函数及其表示教案1
函数及其表示(1)
预习讲义2.1 函数及其表示知识梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，其中所有的输入值x 组成的集合A 称为函数y ＝f (x )的定义域；将所有输出值y 组成的集合叫做函数的值域. (3)函数的三要素：定义域、对应法则和值域. (4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 2.映射的概念设A ，B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B 的一个映射. 3.函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.课前训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相同.( × )(3)f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2 －1≤x ≤1 x ＋1 x >1或x <－1 则f (－x )＝⎩⎨⎧1－x 2 －1≤x ≤1－x ＋1 x >1或x <－1( √ )(4)函数f (x )＝x 2＋4＋1的值域是{y |y ≥1}. ( × )2.设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，有以下4个对应法则： ①f ：x →y ＝x 2； ②f ：x →y ＝3x －2； ③f ：x →y ＝－x ＋4； ④f ：x →y ＝4－x 2.其中不能构成从A 到B 的函数的是________.(填序号) 答案 ④解析 容易作出题中给出的四个函数的图象，对于函数y ＝4－x 2，集合A 中的2对应的数为0，不在集合B 中. 3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________.答案 0解析 根据题设条件，∵π是无理数，∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0. 4.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合. 其中正确命题的序号有________. 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N)的图象不是一条直线；对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.5、已知x x f lg )(3=，则)2(f = __________.答案：1lg 23.第二章 函数概念与基本初等函数2.1 函数及其表示例题精讲例1 (1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝_______2x ＋7 (2)如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.1x －1（3）已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式.∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )的解析式.∵2f (x )＋f (1x )＝3x ，① 把①中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x.②①×2－②得3f (x )＝6x －3x ∴f (x )＝2x －1x(x ≠0).例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________.(1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0. ①当a >0时，f (a )＝2a,2a＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3（2）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －1≤x <0 ，－x ＋1 0<x ≤1 ，则f (x )－f (－x )>－1的解集为________.①当－1≤x <0时，0<－x ≤1，此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x －2>－1，解得x <－12，则－1≤x <－12.②当0<x ≤1时，－1≤－x <0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1，∴f (x )－f (－x )>－1化为－2x ＋2>－1，解得x <32，则0<x ≤1.故所求不等式的解集为[－1，－12)∪(0,1].例3运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米路程,按交通法规限制10050≤≤x (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油36022x +升, 司机的工资是每小时14元.（Ⅰ）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（Ⅱ）当x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值（精确到小数点后两位，16.310≈）． 分析：根据题意建立y 与x 的函数关系，然后再求y 的最小值. 解：（Ⅰ）设行车所用时间为)(130h xt =∴2130141302(2),[50.100].360x y x x x⨯=⨯⨯++∈ 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是：130182130,[50.100].360y x x x ⨯⨯=+∈ （或：]100.50[,18132340∈+=x x x y ）（Ⅱ）16.821026360130218130≈≥⨯+⨯=x x y ， 当且仅当88.561018,360130218130≈=⨯=⨯x x x 即时，上述不等式中等号成立 16.82min =∴y .答：当x 约为56.88km/h 时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为82.16元.课后提升1．已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=答案：2.提示：因为34)(2++=x x x f ，所以)34()42(3)(4)()(2222+++++=++++=+b b x a ab x a b ax b ax b ax f又2410)(2++=+x xb ax f ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=24341042122b b a ab a ，解得⎩⎨⎧==31b a 或⎩⎨⎧-=-=71b a ，所以25=-b a .2、已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误. 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.答案 －343.已知定义域为R 的函数()f x 满足()22()().ff x xx f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =，求(1)f ;又若(0)f a =，求()f a ;（II ）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式22222)() 2)(2)222322,(1)1 f(0)=a,f(00)00,()x f x x x f f a a f a a ∈+=-++=-++=-+=-+=-+=222解：(I)因为对任意x R,有f(f(x)-x 所以f(f(2)-2又由f(2)=3,得f(3-2）即若则即22000202000002000000220(II)(())(). () ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x ∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有又因为，所以，故=0或=1若=0，则，即202202 0()1,() 1. () 1 ()xx x x x x f x x x f x x x f x x x x R --=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。
《函数的概念及其表示》教案完美版
函数的概念及其表示》教案完美版函数的概念及其表示》教案第一课时：1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
表示方法有解析法、列表法、图象法。
二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A.一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，射高为 845 米，且炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是h = 130t - 5t²。
B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
（见书 P16 页图）C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
（见书 P17 页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作：f: A → B。
③定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么称f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（n），记作：y = f(x)，x∈A。
函数的表示法教案三篇
函数的表示法教案三篇函数的表示法教案一篇一、目的要求1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件，确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的，前面三小节，先学习函数的概念与表示法，这是为学习后面的几种具体的函数作准备的，从本节开始，将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识，大体上，每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的，通过这些具体函数的学习，学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识，并且，结合这些内容，学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时，是按先讲正反比例函数，后讲一次、二次函数顺序编排的，这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识，注意了中小学的衔接，新教材则是安排先学习一次函数，并且，把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍，而最后才学习反比例函数，为什么这样安排呢?第一，这样安排，比较符合学生由易到难的认识规津，从函数角度看，一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的，相对来说，反比例函数就要复杂一些了，特别是，反比例函数的图象是由两条曲线组成的，先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二，把正比例函数作为一次函数的特例介绍，既可以提高学习效益，又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系，从而，可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、函数及其图象这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质，一方面，在学生初次接触函数的有关内容时，一定要结合具体函数进行学习，因此，全章的主要内容，是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面，在大纲规定的几种具体函数中，一次函数是最基本的，教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习，学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解，从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
《函数及其表示》一等奖说课稿3篇
1、《函数及其表示》一等奖说课稿尊敬的各位专家、老师：大家好！今天我的说课题目是人教A版必修1第一章第二节《函数及其表示》。
对于这节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这么教”为思路，从教材分析、目标分析、教学法分析、教学过程分析和评价五个方面来谈谈我对教材的理解和教学设计，敬请各位专家、评委批评指正。
一、教材分析（一）地位与作用函数是中学数学中最重要的基本概念之一，函数的学习大致可分为三个阶段。
第一阶段在以为教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，本章学习的函数的概念、基本性质与后续将要学习的基本初等函数（i）和（ii）是函数学习的第二阶段，是对函数概念的'再认识阶段；第三阶段在选修系列导数及其应用的学习，使函数学习的进一步深化和提高。
因此函数及其表述这一节在高中数学中，起着承上启下的作用，函数的思想贯穿高中数学的始终，学好这章不仅在知识方面，更重要的是在函数思想、方法方面，将会让学生在今后的学习、工作和生活中受益无穷。
本小结介绍了函数概念，及其表示方法。
我将本小节分为两课时，第一课时完成函数概念的教学，第二课时完成函数图象的教学。
这里我主要谈谈函数概念的教学。
函数概念部分分用三个实际例子设计教学情境，让学生探寻变量和变量对应关系，结合初中学习的函数理论，在集合论的基础上，促使学生建构出函数概念，体验结合旧知识，探索新知识、研究新问题的快乐。
（二）学情分析（1）在初中，学生已经学习过函数的概念，并且知道韩式是变量间的相互依赖关系（2）学生思维活跃，积极性高，已经步入对数学问题的合作探究能力（3）学生层次参差不齐，个体差异明显二、目标分析根据《函数的概念》在教材中的地位与作用，结合学情分析，本节教学应实现如下教学目标：（一）教学目标（1）知识与技能进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素，理解函数定义域和值域的概念，并会求一些简单函数的定义域。
高中数学教案《函数的概念及其表示》
教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。
o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。
o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。
2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。
o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。
o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。
o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。
o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。
二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。
●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。
●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。
2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。
●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。
●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。
3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。
●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。
高中数学教案《函数及其表示》
高中数学教案《函数及其表示》•相关推荐高中数学教案《函数及其表示》作为一位无私奉献的人民教师，通常需要准备好一份教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
教案要怎么写呢？下面是小编帮大家整理的高中数学教案《函数及其表示》，希望能够帮助到大家。
教学准备1.教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域；3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性.教学重点/难点重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学用具多媒体4.标签函数及其表示教学过程（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点；4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的`取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；②无穷区间；③区间的数轴表示．（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.师：归纳总结（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
高中数学函数及其表示教案人教版必修一
函数及其表示教案一．【知识回顾】1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；5．映射的概念：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：A→B”。
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。
6．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同；8．复合函数：若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。
二．【课堂练习】1．下列四种说法正确的一个是（ C ）A．)(xf表示的是含有x的代数式B．函数的值域也就是其定义中的数集BC ．函数是一种特殊的映射D ．映射是一种特殊的函数2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 （ B ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A ．x x y y ==,1B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ． 2)(|,|x y x y == 4．已知函数23212---=x x x y 的定义域为 （ D ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 5．在同一坐标系中，函数bx ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（ B ）6．设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f（ A ）A ．1+πB ．0C ．πD ．1-7．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为 （ C ）A ．x x -+11B ． 11-+x xC ．x x +-11D ．12+x x 8．已知二次函数)0()(2>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为 （ A ）A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关9．已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，则y 与x 的函数关系式（ B ）A ．x b c a c y --=B ．x c b a c y --=C ．x a c b c y --=D ．x a c c b y --= 10．已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为（ C ） A ．)2,1[- B ．]1,1[- C ．)2,2(- D ．)2,2[-11．已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = -1 .12．若记号“*”表示的是2*b a b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式c b a c b a *+=+)()*(.13．集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 4 个不同的映射.14．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满. 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式*,)2019(20N x y x ∈⨯=.15．①．求函数|1||1|13-++-=x x x y 的定义域；R ②求函数x x y 21-+=的值域；令t x =-21，0≥t ，)1(212t x -=，原式等于1)1(21)1(2122+--=+-t t t ，故1≤y 。
函数的表示教案1
必修一导学案 学科：数学 编号：09 编写人：朱亮： 审核人： 使用时间： 班级 姓名： 小组序号： 组长评价： 教师评价课题：函数的表示（第1课时）【学习目标】1、能记住函数的三种表示方法，能说出各自的优点。
2、会运用函数的三种表示方法，会解决根据不同的需要选择恰当的方法表示函数3、体验函数在实际生活在的应用。
【学习重点与难点】1、教学重点：求函数解析式的方法。
2、教学难点：各种求解析式方法的步骤和使用范围。
【使用说明与学法指导】1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材19-21页内容， ，对概念、关键词等进行梳理，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记函数的基础知识梳理中的重点知识。
预习案一、问题导学1、如何理解函数的概念？函数三要素是什么？2、求函数解析式方法有哪些？二、知识梳理1、函数的三要素是 、 、 .2、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.4、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.三、预习自测1. 1)(2++=x x x f ，则)2(f = _____，=))2((f f _________2. 设22, (1)(), (12)2, (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x =（ ） A.1 B. C. 32D. 3．已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +．4. 动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动一周，设沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式，并画出函数的图象.探究1、作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）. 试用三种方法表示此实例中的函数.思路小结：探究2、已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；思路小结：探究3、已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f 的解析式思路小结：二、总结整理1、核心知识：2、典型方法：3、重点问题解决：训练案一、课中检测与训练（能在5分钟之内完成）2.已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且图象在y 轴上的截距为0，最小值为－1，则函数()f x 的解析式为 .3. 画出下列函数图象:(1) );3,(,2)(≤∈+=x z x x x f 且 (2) ]2,3(,34)(2-∈-+=x x x x f4. 如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正 方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______二、课后巩固促提升1、反思提升：熟记重点知识，反思学习思路和方法，整理典型题本2、完成作业：课本P24页：7题、9题；《课时作业》Px-x页：x题、x题3、温故知新：阅读课本Px-x页，并完成新发的预习案；探讨《随堂优化训练》Px-x页。
高中数学《函数及其表示》教学设计
高中数学《函数及其表示》教学设计1.2函数及其表示1.2.1函数的概念一、教材分析本节内容为《函数的概念》,是人教A版高中《数学》必修一《函数及其表示》的第一课。
从函数的内涵来看:函数是从一个非空集合到另一个非空集合的对应,从知识的角度来说:是学生在学习了一次函数、二次函数的基础上的进一步拓展,它上承初中知识,下载高中八大函数基本性质,是派生函数知识的强大“固着点”,它与不等式,数列等知识有密切的联系。
从数学思想的角度来看:函数思想是高中最重要的数学思想之一,而函数的概念是函数思想的基础,它既对前面的知识作了巩固和发展,更是学好后继知识的基础和工具.基于以上的分析,确定本节课的重难点是:教学重点:函数概念的形成,用集合与对应的语言来刻画函数;教学难点:对函数概念本质的理解;符号“y=f(x”的含义,函数三要素的理解;发展学生的抽象思维能力教学目标:1.目标(1知识与技能:通过实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应;了解构成函数的三要素、函数概念的本质,抽象的函数符号(x f的意义;会求一些简单函数的定义域(2、过程与方法:让学生经历函数概念的形成过程,函数的辨析过程,函数定义域的求解过程以及求函数值的过程;渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力。
(3、情感.态度和价值观体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,在此基础上学会用集合语言来刻画函数,体会对应关系在函数概念中的作用;体验函数思想;感受数学的抽象性和简洁美。
[设计意图]:这样设计目标,可操作性强,容易检测目标的达成度,同时也体现了素质教育的要求。
2.解析函数的概念是数学中重要的基础概念之一,进一步学习的不等式、数列、三角函数等无一不是以函数作为基础和研究对象的,其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具,函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材,函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。
高考一轮复习教案函数及其表示
第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．(2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为()A．(0，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1，＋∞)D．(1，＋∞)3．f(x)与g(x)表示同一函数的是()A．f(x)＝与g(x)＝·B．f(x)＝x与g(x)＝C．y＝x与y＝()2D．f(x)＝与g(x)＝4．若函数f(x)＝则f(f(2))＝()A．－1B．2C．1D．0考点一函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；3．已知定义域确定参数问题．探究一求给定解析式的定义域1．(2015·江西重点中学一联)函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域是()A．(3，＋∞)B．(2,3)C．[2,3)D．(2，＋∞)探究二已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,1) B．[0,1]C．[0,1)∪(1,9] D．(0,1)探究三已知定义域求参数范围问题3．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．考点二函数解析式的求法|(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式：(1)已知f＝lg x，求f(x)；(2)2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)．考点三分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－B．－C．－D．－2．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．[易误点评]本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a<1,1＋a>1，没有对a进行讨论直接代入求解．(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施](1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解．(2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．[跟踪练习]设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1A组考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝则f[f(－2)]＝()A．－1 B.C.D.2．(2015·北京朝阳模拟)函数f(x)＝＋的定义域为()A．[0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞)D．[0,1)3．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，如果f(x＋2014)＝，那么f·f(－7986)＝()A．2014B．4C. D.4．(2016·岳阳质检)设函数f(x)＝lg，则f＋f的定义域为()A．(－9,0)∪(0,9)B．(－9，－1)∪(1,9)C．(－3，－1)∪(1,3)D．(－9，－3)∪(3,9)5．若函数f(x)＝的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为()A．(－2,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2,2]6．(2015·陕西二模)若函数f(x)＝，则f(f(－99))＝________.7．函数y＝f(x)的定义域为[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域为________．8．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝其中满足“倒负”变换的函数是________．9．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；(2)求f(g(x))的解析式．10．动点P从单位正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B，C，D绕边界一周，当x 表示点P的行程，y表示P A的长时，求y关于x的解析式，并求f的值．B组高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f(x)＝的定义域为()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)2．(2015·高考湖北卷)函数f(x)＝＋lg的定义域为()A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)∪(3,4]D．(－1,3)∪(3,6]3．(2015·高考山东卷)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝()A．1 B.C. D.4．(2015·高考浙江卷)存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sin x B．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|5．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.答案：1.解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，所以排除A，B，C，故选D.2.解析：由x＋1>0知x>－1，故选C.答案：C3.解析：选项A，C中的函数定义域不同，选项D的函数解析式不同，只有选项B正确．4.解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f(2)＝log2＝－1，所以f(f(2))＝f(－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B1.解析：本题考查函数的定义域．由题意得解得2<x<3，故选B.答案：B2.解析：依题意得即0≤x<1，因此函数g(x)的定义域是[0,1)，故选A..解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.答案：[－1,0] 例1[解](1)f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，令t＝1－cos x，则cos x＝1－t，t∈[0,2]，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝x2－x＋2.(3)∵f(x)＋2f＝x，∴f＋2f(x)＝.解方程组得f(x)＝－(x≠0)．变式1解：(1)令t＝＋1，则x＝，∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．(2)∵2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，∴2f(－x)－f(x)＝lg(1－x)．解方程组得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)(－1<x<1)．1.解析：因为f(x)＝f(a)＝－3，所以或解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－，选A.答案：A2.解析：由于f(0)＝2，f＝1＋，f＝2<f，故排除选项C、D；当点P在BC上时，f(x)＝BP＋AP＝tan x＋，不难发现f(x)的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B1.[解析]当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－.[答案]－变式解析：因为f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1，当a≥0时，＝1，所以a＝1；当a<0时，＝1，所以a＝－1.故a＝±1.答案：D1.解析：由f(－2)＝2－2＝，∴f[f(－2)]＝f＝1－＝.答案：C2.解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f(x)有意义，则解得x≥0且x≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.3.3.解析：f＝sin＝1，f(－7986)＝f(2014－10000)＝lg10000＝4，则f·f(－7986)＝4.答案：B4.解析：利用函数f(x)的定义域建立不等式组求解．要使函数f(x)有意义，则>0，解得－3<x<3.所以要使f＋f有意义，则解得所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5.解析：函数的定义域为R等价于对?x∈R，x2＋ax＋1≥0，令f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a2－4≤0即可，解得实数a的取值范围为[－2,2]，故选D.6.解析：f(－99)＝1＋99＝100，所以f(f(－99))＝f(100)＝lg100＝2.答案：27.解析：由题意知解得－2≤x≤2.答案：[－2,2]8.解析：对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f＝＋＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；对于③，f＝即f＝故f＝－f(x)，满足题意．答案：①③9.解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，∴f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x>0时，g(x)＝x－1，故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；当x<0时，g(x)＝2－x，故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；∴f(g(x))＝10.解：当P点在AB上运动时，y＝x(0≤x≤1)；当P点在BC上运动时，y＝＝(1<x≤2)；当P点在CD上运动时，y＝＝(2<x≤3)；当P点在DA上运动时，y＝4－x(3<x≤4)；综上可知，y＝f(x)＝∴f＝.B组高考题型专练1.解析：∵f(x)有意义，∴∴x>2，∴f(x)的定义域为(2，＋∞)．答案：C2.解析：依题意知，，即，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3.解析：f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)．当－b≥1，即b≤时，2－b＝4，解得b＝.故选D.答案：D4.解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x有唯一的y与之相对应．对于A，当x＝或时，sin2x均为1，而sin x与x2＋x此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当x ＝1或－1时，x2＋1＝2，而|x＋1|有两个值，故C错误，故选D.答案：D5.解析：∵f(x)的周期为2，∴f＝f＝f.又∵当x∈[－1,0)时，f(x)＝－4x2＋2，∴f＝－4×2＋2＝1.答案：1。
高中数学教案 第1讲 函数的概念及其表示
第1讲函数的概念及其表示1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.1.函数的概念一般地，设A，B是非空的□1实数集，如果对于集合A中的□2任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有□3唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.函数的三要素：□4定义域、□5值域、对应关系.2.同一个函数(1)前提条件：①定义域□6相同；②对应关系□7相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有□8解析法、□9列表法和图象法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的□10并集.常用结论1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.2.注意以下几类函数的定义域：(1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数()(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是()A.y＝(x)2B.u＝3v3C.y＝x2D.m＝n2n解析：B函数y＝(x)2与函数m＝n2n和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝x2＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数.故选B.(2)已知f(x)＝x＋3＋1x＋2，若f(a)＝133，则a＝.解析：f(a)＝a＋3＋1a＋2＝133，解得a＝1或－5 3 .答案：1或－5 3(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3＋1x－2的定义域为.解析：x2＋2x＋3≥0，－2≠0得－1≤x≤3且x≠2.故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3].答案：[－1，2)∪(2，3]函数的概念1.(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为()A.A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|B.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝xD.A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0解析：BD对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数.故选BD.2.(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是()A.f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B.f(t)＝|t|，g(x)＝x2C.f(x)＝－2x3，g(x)＝－2xD.f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3解析：ACD对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为g(x)＝x2＝|x|，且f(t)，g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝－2x3＝－x－2x，f(x)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠3}，函数g(x)的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选ACD.3.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()解析：B A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]，只有B 可能.反思感悟函数概念的判定方法(1)函数的定义要求非空数集A 中的任何一个元素在非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同.函数的定义域例1(1)(2024·雅安期末)函数y ＝ln （x ＋1）4－x2的定义域为()A.(－1，2)B.(－1，2]C.(1，2)D.(1，2]解析：A ＋1＞0，－x 2＞0得－1＜x ＜2，所以函数y ＝ln （x ＋1）4－x 2的定义域为(－1，2).故选A.(2)(2024·哈尔滨九中考试)已知函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是()A.[－5，5]B.－12，2C.[－2，3]D.12，2解析：B函数y ＝f (x )的定义域是[－2，3]，则－2≤2x －1≤3，解得－12≤x≤2，所以函数y ＝f (2x －1)的定义域是－12，2.故选B.反思感悟函数定义域的求解方法(1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.(2)求抽象函数定义域的方法：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ≤g (x )≤b 求出.②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域.训练1(1)函数f (x )＝－x 2＋x ＋6＋|x |x －1的定义域为()A.(－∞，－2]∪[3，＋∞)B.[－3，1)∪(1，2]C.[－2，1)∪(1，3]D.(－2，1)∪(1，3)解析：Cx 2＋x ＋6≥0，－1≠0，解得－2≤x ≤3且x ≠1.(2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，则函数F (x )＝f (2x －3)＋3－x 的定义域为()A.(2，3]B.(－2，3]C.[－2，3]D.(0，3]解析：A 函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，x －3＞1，－x ≥0，＞2，≤3，即2＜x ≤3，故函数F (x )的定义域为(2，3].故选A.函数的解析式例2(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1x )＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)∵f(x＋1x)＝x2＋1x2＝(x＋1x)2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0).∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，a＝2，5a＋b＝17，a＝2，b＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.反思感悟函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x )或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).训练2(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝.解析：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1).答案：x 2－4x ＋3(x ≥1)(2)已知f (x )满足f (x )－2f (1x )＝2x ，则f (x )＝.解析：∵f (x )－2f (1x)＝2x ，①以1x 代替①中的x ，得f (1x )－2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x ，∴f (x )＝－2x 3－43x .答案：－2x 3－43x(3)已知f [f (x )]＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝.解析：因为f (x )为一次函数，所以设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋b (k ＋1)，因为f [f (x )]＝4x ＋9，所以k 2x ＋b (k ＋1)＝4x ＋9恒成立，2＝4，（k ＋1）＝9，＝2，＝3＝－2，＝－9，所以f (x )＝2x ＋3或f (x )＝－2x －9.答案：2x ＋3或－2x －9分段函数求分段函数的函数值例3已知函数f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，则f (3)＝.解析：因为f (x )e x ＋1，x ＜1，f x －2），x ≥1，所以f (3)＝f (1)＝f (－1)＝e －1＋1＝1.答案：1分段函数与方程、不等式例4(1)(2024·济宁模拟)已知a ∈R ，函数f (x )log 2（x 2－3），x ＞2，3x ＋a ，x ≤2.f (f (5))＝2，则a ＝.解析：因为5＞2，所以f (5)＝log 2(5－3)＝1≤2，所以f (f (5))＝f (1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.答案：－1(2)(2024·咸阳模拟)已知函数f (x )2x ，x ≤0，|ln x |，x ＞0，则不等式f (x )＜1的解集为.解析：当x ≤0时，f (x )＝2x ＜1＝20，解得x ＜0；当x ＞0时，f (x )＝|ln x |＜1，即－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.综上，不等式f (x )＜1的解集为(－∞，0)∪(1e ，e).答案：(－∞，0)∪(1e，e)反思感悟分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.训练3(1)(2024·合肥模拟)已知f (x )e x －2，x ＜4，log 5（x －1），x ≥4，则f (f (26))等于()A.1 5B.1 eC.1D.2解析：C f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2，∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1.(2)(2024·唐山模拟)设函数f(x)2＋1，x≤0，x，x＞0.若f(a)＝0，则a＝.解析：当a≤0时，a2＋1≥1≠0(舍去)；当a＞0时，lg a＝0，a＝1，故实数a的值为1.答案：1限时规范训练(六)A级基础落实练1.(多选)(2024·宁德高级中学第一次月考)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是()A.y＝(x＋2)2B.y＝3x3＋2C.y＝x2x＋2 D.y＝t＋2解析：BD函数y＝x＋2的定义域为R.对于A，y＝(x＋2)2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误；对于B，y＝3x3＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确；对于C，y＝x2x＋2的定义域为{x|x≠0}，故C错误；对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确.故选BD.2.函数f(x)＝lg(x－2)＋1x－3的定义域是()A.(2，＋∞)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：D∵f(x)＝lg(x－2)＋1x－3，－2＞0，－3≠0，解得x＞2，且x≠3，∴函数f(x)的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).3.(多选)如图所示，可以表示y是x的函数的图象是()解析：ACD对于B：对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象；对于A、C、D：对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象.故选ACD.4.(2023·成都期末)已知函数f(x)x＋2），x≤0，x，x＞0，则f(f(－2))＝()A.4B.8C.16D.32解析：C f(－2)＝f(0)＝f(2)＝22＝4，f(4)＝16，故选C.5.一次函数f(x)满足：f[f(x)－2x]＝3，则f(1)＝()A.1B.2C.3D.5解析：C设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∴f[f(x)－2x]＝f(kx＋b－2x)＝k(kx＋b－2x)＋b＝(k2－2k)x＋kb＋b＝3，2－2k＝0，＋b＝3，解得k＝2，b＝1，∴f(x)＝2x＋1，∴f(1)＝3.6.(2024·潍坊模拟)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()A.f(|x|)＝x3B.f(sin x)＝x2C.f(x2＋2x)＝|x|D.f(|x|)＝x2＋1解析：D对于A，当x＝1时，f(|1|)＝f(1)＝1；当x＝－1时，f(|－1|)＝f(1)＝－1，不符合函数定义(一个自变量的值只有唯一一个函数值与之对应)，A错误.对于B，令x＝0，则f(sin x)＝f(0)＝0，令x＝π，则f(sinπ)＝f(0)＝π2，不符合函数定义，B错误.对于C，令x＝0，则f(0)＝0，令x＝－2，则f(0)＝f((－2)2＋2×(－2))＝2，不符合函数定义，C错误.对于D，f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1，x∈R，则|x|≥0，则存在x≥0时，f(x)＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足：对任意x∈R都有f(|x|)＝x2＋1，D正确.故选D.7.(2024·河南适应性考试)已知函数f(x)x＋1－1，x≥1，log3（x＋5）－2，x＜1，且f(m)＝－2，则f(m＋6)＝()A.－16B.16C.26D.27解析：C若m≥1，则f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，无解；若m＜1，则f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m ＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故选C.8.(2024·江苏三校联考)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝f（x）x＋2的定义域是()A.[－2，5]B.(－2，3]C.[－1，3]D.(－2，5]解析：D因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5].要使y＝f（x）x＋2有意义，则5≤x≤5，＋2＞0，解得－2＜x≤5，所以y＝f（x）x＋2的定义域是(－2，5].故选D.9.已知函数f(2x＋1)＝4x2－1，则f(x)＝.解析：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)，所以f(x)＝x2－2x.答案：x2－2x10.设函数f(x)，x≤0，x，x＞0，则满足f(x＋2)＜f(2x)的x取值范围为.解析：当x≤－2时，f(x＋2)＝1，f(2x)＝1，则1＜1，矛盾；当－2＜x≤0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝1，则2x＋2＜1⇒x＜－2，矛盾；当x＞0时，f(x＋2)＝2x＋2，f(2x)＝22x，则2x＋2＜22x⇒x＋2＜2x⇒x＞2，所以x ＞2.综述：x取值范围为(2，＋∞).答案：(2，＋∞)11.(2024·昆明市第一中学考试)已知f(x＋1)＝1x，则f(x)＝，其定义域为.解析：0，0，解得x＞0，所以f(x＋1)＝1x(x＞0)，令x＋1＝t，则t＞1，x＝(t－1)2，所以f(t)＝1（t－1）2(t＞1)，所以f(x)＝1（x－1）2(x＞1).答案：1（x－1）2(1，＋∞)12.已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋1－2x的定义域为.解析：2≤2x≤2，－2x≥0，解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0].答案：[－1，0]B级能力提升练13.(2024·东北师大附中模拟)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，则()A.f(x)的最小值为2B.∃x∈R，2x2＋4x＋3f（x）＜2C.f(x)的最大值为2D.∀x∈R，2x2＋4x＋5f（x）＜2解析：B因为2f(x)＋f(－x)＝3x2＋2x＋6，2f(－x)＋f(x)＝3x2－2x＋6，所以f(x)＝x2＋2x＋2.对于A，C，f(x)＝(x＋1)2＋1≥1，所以f(x)的最小值为1，无最大值，故A，C错误；对于B，2x2＋4x＋3f（x）＝2x2＋4x＋3x2＋2x＋2＝2－1x2＋2x＋2，因为0＜1x2＋2x＋2≤1，所以1≤2－1x2＋2x＋2＜2，即1≤2x2＋4x＋3f（x）＜2，故B正确；对于D，2x2＋4x＋5f（x）＝2x2＋4x＋5x2＋2x＋2＝2＋1x2＋2x＋2，2＜2＋1x2＋2x＋2≤3，即2＜2x2＋4x＋5f（x）≤3，故D错误.故选B.14.(2024·武汉二调)已知函数f(x)＋1，x≤a，x，x＞a，若f(x)的值域是R，则实数a的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，1]C.[0，＋∞)D.(－∞，1]解析：B法一：易知函数y＝2x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)，函数y＝x＋1是R上的增函数，且值域为R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足2a≤a＋1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝x＋1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，2x≤x＋1，所以实数a的取值范围为[0，1]，故选B.法二：若a＝－1，则当x≤a时，x＋1≤0，当x＞a时，2x＞12，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝－1不满足题意，故排除选项A，D；若a＝2，则当x≤a 时，x＋1≤3，当x＞a时，2x＞4，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝2不满足题意，故排除选项C.故选B.15.设函数f (x )x ＋λ，x ＜1（λ∈R ），x ，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是.解析：当a ≥1时，2a ≥2，∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a ＝2f (a )恒成立；当a ＜1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞).答案：[2，＋∞)16.设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )x ＋a ，－1＜x ＜0，e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f (92)＝f (32)，则ab的取值范围为.解析：因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (92)＝f (12＋4)＝(2)2f (12)＝2e b ，f (32)＝f (－12＋2)＝2f (－12)＝22×（－12）＋a ＝2(a －1).因为f (92)＝f (32)，所以2(a －1)＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b ∈(2e ，＋∞)，故ab的取值范围为(2e ，＋∞).答案：(2e ，＋∞)。
函数及其表示方法教案
函数及其表示方法一、目标认知学习目标：(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．重点:函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点:对函数符号)(xy=的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方f法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法．二、知识要点梳理知识点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：)y=，x A．f(x其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.知识点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注重：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).注重：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注重定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注重讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注重到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注重自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注重定义域对值域的制约.学习成果测评基础达标一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是()A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是()A．1B．2C．3D．45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是()A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B 必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()A．(，1)B．(1，3)C．(2，6)D．(-1，-3) 7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是()A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是()9．函数的图象与直线的公共点数目是()A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为()A．B．C．D．11．已知，若，则的值是()A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x22+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定义域为R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).水平提升一、选择题1．设函数，则的表达式是()A．B．C．D．2．函数满足则常数等于()A．3B．-3C．D．3．已知，那么等于()A．15B．1C．3D．304．已知函数定义域是，则的定义域是() A．B．C．D．5．函数的值域是()A．B．C．D．6．已知，则的解析式为()A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()2.如图所表示的函数解析式是()A.B.C.D.3．函数的图象是()4.如图，等腰梯形A B C D的两底分别为A D=2a，B C=a，∠B A D=45°，作直线M N⊥A D交A D于M，交折线A B C D于N，记A M=x，试将梯形A B C D位于直线M N左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.答案与解析：基础达标一、选择题1．C．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域相同，且对应法则相同；(5)定义域不同．2．D．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或x≥1，∴x=±1，选D．3．B．法一：由y=，∴x=∴y≠，应选B．法二：4．C．提示：①④⑤不是，均不满足“A中任意”的限制条件．5．D．提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．6．A．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选A．7．C．∵0≤x≤4，∴0≤x≤=2，应选C．8．C．9．C．有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值．10．D．按照对应法则，而，∴．11．D．该分段函数的三段各自的值域为，而∴∴．12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即，左移．二、填空题1．.当，这是矛盾的；当.2．.提示：.3．. 4．.设，对称轴，当时，.5．..6．.．三、解答题1．解：∵，∴定义域为2．解：∵∴，∴值域为3．解：(1).提示：利用待定系数法；(2).提示：利用待定系数法；(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；(4)f(x)=x2+2.提示：整体代换，设；(5).提示：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，联立得水平提升一、选择题1．B.∵∴；2．B.3．A.令4．A.；5．C.；6．C.令．二、填空题1．..2．.令.3．..4．.当当，∴.5．得.三、解答题1．解：2．解：(1)∵∴定义域为；(2)∵∴定义域为．。
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案第一课时： 1.2.1 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：一、复习准备：1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
初中函数及表示教案
初中函数及表示教案教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 能够运用函数的性质解决实际问题。
教学重点：1. 函数的概念及表示方法。
2. 函数的性质及应用。
教学难点：1. 函数的概念的理解。
2. 函数的表示方法的运用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的数学知识，如方程、不等式等。
2. 提问：同学们，你们知道生活中有哪些实际情况可以用数学来表示吗？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数的概念：在数学中，函数是一种关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中的一个元素。
这种关系可以用一个字母表示，通常用f表示。
2. 讲解函数的表示方法：（1）解析法：用公式或方程来表示函数的关系。
例如：f(x) = 2x + 1，表示x到y的对应关系为2x + 1。
（2）列表法：用表格的形式来表示函数的关系。
例如：x | 1 | 2 | 3y | 3 | 5 | 7f(x) = 2x + 1（3）图象法：用图形的方式来表示函数的关系。
例如：画出函数y = 2x + 1的图象。
3. 举例说明函数的性质及应用。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 解答学生疑问，进行个别辅导。
四、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结函数的概念、表示方法及性质。
2. 强调函数在实际生活中的应用。
五、布置作业（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 鼓励学生进行自主学习，探索更多的函数应用。
教学反思：本节课通过讲解函数的概念、表示方法及性质，让学生掌握函数的基本知识。
在教学过程中，注意引导学生回顾已学知识，为新知识的学习打下基础。
同时，通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，并能够运用函数解决实际问题。
在今后的教学中，还需加强对学生函数思想的培养，提高学生的数学素养。
函数及其表示教学设计
《函数及其表示》教学设计教学目标1. 理解函数的概念；2.理解函数符号y = f (x)的含义.3. 回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.教学重、难点1.学生不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值。
函数概念及符号y=f(x)2.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的使用解析式表示函数，但这是对函数很不全面认识。
课时安排：1课时教学过程：一、创设情境，引入新课(采取情景导入法)内容：函数的概念、表示方法函数是高中数学的重要内容。
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围。
解析:1.一般地，设非空A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作=,x∈Ay f(x)其中，x,叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{(x)f∣x A∈}叫做函数的值域。
2.初中已经接触过函数的三种方法表示：解析法、列表法和图像法。
高中阶段是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，重点在于是学生面对实际情景时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
二、教学基本流程概述本节内容→本节学习要点→学习过程、实例分析→练习、小结1、问题与例题（1）对教科书中的实例1，你能得出炮弹飞行1s,5s,10s,20s时距地面多高吗？其中，t的变化范围是多少？设计意图：体会用解析式刻画变量之间的对应关系，关注t和h范围。
（2）对教科书中的实例2，你能从图中可以看出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年的臭氧空洞面积大约为1500万平方千米？其中t的取值范围是什么？设计意图：体会用图像刻画变量之间的对应关系，关注t和s的范围。
《函数及其表示》优秀教案
第1讲函数及其表示基础巩固题组建议用时：40分钟一、选择题1．2021·广州调研若函数＝f的定义域为M＝{|－2≤≤2}，值域为N＝{|0≤≤2}，则函数＝f的图象可能是解析可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．答案 B2．2021·郑州模拟函数f＝错误!＋g3＋1的定义域是解析由错误!得错误!所以定义域为错误!答案 A3．设函数f＝2＋3，g＋2＝f，则g的表达式是A．2＋1 B．2－1 C．2－3 D．2＋7解析∵g＋2＝f＝2＋3＝2＋2－1，∴g＝2－1答案 B4．2021·合肥检测已知函数f＝错误!则f2 014＝A．2 014 029,2 C．2 015 031,2解析f2 014＝f2 013＋1＝…＝f0＋2 014＝f－1＋2 015＝2－1＋2 015＝错误!答案 D5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数＝[][]表示不大于的最大整数可以表示为A．＝错误!B．＝错误!C．＝错误!D．＝错误!解析法一取特殊值法，若＝56，则＝5，排除C，D；若＝57，则＝6，排除A，选B法二设＝10m＋α0≤α≤9，m，α∈N，当0≤α≤6时，错误!＝错误!＝m＝错误!，当6<α≤9时，错误!＝错误!＝m＋1＝错误!＋1，所以选B答案 B二、填空题6．下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方；②A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值，是从集合A到集合B的函数的为________．解析其中②，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；其中③，A中的元素0在B 中没有对应元素；其中④，A中的元素0在B中没有对应元素．答案①7．已知f 错误!＝错误!，则f的解析式为________．解析令t＝错误!，由此得＝错误!t≠－1，所以ft＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!/h的速度从A地到150 m远处的B地．在B地停留1 h后，再以50 m/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离m表示为时间t h从A地出发开始的函数，并画出函数的图象．解＝错误!其图象如图所示．。
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学大教育星沙校区教案 教师姓名 学生姓名 上课时间
学科 数学 年级
高一
计划课时 第（ ）课时 学管师
教研组长
教管主任签字
课题名称: 函数及其表示
（一）知识梳理 1．映射的概念
设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则
注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________
(2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}
A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(3)函数的三要素： 、 和 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析 考点1：映射的概念
例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？ （1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；
（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±
例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个
例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的
每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）
()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）2)(x x f =，33)(x x g =；
（2）x
x x f =
)(，⎩⎨
⎧<-≥=;
01
,
01)(x x x g （3）x
x f =)(1+x ，x x x g +=
2)(；
（4）12)(2
--=x x x f ，12)(2
--=t t t g
（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *
）；
考点3：求函数解析式 方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.
例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（
）
A ．32x +
B ．32x -
C ．23x +
D ．23x -
例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f (x)＞2x ＋5.
例4.已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．
题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2
+-=+x x x f ，求)(x f 例2.已知(
)
()11,f
x x f x =-=则_____________。
例3．已知)11(x x f -+=
2
2
11x x +-，则)(x f 的解析式可取为 题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数)(x f 满足x x
f x f 3)1(2)(=+，求)(x f 例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.
例 3.设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1
()()1f x g x x +=
-,求()f x 和()g x 的解析式.
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.函数()21
43
f x x x =--的定义域为（ ）
A ．[)(]22+∞-∞-，，
B ．[)
()2,33+∞，
C ．(]
[)()22,33-∞-+∞，，
D ．(]2-∞-，
例2、函数x
x x x f -+=
0)1()(的定义域是（ ）
A.{}0|<x x
B. {}0|>x x
C. {}10|-≠<x x x 且
D. {}10|-≠≠x x x 且 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域
例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________ 考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 例1、322
+--=x x y
例2、2
285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x
（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数2
21
22+-+=
x x x y 的值域
例3、132222+-+-=x x x x y 例4、1
1
2
++-=x x x y （3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数 例5、x x y 21-+
= 例6、13432)(-+-=x x x f
（4）分段函数分别求函数值域， 例7、53-++=x x y
例8、函数2
22(03)
()6(20)
x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ）
A ．R
B ．[)9,-+∞
C ．[]8,1-
D ．[]9,1- （5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数32
43
x y x +=
-的值域
例9、1
122
+-=x x y
例10、设函数111y x
=
+的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ）
()A {0},{0}M x x N y y =≠=≠ ()B {0},{}M x x N y y R =≠=∈
()C {01,0}M x x x x =<≠->且或，{0011}N y y y y =<<<>或或
()D {1100}M x x x x =<--<<>或或， {0}N y y =≠
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（9）对勾函数法 像y=x+
m x ，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 三种模型：（1）如4
y x x
=+，求（1）单调区间（2）x 的范围[3,5]，求值域
（3）x ∈ [-1,0 )⋃(0,4],求值域 （2）如 4
4y x x =++，
求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）。