有限单元法原理及应用
朱伯芳《有限单元法原理与应用》怎么样
朱伯芳《有限单元法原理与应用》怎么样《有限单元法原理与应用》是朱伯芳编写的一本关于有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）的专业教材。
该书主要介绍了有限单元法在工程领域中的应用原理和实践技巧。
本文将从书籍的结构、内容、作者的资历和读者反馈等方面进行详细的分析，以期给出一个全面的评价。
首先，让我们来看看书籍的结构和内容。
《有限单元法原理与应用》共分为六章，涵盖了有限单元法的基础知识、离散法、结构分析、流体力学、固体力学和热传导，主要包括一维和二维有限元的建模方法、应力分析和位移分析等内容。
每章都以一个引言开始，然后逐步介绍理论和应用的细节，最后以一些实例或案例进行总结。
这种递进的结构使读者可以循序渐进地学习和理解有限单元法的原理和应用，使其成为一本适合初学者和专业人士的教材。
其次，让我们来看看作者朱伯芳的资历。
朱伯芳是国内有限单元法领域的知名专家，他在该领域拥有多年的研究和教学经验。
他曾在国内外多所知名大学进行过学术交流，并发表了大量有关有限单元法的论文。
他的丰富经验和深厚的理论基础使得他编写的教材具有一定的权威性和可信度。
另外，让我们来看看读者的反馈。
据我了解，该书在工程领域和学术界中广泛应用，并受到了读者的好评。
读者认为这本书的内容详实、通俗易懂，特别是在实际工程应用方面提供了很多实用的技巧和方法。
此外，该书还提供了大量的习题和案例分析，有助于读者巩固学到的知识并提升解决实际问题的能力。
然而，也有读者认为该书在某些地方没有深入或过于简单，希望在后续版本中能够进行改进和完善。
总的来说，《有限单元法原理与应用》是一本涵盖了有限单元法基本原理和应用技巧的优秀教材。
它的结构清晰，内容详实，适合初学者和专业人士学习和参考。
作者的资历和读者的反馈也增加了该书的可信度。
然而，该书也存在一些可以改进的地方，希望在后续版本中能够进行修改和完善。
总体来说，这本书可以说是有限单元法领域的一本经典之作，值得推荐给广大读者。
有限单元法及工程应用
有限单元法及工程应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域。
它是一种将复杂的连续体分割为有限个简单形状的小单元，并将偏微分方程转化为代数方程求解的方法。
有限单元法通过将计算领域离散化为一个有限的单元网络，然后通过求解每个单元上的方程来得到整个计算领域的解。
这种方法在解决复杂问题上具有很大的优势，并已经在工程应用中得到广泛应用。
有限单元法在工程应用中有许多不同的方面。
以下是其中一些主要的应用领域：1. 结构力学分析：有限单元法可以用于结构的形状、变形、应力和振动等问题的分析。
通过将结构离散为有限个单元，可以准确地计算结构的应力分布和变形情况，进而评估结构的稳定性和可靠性。
这在建筑、桥梁、飞机和船舶等领域中得到广泛应用。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于热传导问题的分析，如温度分布、热流量和热应力等。
通过建立传导方程和边界条件，可以计算不同材料和结构的热行为，进而为热处理、热设备设计和热工艺优化提供指导。
3. 流体力学分析：有限单元法可以用于求解流体力学方程，如流体流动、湍流、传质和热传递等。
通过将流体域划分为有限个单元，可以计算流速、压力和流体力学特征等。
这在空气动力学、水力学和化工工艺等领域中得到广泛应用。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解静电场、磁场和电磁波等问题。
通过建立电磁方程和边界条件，可以计算电场、磁场和电磁波的分布和特性。
这在电力系统、电子器件和电磁辐射等领域中得到广泛应用。
5. 生物医学工程：有限单元法可以应用于生物医学领域的各种问题，如骨骼力学、组织力学、生物电流和生物传递等。
通过对生物体或医学设备建立有限元模型，可以模拟和预测生物体的行为和反应，为生物医学研究和医学工程设计提供指导。
以上只是有限单元法在工程应用中的一部分方面。
由于其灵活性和适用性，有限单元法被广泛应用于各种工程领域，为工程师提供了一种有效的工具来解决现实世界中的复杂问题。
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
它将复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对每个单元进行数学建模和分析，最终得出整个系统的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和其在工程领域中的应用。
有限单元法的基本原理是将连续的物理现象离散化为有限数量的单元，每个单元都可以通过简单的数学方程来描述。
这些单元相互连接，形成一个整体的系统，通过对每个单元的行为进行分析，最终得出整个系统的行为。
有限单元法的核心思想是将复杂的问题简化为简单的数学模型，通过数值计算方法求解这些模型，从而得到系统的行为。
有限单元法在工程领域有着广泛的应用。
在结构分析中，可以用有限单元法来模拟各种复杂的结构，如桥梁、建筑、飞机机翼等，通过对结构的受力、变形等进行分析，来评估结构的安全性和稳定性。
在流体力学中，有限单元法可以用来模拟流体的流动行为，如水流、气流等，通过对流体的速度、压力等进行分析，来优化流体系统的设计。
在热传导问题中，有限单元法可以用来模拟物体的温度分布和传热行为，如热传导、对流、辐射等，通过对热场的分析，来优化热传导系统的设计。
有限单元法的应用还不仅限于工程领域，它也被广泛应用于地质勘探、医学图像处理、材料科学等领域。
在地质勘探中，有限单元法可以用来模拟地下岩层的力学行为，来评估地下资源的分布和开采方案。
在医学图像处理中，有限单元法可以用来模拟人体组织的力学行为，来辅助医学诊断和手术设计。
在材料科学中，有限单元法可以用来模拟材料的力学性能和热物理性能，来指导新材料的设计和制备。
总的来说，有限单元法作为一种数值计算方法，具有广泛的应用前景和重要的理论意义。
通过对有限单元法的深入理解和应用，可以更好地解决工程领域中的复杂问题，推动工程技术的发展和进步。
希望本文对有限单元法的原理和应用有所帮助，也希望读者能够进一步深入研究和应用有限单元法，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限单元法原理与应用
yi yj ym
ai x j ym xm y j , bi y j ym , ci xm x j a j x m y i xi y m , b j y m y i , c j xi x m am xi y j x j yi , bm yi y j , cm x j xi
v 4 5 x 6 y
因此可以得到:
ui 1 2X i 3Yi ui 1 2X j 3Yj ui 1 2X m 3Y m v i 4 5X i 6Yi v i 4 5X j 6Yj v i 4 5X m 6Y m
2.3单元应变
•单元内的应变分量可用矩阵表示为：
u x x y v y xy u v y x
应变分 量是常 量
其子矩阵：
bi 1 Bi 0 2A c i
在（x，y）中，
， D , ,
,
,
D
,
,
T
,
D
,
T
整体坐标 系的弹性 矩阵
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0 e e c m B bm
应力矩阵
S D 0
e
S D B S i
Sj
Sm
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场及热传导等领域中。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法，并阐述其在工程实践中的应用。
2. 基本原理有限单元法的基本原理是将复杂的连续体问题离散化为若干简单的子域，即有限单元。
每个有限单元由一个或多个节点组成，通过将子域内的导数方程或平衡方程转化为代数方程，再通过求解这些代数方程得到全局解。
有限单元法的基本步骤如下： - 确定问题的几何形状和边界条件； - 将几何形状分割为有限个单元，并为每个单元定义适当的数学模型； - 根据单元的数学模型建立刚度矩阵、质量矩阵等，并通过组装成全局矩阵； - 应用合适的边界条件，并求解线性或非线性代数方程组； - 根据代数方程组的解，计算各个单元内部的物理量。
3. 数值方法有限单元法中常用的数值方法包括： - 剖分方法：将连续域剖分为若干简单的有限单元，常用的有三角形剖分和四边形剖分。
- 元素类型：根据问题的特性选择合适的单元类型，如线性元、三角元、四边形元等。
- 积分方法：采用高斯积分等方法对每个单元内的积分方程进行数值求解。
- 方程求解：对线性方程组采用直接法（如高斯消元法）或迭代法（如共轭梯度法）进行求解。
- 后处理：根据问题的要求，进行应力、位移、应变等物理量的计算和显示。
4. 应用实例有限单元法广泛用于工程实践中，以下为其常见应用实例：- 结构力学：用于模拟建筑物、桥梁、飞机等结构的应力和变形。
- 流体力学：用于模拟流体在管道、水槽、风洞等中的流动。
- 电磁场：用于模拟电磁场在电路、电机、天线等中的分布。
- 热传导：用于模拟热传导在导热管、散热器、热交换器等中的传热情况。
5. 结论有限单元法作为一种数值计算方法，在工程实践中得到了广泛应用。
通过将连续问题离散化为有限单元，再通过数值方法求解代数方程组，可以获得连续问题的近似解。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域中结构力学、流体力学、热传导等问题的数值求解。
它的基本思想是将一个复杂的结构或物理现象分割成有限数量的简单单元，通过对单元的力学行为进行建模，最终得到整个系统的数值解。
本文将围绕有限单元法的原理及其在工程领域中的应用进行详细介绍。
有限单元法的原理。
有限单元法的原理基于力学原理和数学方法，其基本步骤包括，建立数学模型、离散化、单元划分、建立单元刚度矩阵和载荷向量、组装和求解方程、计算结果后处理等。
在建立数学模型时，需要根据实际问题选择合适的数学方程和边界条件，将问题转化为求解一组代数方程。
离散化是指将连续的物理问题划分成若干个小单元，每个单元内的物理行为可以用简单的数学方程描述。
单元划分是将整个结构或领域划分成若干个有限单元，通常采用三角形、四边形、四面体、六面体等几何形状。
建立单元刚度矩阵和载荷向量是对每个单元进行力学行为的建模，根据材料性质和几何形状计算单元的刚度矩阵和载荷向量。
组装和求解方程是将所有单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量，然后通过数值方法求解代数方程组。
最后，计算结果后处理是对数值解进行分析和可视化，评估结构的性能和稳定性。
有限单元法的应用。
有限单元法在工程领域中有着广泛的应用，包括结构力学、流体力学、热传导等方面。
在结构力学中，有限单元法可以用于分析和设计各种结构，如桥梁、建筑、机械零件等。
通过对结构的受力分析，可以评估结构的安全性和稳定性，指导工程设计和施工。
在流体力学中，有限单元法可以用于模拟流体的流动行为，如水力学、空气动力学等问题的数值模拟。
在热传导中，有限单元法可以用于分析材料的热传导性能，评估材料的热稳定性和散热效果。
总结。
有限单元法作为一种数值分析方法，在工程领域中有着重要的应用价值。
通过对结构、流体、热传导等问题的数值模拟，可以为工程设计和科学研究提供重要的参考和支持。
有限单元法原理与应用(第三版)
12212360组建周年60组建周年主要完成人：朱伯芳受奖单位：水电中心/结构材料所【创新性】全面系统地阐述了有限单元法的基本原理及其在土木、水利工程问题中的应用，包括弹性力学平面问题和空间问题、薄板、薄壳、厚板、厚壳、弹性稳定、塑性力学、大位移、断裂、动力反应、徐变、岩土力学、极限分析、混凝土和钢筋混凝土、流体力学、渗流分析、热传导、工程反分析、仿真分析、网格自动生成、误差估计及自适应技术等。
本书取材实用、由浅入深、先易后难，便于自学；对于实际工程中有用的计算方法力求讲述清楚并给出具体计算公式，便于应用；对有限元法的工程应用，注意工程的物理特性，要求采用的概化假定、计算参数和计算荷载等尽量接近实际，注重计算方法精度的适应性等，并重视有限元计算结果与实际观测资料相验证。
【影响力】我国最早的有限元专著之一，为在我国推广有限元法发挥了重要作用；本书共出版三版，第一版于1976年8月，第二版于1998年10月，第三版于2009年6月；曾作为多所高校的有限元课程教材使用；英文版已由清华大学出版社和美国Wiley 出版社联合出版；中国科学技术信息研究所编著的《中国高被引指数分析》（2011版）中，本书列为国内水利工程领域高被引图书第2名。
有限单元法原理与应用（第三版）著作类成果【Innovation】This book expounds, in an all-round and systematic manner, the basic theory of the finite element method and its application to civil engineering and hydraulic engineering , including plane and space problems of elasticity, thin plate, thin shell, thick plate, thick shell, elastic stability, plasticity, large displacement, fracture, dynamic response, creep, rock and soil mechanics, limit analysis, concrete and reinforced concrete, fluid mechanics, seepage analysis, heat conduction, back analysis in engineering, simulated analysis, automatic generation of meshes, error estimation and adaptive technique. This book is learner-friendly because it contains practical content and expounds knowledge step by step and from easy to difficult; and is also easy to use because it strives to clarify the computing methods usable in actual engineering and gives corresponding formulas. Regarding the engineering application of the finite element method, it pays attention to the physical characteristics of projects, requires adopted conceptualized assumption, calculation parameter and calculation load be close enough to reality and accuracy of calculation methods be adaptive, and stresses the verification between the calculation result of the finite element method and actual observational data.【Influence】Amongst the earliest finite element books in China, thisbook plays an important role in generalizing the finite element method in China. It has registered three editions, with the first edition published in August, 1976, the second edition in October, 1998 and the third edition in June, 2009. It served as a finite element textbook of many colleges and universities; and its English version has been published jointly by Tsinghua University Press and the U.S.-based Wiley & Sons, Inc. Thisbook ranks second amongst the highly-cited books of hydraulic engineering in China, according to the Analysis Report of Chinese Highly Cited Paper 2011 of the Institute of Scientific and Technical Information of China (ISTIC)Main Contributor : Zhu BofangAward-winning Unit : Research Center for Sustainable Hydropower/Department of Structures and MaterialsTHE FINITE ELEMENT METHOD THEORY AND APPLICATIONS(EDITION III)。
有限单元法的基本原理
有限单元法的基本原理有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种常用于工程和科学领域中求解复杂问题的数值方法。
它的基本原理可以概括为将复杂的连续问题离散化为简单的有限个单元，然后利用数值方法对各个单元进行分析，最终得到整个问题的近似解。
以下将详细介绍有限单元法的基本原理。
1.连续问题的离散化：2.单元的建立：利用有限单元法，每个单元内部的位移和应力分布可以通过简单的变换关系来表示。
通常，在每个单元内部选择一种合适的形状函数来表示位移和应力的连续变化。
在线性有限元分析中，常用的形状函数为线性函数，而在非线性有限元分析中，常用的形状函数可以是二次或更高次函数。
3.边界条件的施加：在有限单元法中，为了求解问题的唯一解，必须施加适当的边界条件。
边界条件可以是约束位移、施加力或给定的位移等。
通过施加适当的边界条件，可以将问题转化为一个封闭的系统，方便求解。
4.系统的建立：利用有限单元法，可以将整个问题表示为一个线性或非线性的代数方程组。
构建这个方程组需要考虑到每个单元的位移和应力之间的关系。
通过组装每个单元的刚度矩阵和力向量，最终可以得到整个问题的刚度矩阵和力向量。
5.方程组的求解：得到整个问题的刚度矩阵和力向量后，可以使用各种数值方法求解代数方程组。
常用的方法有直接法（如高斯消元法）和迭代法（如共轭梯度法）。
求解得到的位移和应力即为整个问题的近似解。
6.解的后处理：在有限单元法中，为了解决工程问题，通常需要进一步对位移和应力进行后处理。
后处理可以包括计算其他感兴趣的物理量、绘制应力和位移图等。
通过后处理，可以更好地理解问题的本质和它们的工程意义。
总结起来，有限单元法通过将连续问题离散化为有限个单元，然后使用适当的形状函数表示位移和应力的连续变化，通过施加边界条件和构建代数方程组，最终得到问题的近似解。
有限单元法在工程和科学领域中被广泛应用，可以有效地解决各种复杂问题。
有限单元法原理及应用
有限单元法原理及应用有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值方法。
它将一个连续问题分割成一系列离散的有限单元，通过对每个单元进行局部的数值近似，再将它们组合起来得到全局解。
有限单元法的基本原理是根据假设的位移关系和应变能量原理，将连续介质离散为有限个单元，然后通过数学方法对每个单元进行近似。
在每个单元内，假设解的形式，并通过插值方法得到每个节点的未知位移。
根据边界条件的限制，将每个单元的刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解线性方程组，得到整个结构的位移和应力分布。
有限单元法广泛应用于求解各种工程领域的问题，如结构力学、电磁场、流体力学等。
它的应用范围包括但不限于以下几个方面：1. 结构分析：有限单元法可用于结构强度分析、振动分析、热传导分析等。
通过对结构进行离散，可以计算结构的应力、应变分布，以及结构的固有频率和模态形式。
2. 热传导分析：有限单元法可以用于求解具有复杂边界条件的热传导问题。
通过离散化连续介质，可以计算温度分布和热流量分布，进而获取材料的热传导性能。
3. 流体力学：有限单元法可用于求解流体动力学问题，如流体的流动、传热、传质等。
通过将流体域离散化为网格，在每个单元上建立基本流动方程的数值近似，可以计算流体的速度、压力分布，以及各种力学量和热力学量。
4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解电磁场分布及其对物体的影响。
通过离散化电磁场区域，可以计算电场、磁场和电流分布，以及物体的电磁参数。
5. 地下水流动：有限单元法可用于模拟地下水流动和污染传输。
通过离散化地下水流动域，并运用流体力学的基本方程，可以计算地下水的流动速度、压力分布，以及污染物的传输路径和浓度分布。
总之，有限单元法在工程领域有广泛的应用，可以用于求解各种复杂的力学、热学和流体学问题，并为工程设计和分析提供重要的数值仿真工具。
有限单元法原理及应用简明教程
返 回 章 节 目 录
图2-31 铰接三角形
24
第二章 结构几何构造分析
结构的特征是：当它受载荷作用时会产生微小的 位移， 但位移一旦发生后， 即转变成一几何不变结 构，但结构的内力可能为无限大值或不定值，这样的 结构称为瞬变结构。显然，瞬变结构在工程结构设计 中应尽量避免。
(a) 瞬变结构
(b) 分离体分析 图2-32 瞬变结构
9
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
10
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束 2.4 自由度计算公式 2.5 结构几何不变结构组成规律
返 回 全 书 目 录
17
第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
(c) 对称性利用
18
第二章 结构几何构造分析
② 对称刚架承受反对称载荷作用
(a) 对称刚架
(b) 变形状态分析 图2-23 反对称性利用示意图
(c) 反对称性利用
19
第二章 结构几何构造分析
(2) 具有偶数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 对称性利用
图2-24对称性利用示意图
规律3 一个几何不变结构（ 或刚体 ）与另一个几 何不变结构（或刚体）用六根即不平行也不相交于同一 条直线的链杆相联，所组成的结构是几何不变的结构， 且无多余约束。
有限单元法原理与应用
有限单元法原理与应用
有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析
方法，常用于求解复杂的物理问题。
它将连续物体的区域划分为许多小的离散单元，然后在每个单元内建立局部的数学模型和方程。
通过求解这些局部模型和方程，可以得到整个物体的行为和性能。
有限单元法的基本原理是将连续问题离散化为有限数目的独立子问题。
在每个小单元内，选择一个数学函数作为近似解，并通过将近似解与原问题的偏微分方程进行数值积分和数值迭代，得到近似解的解析解。
将每个小单元的解汇总起来，可以得到整个物体的解。
有限单元法的应用非常广泛，可以用于解决各种工程和科学领域的问题。
例如，它可以用来模拟结构的强度和刚度特性，预测材料的疲劳寿命，优化产品的设计，以及研究流体和热传导等问题。
在建筑工程中，有限单元法可以用来分析建筑结构的荷载和变形，评估结构的安全性。
在汽车制造业中，它可以用来模拟车辆的碰撞和破碎行为，提高车辆的安全性。
在航空航天领域，有限单元法可以用来优化飞机的结构和翼型，提高飞机的性能。
此外，有限单元法还可以应用于地震工程、地下水流动、电磁场分析等领域。
总之，有限单元法通过离散化连续问题，将其转化为独立的子问题，然后通过求解局部模型和方程，得到整体解。
它具有广泛的应用领域，为解决多种复杂问题提供了有效的数值分析方法。
有限单元法原理及应用
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有限单元法原理及应用 简明教程
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有限单元法原理及应用 简明教程
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内容结构
第一章 第二章 第三章
第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法
平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元 关于板壳单元 结构动力分析的有限单元法 结构非线形分析的有限单元法简介
目
性质方程。
录
(2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问
题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算
方法。
(3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似
解法。
.
5
第一章 概述
1.2 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
返
(2) 选择插值函数
回 章
节
(3) 形成单元性质的矩阵方程
返 回
应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发
章
生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，
节 目
反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可
录
变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分
析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
.
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
求出，并且解答是唯一的。
b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面 特征（几何尺寸，形状）无关。
c. 静定结构上无外载荷作用时，其内力及支座反力 全为零。
有限单元法的解题思路
解有限元方程
选择合适的求解器
根据有限元方程的特点和求解规模，选择合适的求解器，如直接法、迭代法等。
求解有限元方程
利用选择的求解器，求解有限元方程，得到节点自由度的解。
结果后处理与验证
结果后处理
对求解结果进行后处理，提取有用的 信息，如位移分布、应力分布等。
结果验证
将求解结果与实验结果或已知解进行 对比，验证求解的正确性和精度。
边界条件可以分为两类：本质边界条件和自然边界条件。本质边界条件是指那些必须满足的 约束条件，如固定位移、固定载荷等；自然边界条件是指在某些特定条件下系统自动满足的 约束条件，如无滑动、无渗透等。
在有限元分析中，需要对每个单元的边界进行处理，将边界条件转化为对每个单元的约束， 以保证整个系统的能量平衡。
发展
随着计算机技术的进步，有限单元法 在20世纪60年代得到迅速发展，广泛 应用于各种工程领域。
02
有限单元法的基本原理
离散化与有限元
离散化
将连续的物理问题离散化，将连续域 划分为有限个小的单元，每个单元具 有特定的形状和大小。
有限元
在离散化的基础上，选取每个单元的 中心点或节点作为代表点，通过这些 代表点将各个单元连接起来，形成一 个整体的有限元模型。
建立数学模型
01
确定问题类型
明确问题是静态、动态还是流体 问题，以及问题的边界条件和初 始条件。
02
确定物理模型
03
建立数学方程
根据问题类型，建立相应的物理 模型，包括受力分析、位移分析 等。
根据物理模型，建立相应的数学 方程，如平衡方程、运动方程等。
离散化处理
选择合适的单元类型
根据问题特点和求解精度要求，选择合适的单元类型，如一维、 二维或三维单元。
有限单元法
有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。
对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ;最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小;在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。
令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。
插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
有限单元法原理和算例
优点
• 适用于复杂几何形状 • 结果准确性高 • 可以精确模拟材料非线性行为
局限性
• 计算量大，对计算机性能要求高 • 需要经验丰富的工程师进行建模和解算 • 某些问题不适用，如高速撞击等动态响应
有限单元法在工程实例中的应 用
实例1：模拟汽车车身的刚度和振动特性，优化设计。 实例2：分析桥梁结构的受力分布和变形情况，提高结构的安全性。 实例3：计算机芯片散热分析，优化散热器设计。
有限单元法的基本原理
单元划分
将结构或物体划分为更小、更简单的几何单 元，如三角形、四边形。
单元变形分析
根据单元材料属性，在每个单元内进行变形 分析以求解各个单元的位移、应变和应力。
单元属性定义
为每个单元分配材料属性和边界条件，如弹 性模量和受力。
整体单元拼装
将所有单元的结果组合起来形成整个结构的 位移、应变和应力场。
对求解结果进行后处理，如位移云 图、应力分布。
有限单元法的应用领域
结构力学
用于分析和设计建筑、桥梁等结构的力学性 能。
流体力学
用于模拟流体在管道、容器中的流动场。
热传导
用于模拟热传导过程，如热传导板和散热器 的设计。
电磁场
用于计算电磁场在电机、变压器等电气设备 中的分布。
有限单元法的优点和局限性
结论和总结
有限单元法是一种强大的工程仿真方法，广泛应用于各个领域。通过离散化、 分析和求解，我们可以更好地理解和优化复杂结构和物体的行为。
有限单元法的算法流程
1
几何模型
描述结构的实际几何形状和尺寸。
网格划分
2
将结构划分为有限数量的单元，形
成网格。
3
边界条件
定义结构的边界条件，如约束和外力。
有限单元法知识点总结
有限单元法知识点总结1. 有限元法概述有限单元法（Finite Element Method ，简称FEM）是一种数值分析方法，适用于求解工程结构、热传导、流体力学等领域中的强耦合、非线性、三维等问题，是一种求解偏微分方程的数值方法。
有限元法将连续的物理问题抽象为由有限数量的简单几何单元（例如三角形、四边形、四面体、六面体等）组成的离散模型，通过对单元进行适当的数学处理，得到整体问题的近似解。
有限元法广泛应用于工程、材料、地球科学等领域。
2. 有限元法基本原理有限元法的基本原理包括离散化、加权残差法和形函数法。
离散化是将连续问题离散化为由有限数量的简单单元组成的问题，建立有限元模型。
加权残差法是选取适当的残差形式，并通过对残差进行加权平均，得到弱形式。
形函数法是利用一组适当的形函数来表示单元内部的位移场，通过形函数的线性组合来逼近整体位移场。
3. 有限元法的步骤有限元法的求解步骤包括建立有限元模型、建立刚度矩阵和载荷向量、施加边界条件、求解代数方程组和后处理结果。
建立有限元模型是将连续问题离散化为由简单单元组成的问题，并确定单元的连接关系。
建立刚度矩阵和载荷向量是通过单元的应变能量和内力作用，得到整体刚度矩阵和载荷向量。
施加边界条件是通过给定位移或力的边界条件，限制未知自由度的取值范围。
求解代数方程组是将有限元模型的刚度方程和载荷方程组成一个大型代数方程组，通过数值方法求解。
后处理结果是对数值结果进行处理和分析，得到工程应用的有用信息。
4. 有限元法的元素类型有限元法的元素类型包括结构单元、板壳单元、梁单元、壳单元、体单元等。
结构单元包括一维梁单元、二维三角形、四边形单元、三维四面体、六面体单元。
板壳单元包括各种压力单元、弹性单元、混合单元等。
梁单元包括梁单元、横梁单元、大变形梁单元等。
壳单元包括薄壳单元、厚壳单元、折叠单元等。
体单元包括六面体单元、锥体单元、八面体单元等。
5. 有限元法的数学基础有限元法的数学基础包括变分法、能量方法、有限元插值等。
有限单元法基本原理和数值方法
有限单元法基本原理和数值方法有限单元法基本原理和数值方法是一种常用的数值分析方法，用于求解各类物理问题的数值解。
它将连续的物理问题离散化为有限个大小不等的子区域，称为有限单元。
每个有限单元都有一组自由度，可以通过定义适当的变量来描述该单元内的物理属性。
基本原理是将整个物理问题分解为多个有限单元，通过在每个单元上建立受力平衡方程和适当的边界条件来求解问题。
这些方程可以是线性或非线性的，取决于物理问题的性质。
通过组装相邻单元的方程，可以得到整个问题的整体方程组，然后通过求解线性代数方程组来确定每个单元的未知变量。
数值方法是用于解决离散化方程组的方法。
常见的数值方法有有限差分法、有限体积法和有限元法等。
其中，有限单元法是一种重要的数值方法，它通过在单元内近似解的形式和权函数的组合来建立近似解的表达式。
通过对近似解进行适当的选择，使得在整个问题域内满足弱形式或变分形式的基本方程，从而将求解问题转化为求解一个离散化的代数方程组。
在数值求解过程中，需要对物理问题进行网格划分，并在每个单元上选择适当的插值函数和权函数。
根据选取的插值函数和权函数的类型，可以得到不同的有限单元法。
常见的有限单元法有线性有限元、二次有限元和高阶有限元等。
为了提高数值解的精度和收敛性，还可以采用自适应网格划分和后验误差估计等技术。
有限单元法基本原理和数值方法是求解物理问题的一种重要工具，它在结构力学、流体力学、电磁场分析等领域得到了广泛应用。
通过选择适当的插值函数、权函数和网格划分方法，可以得到高精度和高效率的数值解。
但需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑数值误差和计算代价等因素，以及问题的特殊性和实际约束条件，来选择合适的数值方法和参数设置。
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
第3章：有限单元法的一般原理
第3章 有限单元法的一般原理 3.1.3 单元特性分析
第01篇 有限单元法基本理论
在位移法有限元中，首先要针对所选定的单元类型选择一简 单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单 元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式， 从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和 应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点 位移之间的特性关系，称为单元有限元方程。该方程可用矩阵形 式表示为： [F]e=[K]e[]e
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
单元中的位移模式一般采用以广义坐标为待定系数的有限项 多项式作为近似函数。因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于 微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。 当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应。但为了实用，通常 只取有限次多项式来近似。如3结点三角形单元位移函数的广义坐 标表示为：
（1）自然离散问题单元；
自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构（二力杆）的 离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为 杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情 况），以传递负荷。 x
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
备注：桁架问题（杆单元问题）需要两个坐标系来描述。固定的整体坐标系XY或 XYZ： （1）描述每个节点的位置，使用角度记录每个杆件（单元）的方向；施 加约束及载荷；（3）表示问题的解。单元坐标系用来描述杆件的轴向效应。杆 单元LINK每个节点只有平动自由度。
第3章 有限单元法的一般原理
第01篇 有限单元法基本理论
(c)位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性。
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目
录
(4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
整理课件
6
第一章 概述
图1-2 工程问题有限单元法分析流程
整理课件
7
第一章 概述
1.3 工程实例
返 回 章 节 目 录
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的
返 回
应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发
章
生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构，
节 目
反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可
录
变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分
析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
整理课件
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
整理课件
19
第二章 结构几何构造分析
整理课件
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
求出，并且解答是唯一的。
b. 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面 特征构上无外载荷作用时，其内力及支座反力 全为零。
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有限单元法原理及应用 简明教程
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1
有限单元法原理及应用 简明教程
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2
内容结构
第一章 第二章 第三章
第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法
平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元 关于板壳单元 结构动力分析的有限单元法 结构非线形分析的有限单元法简介
目
性质方程。
录
(2) 变分法
直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问
题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算
方法。
(3) 加权余量法
直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似
解法。
整理课件
5
第一章 概述
1.2 有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
返
(2) 选择插值函数
回 章
节
(3) 形成单元性质的矩阵方程
② 对称刚架承受反对称载荷作用
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
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14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
返
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况
回
进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实
改变时，其余部分的内力不变。
整理课件
17
第二章 结构几何构造分析
②超静定结构——自由度大于零的几何不变结构。其特 性：
a. 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多 个，但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个。
b. 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关，而 且与林料的力学性能和截面尺寸有关。
c. 超静定结构在非载荷因素作用下，如温度变化、 支座沉陷、制造误差等而产生的位移会受到多余约束的 限制，结构内必将产生内力。
章
际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算
节 目 录
的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为
结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。
结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
（1）结点： ① 铰结点；② 刚结点；③ 混合结点。
（2）支座： ① 活动铰支座；② 固定铰支座 ；
d. 超静定结构中的多余约束破坏后，结构仍然保持 几何不变性，因而仍有一定的承载能力， 不致整个结构 遭受破坏。
e. 超静定结构由于具有多余的约束，因而比相应的 静定结构具有较大的刚度和稳定性， 在载荷作用下，内 力分布也较均匀，且内力峰值也较静定结构为小。
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18
第二章 结构几何构造分析
2.2.3 结构对称性的利用
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11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
2.2 结构计算基本知识
返 回
2.3 结构几何构造分析的自由度与约束
全 书
目
2.4 自由度计算公式
录
2.5 结构几何不变结构组成规律
2.6 平面结构几何构造分析示例
2.7 空间结构几何构造分析
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12
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性
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8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
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9
第一章 概述
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
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10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
③ 固定支座 ；④ 定向支座
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15
第二章 结构几何构造分析
2.2.2 结构的分类与基本特征
(1) 按结构在空间的位置分 结构可分为平面结构和空间结构两大类
(2) 按结构元件的几何特征分 ① 杆系结构： 梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。 ② 板壳结构 ③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很 大，具有同一量级。 ④ 混合结构
d. 若静定结构在载荷作用下， 结构中的某一部分 能不依靠于其它部分， 独立地与载荷保持平衡时，则
其它部分的内力为零。 e. 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变
部分时，结构的其余部分都无内力产生。
f. 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载 荷作等效变换时，其余部分的内力不变。
g. 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
返 回
全
书
1.2 有限单元法基本步骤
目 录
1.3 工程实例
整理课件
4
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题
返
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法):
回 章 节
根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元