下列不等式中，正确的不等式有()A.a＋b<abB.|a|>|b|C.a<bD.ba＋ab>2解析∵1a<1b<0，∴b<a<0，∴a＋b<0<ab，故A正确；∴－b>－a>0，则|b|>|a|，故B错误；C显然错误；由于ba>0，ab>0，∴ba＋ab>2ba·ab＝2，故D正确.故选AD.答案AD11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是()A.ab≤1B.a＋b≤ 2C.a 2＋b 2≥2D.1a ＋1b ≥2解析 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，所以A 正确；因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2＋a ＋b ＝4，故B 不正确；a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝2，所以C 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，所以D 正确. 答案 ACD12.下列命题是假命题的是( ) A.不等式1x >1的解集为{x |x <1}B.函数y ＝x 2－2x －8的零点是(－2，0)和(4，0)C.若x ∈R ，则函数y ＝x 2＋4＋1x 2＋4的最小值为2 D.x 2－3x ＋2<0是x <2成立的充分不必要条件解析 由1x >1得x －1x <0，∴解集为(0，1)，故A 错误；二次函数的零点是指其图象与x 轴交点的横坐标，应为－2和4，故B 错误；C 中，x 2＋4≥2，故y ＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2.等号成立的条件为x 2＋4＝1，无解，故C 错误；D 中，由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，能够推出x <2，但反之不成立，所以是充分不必要条件. 答案 ABC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上) 13.设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为________.解析 全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{1，2，3，5}，B ＝{2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ，∵∁U A ＝{4，6，7，8}，∴(∁U A )∩B ＝{4，6}.答案 {4，6}14.命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是_____________________. 解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”. 答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤315．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．答案：4716.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨，和最小值为________(本题第一空2分，第二空3分).解析 设一年总费用为y 万元，每年购买次数为400x 次，则y ＝400x ·4＋4x ＝1 600x＋4x ≥2 1 600x ·4x ＝160(万元)，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20. 答案 20 160四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分8分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，x 2<1；(2)6－2x ≤x 2－3x <18.解：(1)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，即0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ≤x 2－3x ，x 2－3x <18，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≥0，x 2－3x －18<0，因式分解，得⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x ＋2）≥0，（x －6）（x ＋3）<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥3，－3<x <6，所以－3<x ≤－2或3≤x <6.所以不等式的解集为{x |－3<x ≤－2或3≤x <6}．18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1，或4≤x ≤5}.(2)①若A ＝∅，此时2－a >2＋a ， ∴a <0，满足A ∩B ＝∅.②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠∅， ∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎨⎧2－a >1，2＋a <4，∴0≤a <1.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1).19．(本小题满分12分)已知P ＝{x |1≤x ≤2}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)要使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，需使P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝1，1＋m ＝2，此方程组无解，故不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．(2)要使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，需使S ⊆P . 当S ＝∅时，1－m >1＋m ，解得m <0，满足题意； 当S ≠∅时，1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，要使S ⊆P ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥1，1＋m ≤2，解得m ≤0，所以m ＝0. 综上可得，当实数m ≤0时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． 20．(本小题满分8分)已知a >0，b >0且1a ＋2b ＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．解：(1)因为a >0，b >0且1a ＋2b ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22ab，则22ab≤1， 即ab ≥8，当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b ＝1，1a ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a >0，b >0且1a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b ) ＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当⎩⎨⎧1a ＋2b＝1，b a ＝2ab ，即⎩⎨⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号， 所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ （1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， 解()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.22.(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }. (1)求a ，b 的值；(2)m 为何值时，ax 2＋m x ＋3≥0的解集为R .(3)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b ，2a ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，原不等式无解.综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，原不等式的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，原不等式的解集为∅.。
2020-2021学年江苏省如皋市第一中学高一上学期学校调研测试4数学试题(解析版)
江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高一上学期学校调研测试4数学试卷一、单选题1．已知R 为实数集，A ＝{x |x 2﹣1≤0}，B ＝{x |1x≥1}，则A ∩(∁R B )＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤0} B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |﹣1≤x ≤0}D ．{x |﹣1≤x ≤0或x ＝1}2若函数()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩，则f(f(10)= （ ）A ．lg101B ．2C ．1D ．03．已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（ ） A ．2x x a ⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4．已知tan 2α=，则()()sin πcos πππsin cos 22αααα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-15．函数ππcos 2,0,32y x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为（ ） A ．『0，1』B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=（ ）. A ．3B ．-3C ．32D ．32-7．已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的偶函数，当[]0,2x ∈时，()f x 是减函数，如果不等式()()11f m f m -<+成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．[)1,0-B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．[]1,1-8．设0x >，0y >，且1142x y+=，422log log z x y =+，则z 的最小值是（ ） A ．4- B ．3-C ．2log 6-D ．232log 8二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >时， 2≥ B ．当2x >时，1x x+的最小值是2 C ．当54x <时，14245y x x =-+-的最小值为5D ．当0x >，0y >时，2x yy x+≥ 10．下列表述正确的是：（ ） A ．“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件 B ．设向量(1,2)=-a ，(2,)b x =-，若//a b ，则4x =- C ．已知(2,1)a x =-，(1,4)b y =-，满足a b ⊥，则6x y += D ．“x ∀∈R ，20x >”的否定是“0x ∃∈R ，020x ≤”11．四边形ABCD 中，//AB CD ，90,22,A AB AD DC ∠===3,2,BC EC AE AF ==则下列表示正确的是（ ）A ．12CB AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1263CF AB AD =-D ．2133BF AB AD =-+12．已知函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则（ ）A ．函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 B ．函数π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数C ．函数()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为π3二、填空题13．化简4log 32.5log 6.25lg0.0012++=_____．14.已知向量()1,2a =-，(),1b m =．若向量a b +与a 平行，则m ＝________. 15．已知正实数,a b 满足1b ab -=，则12b a+的最小值是________16．函数12log y =____________，单调递增区间为__________．三、解答题17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-. （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若25=5a b 且θ在第三象限，求cos sin θθ+的值18．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2a ＋b ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，－5≤()f x ≤1. （1）求常数a ，b 的值；（2）求f (x )的单调递增区间及对称轴方程.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值.20．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万美元，且2400,040,()740040000,40.kx x R x x x x -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.（1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式：（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.21．已知函数2()223f x x mx m =+--.（1）若函数在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一个零点，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知定义域为R 的函数()1221x af x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)若关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解，求实数t 的取值范围.——★ 参*考*答*案 ★——一、单选题 1．C 2．B 3．A『解析』不等式2(2)20ax a x -++>化为()()210ax x -->，2a >，21a ∴<，故不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或}1x >. 故选：A. 4．A『解析』()()sin πcos πsin cos tan 1213ππcos sin 1tan 12sin cos 22αααααααααα-+-------====---⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 5．B『解析』0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 2132y x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，.故选：B. 6．D『解析』311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ︒︒︒⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-. 故选：D 7．A『解析』因为函数()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，所以()()11f m f m -<+等价于(|1|)(|1|)f m f m -<+， 因为当[0,2]x ∈时，()f x 单调递减， 所以0|1||1|2m m ≤+<-≤，解得10m -≤<. 故选：A8．B『解析』0x ，0y >，且1142x y +=，1142x y ∴=+≥=2≤，18xy ∴≥，当且仅当2x y =时取等号.42222212log log log log log log 38z x y x y xy =+=+=≥=-，则z 的最小值是3-. 故选：B. 二、多选题 9．AD『解析』选项A 中，0x >≥=，即1x =时等号成立，故正确；选项B 中，2x >时，12x x +≥=， 当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，但是2x >，取不到最小值2，故错误； 选项C 中，54x <时，450x -<，则540x ->，故1142=5433=14554y x x x x ⎛⎫=-+--++≤- ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x-=-时，即541x -=时等号成立，取得最大值1，不存在最小值，故错误；选项D 中，当0x >，0y >时，0,0x y y x >>，故 2x y y x +≥=， 当且仅当x yy x=时等号成立，故正确.故选：AD. 10．ACD『解析』对于A ，“76x =π”可推出“1sin 2x =-”， 反之，当1sin 2x =-，可得72ππ,6x k k =+∈Z 或112ππ,6x k k =+∈Z ，故“76x =π”是“1sin 2x =-”的充分不必要条件，故A 正确； 对于B ，若//a b ，则40x -=，解得4x =，故B 错误；对于C ，若a b ⊥，则240x y -+-=，即6x y +=，故C 正确； 对于D ，由特称命题的否定变换形式，可得“x ∀∈R ，20x >”的否定是“0x ∃∈R ，020x ≤”，故D 正确. 故选：ACD 11．BD『解析』对于选项A ：1122CB CD DA AB AB DA AB AB DA =++=-++=+，故选项A 不正确； ()11121122112223223333AF AE AB BE AB AB DA AB DA AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选项B 正确；1111223363CF CD DA AF AB AD AB AD AB AD =++=--++=--，故选项C 不正确，11213333BF AF AB AB AD AB AB AD =-=+-=-+，故选项D 正确；故选：BD 12． BCD『解析』函数()()ππsin 322f x x ϕϕ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，ππ3π42k ϕ∴⨯-=+，k ∈Z ；ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=，()πsin 34f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，对于A ，函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度得到函数πππsin 3sin 3444f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故错误；对于B ，函数πππsin 3cos312124f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据余弦函数的奇偶性，可得()()f x f x -=，可得函数()f x 是偶函数，故正确；对于C ，由于ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ3420,x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，函数()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于D ，因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，()πsin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π3T =， 所以则12x x -的最小值为π3，故正确. 故选：BCD. 二、填空题13．『解析』由对数的运算性质得，原式log 232.51log 2.5lg10222312-=++⨯-=-+-=.故答案为： 14. 12-『解析』向量()1,2a =-，(),1b m = ，所以()1,3a b m +=-，若向量a b +与a 平行，可得()13210m -⨯--= ，解得12m =-. 故答案为:12-15． 3+『解析』由题意得101b a =>-，11221b a a a+=+- 令0,10x a y a =>=->，则1x y +=1121222()3323y x y b x y a x y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当y =，即1a =时，取等号，则12b a+的最小值是3+故答案为：3+16．[)1,-+∞ ()1,1-『解析』令2032x x -->，即2230x x +-<，解得：31x -<<所以函数的定义域为{}|31x x -<<，12log y =()12log y g x =和()g x =因为()12log y g x =为减函数，要求12log y =()g x =()g x ==的单调递减区间为()1,1-，所以12log y =()1,1-，因为()02g x <==≤，所以11222log log 1y ≥=-=，所以原函数的值域为[)1,-+∞， 故答案为：[)1,-+∞；()1,1- 三、解答题17．解：（1） //sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-，()()3423sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241θθθθθθ⨯----∴===++⨯-+（2）由题可得()21cos sin 12cos sin 5x x x x -=-⋅=， 所以42cos sin 5x x ⋅=， 所以()29cos sin 12cos sin 5x x x x +=+⋅=， ∵x 是第三象限角，∴cos sin x x += 18．解：（1）由x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，知：6π≤ 2x ＋6π≤7π6， ∴－12≤sin 6π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，又a > 0，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有－5≤()f x ≤1， ∴22521a a b a a b -++=-⎧⎨++=⎩，即25a b =⎧⎨=-⎩ （2）()f x ＝－4sin 6π2x ⎛⎫+⎪⎝⎭－1， 由π2＋2kπ ≤ 2x ＋6π≤32π＋2kπ，k ∈Z ， 得6π＋kπ ≤ x ≤2π3＋kπ，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )， 令2,62πππx k k +=+∈Z ，得：ππ,62k x k =+∈Z ， ∴对称轴方程为：ππ,62k x k =+∈Z ； 19．解：解法一：（1）由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭. （2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =， 所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222121241||1234394AE a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=⨯= ⎪.设AE 与AB 的夹角为θ，则1cos ||||13AE AB AE AB θ-⋅===， 所以在AE 与AB 夹角的余弦值为 解法二：（1）同解法一.（2）以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，12⎛- ⎝⎭B ，12C ⎛⎝⎭，(3,0)D .因为E 是CD 的中点，所以74E ⎛ ⎝⎭， 所以74AE ⎛= ⎝⎭，12AB⎛=-⎝⎭， 所以71142422AE AB ⎛⎫⋅=⨯-+=- ⎪⎝⎭， 7||42AE ⎛==. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1cos 13||||13AE ABAE AB θ-⋅===-， 所以AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 20．解：（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.所以4002440216704k ⨯---⨯=，解得6k =，当040x <时， 2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-，当40x >时， 40000()(1640)167360W xR x x x x=-+=--+.所以2638440,040,40000167360,40.x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩（2）①当040x <时， 26326104()W x =+--，所以max (32)6104W W ==；②当40x >时， 40000167360x W x --=+，由于40000400001621600x x x+=， 当且仅当4000016x x=，即50(40,)x =∈+∞时，取等号，所以此时W 的最大值为5760. 综合①②知，当32x =，W 取得最大值为6104万美元.21． 解：（1）由于2()223f x x mx m =+--的图象开口向上，且在区间(),0-∞与()1,+∞内各有一零点，故()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即23010m m --<⎧⎨--<⎩， 解得1m >-，即实数m 的取值范围为()1,-+∞.（2）不等式()()31311f x m x m ≥+--在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立， ()2222313132(21)801m x mx m m x x m x m +--⇔+--≥⇔-+++≥，令21()2(21)82g x x m x m x ⎛⎫=-+++>⎪⎝⎭，其对称轴为214124m m x =++=， 当12m ≤时，对称轴11242m x =+≤， ∴()g x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，∴1()802g x g ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭，故12m ≤满足题意. 当12m >时，对称轴11242m x =+>， 又()0g x ≥在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，故214463024m g m m ⎛⎫+=-++≥ ⎪⎝⎭， 解得7922m -≤≤，故1922m <≤， 综上，实数m 的取值范围为9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 22．解：(1)由()f x 为定义在R 上奇函数可知，()00f =，解得1a =.经检验，此时对任意的x 都有()11212122222x x x xx f x ---=-+=-⨯+++ ()111121221221121212x x x x x =-+=-+=-+-++++- ()1121222111x x f x ⎛⎫=-=--+= ⎪++⎝⎭故1a =.(2)由21x y =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，证明如下： 对于任意实数1x ，2x ，不妨设12x x <()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++ ∵2x y =递增，且12x x <∴12022x x <<即21220x x ->，1210x +>，2210x +>∴()()120f x f x ->,∴()()12f x f x >故()f x 在R 上为减函数.(3)由()f x 为奇函数得：()()222420f m m f m mt -+-+-≤ 等价于()()22224f m mt f m m -≤-+.又由()f x 在R 上为减函数得：22224m mt m m -≥-+即224mt m m ≤-+-因为()1,3m ∈，所以421t m m≤--+. 若使得关于m 的不等式()()222420f m m f m mt -+-+-≤在()1,3m ∈有解 则需421t m m≤--+在()1,3m ∈上有解41y m m=--+在区间()1,2上单调递增，在区间[)2,3上单调递减 ∴当2m =时，41y m m=--+取得最大值3-. ∴23t ≤-，解得32t ≤- ∴t 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。
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对于任意一个圆 O，其“优美函数”有无数个；
( ) 函数 f ( x) = log2 x+ x2 +1 可以是某个圆的“优美函数”；
余弦函数 y = cos x 可以同时是无数个圆的“优美函数”；
函数 y = f ( x) 是“优美函数”的充要条件为函数
的图象是中心对称图形．
其中，所有真命题的选项为（ ）
其中，假命题的个数为( )
A． 4
B． 3
C． 2
D．1
1
8．设
f
(x)
=
(
x
−
a
)2
,
x
0
x
+
1 x
+
a,
x
0
，若 f (0) 是 f (x) 的最小值，则实数 a 的取值范围为是（
）
A．0, 2
B．(−,0 2, +) C．−1, 2
D．−2,1
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有项选错得 0 分.
2．若角
为第二象限角，则角
为(
2
)象限角．
A．第一
B．第一或第二 C．第二
D．第一或第三
( ) 3．已知 f ( x) = log3 x ，若 f f (a) =1，则实数 a 的值是( )
A． 3
B． 9
C． 27
4．已知扇形的圆心角为 2 ，半径为 3cm ，则扇形的面积是( 3
A． 3π
B． 3π cm2
已知集合 A = x (x − 6)(x − 2a −5) 0 ，集合 B = x (x − 2a) x − (a2 + 2) 0 ，其中 a 为
实数.
（1）若 a = 5 ，求集合 A B ； （2）若 a 1 ，且 B A ，求实数 a 的取值范围．
2
18．(本小题满分 12 分)
D． ( −, 0)
7．以下命题：
①对于定义在 R 上的函数 f ( x) ，若 f (−1) = − f (1) ，则 f ( x) 一定不是偶函数；
②幂函数 y = x 图象与坐标轴无公共点的充要条件是 0 ；
③函数 g ( x) = x2 − 2x 只有两个零点；
④存在周期函数无最小正周期.
2 （2）若对任意的 x [1 , 8] ，不等式 f (x3) f (x2 ) kg(x) 恒成立，求实数 k 的取值范围．
4
22．(本小题满分 12 分)
已知集合 D = (x1, x2) x1 0, x2 0, x1 + x2 = k ，其中 k 为正常数．
A． 2
1
B．
2
C． − 1 2
D． −2
12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的
圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：在平面直角坐标系中，
能够将圆心在坐标原点的圆 O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命 题：
（1）判定 f (x) 的奇偶性；
（2）判断 f (x) 在 (0, +) 上的单调性，并用定义证明．
20．(本小题满分 12 分)
已知
f
(x)
=
sin
x
−
π 4
(
0)
．某同学用“五点法”画
f
(x)
在一个周期上的简图时，列表如
下：
x
π
5π
3π
12
12
4
x − π
0
4
π
3π 2π
2
sin
x
−
π 4
2020~2021 学年度第一学期第一次阶段检测
高一数学（创新班）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项=R ，集合 A=x 1 x 3，B=x 2 x 4，则
()
A．x 2 x 3 B．x 1 x 4 C．x 1 x 2 D．x 1 x 2
0
1
0
0
（1）因不慎将墨汁泼在表格阴影部分，请你将缺失数据补在答题卡上表格的相应位置，并在坐标系
中画出
f
(x)
在
π 12
,
3π 4
上的简图；
（2）求函数 f (x) 的单调增区间．
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) = 4 − log2 x ， g(2x ) = x ． （1）求函数 M (x) = f (x) + g(x) − f (x) − g(x) 的最大值；
C． 3π cm2
D． 81
)
D． π cm2
5．代数式101+lg9 + (lg 2)2 + lg 2lg5 + lg5的值是( )
A． 90
B． 91
C．101
( ) 6．函数 f ( x) = ln x2 − 2x 的单调减区间是( )
D．109
A． ( −,1
B．1, +)
C． ( 2，+ )
15．若函数 f (x) = x2 − 2ax + a2 − 4 在区间[a − 2, a2 ](a 0) 上的值域为[−4,0] ，则实数 a 的
取值范围是 ▲ ．
16．若关于 x 的方程 x4 + ax3 + ax2 + ax +1 = 0 有正实根，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 17．(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系中，已知角
的终边与单位圆交于点
P
−
3 5
,
m
，将角
的终边顺时针旋转
π 后得到角 ，记角 的终边与单位圆的交点为 Q ． 2 （1）若 m = − 4 ，求 Q 点的坐标；
5
（2）若 sin + cos = 7 ，求 tan 的值．
5
3
19．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) = xm − 4 ，且 f (4) = 3 ． x
9．下列给出的角中，与 − 11 π 终边相同的角有( ) 3
π
A．
3
13π
B．
3
C． − 2π 3
D． − 29π 3
10．下列能成为 2x 6 充分条件的是( )
A． x −1 11
B．10x 1000 C． 2x2 − 3x − 5 0 D． log2 x 4
11．若函数 f (x) = sin (x) 的最小正周期为 4π ，则 的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答．题．卡．相．应． 位．置．上．.
2
13．若角
π
+
终边上一点坐标为
(−5,12)
，则
sin
π 2
+
=
▲
．
x+ y
14．若 x, y 为正数，满足 x + y = 7 xy ，则 log2
3
= ▲．
log2 x + log2 y