高三数学期中考试试卷理科
高三数学期中考试试卷理科共6页文档
高三数学期中考试试卷（理科）1．满足条件{}{}3,2,12,1=Y M 的集合M 的个数是（ ） )(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 42．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为（ ）)(A 2 )(B 4 )(C 6 )(D 73．函数b x x f a +=log )(是偶函数，且在区间()∞+,0上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系为（ ）)(C )1()2(+<-a f b f )(D 不能确定4．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，其公比1≠q ，且0>i b （Λ,3,2,1=i ），若11b a =，1111b a =,则（ ）)(A 66b a = )(B 66b a > )(C 66b a < )(D 66b a >或66b a <5．数列{}n a 、{}n b 满足1=⋅n n b a ，232++=n n a n ，则{}n b 的前10项之和等于（ ）16．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(，下列结论正确的是（ ）)(A 函数)(x f 的值域是［－1，1］)(B 当且仅当22ππ+=k x 时，)(x f 取最大值1)(C 函数)(x f 是以π2为最小正周期的周期函数)(D 当且仅当ππππ4522+<<+k x k （Z k ∈）时，0)(<x f7．若向量()ααsin ,cos =，()ββsin ,cos =则与满足（ ）)(A 与b 的夹角等于βα- )(B ()()-⊥+8．已知函数)(x f 的导函数为x x f cos 5)('+=，()1,1-∈x ，且0)0(=f ，如果0)1()1(2<-+-x f x f ，则实数x 的取值范围为（ ）二．填空题（每题5分，共30分，请将答案填在第二页表中） 9．已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则下列命题：①M 的元素都不是P 的元素 ②M 的元素不都是P 的元素 ③M 中有P 的元素 ④存在M x ∈，使得P x ∉其中真命题的序号是 （将你认为正确的命题的序号都填上）10．已知函数)(x f 是R 上的减函数，其图象经过点)1,4(-A 和)1,0(-B ，函数)(x f 的反函数是)(1x f-，则)1(1-f的值为 ，不等式1)2(<-x f 的解集为11．在如图的表格中，每格填上一个数字，使每一横行成等差数 列，每一纵列成等比数列，则=++c b a 12．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1=a ，︒=45B ，ABC ∆的面积为2，则ABC ∆的外接圆直径等于13．已知0>a ，函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数，则a 的最大值是 14．函数)(x f 是定义在]1,0[上的函数，满足)2(2)(x f x f =，且1)1(=f ，在每一个区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-121,21i i （Λ,3,2,1=i ）上，)(x f y =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分，记直线n x 21=，121-=n x ,x 轴及函数)(x f y =的图象围成的梯形面积为n a （Λ,3,2,1=n ），则数列{}n a 的通项公式为 三．解答题（共80分）15．（12分）已知函数θθθsin 2)sin()sin()(--++=x x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ23,0，且 432tan -=θ，若对任意R x ∈，都有0)(≥x f 成立，求θcos 的值16．（12分）解关于x 的不等式023≥++x ax ax17．（14分）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点（1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ； （2）设4=SA ，2=AB ，求点A到平面SBD 的距离；（3）当ABSA的值为多少时，二面角 D SC B --的大小为︒120318．（14分）已知一次函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称的图象为C ，且0)1(=f ，若点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a n A 1,（*∈N n ）在C 上，11=a ，当2≥n 时，111=--+n nn n a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设)!2(!5!4!3321+++++=n a a a a S n n Λ，求n n S ∞→lim19．（14分）设关于x 的方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<，函数14)(2+-=x ax x f（1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数；（2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小420．（14分）如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列 （1） 若2a ，2b ，2c 成等差数列，证明c b +，a c +，b a +成调和数列；（2） 设n S 是调和数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和，证明对于任意给定的实数N ，总可以找到一个正整数m ，使得当m n >时，N S n >高三数学答案（理科）一．选择题二．填空题E D CBAS9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.25; 13.3; 14.1224+-=n n ka 三．解答题15．解：依题意)1(cos sin 2sin 2cos sin 2)(-=-=x x x f θθθ由432tan -=θ得3tan =θ 1010cos -=∴θ16．解：原不等式等价于0)1(2≥++ax ax x当4>a 时，解集为[)∞+-+----,0]24,24[22Y aaa a a a a a 当4=a 时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=≥210x x x 或当40<<x 时，解集为[)∞+,0当0=a 时，解集为[)∞+,0当0<a 时，解集为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-+-∞-a a a a a a a a 24,024,22Y 17．(1)证明：Θ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SAC(2)解：因为ABD -S SBD -A V V =，且232221S SBD ⨯⨯=∆， 可求得点A 到平面SBD 的距离为34 (3)解：作F SC BF 于⊥，连DF ，则B FD ∠为二面角D SC B --的平面角 设1AB =，x SA =，在SB C Rt ∆中，求得2122++=x x BF ，同理，2122++=x x DF ，由余弦定理DF BF BD DF BF ⋅-+=︒2120cos 222 解得1=x ， 即ABSA＝1时，二面角D SC B --的大小为︒120 18．解：（１）依题意C 过点（０，１），所以设C 方程为1+=kx y ，因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a n A 1,（*∈N n ）在C 上，所以11+=+kn a a n n 代入111=--+n n n n a a a a ，得1=k ，所以11+=+n a ann ， n a a n n =∴-1，121-=--n a a n n ，…，212=a a，且11=a ， 各式相乘得!n a n =（２）2111)2)(1(1)!2(!)!2(+-+=++=+=+n n n n n n n a n Θ，19.(1)证明：222')1()22(2)(+---=x ax x x f ， 由方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<知()βα,∈x 时，0222<--ax x ，所以此时0)('>x f ，所以)(x f 在区间()βα,上是增函数(2)解：由（１）知在()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ，2a=+βαΘ，1-=αβ，可求得442+=-a αβ， 所以当0=a 时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为４ 20．证明：（１）欲证c b +，a c +，b a +成调和数列，只须证ba cb ac +++=+112 只须证))(())(())((2c b a c b a a c b a c b +++++=++ 化简后，只须证2222c a b +=因为2a ，2b ，2c 成等差数列，所以2222c a b +=成立 所以c b +，a c +，b a +成调和数列（２）nS n 131211++++=Λ对于任一给定的N ，欲使N S n >，只须N k>+21，即)1(2->N k ， 取1]2[)1(2+=-N m (其中]2[)1(2-N 表示)1(22-N 的整数部分)，则当m n > 时，N S n >(本题解法和答案不唯一)。
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
高三数学期中考试试卷理科
高三数学期中考试试卷（理科）一. 选择题:（每小题5分,共40分.请将答案填在第二页的表格中）1．满足条件{}{}3,2,12,1= M 的集合M 的个数是（ ） 1 )(B 2 )(C 3 )(D 42．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为（ ）2 )(B 4 )(C 6 )(D 73．函数b x x f a +=log )(是偶函数，且在区间()∞+,0上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系为（ ）)1()2(+=-a f b f )(B )1()2(+>-a f b f )(C )1()2(+<-a f b f )(D 不能确定4．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，其公比1≠q ，且0>i b （ ,3,2,1=i ），若11b a =，1111b a =,则（ ）66b a = )(B 66b a > )(C 66b a < )(D 66b a >或66b a <5．数列{}n a 、{}n b 满足1=⋅n n b a ，232++=n n a n ，则{}n b 的前10项之和等于（ ）31 )(B 125 )(C 21 )(D 127 1 6．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x xx f cos sin cos cos sin sin )(，下列结论正确的是（ ）函数)(x f 的值域是［－1，1］)(B 当且仅当22ππ+=k x 时，)(x f 取最大值1函数)(x f 是以π2为最小正周期的周期函数)(D 当且仅当ππππ4522+<<+k x k （Z k ∈）时，0)(<x f7．若向量()ααsin ,cos =，()ββsin ,cos =则与b 满足（ ）与b 的夹角等于βα- )(B ()()b a b a -⊥+)(C // )(D ⊥8．已知函数)(x f 的导函数为x x f cos 5)('+=，()1,1-∈x ，且0)0(=f ，如果0)1()1(2<-+-x f x f ，则实数x 的取值范围为（ ）（10，） )(B ()2,1)(C )2,2(-- )(D )2,1(）－，（－12 二．填空题（每题5分，共30分，请将答案填在第二页表中） 9．已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则下列命题：①M 的元素都不是P 的元素 ②M 的元素不都是P 的元素 ③M 中有P 的元素 ④存在M x ∈，使得P x ∉其中真命题的序号是 （将你认为正确的命题的序号都填上）10．已知函数)(x f 是R 上的减函数，其图象经过点)1,4(-A 和)1,0(-B ，函数)(x f 的反函数是)(1x f-，则)1(1-f的值为 ，不等式1)2(<-x f 的解集为11．在如图的表格中，每格填上一个数字，使每一横行成等差数 列，每一纵列成等比数列，则=++c b a 12．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1=a ，︒=45B ，ABC ∆的面积为2，则ABC ∆的外接圆直径等于13．已知0>a ，函数ax x x f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数，则a 的最大值是 14．函数)(x f 是定义在]1,0[上的函数，满足)2(2)(x f x f =，且1)1(=f ，在每一个区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-121,21i i （ ,3,2,1=i ）上，)(x f y =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分，记直线n x 21=，121-=n x ,x 轴及函数)(x f y =的图象围成的梯形面积为na （ ,3,2,1=n ），则数列{}n a 的通项公式为三．解答题（共80分）15．（12分）已知函数θθθsin 2)sin()sin()(--++=x x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ23,0，且 432tan -=θ，若对任意R x ∈，都有0)(≥x f 成立，求θcos 的值16．（12分）解关于x 的不等式023≥++x ax ax17．（14分）如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点（1）求证：平面⊥EBD 平面SAC ； （2）设4=SA ，2=AB ，求点A 到平面SBD 的距离；（3）当ABSA的值为多少时，二面角 D SC B --的大小为︒120ED CBAS3 18．（14分）已知一次函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称的图象为C ，且0)1(=f ，若点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a n A 1,（*∈N n ）在C 上，11=a ，当2≥n 时，111=--+n n n n a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设)!2(!5!4!3321+++++=n a a a a S n n ，求n n S ∞→lim19．（14分）设关于x 的方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<，函数14)(2+-=x ax x f （1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数；（2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小4 20．（14分）如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列 （1） 若2a ，2b ，2c 成等差数列，证明c b +，a c +，b a +成调和数列；（2） 设n S 是调和数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前n 项和，证明对于任意给定的实数N ，总可以找到一个正整数m ，使得当m n >时，N S n >高三数学答案（理科）一．选择题二．填空题9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.25; 13.3; 14.1224+-=n n ka 三．解答题15．解：依题意)1(cos sin 2sin 2cos sin 2)(-=-=x x x f θθθ01cos ≤-x 0sin ≤∴θ πθπ23<≤∴由432tan -=θ得3tan =θ 1010cos -=∴θ16．解：原不等式等价于0)1(2≥++ax ax x当4>a 时，解集为[)∞+-+----,0]24,24[22 aaa a a a a a 当4=a 时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=≥210x x x 或当40<<x 时，解集为[)∞+,0当0=a 时，解集为[)∞+,0当0<a 时，解集为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-+-∞-a a a a a aa a 24,024,2217．(1)证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD 平面⊥EBD 平面SAC(2)解：因为ABD -S SBD -A V V =，且232221S SBD ⨯⨯=∆， 可求得点A 到平面SBD 的距离为34 (3)解：作F SC BF 于⊥，连DF ，则B FD ∠为二面角D SC B --的平面角设1AB =，x SA =，在SB C Rt ∆中，求得2122++=x x BF ，同理，2122++=x x DF ，由余弦定理DF BF BD DF BF ⋅-+=︒2120cos 222 解得1=x ， 即ABSA＝1时，二面角D SC B --的大小为︒120 18．解：（１）依题意C 过点（０，１），所以设C 方程为1+=kx y ，因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n a a n A 1,（*∈N n ）在C上，所以11+=+kn a a n n 代入111=--+n n n n a a a a ，得1=k ，所以11+=+n a ann ， n a a n n =∴-1，121-=--n a a n n ，…，212=a a，且11=a ， 各式相乘得!n a n =（２）2111)2)(1(1)!2(!)!2(+-+=++=+=+n n n n n n n a n，2121211141313121+-=+-+++-+-=∴n n n S n ， 21lim =∴∞→n n S 19.(1)证明：222')1()22(2)(+---=x ax x x f ， 由方程0222=--ax x 的两根分别为α、β()βα<知()βα,∈x 时，0222<--ax x ，所以此时0)('>x f ，所以)(x f 在区间()βα,上是增函数(2)解：由（１）知在()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ，1]2)[(]44)()[(1414)()(22222+-++-++-=+--+-=-αββαβααββααβααββαβa aa f f2a=+βα ，1-=αβ，可求得442+=-a αβ， 161241)442(44)()(2222+=+++++⋅+=-∴a a a a f f αβ， 所以当0=a 时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为４ 20．证明：（１）欲证c b +，a c +，b a +成调和数列，只须证ba cb ac +++=+112 只须证))(())(())((2c b a c b a a c b a c b +++++=++ 化简后，只须证2222c a b +=因为2a ，2b ，2c 成等差数列，所以2222c a b +=成立 所以c b +，a c +，b a +成调和数列（２）nS n 131211++++= 212121211)212121()81818181()4141(21121312112k S k k k k k +=++++=++++++++++++>++++=∴对于任一给定的N ，欲使N S n >，只须N k>+21，即)1(2->N k ， 取1]2[)1(2+=-N m (其中]2[)1(2-N 表示)1(22-N 的整数部分)，则当m n > 时，N S n >。
2022-2023学年江西省高三上学期理科数学期中考试试卷及答案
丰城中学2022-2023学年上学期高三期中考试试卷数学（理科）本试卷总分值为150分考试时长为120分钟考试范围：集合、逻辑、函数、三角、向量一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B = ð（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-2.设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（）A.2π B.πC.32πD.2π4．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图像大致为（）A. B. C. D.5.为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度C .向右平移π15个单位长度 D.向左平移π15个单位长度6.ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知43cos ,47===B c b ,则ABC ∆的面积等于()73.A 273.B 9.C 29.D7．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A.112-B．112-C．92-D．92-8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3- B.2- C.0D.19．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤⎥⎝⎦10．已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c>>D ．a c b>>11.已知O 是三角形ABC 的外心，若()2||||2||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=数m 的最大值为（）A ．34B ．35C ．23D ．1212.已知函数22()2(2)e (1)x x f x a a xe x =+-++有三个不同的零点123,,x x x ，且1230x x x <<<，则3123122)(2(2x x x x x x e e e ---的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学(理)期中试卷及答案
第一学期期中考试高三数学试题（理科）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分；满分150分．考试时间120分钟．考试结束后；将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答第I 卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后；用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试卷上．第I 卷(选择题 共75分)一、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ）1. 集合(){}lg 10M x x =-<；集合{}11N x x =-≤≤；则M N ⋂= A. ()0,1B. [)0,1C. []1,1-D. [)1,1-2．设(3,1),(,3)a b x ==-；且a b ⊥；则向量a b -与向量b 夹角为A. 30B. 60C. 120D.150 3.下列各式中错误的是A ． 330.80.7>B ． 0..50..5log 0.4log 0.6>C ． 0.10.10.750.75-<D ． lg1.6lg1.4> 4．若5cos sin 3θθ+=-；则cos(2)2πθ-的值为 A49 B 29 C 29- D 49- 5．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数；当)2,0(∈x 时；,12)(-=xx f 则)31(log 2f 的值为 A ．2- B ．32-C ．7D ．123- 6. 已知命题:p 对于x R ∈恒有222xx-+≥成立；命题:q 奇函数()f x 的图像必过原点；则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()q ⌝为假D ． ()p q ∧⌝为真7．函数()xx x f 2log 12-=定义域为A. ()+∞,0B. ()+∞,1C. ()1,0D. ()()+∞,11,0 8.要得到函数的图像；只需将函数的图像A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位9. 函数的一个零点落在下列哪个区;间A. (0；1)B. (1；2)C. (2；3)D. (3；4) 10．函数2cos )(xxx f π=的图象大致是ABCD11．若圆O 的半径为3；直径AB 上一点D 使3AB AD =；E F 、为另一直径的两个端点；则DE DF ⋅=A.3-B.4-C. 8-D. 6-12．下列四个结论中正确的个数是yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 121-2-3yO12 3 1- 2- 3- x 1 2 1-2-33- x O12 3 1- 2- 12 1-2-3y(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；(2)命题：",sin 1"x R x ∀∈≤的否定是00",sin 1"x R x ∀∈>；(3)"若4x π=则tan 1"x =的逆命题为真命题；(4)若()f x 是R 上的奇函数；则32(log 2)(log 3)0f f +=A. 0B. 1C. 213.()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数；该函数的部分图象如图所示；EFG ∆是边长为2的等边三角形；则(1)f 的值为A ．32-B ．62- C ．3 D ．3-14. 在ABC 中；,P Q 分别是,AB BC 的三等分点；且1,3AP AB =1,3BQ BC =若,AB a AC b ==；则PQ = A. 1133a b - B. 1133a b -+ C. 1133a b + D.1133a b --15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的可导函数；)('x f 为其导函数；若对于任意实数x ；都有)()('x f x f >；其中e 为自然对数的底数；则（ ）A )2016()2015(e f f >B )2016()2015(e f f <C )2016()2015(e f f =D )2015(e f 与)2016(f 大小关系不确定二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16．2{4,21,}A a a =--；B={5,1,9},a a --且{9}AB =；则a 的值是17． 已知sin π 0()(-1)+1 >0x x f x f x x ≤⎧=⎨⎩；则5()6f 的值为18. 若曲线x y ln =的一条切线与直线y x =-垂直；则该切线方程为 19．已知||||||2a b a b ==-=；则|32|a b -= . 20. 计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤） 21..（本题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--；3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()1f x m n =-⋅．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时；求()f x 的单调递增区间；22.（本题满分12分）已知函数()f x xlnx =； （1）求()f x 的最小值；（2）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-；求实数a 的取值范围.23．（本题满分12分）已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=--⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112ω<<）；函数()f x 的图象关于直线x π=对称. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中；角A ；B ；C 的对边分别为,,a b c ；若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭；求ABC ∆面积的最大值.24.（本题满分14分）已知函数)0(21ln )2()(≤++-=a ax xx a x f ． （Ⅰ）当0=a 时；求)(x f 的极值； （Ⅱ）当0<a 时；讨论)(x f 的单调性；高三阶段性测试数学（理科）二、选择题（本大题共15 小题；每小题5 分；共75 分． ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A BCDADDDBBCADCA二、填空题（本大题共5小题；每小题5分；共25分） 16． -3 17.12 18. 10x y --= 19. 723三、解答题（本大题共4小题；共50分；解答应写出文字说明；证明过程或推演步骤）21. 【解】（1）∵(2sin 32cos sin 2m n x x x x ππ⎛⎫⋅=--+-⎪⎝⎭223cos 2cos 32cos 21x x x x x =-+=++∴()1f x m n =-⋅32cos 2x x =-∴()f x =2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈；解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；∵取k =0和1且[]0,x π∈；得03x π≤≤和56x ππ≤≤； ∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 法二：∵[]0,x π∈；∴112666x πππ-≤-≤；∴由2662x πππ-≤-≤和3112266x πππ≤-≤； 解得03x π≤≤和56x ππ≤≤；∴()f x 的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞； ()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>；解得1x e >；令()0f x '<；解得10x e<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以；当1x e =时；()f x 取得最小值11()f e e=-. （2）依题意；得()1f x ax ≥-在[)1,+∞上恒成立；即不等式1ln a x x≤+对于[)1,x ∈+∞恒成立 . 令1()ln g x x x=+； 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭.当1x >时；因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭； 故()g x 是()1,+∞上的增函数； 所以()g x 的最小值是(1)1g =； 所以a 的取值范围是(],1-∞.23.24.【解】（Ⅰ）当0=a 时；xx x f 1ln 2)(+=；定义域为),0(+∞； )(x f 的导函数22'1212)(xx x x x f -=-=．分 当210<<x 时；0)('<x f ；)(x f 在)21,0(上是减函数；当21>x 时；0)('>x f ；)(x f 在),21(+∞上是增函数．分∴当21=x 时；)(x f 取得极小值为2ln 22)21(-=f ；无极大值．（Ⅱ）当0<a 时；ax xx a x f 21ln )2()(++-=的定义域为),0(+∞；)(x f 的导函数为2222')1)(12(1)2(2212)(x ax x x x a ax a x x a x f +-=--+=+--=．由0)('=x f 得0211>=x ；012>-=a x ；aa a x x 22)1(2121+=--=-． （1）当02<<-a 时；)(x f 在)21,0(上是减函数；在)1,21(a -上是增函数；在),1(+∞-a上是减函数；（2）当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； （3）当2-<a 时；)(x f 在)1,0(a -上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 在),21(+∞上是减函数． 综上所述；当2-<a 时；)(x f 在),21(),1,0(+∞-a 上是减函数；在)21,1(a -上是增函数； 当2-=a 时；)(x f 在),0(+∞上是减函数； 当02<<-a 时；)(x f 在),1(),21,0(+∞-a 上是减函数；在)1,21(a-上是增函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知；当)2,(--∞∈a 时；)(x f 在]3,1[上是减函数． ∴3ln )2(432)3()1(|)()(|21-+-=-≤-a a f f x f x f ． ∵对于任意的)2,(],3,1[,21--∞∈∈a x x 都有3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m x f x f ；∴3ln 2)3ln (3ln )2(432-+<-+-a m a a 对任意2-<a 恒成立； ∴am 324+-<对任意2-<a 恒成立．当2-<a 时；4324313-<+-<-a ；∴313-≤m ．∴实数m 的取值范围为]313,(--∞．；。
高三数学(理)期中试题及答案
高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；满分150分；考试时间120分钟．（1）答题前；考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用毫米黑色的签字笔书写； 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答；超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上答题无效； （4）保持卡面清洁；不得折叠、不要弄破、弄皱；不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一个是符合题目要求的1．若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅；则z 的共轭复数的虚部是（ ） .A i 21- .B i 21 .C 21- .D 212．已知全集为R ；集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=021|x x x M ；{}1)2(ln |1<=-x x N ；则集合=)(N C M R （ ） .A []1,1- .B [)1,1- .C []2,1 .D [)2,13．若幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点；则m 的取值是（ ）.A 21≤≤-m .B 21==m m 或 .C 2=m .D 1=m4．设R y x ∈,；则"22"≥≥y x 且是"4"22≥+y x 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分又不必要条件 5．已知向量)2,1(=a ；)1,3(21=-b a ；)3,(x c =；若()c b a //2+；则=x （ ）.A 2- .B 4- .C 3- .D 1-6．已知数列{}n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++；9642=++a a a ；则=++)(log 97531a a a （ ）.A 51- .B 51 .C 5- .D 57．已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-a x x y 0022内的任意一点；当该区域的面积为4时；y x z -=2的最大值是（ ）.A 6 .B 0 .C 2 .D 228．设⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα；⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πβ；ββαcos sin 1tan +=；则（ ） .A 23πβα=- .B 22πβα=- .C 23πβα=+ .D 22πβα=+9．数列{}n a 满足11=a ；对任意的*N n ∈都有n a a a n n ++=+11；则=+++201621111a a a ( ) .A 20152016 .B 40322017 .C 40342017 .D 2016201710．一个四棱锥的三视图如图所示；则这个四棱锥的表面积是（ ）.A 25329++ .B 2329+.C 2529+ .D 2511+ 11．在直三棱柱111C B A ABC -中；若AC BC ⊥；3π=∠A ；4=AC ；41=AA ；M 为1AA 的中点；P 为BM的中点；Q 在线段1CA 上；QC Q A 31=.则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为（ ）.A 3913 .B 21313 .C 23913.D 131312．对于任意实数b a ,；定义{},min ,,a a ba b b b a≤⎧=⎨<⎩；定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+；且当20≤≤x 时；{}x x f x --=2,12m in )(；若方程0)(=-mx x f 恰有两个根；则m 的取值范围是（ ）.A {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,3131,2ln 1,1 .B ⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,3131,1.C {}⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---2ln ,2121,2ln 1,1 .D ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,3131,21第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分；共20分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．32 0|1|_______x dx -=⎰14．在ABC ∆中；角C B A ,,的对边分别为c b a ,,；若22241c b a +=；则=c Ba cos _______________ 15．已知R y x ∈,；满足64222=++y xy x ；则224y x z +=的取值范围________16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面；各顶点都在同一球面上；若该棱柱的体积为3；2AB =；60,1=∠=BAC AC ；则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题；共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点；极轴为x 轴的正半轴；两种坐标系中的长度单位相同；已知曲线C 的极坐标方程为)sin (cos 2θθρ+=. （1）求C 的直角坐标方程；A（2）直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 23121:（t 为参数）与曲线C 交于B A ,两点；与y 轴交于E ；求EB EA +． 18.（本小题满分12分）在△ABC 中；,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；sin sin tan cos cos A BC A B+=+；sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=；求,a c ． 19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：)1(2-=n n a S ；数列}{n b 满足：对任意*∈N n 有22)1(12211+⋅-=++++n n n n b a b a b a（1）求数列}{n a 与数列}{n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =；数列}{n c 的前n 项和为n T ；证明：当6≥n 时； 12<-n T n 20.（本小题满分12分）如图；PCBM 是直角梯形；90PCB ∠=︒；//PM BC ；1,2PM BC ==； 又1,AC =120ACB ∠=︒；AB PC ⊥；直线AM 与直线PC 所成的角为60︒ （1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥P MAC -的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =；且137,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和；若存在*n N ∈；使得10n n T a λ+-≥成立． 求实数λ的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． (Ⅰ)当2a =时；求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时；讨论)(x f 的单调性；(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立；求实数m 的取值范围．高三理科数学期中考试答案选择：1-5 CDBAD ；6-10 CABBA ； 11-12 CA 填空：π8],12,4[,85,322 解答题：17（1）由()2cos sin ρθθ=+得()22cos sin ρρθθ=+；得直角坐标方程为2222x y x y +=+；即()()22112x y -+-=；（2）将的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程；化简得210t t --=；点E 对应的参数0t =；设点A ；B 对应的参数分别为12,t t ；则121t t +=；121t t =- ；所以1212||||||||||EA EB t t t t +=+=-==18.（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+；即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+； 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+； 即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-；得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-；或()C A B C π-=--（不成立）． 即 2C A B =+； 得3C π=；所以．23B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A C -==；则6B A π-=；或56B A π-=；（舍去） 得5,412A B ππ==． （2）1sin 32ABC S ac B ∆===+sin sin a cA C =； 即22=；得a c ==19.（1）当1n =时；1112(1)S a a ==-；所以12a =； 当1n >时；112()n n n n n a S S a a --=-=-；,21-=n n a a 又122224a a =⨯==成立所以数列{}n a 是以12a =；公比2q =的等比数列；通项公式为2()n n a n N *=∈.由题意有11a b =2(11)222-⋅+=；得11b =.当2n ≥时；n n a b =1122()n n a b a b a b +++112211()n n a b a b a b ---+++1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22nn ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2n n ⋅；验证首项满足；于是得n b n =故数列{}n b 的通项公式为n b n =()n N *∈．（2） 证明：n T =1212n n b b b a a a +++=212222n n +++；所以12n T =23112222n n++++； 错位相减得12n T =231111122222n n n +++++-；所以2n T =-22n n +；即2n T -=22n n +； 下证：当6n ≥时；(2)12n n n +<；令()f n =(2)2n n n +；(1)()f n f n +-=1(1)(3)(2)22n nn n n n ++++-=2132n n +-当2n ≥时；(1)()0f n f n +-<；即当2n ≥时；()f n 单调减；又(6)1f <； 所以当6n ≥时；()1f n <；即(2)12nn n +<；即当6n ≥时；21n n T -< 20.(1)ABC PC B BC AB AB PC BCPC 面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥；PAC PC 面⊂⇒ABC ABC 面面⊥(2)12323112131=⋅⋅⋅⋅==--PMC A MAC P V V 21.（1）设{}n a 的公差为d ；由已知得12111545202(2)(6)a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 即121242a d d a d+=⎧⎪⎨=⎪⎩；110,2d d a =⎧≠∴⎨=⎩；故*1()n a n n N =+∈ （2）11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++111111233412n T n n ∴=-+-++-++ 11222(2)n n n =-=++∵存在*n N ∈；使得10n n T a λ+-≥成立 ∴存在*n N ∈；使得(2)02(2)n n n λ-+≥+成立；即22(2)nn λ≤+有解max 2{}2(2)n n λ∴≤+而21142(2)162(4)nn n n=≤+++；2=n 时取等号 116λ∴≤．22.试题解析：(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+；令21() 4 =0f x x '=-+；得112x =；212x =-（舍去）． 2分当x 变化时；(),()f x f x '的取值情况如下：所以；函数()f x 的极小值为 4分(Ⅱ) 22211)()2 a ax f x a x x x -+'=-+=；令()0f x '=；得112x =；21x a=-； 5分当2a =-时；()0f x '≥；函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 6分 当20a -<<时；在区间1(0,)2；1(,)a-+∞；上()0f x '<；)(x f 单调递减； 在区间11(,)2a-；上()0f x '>；)(x f 单调递增； 7分当2a <-时；在区间1(0,)a -；1(,)2+∞；上()0f x '<；)(x f 单调递减； 在区间11(,)2a -；上()0f x '>；)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时；函数)(x f 在区间[]1.3单调递减； 所以；当[]1.3x ∈时；max ()(1)12f x f a ==+；min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--；恒有1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----成立； 1即14114,4a am a m a a ->-<=-；432,432-<->am a am ；所以313-≤m 12分。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三(上)期中数学试卷(理科)+答案解析(附后)
2022-2023学年四川省成都市青羊区石室中学高三（上）期中数学试卷（理科）1. 已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在( )A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2.已知数列的前n项和是，则( )A. 20B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则( )A. B. C. D.4. 函数在区间的图象大致为( )A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.6.已知命题p：在中，若，则；命题q：向量与向量相等的充要条件是且在下列四个命题中，是真命题的是( )A. B. C. D.7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 直线是函数的图象的一条对称轴B. 函数的图象的对称中心为，C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象8. 数列中，，对任意m，，，若，则( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 2020年，由新型冠状病毒感染引起的新型冠状病毒肺炎在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量法以其高灵敏度与强特异性，被认为是的确诊方法，实时荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某样本的扩增效率，则被测标本的DNA大约扩增次后，数量会变为原来的125倍．参考数据：( )A. 10B. 11C. 12D. 1310. 设，，其中e是自然对数的底数，则( )A. B. C. D.11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则正三棱柱的体积的最大值为( )A. B. C. D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线AB 经过该抛物线的焦点，则线段AB的长为( )A. 8B. 6C. 5D.13.已知向量满足，则______.14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为______.15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，若，且的面积为3，则双曲线C的焦距为______. 16. 已知函数，若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为______其中e是自然对数的底数17. 已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，且求角C；若，，D为BC的中点，，求的面积．18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；19. 如图，四棱柱中，底面ABCD是矩形，且，，，若O为AD的中点，且求证：平面ABCD；线段BC上是否存在一点P，使得二面角的大小为？若存在，求出BP的长；若不存在，说明理由．20. 已知曲线C上的任意一点到点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，过点F作不与x轴重合的直线与曲线C相交于A，B两点，过点A作AP垂直于直线l，交直线l于点P，直线PB与x轴相交于点求曲线C的方程；求面积的最大值．21.已知函数在处的切线方程为求实数m和n的值；已知，是函数的图象上两点，且，求证：22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点P的极坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23. 已知函数，M为不等式的解集．求集合M；设a，，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以复数z对应的点为，故在复平面内复数z对应的点在第三象限．故选：结合复数的除法运算化简z，由复数与复平面的对应关系即可求解．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设数列的前n项和为，则，故故选：由直接代值运算即可．本题主要考查了等车数列的和与项的递推关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：解一元二次不等式进而确定全集中的元素，根据集合A，求得，根据集合的交集运算即可求得答案．本题考查集合的运算性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：函数，，所以为奇函数，排除B，D；当时，，排除故选：由函数的奇偶性及函数值的大小进行排除即可求得结论．本题主要考查函数的图象的判断，考查函数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，从上面去掉一个圆锥，且圆锥的底面直半径、高都与正方体边长相等；该几何体的体积为故选：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，中间去掉一个圆锥的组合体，由此求出它的体积．本题利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．6.【答案】D【解析】解：命题q：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，故命题q是假命题，命题p：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题p为真命题；因此，为假命题，为假命题，为假命题，为真命题．故选：结合余弦三角函数单调性可判断p正确，由向量相等的条件可判断q错误．本题考查复合命题的真假，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由函数图象可知，，最小正周期为，所以，将点代入函数解析式中，得，又因为，所以，故，对于选项A，令，，即，，令，则，故选项A错误；对于选项B ，令，则，，所以，，即函数的图象的对称中心为，，故选项B 正确；对于选项C ，令，解得，因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项C 错误；对于选项D ，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是偶函数，故选项D 错误．故选：先根据函数图象，求出函数的解析式，然后根据三角函数的周期，对称轴，单调区间，奇偶性逐项进行检验即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由，令，则，即，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，，，则，解得，故选：取，可得出数列是等比数列，可得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，即可得出答案．本题考查构造法和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：因为，所以由题意知，得，故被测标本的DNA 大约扩增12次后，数量会变为原来的125倍．故选：根据题意，化简，得，可得，利用参考数据，可得答案．本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：设，得令，解得当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即，则，，所以最小．又因为，且，所以，所以综上所述，故选：构造，利用导数证明的的单调性，赋值，可大致估计a，b 大小，，通过放缩可比较a，b大小，进而得出答案．本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：如图，设正三棱柱上、下底面的中心分别为H，，连接，根据对称性可知，线段的中点O即为正三棱柱外接球的球心，线段OA即为该外接球的半径，又由已知得，，设正三棱柱的底面边长为x，则，在中，，，正三棱柱的体积，令，则，，，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以故选：结合正三棱柱和外接球关系先求出外接球半径，令正三棱柱底面边长为x，由函数关系表示出体积V与x函数关系，利用导数可求最值．本题考查正三棱柱的最值的求解，函数思想的应用，利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.【答案】B【解析】解：设抛物线的焦点为F，则，根据题意可知，点为的重心，若直线AB的斜率不存在，则不妨取，，则结合重心可得C为，不合题意；故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，，，则有，，，联立方程得，，则，，因为点为的重心，所以，即，所以，，即，解得，则，故线段AB的长为6，故选：判断直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案．本题考查直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值，三角形重心的坐标公式，抛物线的几何性质，属中档题．13.【答案】【解析】解：由两边平方得故答案为：通过平方的方法化简已知条件，从而求得本题主要考查平面向量数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】135【解析】解：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为故答案为：根据各项的系数之和为512得到，解得，然后利用通项公式求常数项即可．本题考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设双曲线C：的半虚轴为b，半焦距为c，，，又，两式相减可得，则，又的面积为3，，，解得，，，，即，又，，，，得，又，且，，双曲线C的焦距为故答案为：根据双曲线定义结合余弦定理可推得，结合三角形面积可推得，由可得，继而推得，，再利用勾股定理结合即可求得本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：因为，所以当时，，当时，，即满足，则是偶函数．当时，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，作出函数的图象，如图所示：设，因为有8个不同的实数解，所以由图象可得，关于t的方程有2个不同的实数解，且都大于e，所以有，解得，又因为，所以整数m的值为5，故答案为：判断函数的奇偶性，利用导数判断其单调性，继而作出其图象，数形结合，将关于x的方程有8个不同的实数解，转化为关于t的方程有2个不同的实数解，列出不等式组，即可求得答案．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，解决此类比较复杂的方程的根的个数问题，一般方法是采用换元法，数形结合，将根的个数问题转化为函数图象的交点问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以，由正弦定理得，即，由余弦定理得，因为，所以在三角形ADC中，，即，解得或，即或，因为，故，因为，所以，故，所以，所以【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及正弦定理、余弦定理，即可求解．根据已知条件，结合余弦定理，以及三角面积公式，即可求解．18.【答案】解：由频率分布直方图的性质可得，，解得，设中位数为a，则，解得，故估计这50名学生成绩的中位数为的三组频率之比为：：：3：1，从中分别抽取7人，3人，1人，故所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P故【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，结合中位数公式，即可求解．根据已知条件，结合分层抽样的定义，求得从中分别抽取7人，3人，1人，推得所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式的公式，即可求解．本题主要考查随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：，且，为等边三角形，为AD的中点，，又，且，平面ABCD；如图，过O作，以O为原点，建立空间直角坐标系，则，，设，，设平面的法向量为，又，，则，取，又平面的一个法向量为，，解得或舍去，，当BP的长为时，二面角的值为【解析】由已知得为等边三角形，，再由，能证明平面建系，利用向量法及方程思想即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，方程思想，属中档题．20.【答案】解：设曲线C上的任意一点的坐标为，由题意，得，即，所以曲线C的方程为；由题意，设直线AB的方程为，，，则联立方程得，则，所以，，所以又因为，所以直接PB的方程为令，则，所以，因为，所以令，，则又因为在上单调递减，所以当时，，故面积的最大值为【解析】由题意列出曲线方程化简即可求解；设直线AB的方程为，，，表示出P，联立直线与椭圆方程消去x，表示出关于y的韦达定理，结合B，P求出直接PB的方程，令，求出M坐标，进而得到，由求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查函数思想和运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由，得因为函数在处的切线方程为，所以，，则；证明：由可得，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．因为，是函数的图象上两点，且，不妨设，且，所以由，得，即设，设，则，所以，即，故要证，只需证，即证，即证，即证，即证，即证令，，则，证明不等式；设，则，所以当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，故，所以成立．由上述不等式可得，当时，，故恒成立，故在上为减函数，则，所以成立，即成立．综上所述，【解析】先求导，由，可求对应的m和n的值；设，由可判断，由得，设，，，得，代换整理得，原不等式要证，只需证，全部代换为关于t 的不等式得，设，，由导数得，再证，放缩得，进而得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：因为直线l的参数方程为为参数，所以直线l的普通方程为，因为，即，所以，得，所以曲线C的直角坐标方程为；因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，将直线l的参数方程为参数，代入，化简得，设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，故，，所以，，所以【解析】利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：①当时，不等式可化为，解得，则；②当，不等式可化为，解得，则；③当时，不等式可化为，解得，则综上所述，；证明：因为当且仅当时取等号，所以要证，只需证，即证，即证，即证，即证由可知，因为a，，所以，，所以成立．综上所述，【解析】采用零点讨论法去绝对值可直接求解；结合绝对值三角不等式得，要证，即证，即证，去平方结合因式分解即可求证．本题考查不等式的解法及其证明，考查分类讨论思想以及推理论证能力，运算求解能力，属于中档题．。
高三理科数学期中考试卷
高三理科数学期中考试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x + 12. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则第5项a_5的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 125. 圆x^2 + y^2 = 9的圆心坐标为（）A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)6. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = （）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 3, 4}D. {1, 2}8. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x) - g(x) = （）A. 4xB. 2xC. 2D. 49. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3)D. (0, 3)10. 函数y = ln(x)的定义域为（）A. (-∞, 0)B. [0, +∞)C. (0, +∞)D. (-∞, +∞)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = 3x - 2，若f(a) = 7，则a = _______。
12. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则第4项b_4 =_______。
13. 已知函数y = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1，求导数y' = _______。
上学期高三数学理科期中考试卷 试题(共9页)
实验(shíyàn)中学2021-2021学年度上学期高三数学理科期中考试卷〔时间是：120分钟，满分是：150分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．满足A∪B={0，2}的集合A与B的组数为〔〕A．2 B．5 C．7 D．92．x+y≠3是x≠1或者y≠2的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设复数在复平面内所对应的点在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．命题p：函数的值域为R；命题q：函数y=－(5－2a)x 是减p或者q为真命题，p且q为假命题，那么实数a的取值范围是〔〕A．a≤1 B．1<a<2 C．a<2 D．a≤1或者a≥2 5．的图象是〔〕6．数列〔 〕A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．不可能是等比数列D ．不可能是等差数列7．等差数列(d ěn ɡ ch ā sh ù li è)=〔 〕A ．B ．m +nC ．0D ．18．假设不等式恒成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．a ≥3B ．0<a ≤或者a ≥3C ．0<a ≤31D ．0<a <31或者a ≥39．奇函数f (x )满足条件A ．－31B ．－C ．－D ．－10．从2021名学生中选取50名组成参观团，假设采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进展，那么每人入选的概率〔 〕A．不全相等B．均不相等C．都相等且为D．都相等且为11．设〔〕A．0 B．C．n! D．(－1)n n! 12．设函数，那么使M=N成立的实数对〔a,b〕有〔〕A．0个B．1个C．2个D．无数多个二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕13．的最小值为。
14．为正整数)= .15．函数(hánshù)的图象过定点A且点A又在函数= .16．数列合适：a1=2，n为奇数时，a n+1=a n+2，n为偶数时，a n+1=2a n，那么a2021= .三、解答题〔本大题一一共6小题，17—21题每一小题12分，22题14分，一共74分〕17．设命题P ：“方程2ax －a －2=0在区间〔－1，1〕内有解“，命题Q ：“不等式 在[－4，0]上恒成立〞.假如P 与Q 不都正确，务实数a 的取值范围.18．假设对于任意的恒成立，求a 的取值范围.19．设S n 是数列(sh ùli è)}{n a 的前n 项和，〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式及前n 项和S n ； 〔Ⅱ〕求的值.20．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个互相HY 的问题，并且宣布：观念答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题目由观众自由选择；只有答对第一个问题后才能再答第二个问题，否那么中止答题.假设你被选为幸运观念，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为、31.你觉得应该先答复哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由. 21．〔Ⅰ〕求证：〔Ⅱ〕判断a n 与a n +1(n ∈N*)的大小，说明理由.22．函数(h ánsh ù)〔Ⅰ〕当a >1时，求的单调区间和值域，并证明方程)(x f =0有唯一实根〔Ⅱ〕当0<a ≤1时，讨论方程f (|x |)=0的实根的个数情况，并说明理由.[参考答案]一、选择题〔满分(mǎn fēn)是60分〕1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号D A C B C D C B A C D A 答案二、填空题〔满分是16分〕13．c－a 14． 15． 16．3×21003－2三、解答题：17．解：假设命题P正确，那么〔4分〕假设命题Q正确，那么a≥0 〔8分〕假设P、Q都正确，那么a>2 〔10分〕∴P与Q不都正确时，a的取值范围是〔12分〕18．解：令〔1〕假设是减函数f(x)>f(1)=2>0 〔2分〕〔2〕假设〔6分〕〔3〕假设①②，合适题意③合适(héshì)题意综上可得：a的取值范围是〔12分〕19．解：〔I〕〔4分〕〔6分〕〔II〕〔8分〕〔12分〕20．解：设先答A、B所获奖金分别为ξ、η元，〔1分〕那么有由于两种答序获奖的期望相等，故先答那个都一样。
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷
西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理） 命题人：张丽娇 审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60项是符合题目要求的．）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{B x =2|56x x --≤}0，则A ⋂C R B =（ ）A ．{}3-B ．{}3,2,1---C ．{}3,2--D ．{}1,2- 2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭ 3.已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ；命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升到8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.301)( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③7.已知非常数函数f(x)满足f (−x )f (x )=1(x ∈R)，则下列函数中，不是奇函数的是（ ）A ．f (x )−1f (x )+1B ．f (x )+1f (x )−1C ．f (x )−1f (x )D ． f (x )+1f (x )8．已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<9．函数f (x )＝3|x |·cos 2x x的部分图象大致是( )10.若()f x 的定义域为R ，对,x y R ∀∈，()()()()(),11f x y f x y f x f y f ++-== 则()221k f k ==∑( )A ．－3B ．－2C ．0D ．111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π， 且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814]B.[274,643]C.[274,814]D.[18,27]12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，则不等式e x f(x +1)<e 4f(2x －3)的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则()()2f f -=__________． 14.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__________． 15.∫(3−3sinx +√9−x 2)dx =__________．16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则 ①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（14分）在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．“①函数y =√x 2+2x −k 的定义域为R ，②∃x ∈R ，使得|x −1|+|x −2|+k ⩽0， ③方程x 2+k =0有一根在区间[1,+∞)内”问题：已知条件p ：______，条件q ：函数f(x)=2x 2−kx 在区间(−3,a)上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.（14分）已知函数f (x )=ln (m x x+1−1)(其中m ∈R 且m ≠0)是奇函数．（1）求m 的值；（2）若对任意的x ∈[ln2,ln4]，都有不等式f (e x )−x +lnk ≥0恒成立， 求实数k 的取值范围．19.（14分）已知函数f (x )＝x 2－2x +aln x(a ∈R)．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数f(x)的单调性．20.（14分）已知函数f (x )=2a+1a −1a 2x ，a >0 (1)证明:函数f (x )在（0，+∞）上单调递增；(2)设0<m <n ，若f (x )的定义域和值域都是[m,n ]，求n −m 的最大值.21.(14分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.。
高三数学(理科)上学期期中考试试卷(含标准答案)
高三数学（理科）上学期期中考试试卷（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题 （本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+的共轭复数为（ ） A ．43i --B ．43i -+C ．43i +D ． 43i -2、设集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
（ ）A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
3．已知向量21cos ,sin ,a b αα=-=（）,（），且//,a b 4tan πα-（）等于（ ） A ．－3 B ．3 C ．31 D ．31-4、设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x =错误！未找到引用源。
”的否命题为：“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x ≠错误！未找到引用源。
”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数错误！未找到引用源。
”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x 错误！未找到引用源。
，使得2210x -<错误！未找到引用源。
”的否定是：“R ∈∀x 错误！未找到引用源。
，均有2210x -<错误！未找到引用源。
”D ．命题“若cos cos x y =错误！未找到引用源。
，则x y =错误！未找到引用源。
”的逆否命题为真命题6、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）7．已知函数1x y a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点，若点在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ．18.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
高三数学理科期中考试卷 试题
卜人入州八九几市潮王学校高三数学理科期中考试卷2021一．选择题:(每一小题5分,一共60分)1．复数iz+=11所对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．集合M=(){}+∞∈=,0,|2x xy y ，N=(){}+∞∈+=,0,2|x x y y ，那么N M =A.MB.NC.RD.(){}4,23．35cot 2tan=+αα，那么=α2cosA.257- B.257 C.2514D.57-4．()nx 251+的展开式中的各项系数之和是n a ，()nx523+的展开式中的各项系数之和是nb那么nn nn n b a b a 432lim+-∞→的值是A.32-B.21-C.41D.31 5．P是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，假设21tan ,0.2121=∠=→→F PF PF PF ，那么椭圆离心率为 A.21B.32C.31D.356．用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是A.48B.36C.28D.127．假设1,022≤+≥+y x y x ，那么y x +2的取值范围是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,22B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5,22 D.]5,5[-()[]0lg 1<--a a n a 对任意正整数n恒成立，那么实数a的取值范围是A.{}1|>a a B.{}10|<<a a C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<1210|a a a 或 D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<1310|a a a 或9．在正三棱锥P —ABC 中，E ，F 分别是棱PA ，AB 的中点，EF ⊥CE ，且BC=1，那么此三棱锥的体积A.122B.242C.123D.243 10．定义域为R 的函数f(x)满足)4()(+-=-x f x f ，且当x>2f(x)单调递增，假设()()的值则且)()(,022*******x f x f x x x x +<--<+ 0 C二．填空题:(每一小题4分,一共16分)11．=⎪⎭⎫⎝⎛+---→x x x 2144lim 22_______________12．设向量()()=-=-=→→→→→θθcos ,1,12,3,3则，且的夹角为与a b ab a _____________13．c 是椭圆)1(12222>>=+b a by a x 的半焦距，那么a cb +的取值范围是_____________1111D C B A 的棱长为1，在正方体的外表上与点A 间隔为332的点的集合形成几条曲线，这几条曲线的长度和为____________________三．解答题15．函数x x x y 2sin 34cos .4cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ（1） 求值域与最小正周期. （2） 当y>-1,求x 的取值范围._A _ C_ B16．二次函数()x f y =的图象经过坐标原点，其导函数为26)(-='x x f ,数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*∈N n S n n ,均在()x f y =的图象上（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 设n n n n T a a b ,31+=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*∈N n 都成立的最小正整数m.—ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ，PA=3，AE ⊥PD 与E（1） 求证：DE ⊥BE （2） 求AC 与面EAB 所成角（3） 在边BC 上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的间隔为52，假设存在，求出BG 的值；假设不存在，请说出理由。
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高三数学期中考试试卷理科高三数学期中考试试卷（理科）一. 选择题:（每小题5分,共40分.请将答案填在第二页的表格中）1．满足条件{}{}3,2,12,1= M 的集合M 的个数是（ ）)(A 1 )(B 2 )(C 3)(D 42．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=10)]5([103)(n n f f n n n f ，其中*∈N n ，则)8(f 的值为（ ）)(A 2 )(B 4 )(C 6)(D 73．函数bx x f a+=log)(是偶函数，且在区间()∞+,0上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系为（ ）)(A )1()2(+=-a f b f )(B )1()2(+>-a f b f)(C )1()2(+<-a f b f )(D 不能确定4．已知数列{}na 是等差数列，数列{}nb 是等比数列，其公比1≠q ，且0>ib （ ,3,2,1=i ），若11b a =，1111b a=,则（ ）)(A 66b a = )(B 66b a> )(C 66b a< )(D 66b a>或66b a <5．数列{}na 、{}nb 满足1=⋅n nb a，232++=n n an，则{}nb 的前10项之和等于（ ） )(A 31 )(B 125 )(C 21 )(D 12716．对于函数⎩⎨⎧<≥=时当时当x x xx x x x f cos sin cos cos sin sin )(，下列结论正确的是（ ）)(A 函数)(x f 的值域是［－1，1］ )(B 当且仅当22ππ+=k x 时，)(x f 取最大值1 )(C 函数)(x f 是以π2为最小正周期的周期函数 )(D 当且仅当ππππ4522+<<+k x k （Z k ∈）时，0)(<x f 7．若向量()ααsin ,cos =，()ββsin ,cos =则与满足（ ） )(A 与b 的夹角等于βα- )(B ()()-⊥+ )(C // )(D ⊥8．已知函数)(x f 的导函数为xx fcos 5)('+=，()1,1-∈x ，且)0(=f ，如果0)1()1(2<-+-xf x f ，则实数x 的取值范围为（ ）)(A （10，） )(B ()2,1 )(C )2,2(--)(D )2,1(）－，（－12二．填空题（每题5分，共30分，请将答案填在第二页表中）9．已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则下列命题：①M 的元素都不是P 的元素 ②M 的元素不都是P 的元素③M 中有P 的元素 ④存在Mx ∈，使得P x ∉其中真命题的序号是 （将你认为正确的命题的序号都填上）10．已知函数)(x f 是R 上的减函数，其图象经过点)1,4(-A 和)1,0(-B ，函数)(x f 的反函数是)(1x f-，则)1(1-f的值为 ，不等式1)2(<-x f 的解集为11．在如图的表格中，每格填上一个数字，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则=++c b a 12．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若1=a ，︒=45B ，ABC ∆的面积为2，则ABC ∆的外接圆直径等于 13．已知0>a ，函数axxx f -=3)(在[)∞+,1上是单调增函数，12 211abc则a 的最大值是14．函数)(x f 是定义在]1,0[上的函数，满足)2(2)(xf x f =，且1)1(=f ，在每一个区间⎥⎦⎤⎝⎛-121,21i i（ ,3,2,1=i ）上，)(x f y =的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分，记直线nx 21=，121-=n x ,x 轴及函数)(x f y =的图象围成的梯形面积为na （ ,3,2,1=n ），则数列{}na 的通项公式为三．解答题（共80分） 15．（12分）已知函数θθθsin 2)sin()sin()(--++=x x x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πθ23,0，且432tan -=θ，若对任意R x ∈，都有0)(≥x f 成立，求θcos 的值16．（12分）解关于x的不等式03≥2axax++x17．（14分）如图，四棱锥ABCDS-的底面是正方形，⊥SA底面ABCD，E是SC上一点（1）求证：平面⊥EBD平面SAC；（2）设4=SA，2=AB，求点A到平面SBD的距离；（3）当AB SA的值为多少时，二面角DSC B --的大小为︒120318．（14分）已知一次函数)(x f y =的图象关于直线xy =对称的图象为C ，且0)1(=f ，若点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nn aa n A 1,（*∈N n ）在C 上，11=a，当2≥n 时，111=--+n nnn a a aa（1）求数列{}na 的通项公式；ED CBAS（2）设)!2(!5!4!3321+++++=n a a a a Sn n，求nn S ∞→lim19．（14分）设关于x 的方程0222=--ax x的两根分别为α、β()βα<，函数14)(2+-=x ax x f （1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数； （2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小420．（14分）如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列（1） 若2a ，2b ，2c 成等差数列，证明c b +，a c +，ba +成调和数列；（2） 设nS 是调和数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n1的前n 项和，证明对于任意给定的实数N ，总可以找到一个正整数m ，使得当m n >时，NSn>高三数学答案（理科）一．选择题题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 答案D D C B B C B B二．填空题9. ②④ ; 10. -4 , (-2,2) ;11. 1 ; 12.25; 13.3; 14.1224+-=n nka三．解答题15．解：依题意)1(cos sin 2sin 2cos sin 2)(-=-=x x x f θθθ01cos ≤-x 0sin ≤∴θ πθπ23<≤∴ 由432tan -=θ得3tan =θ 1010cos -=∴θ 16．解：原不等式等价于0)1(2≥++ax ax x当4>a 时，解集为[)∞+-+----,0]24,24[22 aaa a a a a a当4=a 时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=≥210x x x 或 当40<<x 时，解集为[)∞+,0当0=a 时，解集为[)∞+,0当<a 时，解集为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛-+-∞-a a a a a a a a 24,024,2217．(1)证明： ⊥SA 底面ABCD BD SA ⊥∴且AC BD ⊥ ∴SAC 平面⊥BD∴平面⊥EBD 平面SAC(2)解：因为ABD-S SBD-A V V=，且232221SSBD⨯⨯=∆，可求得点A 到平面SBD 的距离为34 (3)解：作F SC BF 于⊥，连DF ，则B FD ∠为二面角DSC B --的平面角设1AB =，x SA =，在SB C Rt ∆中，求得2122++=x x BF ，同理，2122++=x x DF ，由余弦定理DFBF BD DF BF ⋅-+=︒2120cos 222解得1=x ， 即AB SA＝1时，二面角D SC B --的大小为︒12018．解：（１）依题意C 过点（０，１），所以设C 方程为1+=kx y ，因为点⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nn a a n A 1,（*∈N n ）在C 上，所以11+=+kn a a nn代入111=--+n nnn a a aa ，得1=k ，所以11+=+n aa nn ， n a a n n=∴-1，121-=--n aa n n ，…，212=a a，且11=a，各式相乘得!n an=（２）2111)2)(1(1)!2(!)!2(+-+=++=+=+n n n n n n n a n， 2121211141313121+-=+-+++-+-=∴n n n S n ，21lim =∴∞→n n S19.(1)证明：222')1()22(2)(+---=x ax x x f ，由方程0222=--ax x的两根分别为α、β()βα<知()βα,∈x 时，0222<--ax x，所以此时0)('>x f，所以)(x f 在区间()βα,上是增函数(2)解：由（１）知在()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ，1]2)[(]44)()[(1414)()(22222+-++-++-=+--+-=-αββαβααββααβααββαβa aa f f2a=+βα ，1-=αβ，可求得442+=-a αβ，161241)442(44)()(2222+=+++++⋅+=-∴a a a a f f αβ，所以当0=a 时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为４20．证明：（１）欲证c b +，a c +，b a +成调和数列，只须证ba cb ac +++=+112 只须证))(())(())((2c b a c b a a c b a c b +++++=++ 化简后，只须证2222c a b+=因为2a ，2b ，2c 成等差数列，所以2222c a b+=成立所以c b +，a c +，b a +成调和数列（２）nSn131211++++=212121211)212121()81818181()4141(21121312112k S k k k k k +=++++=++++++++++++>++++=∴对于任一给定的N ，欲使NSn>，只须N k >+21，即)1(2->N k ，取1]2[)1(2+=-N m (其中]2[)1(2-N 表示)1(22-N 的整数部分)，则当m n > 时，NSn>(本题解法和答案不唯一)。