垂线的概念与性质

149垂线的概念与性质

知识点：

垂线的定义：两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a. 垂线的性质：1.经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.

注：⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角.

⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.

⑶垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量；垂线段是一条线段，可度量.

经典例题：

例题1．下列判断错误的是（）.

A.一条线段有无数条垂线；

B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；

C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；

D.若两条直线相交，则它们互相垂直.

答案：D.

解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.

故选：D.

例题2 如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）

A． 30°B． 34°C． 45°D． 56°

答案：B．

解析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．

解：∵CO⊥AB，∠1=56°，

∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，

∴∠2=∠3=34°．

故选B．

例题3 如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（）

A． 42°B． 64°C． 48°D． 24°

答案：A．

解析：利用垂直的概念和互余的性质计算．

解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，

∴∠PQS=138°﹣90°=48°，

又∵SQ⊥QR，

∴∠PQT=90°，

∴∠SQT=42°．

故选A．

例题4如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）

A． 2.5 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm

答案：A．

解析：利用垂线段最短分析．

解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，

根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，

故选A．

例题5已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE,若∠COE=35°，则∠AOD的度数是（）．

A．30° B．35° C．40°D． 45°

答案：B．

解析：已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．

解：（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，

∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=DOE，∠AOC=∠DOE；

∠AOD=∠EOC=35°．

∴∠AOD的度数是35°．

故选：B．