等边三角形的几种画法
等边三角形课件
等边三角形课件一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是指三边长度都相等的三角形。
这是一个非常基础且重要的几何概念。
想象一下，三条边长度完全一样，构成的三角形形状规整，角度也具有特定的规律。
二、等边三角形的性质1、边的性质等边三角形的三条边长度相等。
这是其最显著的特征之一。
无论从哪个角度测量，三条边的长度都是一致的。
2、角的性质等边三角形的三个内角也相等，且每个内角都是 60 度。
这是因为三角形的内角和为 180 度，而三个角相等，所以每个角就是 180 度除以 3，等于 60 度。
3、对称性等边三角形具有很高的对称性。
它既是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线；同时也是旋转对称图形，绕着其中心旋转 120 度后能与自身重合。
4、稳定性在实际应用中，等边三角形具有良好的稳定性。
比如在建筑结构、机械设计等领域，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固程度。
三、等边三角形的判定方法1、定义法如果一个三角形的三条边长度都相等，那么它就是等边三角形。
这是最直接也是最根本的判定方法。
2、三个角相等如果一个三角形的三个角都相等，那么它也是等边三角形。
因为三个角相等，每个角都是 60 度，所以必然是等边三角形。
四、等边三角形的周长和面积计算1、周长由于等边三角形的三条边长度相等，假设边长为 a，那么周长 C 就等于 3a。
2、面积计算等边三角形的面积，我们可以使用公式：面积 S ＝√3/4 × a² 。
其中 a 是等边三角形的边长。
为了更好地理解这个公式，我们可以将等边三角形分成两个直角三角形。
通过勾股定理求出高，然后再计算面积。
五、等边三角形在实际生活中的应用1、建筑领域在一些建筑结构中，等边三角形的稳定性被充分利用，比如屋顶的支撑结构、桥梁的设计等。
2、艺术设计等边三角形的规整和对称美在艺术设计中经常被运用，创造出富有节奏感和平衡感的作品。
3、标志和符号许多标志和符号采用等边三角形的形状，以传达稳定、平等、统一等概念。
等边三角形课件
等边三角形的性质与证明一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是一种具有三条边都相等的三角形。
在等边三角形中，每个角都是60度，这是由三角形内角和定理直接得出的。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为它的三条边都相等，所以它也满足等腰三角形的性质。
二、等边三角形的性质1.角的性质：等边三角形的三个角都相等，每个角的大小为60度。
这是因为三角形的内角和为180度，而在等边三角形中，三个角都相等，所以每个角的大小为180度除以3，即60度。
2.边的性质：等边三角形的三条边都相等。
这是等边三角形的基本性质，也是它与其他三角形区别的最大特点。
3.对称性质：等边三角形具有三条对称轴，分别是三条中线。
这是因为等边三角形的每条中线都可以将三角形分成两个面积相等的小三角形，所以中线也是高线和中位线。
4.周长和面积：等边三角形的周长是任意一边长的三倍，面积可以通过公式S=(a^2√3)/4计算，其中a为边长。
三、等边三角形的证明1.角的证明：通过三角形内角和定理，我们可以得出等边三角形的每个角都是60度。
具体证明如下：设等边三角形的三个角分别为A、B、C，边长为a。
根据三角形内角和定理，有：A+B+C=180度由于三角形ABC是等边三角形，所以有：A=B=C将A=B=C代入上述等式中，得到：A+A+A=180度3A=180度A=B=C=60度2.边的证明：等边三角形的三条边都相等，这是由等边三角形的定义直接得出的。
具体证明如下：设等边三角形的三个边分别为a、b、c。
由于三角形ABC是等边三角形，所以有：a=b=c四、等边三角形的应用等边三角形在日常生活和工程应用中有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造、地理信息系统等领域。
等边三角形的特点使其在一些特定情况下具有特殊的优势，例如在等边三角形的网格划分中，每个网格的面积相等，这对于一些需要均匀划分的区域非常有用。
总结：等边三角形是一种具有三条边都相等的三角形，它的每个角都是60度。
十种三角形的画法
十种三角形的画法引言三角形作为最简单的图形之一，是几何学中非常重要的概念。
在绘画中，三角形是一种基本的元素，具有很多不同的形状和画法。
本文将介绍十种常见的三角形画法，以帮助读者更好地理解和运用这些技巧。
1. 正三角形正三角形是指三条边长度相等的三角形。
下面是绘制正三角形的步骤：1.首先，画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为正三角形的顶点；3.从底边上选择的点向上画一条斜线，与底边的角度为60度；4.从底边的另一点向上画一条斜线，与底边的角度也为60度；5.连接两条斜线的末端，形成一个等边三角形。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边长度相等的三角形。
下面是绘制等腰三角形的步骤：1.画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为等腰三角形的顶点；3.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度也随意选择；5.连接两条直线的末端，形成一个等腰三角形。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
下面是绘制直角三角形的步骤：1.首先，画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为直角三角形的顶点；3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度；4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；5.连接两条直线的末端，形成一个直角三角形。
4. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条边长度相等且其中一个角为90度的三角形。
下面是绘制等腰直角三角形的步骤：1.画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为等腰直角三角形的顶点；3.从底边的顶点处画一条垂直线，与底边的角度为90度；4.从底边的中点向上画一条直线，与底边的角度随意选择；5.连接两条直线的末端，形成一个等腰直角三角形。
5. 等边三角形等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。
下面是绘制等边三角形的步骤：1.画一条水平线作为底边；2.在底边上选择一个点，作为等边三角形的顶点；3.从底边的顶点处向上画一条直线，与底边的角度随意选择；4.从底边的另一点向上画一条直线，与底边的角度也为60度；5.连接两条直线的末端，形成一个等边三角形。
等边三角形的相关模型（初二）
轴对称的相关模型：将军喝水（以及引申），矩形折叠等腰三角形相关模型（初二）角平分线相关模型，策略简介我决定把两个三角形的王者： 等边和等直 各做一个专门的模型专题。
可能有的老师或同学发现一些重复类似的模型，其实不同的阶段同一个模型也有不同的侧重讲解点。
今天我们先来看等边三角形001逆向手拉手出等边有人说了手拉手早讲过了啊，我们这次强调的是逆向手拉手，什么是逆向？原本的手拉手全等，是两个 顶角等的等腰（以下简称等腰），绕着顶角的顶点旋转得到 一对全等 。
也即是说，等腰是条件全等是结论，题目里往往先画出等腰，需要自己辅助线补出全等逆向就是反过来，已知全等的三角形（或说同一个三角形），绕着其中一个顶点旋转， 那么会出现顶角相等的等腰 （其实是 相似的等腰，不过初二没学相似）如下图：如果旋转的度数又是60度，那么 等腰+60度=等边 。
也就是如果两个全等的三角形的一组对应边已经构成了等边，那么另一组对应边也构成等边。
如下图:002一百二十度含六十度如下图菱形ACBD为120度菱形（没学菱形或者说是两个等边拼在一起的四边形）恒为等边当然我们还发现有对角互补模型（点击： 角平分线相关模型，策略简介 ）这里是特殊的对角互补AEBF，在AEBF这种60和120度的互补之中，有平分线AB=角两边被截的线段和BE+BF。
由全等就很容易了，其实也可以做经典辅助线点垂线。
003等边中的旋转如图见等边思旋转，转60完就有小等边（根据刚才的逆向手拉手）004正方形中的旋转（番外）这里额外介绍正方形类似的也有这样的辅助线（应该放在下次的等直里边， 正方形其实就是两个等直拼在一起 ）注意这次转的90度，所以得到的是等直所以我们归结为，有等长的共定点的线段思旋转。
005肩并肩模型名字我瞎起的，其实是两个等边手拉手并且还有一边共直线的特殊情况。
由于特殊所以有很多性质051052053054055这个值得一说，利用了 全等三角形对应高线相等 （我还真少有见过能用到这个性质的题目）看全等这俩也可以056就是有三个002中的对角互补057据说有这么多相似，我是没数全（初二就不用讲了）006费马点问题神马是费马点看图。
等边三角形十种画法
等边三角形十种画法
以下是等边三角形的十种画法：
1.
利用直尺和三角板：使用直尺和三角板来绘制三条等长的边，连接它们形成等边三角形。
2.
利用圆和直尺：以一个点为中心，利用圆规画一个圆，然后用直尺连接圆上的三个点，形成等边三角形。
3.
利用正方形：首先画一个正方形，然后连接对角线，连接的两条线段会形成等边三角形。
4.
利用五角星：首先画一个五角星，然后连接五角星内部的三个相邻顶点，形成等边三角形。
5.
利用正六边形：画一个正六边形，然后连接两个相邻顶点和中心点，形成等边三角形。
6.
利用圆和三等分线：以一个点为中心，画一个圆，然后利用三等分线将圆上的三个点连接起来，形成等边三角形。
7.
利用等边五边形：首先画一个等边五边形，然后连接五边形内部的三个相邻顶点，形成等边三角形。
8.
利用正十二边形：画一个正十二边形，然后连接相邻顶点和中心点，形成等边三角形。
9.
利用棱镜：画一个棱镜的底面，然后连接底面上的三个顶点和棱镜的顶点，形成等边三角形。
10.
利用平行四边形：首先画一个平行四边形，然后连接对角线，连接的两条线段会形成等边三角形。
用尺规作图画三角形的方法
用尺规作图画三角形的方法
三角形是一种常见的几何图形，它可以用来表达各种概念，可以用来构建形状、结构和物理实体，也可以被用来展示统计数据。
用尺规作图画三角形的方法可以用来创建几何图形，并且可以判断几何图形的性质，以及三角形的一些属性。
用尺规画三角形可以分为三步：
1.使用尺规以中心点为中心画一个圆，圆的半径就确定了三角形的高度，然后以圆为中心画出三条射线，假设射线A、B、C，A-C为60度，B-A为90度，C-B为90度，就已经完成了三角形的基本形状。
2.然后使用尺规根据基准线给每条射线依次画出三条边，射线A-B-C的边长分别为a、b、c，可以用任意一条边的长度表示三角形的边平行四边形的长度，例如a=5cm，b=3cm，c=4cm，那么三角形的面积就等于a*b/2，也就是5*3/2=7.5cm。
3.接下来就是要判断三角形的形状，如果a=b=c，则为等边三角形，如果a=b≠c，则为等腰三角形，如果a≠b≠c，则为一般三角形。
用尺规作图画三角形的方法很容易操作，先画一个圆，再画三条射线，然后再以基准线给每条射线依次画出三条边，并且判断出三角形的形状，就可以得出其边长及面积了。
加入现在要求我们在一个长方形的基准线上画一个三角形，那么我们首先要做的就是把长方形分成六段，每段的边长不一定相等，接着在六段上画出相应的射线，然后下一步就是给每个射线依次画出三条边，可以用任意一条边的长度表示三角形的边长，最后根据三个边
的长度来判断出三角形的形状。
以上就是用尺规作图画三角形的方法，只要熟悉其原理以及相应的步骤，就可以很快的将相应的几何图形画出来，掌握了这个方法，就可以轻松的创建几何图形，判断几何图形的性质，从而更好的展示统计数据。
等边三角形ppt
等边三角形ppt等边三角形是初中数学中一个重要的几何图形，它具有独特的性质和广泛的应用。
在这篇文章中，我们将深入探讨等边三角形的定义、性质、判定方法以及它在实际生活中的应用。
一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是指三边长度相等的三角形。
其三个内角也相等，均为 60 度。
二、等边三角形的性质1、三条边相等这是等边三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
2、三个角相等，均为 60 度由于三角形内角和为180 度，且三边相等，所以三个角也必然相等，每个角都是 180÷3 ＝ 60 度。
3、三线合一等边三角形的高、中线、角平分线重合，这一性质在解决与等边三角形相关的几何问题时经常用到。
4、轴对称图形等边三角形有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线。
5、面积和周长设等边三角形的边长为 a，则其面积 S ＝√3/4 a²，周长 C ＝ 3a 。
三、等边三角形的判定方法1、三边相等的三角形是等边三角形这是等边三角形的定义，也是最直接的判定方法。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形因为三角形内角和为 180 度，若三个角都相等，则每个角都是 60 度，所以该三角形是等边三角形。
3、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形如果一个等腰三角形中有一个角是 60 度，那么其他两个角也必然是 60 度，从而该三角形是等边三角形。
四、等边三角形在实际生活中的应用1、建筑设计在一些建筑结构中，等边三角形的稳定性被充分利用。
例如，某些桥梁的支撑结构可能会采用等边三角形的框架，以增强其承受重量和抵御外力的能力。
2、艺术创作等边三角形的对称美常常被艺术家运用在绘画、雕塑等作品中，为作品增添几何美感和平衡感。
3、机械制造在机械零件的设计和制造中，等边三角形的部件可能会因为其均匀的受力分布而被选用，提高机械的性能和可靠性。
4、计算机图形学在计算机图形处理中，等边三角形是构建复杂图形的基本单元之一，有助于实现高效的图形渲染和建模。
用60°角构造等边三角形解题
用60°角构造等边三角形解题等边三角形是几何中最常见的形状之一，也是最重要的几何形状。
古代几何学家注意到，在构造等边三角形中，60°角是最重要的要点。
本文从简单的介绍到深入探究，让我们一起来了解用60°角构造等边三角形及其解题过程。
一、60°角构造等边三角形原理三角形是由三条直线构成，由于它有三个角，所以可以用三个角的度数表示。
等边三角形是由三条相等的边构成的三角形，它的三个内角一定是相等的，每一个内角的度数是60°，因此，等边三角形的构造就需要60°角。
此外，由60°角构造等边三角形，也要求三条直线的长度一定要相等。
二、60°角构造等边三角形步骤1、画出60°角，在一个顶点处画出一个60°角，以该顶点为中心，开始构造三角形，将角度绘制到另外两个点。
2、画出一条线，在60°角之间画出一条线，将角度绘制到另外两个点，将两个点连接起来，形成一个三角形。
3、重复上述步骤，以60°角构造等边三角形的过程就是重复上述步骤，将三角形的三个顶点连起来，使其边长一致，就可以构造出一个等边三角形。
三、60°角构造等边三角形应用1、三角形的周长和面积三角形的周长是三条边的和，由于等边三角形的三条边相等，因此可以把三角形的周长写为3a。
其中a为等边三角形的边长。
等边三角形的面积可以用三角形的面积公式求出。
设三角形的边长为a，就有：S=a^2*sqrt(3)/42、其他问题等边三角形的其他应用也多种多样，可以用于求解不同几何问题，如圆和等边三角形的关系，通过圆心与各边的连线，可以得出众多等边三角形；此外，等边三角形还与标准几何容器有关，如正三角形和正六边形是等边三角形的标准容器，等边三角形也可以用来求解多边形的面积，只要把多边形拆成几个等边三角形，就可以轻松求出多边形的面积。
四、60°角构造等边三角形练习解题例1：已知一个等边三角形的边长是4cm，求其周长。
《等边三角形》PPT优质课件
∴∠DBE= 1 ∠ABC=30°.
2
∵DE=DB，∴∠E=∠DBE=30°.
B
D CE
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.
探索新知
知识点1 等边三角形的性质 【变式】如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
知识点1 等边三角形的性质
A
BC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
AB边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
B
C AC边上的中线,高和所对角的平分线“三线合一”.
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重 合，即“三线合一”.
探索新知
知识点1 等边三角形的性质
思考3 把等腰三角形的对称性用于等边三角形，能得到什么结 论？
知识点1 等边三角形的性质
图形 性边 质角
三线 合一
等腰三角形
两条边相等 两个底角相等
底边上的中线、高和顶角 的平分线互相重合
对称 性
1条对称轴
等边三角形
三条边都相等 三个角都相等， 且都是60º 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
探索新知
知识点1 等边三角形的性质 例1 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使 得CE=CD．求证：BD=DE．
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形.
探索新知
知识点2 等边三角形的判定
例2 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.
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等边三角形专题最新[含详细讲解析]等边三角形专题最新[含详细讲解析]等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等。
在等边三角形中，每个角度都是60度。
在本文中，我们将详细讨论等边三角形的性质、特点和相关公式，并且解答一些常见问题。
让我们一起来深入研究等边三角形吧！一、等边三角形的定义与性质等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
等边三角形的最大特点是每个角度都是60度。
根据等边三角形的性质，我们可以得出以下结论：1. 等边三角形的三个内角都是60度。
2. 等边三角形的三条边都相等。
3. 等边三角形的三条高也相等。
4. 等边三角形的内切圆和外接圆半径都相等。
基于这些性质，我们可以推导出等边三角形的一些公式。
二、等边三角形的相关公式1. 等边三角形的周长公式：等边三角形的周长等于边长的三倍，即周长=3a（a代表等边三角形的边长）。
2. 等边三角形的面积公式：等边三角形的面积等于边长的平方乘以根号3的一半，即面积=(a^2 * √3) / 4。
3. 等边三角形的高公式：等边三角形的高等于边长乘以根号3的一半，即高=(a * √3) / 2。
三、等边三角形的应用1. 在几何图形的构造中，等边三角形经常用于作为基本形状。
通过等边三角形，可以构建出其他复杂的多边形。
2. 在计算几何中，等边三角形的特性可用于求解其他问题。
例如，可以利用等边三角形的面积公式计算其面积，或者利用等边三角形的高公式计算其高。
3. 等边三角形也经常出现在数学竞赛或者学习中的题目中。
掌握了等边三角形的性质和公式，可以帮助我们更好地解决相关问题。
四、等边三角形的证明1. 证明等边三角形内角都是60度：根据等边三角形的定义，我们知道三条边的长度相等。
假设等边三角形的某个内角为x度，则另外两个内角也分别为x度，因为三角形的内角和等于180度。
而由于三角形的内角和等于180度，那么x + x + x = 180，解方程可得x = 60。
所以，等边三角形的内角都是60度。
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②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
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• 探究2
操 作探 究
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的角）摆在一起，
新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
第35页/共50页
验证：我们可以用两个同样大小的三角尺
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
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• 探究1
操 作探 究
用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短直角边(即300 角所
对的直角边)与斜边，记录下数据，你有什么发现？
第14页/共50页
（3）等边三角形各边上中线,高
A
和所对角的平分线都三线合一. D
E
O
（4）等边三角形是轴对称 B F C
图形，有三条对称轴.
A
B
C
第15页/共50页
△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到 E,使CE=CD, 求证:BD=DE A
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ AB=AC=BC，
B
C
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1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）
A ∵AB=BC=AC
一般三角形
∴△ABC是等边三角形 等边三角形
B
C
2. 三个角都相等的三角形是 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
等边三角形.
A
∴△ABC是等边三角形
等腰三角形
等边三角形
B
第17讲 等边三角形
第17讲 等边三角形知识导航1．等边三角形三个内角均为60°． 2．等边三角形三条边相等． 3．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 4．三个角都相等的三角形是的等边三角形． 5．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．【板块一】 等边三角形的性质方法技巧（1）运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系解题．（2）共顶点的两个等边三角形（也称手拉手图形）组成的图中，必定有全等三角形．题型利一 与等边三角形有关的角度的计算．【例1】如图，△ABC 是等边三角形，CD ⊥BC ，CD ＝BC ，求∠DAC 和∠ADB 的度数．AD题型二 共顶点的等边三角形（手拉手图形）【例2】如图，点D 是等边△ABC 的边AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ． （1）求证：△DBC ≌△EAC ； （2）求证：AE ∥BC ．B【例3】如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点E 在BC 上，AE 的延长线交BD 于点F ． （1）求证：AE ＝BD ； （2）求∠AFB 的度数； （3）求证：CF 平分∠AFD ；（4）直接写出EF ，DF ，CF题型三 【例4】如图，，点A （－2，0），B （2，0y 轴正半轴上一点，且∠ODB ＝30°，延长DB 至E ，使x 轴正半轴上一动点（点P 在点C 的右边），点M 在EP ＝60°，AM交BE 于点N ．（1）求证：BE ＝BC ；（2）求证：∠ANB ＝∠EPC ；（3）当点P 运动时，求BP －BN 的值．D E针对练习11．如图，等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B’处，DB ’，EB ’分别交AC 于点F ，G ，若∠ADF ＝80°，求∠EGC 的度数．B'B2．如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形， DC 于BE 交于点M ． （1）求证：BE ＝CD ；（2）求∠AMD 的度数．3．如图1，等边△ABC 中，点D 是AB 上一点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，向下作等边△DCF ，连接AE ，BF ．（1）求证：AB ＝AE ＋BF ；（2）当点D 在BA 延长线上时，如图2，若AE ＝10，BF ＝4，求AC 的长．B图1 图24．已知点D ，E 分别是等边△ABC 的边BC ，AB 上的点，∠ADE ＝60°． （1）如图1，当点D 是BC 的中点时，求证：AE ＝3BE ； （2）如图2，当点M 在AC 上，满足∠ADM ＝60°，求证：BE ＝CM ；（3）如图3，过C 作CF ∥AB 交ED 延长线于点F ，探究线段BE ，CF ，CD 之间的数量关系，并给出证明．BCBCBC图1 图2 图35.在平面直角坐标系中，已知点A 在y 轴的正半轴上，点B 在第二象限，AO =a ，AB =b ，BO 与x 轴正方向的夹角150°，且220a -b a-b . ⑴判断△ABO 的形状；⑵如图1，若BC ⊥BO ，BC =BO ，点D 为CO 的中点，AC 、BD 交于点E ，求证:AE = BE +CE ；图 1⑶如图2，若点E 为y 轴的正半轴上一动点，以BE 为边作等边△BEG ，延长GA 交x 轴于点P ，AP 与AO 之间有何数量关系?试证明你的结论.图 26.△ABC 为等边三角形，BC 交y 轴于点D ，A (a ，0)，B (b ，0)，且a ，b 满足230a+ . (1)如图1，求点A ，B 的坐标及CD 的长；图 1(2)如图2，P是AB的延长线上一点，点E是CP右侧一点，CP=PE，且∠CPE=60°，连接EB，求证:直线EB必过点D关于x轴对称的对称点；(3)如图3，若点M在CA的延长线上，点N在AB的延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN-AM的值.【板块二】60°角的用法◆方法技巧◆合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段，再进行推理.题型一过60°角一边上一点作平行线构造等边三角形.方法技巧:过60°角一边上一点，作平行线构造等边三角形，转化边与角.【例5】如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点E，F分别在BC，AB的延长线上，∠EDF=120°.(1)求证:DE=DF；(2)若AB=5，求CE-BF的值.A题型二 在60°角的两边上截取两条相等线段构造等边三角形 方法技巧:在60°角的边上截取两条相等线段后构成等边三角形，然后产生新的全等三角形，从而找到解决问题的突破口.【例6】如图，△ABC 为等边三角形，∠ADB =60°. (1)如图1，当∠DAB =90°时，直接写出DA ，DC ，DB 之间的数量关系_______；图 1ABCD(2)如图2，当∠DAB ≠90°时，①中的关系式是否成立?说明理由.图 1ABCD题型三 利用60°角的一边上的点向另一边做垂线构造30°，60°，90°的直角三角形 方法技巧:利用30角所对的直角边等于斜边的一半，作高. 【例7】如图，在△ABC 中，∠B =60°，∠C =45°，AB =2，BC =1 ，求△ABC 的面积.ABC題型四 利用60°角延长构造等边三角形方法技巧；向外延长60”角的一边，在外部构造等边三角形.【例8】已知点D ，点E 分別等边△ABC 边BC ，AC 上的点，CD =AE ，AD 与BE 交于点F .(1)如图1，求∠AFE 的度数；图 1BCAD(2)点G 边AC 中点，∠BFG =120° ，如图2，求证:AF =2FG .图 2BCAD针对练习21.如图，在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO =PD ，求AP 的长.ABCP2.如图.在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC . (1)试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；(2)线段BD ，DE ，EC 三者有什么关系?请说明理由.E DBCA3.点D 为BC 上任一点，∠ADE =60°，边ED 与∠ACB 外角的平分线交于点E ，求证:AD =DE ；BCAD4.已知△ABC 是边长为5的等边三角形.(1)如图1，若点P 是BC 上一点，过点C ，点P 分别作AB ，AC 的平行线，两线相交于点Q ，连接BQ ，AP 的延长线交BQ 于点D .试问:线段AD ，BD ，CD 之间是否存在某种确定的数量关系?若存在，请写出它们之间数量关系并证明你的结论；若不存在，说明理由；图 1QBCA(2)如图2，若点P 是BC 延长线上一点，连接AP ，以AP 为边作等边△APE (点E 、点A 在直线BC 同侧)，连接CE 交AP 于点F ，求CE -CP 的值.图 2BCDE5.如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，以BC 为边在△ABC 的同侧作等边△DBC ，BD ，AC 相交于点E ，连结AD .(1)如图1，若A 2ACAB,求证：△ABC ≌△ADC图 1CA(2)如图2，若3AC AB，求ABAD的值. 图 2CAD6.如图1，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE =BD ，连接CE 、DE . ⑴求证：EC =ED ；图 1BDE⑵如图2，EO ⊥CD 于点O ，点N 在EO 上，△DNM 为等边三角形，CM 交EO 于F ，若FO =1，求FM -FN 的值.图 1BDE7.如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是AB 中点，点E 在BC 上，△DEF 为等边三角形，图 1BCE(1)当点E 为BC 中点时，直接写出FE 与FC 的数量关系为_______________. (2)当点E 不为BC 中点时，(1)结论还是否成立?请说明理由； (3)如图2，当∠DAF =90°时，求证:BE =3EC .图 2BCAE[板块三) 30°角的用法方法技巧 构造30°角的直角三角形，算边长与面积. 题型一 已知30°角连线巧得隐直角.【例9】如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =30°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，试探究BE 与CE 之间的数量关系.BC题型二 利用30°作高构造直角三角形.【例10】如图，CD 是△ABC 的中线，CD ⊥CB ，∠ACD =30°，求证:AC =2BC.DABC题型三 已知30°和90°角补形构造直角三角形 【例11】如图，四边形ABCD 中，∠C =30°，∠B =90°，∠ADC =120°，若AB =2，CD =8，求AD 的长.ACBD题型四 利用底角为15°的等腰三角形构造30°角的直角三角形 【例12】如图，∠AOC =15°，OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD /∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若OD =4cm ，求PE 的长.EOA题型五 利用150°构造30°角的直角三角形【例13】如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 上一点，以AD 为腰作等腰△ADE ，且AD =AE ，∠BAC =∠DAE =30°，连接CE ，若BD =2，CD =5，求△DCE 的面积.BCAD E题型六30°直角三角形斜边上的高 方法技巧：30°角的直角三角形斜边上的高中，有3个30°的直角三角形，选取最小的和最大的两个直角三角形进行计算.【例14】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，∠A =30°，AD =6，求BC 的长.DABC针对练习31.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米的售价为a 元，求购买这种草皮至少需要多少元?BCA2.在△ABC 中，∠B =30°，AB =AC =8，P 为BC 上一点，求AP 的最小值.ABCP3.如图，在等边△ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =CE ，∠ACE =60°. (1)求证:△BCD ≌△ACE ；图 1EBCA(2)延长BD 交AE 于点F ，连接CF ，若AF =CF ，猜想线段BF ，AF 的数量美系，并证明你的猜想.图 2BCAE4.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点D 为三角形内一点，且AB =AC =BD ，∠ABD =30°.求证:AD =CD ，AB C5.如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，∠BAC =60°，点D 为BC 上一点，∠ADC =60°，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，AE 、CF 相交于点H .ECBAD(1)求证:△DFC ≌△HFA ；(2)若DF =2，AF EH 的值.6.如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，AB 的垂直平分线MN 分别交BC ，AB 于点M ，N . (1)求证:CM =2BM ；BC(2)如图2，点F 为AB 上方一点，连接BF ，AF ，CF ，点B 关于直线AF 的对称点E 在CF 上，连接BE . 求证:△BEF 为等边三角形.B AFC。
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等
边
三
角
形
的
几
种
画
法
姓名：刘欢欢
学号：0801174059
专业：数学与应用数学
等边三角形的几种画法
本学期开设了课件制作这门课程，学习了几何画板的简单应用。
老师曾在课堂上布置了一道题：如何利用几何画板作出等边三角形？我将在本文解决这个问题。
第一种画法：直接画。
选择自定义工具→05三角形（等边三角形）。
第二种画法：尺规作图。
线段直尺工具，得一条线段→选择端点和线段，构造（以圆心和半径作圆）→选中上交点和两端点，构造（线段）→点中两个圆，显示（隐藏圆）。
第三种画法：利用正六边形作图。
选择自定义工具→07正多边形（正六边形），把颜色选作白色→分别选中两点对应的点，构造（线段）→点击两点和交点，构造（线段）→选中六边形各边及两条虚线段，显示（隐藏对象）。
第四种画法：利用线段旋转画图。
线段直尺工具，得一条线段→文字工具，给两端点标上标签B
A、→变换（旋转），固定角度60°，标上标签A'→点A
、，
A'
构造（线段）。
第五种画法：把一般三角形转变成正三角形。
线段直尺工具，画一个一般的三角形→选中三边，构造（中点）→任选两个中点和对应的顶点，构造（线段），得一交点→任选两顶点和其对应边，构造（垂线），得一交点→分别选择三角形两边，构造（角平分线），得一交点→点中三角形顶点，使得三点合一→选中除三角形三边及顶点以外的线和点，显示（隐藏对象）。
总结：等边三角形的画法或许远远不止这些，那就等我们以后去发现吧。
我在这里想说的是，无论哪种画法，利用的都是等边三角形的性质：三边相等、三心合一、每个角都是60°。
这也就告诉我们，几何画板的使用是有一定根据的。
要想很好的运用这个工具，我们应该先搞清楚所做图形的原理及性质，之后才能达到自己想要的效果。
另外，对于数学这门学科而言，几何画板是个不可缺少的工具。
将来等我们也站上讲台，我们可以用它给学生制造一些惊喜，让每个人都能体会数学的奇妙和美好。