有限元分析——平面问题
Ansys机械工程应用精华60例第8例 平面问题的求解实例—厚壁圆筒问题
8.3.4
创建实体模型
拾 取 菜 单 Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Areas → Circle → By Dimensions。弹出如图 8-8 所示的对话框，在“RAD1” 、 “RAD2” 、 “THETA2”文本框中分 别输入 0.1、0.05 和 90，单击“OK”按钮。 77
第8例
平面问题的求解实例——厚壁圆筒问题
“Item, Comp”两个列表中分别选“Stress” 、 “Y-direction SY” ，单击“OK”按钮。 注意：该路径上各节点 X、Y 方向上的应力即径向应力r 和切向应力t。
图 8-15
映射数据对话框
8.3.12
作路径图
拾取菜单 Main Menu→General Postproc→Path Operations→Plot Path Item→On Graph。弹 出如图 8-16 所示的对话框，在列表中选“SR” 、 “ST” ，单击“OK”按钮。
8.3.6
施加约束
拾取菜单 Main Menu→Solution→Define Loads→Apply→Structural→Displacement→On Lines。弹出拾取窗口，拾取面的水平直线边，单击“OK”按钮，弹出如图 8-11 所示的对话 框，在列表中选择“ UY ” ，单击“ Apply”按钮，再次弹出拾取窗口，拾取面的垂直直线 边，单击“OK”按钮，在图 8-11 所示对话框的列表中选择“UX” ，单击“OK”按钮。
76
第8例
平面问题的求解实例——厚壁圆筒问题
图 8-3 单元类型对话框
图 8-4
单元类型库对话框
图 8-5
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
![[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵](https://img.taocdn.com/s3/m/25867d5d31b765ce050814be.png)
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
弹性力学平面问题的有限元法实例
分析与决策
(1)何种类型？
平面问题中的结构问题，且为静力问题；
平面问题中具有对称性，为减少[K]，简化模型取
1/4；
简化后加约束，（1）在ox面上，位移u是对称的，
位移v是反对称的；在oy面上，位移u是反对称的， 位移v是对称的； （2）在ox面上，载荷对称，在oy 面上，载荷对称；
(1)何种类型？
4.5剖分面（续）
以垂线剖分面。依次单击preprocessor-modelingoperate-booleans-divide-area by line，弹出对话框， 选择对话框中的box单选，用窗口选择两个面元素， 后单击apply,在窗口中选L6-ok,完成面元素剖分。 单击plotctrls菜单中的numbering命令，关闭line numbers –ok; 单击plot菜单中的area命令，用面元素显示模型， 剖分的模型如图所示，由2个面变为4个面，面元素 的编号同时发生变化。
Preprocessor-material
props-material models-弹出define material model behavior 对话框-列表框material models available中， 依次单击structural-linear-elastic-isotropic， 添加弹性模量2.1e+11，泊松比0.3-ok;
操作过程
一、建立新文件
二、类型的选择 Structural-ok；
二、前处理
1、添加单元类型 选择：Quad 4node 42(单元库编号)； 具有厚度：选择 option-plane str w/thk(平面应力有厚度)；
2、设置实常数（Real constants）
第七章 平面问题的有限单元法(Q4)
8
4节点四边形单元
y, v
u1 v 1 u2 u de 2 u3 u3 u4 u 4 displacements at node 1 displacements at node 2 displacements at node 3 displacements at node 4
x 1 2 3 4 N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4 y 1 2 3 4 N1 y1 N 2 y2 N 3 y3 N 4 y4
1 N (1 )(1 ) 1 4 N 1 (1 )(1 ) 2 4 1 N (1 )(1 ) 3 4 N 1 (1 )(1 ) 4 4
1 4
Nj 1 4 (1 j )(1 j )
4 ( 1, +1) ( u4, v4)
1
N3 1 4 (1 )(1 ) N4 1 4 (1 )(1 )
N 3 at node 1 1 4 (1 )(1 ) 1 0 N 3 at node 2 1 4 (1 )(1 ) 1 0
同理：
1 1 1 1 1 y1 2 1 1 1 1 1 y2 1 1 1 1 4 3 y3 1 1 1 1 y4 4
K e B DBtd
e
T
11
等参单元
对于一般的四边形单元，在总体坐标系下构造 位移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚 度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁；而对 于矩形单元，相应的计算要简单的多。 矩形单元明显的缺点是不能很好的符合曲线边 界，因此可以采用矩形单元和三角形单元混合 使用（网格划分困难）。更为一般的方法是通 过等参变换将局部自然坐标系内的规格化矩形 单元变换为总体坐标系内的任意四边形单元（ 包括高次曲边四边形单元）。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实
有限元2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元,2.2几个问题的讨论)分析
第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x yααα==++546(,)v v x y x yααα==++(2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=mjimeddddmjjivuvuvui{}iijjmXYX(2-1-1)YXYiejmmFF FF⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++ 123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++ 546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j ia x y x y =-m ij by y =- (,,)i j m u u u u ruu u u r m i jc x x =-(,,)i j m u u u u ru u u u r表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
4.5.14.5平面问题有限元分析步骤及计算实例
K
88
K 12 11 K21 1
K 12 31
K41 2
K22 1 K32 1
K 12 33
K43 2
K
44
2
由于[Krs]=[Ksr]T，又单元1和单元2的节点号按1、2、
3对应3、4、1，则可得：
K11 1
K33 2
3E 16
3 0
0 1
K21 1 K43 2
K12 1
3E 8
3 1 0
0 0 1
3 1 1
1 3 1
0 0 1
013
q/E 0
q/E 0
3E 8
8q
0 /(3E) 0
0 q1
0
0
单元应力可看作是单元形心处的应力值。
7）引入约束条件，修改刚度方程并求解
根据约束条件：u1 =v1=0；v2=0；u4=0和等效节点力列
阵：F 0 0 0 0 0 q / 2 0 q / 2T
五. 边界条件的处理及整体刚度矩阵的修正 整体刚度矩阵的奇异性可以通过引入边界约束条件来排除弹性体的
刚体位移，以达到求解的目的。
（两种）方法 “化1置0法”
“乘大数法”
⑴修改后的总刚为非奇异，对应的总体平衡方程可求解； ⑵如果已知位移不等于0，采用第二种方法，固定约束用 第一种方法。 ※求解可以采用解方程组的任何一种方法。（高斯消去法 常用），可借用一些计算机软件：如Matlab，Excel等。
所以 q / E0 0 1/ 3 0 1/ 3 1 0 1T
习题和思考题
• 4.1三角形常应变单元的特点？ • 4.2平面问题有限元法的基本思想和解题步骤。 • 4.3简述形函数的概念和性质。 • 4.4平面问题整体刚度矩阵的推导过程。 • 4.5矩形单元的特点？ • 4.6有限元方法解的收敛准则。
平面问题的有限元分析
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析 1）用面积坐标建立单元位移场——面积坐标的定义
Ai Apjm Aj Apmi Ak Apij
恒等关系：
A Ai Aj Am Aijm
P点位置可由3个比值来确定：
p(Li , Lj , Lm )
其中面积坐标：
Li Ai / A Lj Aj / A Lm Am / A
4)：单元推导。 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中
包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元 各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵(结构力学中称刚度阵或 柔度阵)。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约
束。 5)总装集成。 将单元总装形成离散域的总矩阵方程(联合方程组)，反映对近似
0
Nm
Ni
I22
单元内任意一点的位移可由节点位移表示为：
N j I22
d
u
v
Nδe
e ui vi u j v j um
Nm I22
T
vm
4.1 三角形常应变单元
（1）单元特性分析
2）单元应变和单元应力
d
u
v
Nδe
代入
ε
x y
u / x v / y
xy
u / y v / x
其中
K rs
BrT DBshA
Eh
4(1 2 ) A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
4.1 三角形常应变单元
有限元第五讲 平面问题(二)——离散化、三角形单元分析
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
B 称为应变矩阵，其一个子块的计算式为：
(i l , m, n)
•
对简单三角形单元，应变矩阵为：
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
al 1 y bl 2 cl am bm cm a n ul bn um u cn n
u 1 x
ul 1 al bl x cl y am bm x cm y an bn x cn y um 2 u n ul N l N m N n um N l ul N mum N nun N i ui i l , m , n u n
xl xn yl ym yn
am bm cm
an ul bn um u cn n
2 1 xm
为三角形面积
节点坐标行列式
ak , bk , ck 分别是节点坐标行列式 的第k (k l，m，n)行第1， 2， 3个 元素的代数余子式，均为常数。
~ a3 : yl a1 ym a2 a yn 3
1
a1 1 xl a2 1 xm a 1 x n 3
其中：
yl ym yn
1 1
ul al 1 bl um u 2 c n l
yl ym yn
1
vl al 1 bl vm v 2 c n l
有限元分析 第二章 平面问题的有限元方法
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6
有限元分析第4章 平面问题有限单元法1
6
P
3
4 5
4
2
位移协调条件：各单元共享节点的位移相等 节点平衡条件：各节点单元内力与节点外力构成平衡力系
最终数学模型： K Q
基本概念
单元（element） 节点 (node)
回顾
单元节点位移 (node displacement)
单元节点内力 (node force)
单元刚度矩阵 (element stiffness matrix)
e
bx u by v
d
S
e p
px u py v dS
代入
u v
N
e
{} [B]{ }e
{ } [S]{ }e
得
内力虚功＝
e x x y y xy xy d
T d
cj
y)v j
(am
bmx
cm y)vm ]
二、平面问题三角形单元分析
三角形单元形函数
形函数
u x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a j
bj x
cj
y)u j
(am
bm x
cm
y)um ]
v x,
y
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
插值系数的确定：待定系数法
ui a1 a2 xi a3 yi u j a1 a2 x j a3 y j um a1 a2 xm a3 ym
有限元 2-弹性力学平面问题有限单元法(2.6四结点四边形等参元,2.7八结点曲线四边形等参元,2.8问题补充)
存在的。换句话说，为了使上述等参元能保持较好的精度，整体坐标系下所划分的任意四边形单元必须是
凸四边形，即任意内角都不能大于180°。四边形也不能太歪斜，否则会影响其精度。
利用雅可比的逆矩阵，即可求出整体坐标系下形函数的偏导数：
⎧∂Ni ⎫
⎧∂Ni ⎫
⎪ ⎪ ⎨
∂x
⎪
⎪
⎪ ⎬
=
[J
]−1
⎪ ⎨
∂ξ
⎪ ⎪ ⎬
i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质: 1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线； 2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元 其位移函数:
U = α1 + α 2 x + α3 y + α 4 xy V = α5 + α 6 x + α 7 y + α8 xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化， 比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本 节介绍的四结点四边形等参元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性 的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协 调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体 坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
有限元平面问题三角形实例
有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。
其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。
在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。
而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。
三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。
下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。
假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。
首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。
每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。
在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。
然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。
具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。
而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。
通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。
有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。
例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。
除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。
例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。
有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。
通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。
这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
平面问题的有限元分析
图１２－９ 图１２－８
图１２－１０
(3)设置实常数 对于“Triangle 6node 2”单元，不需要定义实常数 （4）设置材料属性 运行主菜单Main Menu> Preprocessor> Material Props >Material Models（见图１２ －１１），弹出“材料属性” 对话框（见图１２－１２）。 在“材料属性”对话框右侧依 次双击选择Structural > Linear> Elastic> Isotropic，弹 出“弹性模量、泊松比参数设 置”对话框（见图１２－１ ３）。填写数据后，单击 【OK】按扭，完成设置，如 图１２－１４所示。SAVE.
平面问题的有限元案例
——————厚壁圆筒承受压力载 荷
例题：
某厚壁圆筒承受压力载 荷如图1所示，压力 p=10Mpa，圆筒内径 Ri=1400mm圆筒外径 R0=1500mm,材料的弹性 模量E=2.1×105Mpa， 泊松比u=0.3。采用平面 问题的有限元法求解圆 筒沿半径方向的径向应 力和图１２－３０
５.结果分析
（１）位移云图 运行主菜单Main Menu > General Postproc >Read Results >First Set （见图１２－３２），在运行Main Menu > General Postproc >Plot Results >Contour Plot >Nodal Solu（见图１２－３３），弹出 “Contour Nodal Solution Data”对 话框（见图１２－３４）．选择结 点位移，左边框选“DOF solution”， 右边框选“USUM”，即选择总的结 点位移，另选择“Def+undeformed” 复选框．图形窗口出现变形前后的 结构图，并显示位移数值云图（见 图１２－３５）．
有限元分析中的 梁—平面刚架问题上机练习题
梁问题1、一个长6m的工字截面梁，截面高0.42m，截面面积0.0072m2，截面惯性矩2.108e-4m4，材料弹性模量为3e11Pa, 泊松比0.3.两端简支，跨中受100N的集中力，试用有限元计算梁中点的挠度定义单元类型：Beam3；(分10份)定义材料弹性模量Ex=3e11和泊松比0.3；定义实常数：梁的截面积0.0072，惯性矩2.108e-4,高度0.42m2、一个长10m的方形截面梁，截面边长5mm，截面面积2.5e-4m2，截面惯性矩5.2e-7m4，材料弹性模量为3e11Pa, 泊松比0.3.两端简支，跨中受100N的集中力，试用有限元计算梁中点的挠度定义单元类型：Beam3；(分10或20份)定义材料弹性模量Ex=2e11和泊松比0.3；定义实常数：梁的截面积2.5e-4，惯性矩5.2e-7,高度0.05m3、一悬臂梁长10m，截面高0.1m，截面宽0.05m，材料弹性模量为2e11Pa, 泊松比0.3.在集中力P=10000N作用下求该梁A点处的挠度。
平面刚架问题1、建立如图所示的平面刚架结构；(建立节点和单元)2、定义单元类型：Beam33、定义材料弹性模量Ex=2e11和泊松比0.34、定义实常数：梁的截面积0.03，惯性矩2.5e-5,高度0.1m5、定义约束6 、施加载荷7 、进行求解8 、观察变形图、列出节点位移值2、一平面刚架右端固定，如图所示，已知组成刚架的各梁除梁长外，其余几何特性相同。
试以静力来分析各节点的位移。
横截面积：0.0072m 2横截高度：0.42m惯性矩：0.000218m 4 弹性模量：2.06e11n/m2泊松比0.3P x =100N200NP x =100N。
有限元分析基础 第三章 课后习题答案
第三章 平面问题有限单元法习题答案3-2图示等腰直角三角形单元，设μ=1/4，记杨氏弹性模量E ，厚度为t ，求形函数矩阵[N ]、应变矩阵[B ]、应力矩阵[S ]与单元刚度矩阵[K ]e 。
【解】：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-=-=-=-=-=-=i j m j i m i j j i mm i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j i xx c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a ,,,,,,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-==-==-==-==-==-==-==-=aa c a ab a a a a a ac b a a a c a a b a a m m mj j j i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*02 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m jim j iN N N N N N N 0000 ),,()(21m j i y c x b a AN i i i i ++=221001010121a a a A ==[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--=--==++==++=y x a y x yx a y x a N ay x a ay ax a a N ay ay x a N a x y ax a N m j i 0000001)(1)00(1)00(12222aaj(0,a)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=10003101310310001310311103)411(24121000141410411411)421)(41()411()1(22100011011)21)(1()1(E E E E D μμμμμμμμμ[][]321B B B B =⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-==-==-==-==-==-==-==-=aa c a ab a a a a a ac b a a a c a a b a a m m mj j j i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*02 [][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11011010100001000111110011011000110000110000100212a B a B a B a a a a B b c c b AB m j i i ii ii[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1101103130011310031011011010100001000110003101310a E a E B D S[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B[][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==42311124111331300111011011011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022Et a t a E tAB D B K TT e3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，μ=1/4，板厚为t ，求各节点位移与应力。
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Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
1
0 0
而平面应力问题的弹性矩阵为
0
0
1 2
21
D=
E 1-μ 2
1 μ
0
μ 1 0
μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y
Y
ν3
节点3(x3,y3)
μ3
ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y
将三个节点的位移代入，整理得
α1=
1 2A
u1 u2
x1 x2
y1 y2
u 3 x3 y3
ν1
μ1
ν2
节点1(x1,y1)
μ2 节点2(x2,y2)
O
X
图3 三节点三角形单元
1
α2=
1 2A
1
u1 u2
y1 y2
1 u3 y3
1
α3=
11 2A
x1 x2
u1 u2
1 x3 u3
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α4=
1 2A
(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)
α5=
1 2A
(b1v1+b2v2+b3v3)
α6=
2
1 A
(c1v1+c2v2+c3v3)
其中
1
A=
1 2
1
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
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单元应力 σ=Dε=DBqe
⑶单元分析 单元刚度矩阵 根据虚位移原理，可得单元刚度方程 Fe=Keqe 其中单元刚度矩阵为
Ke=
BT DBt dx dy
A
对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为
Ke=BTDBtA 3、非节点载荷移置
d=[μ ν]T
它们仅为x、y的函数而与z无关。
2、平面应变问题 满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。
(1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变；
（2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。
结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有
Z
ω=0 μ=μ(x,y) ν=ν(x,y)
O
t
X
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
⑴集中力的移置 单元内任意一点作用集中力
P=[Px Py]T
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根据虚位移原理，可得移置到节点后的载荷 Y
R3Y
Re=NTP 此处的N为载荷作用点的形函数值。
y
{1 T2 T3 T4 T5 T}T
4
5
其中： iT { ii}(i, 1 、 2 5 ）
④
3
②
③
①
12Βιβλιοθήκη 对每个单元写出相应的单元刚度方程，对于 o
x
①号单元，有
图5 四个单元的模型
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FF12((11)) K K12((1111)) F3(1) K3(11)
3
R1Y 1
Py R1X
R3X P
Px
R2Y
2
R2X
虚功原理如下：
O
X
图4 集中力作用的单元
= 单元原载荷在虚位移上做的虚功 移置后节点载荷在相应虚位移
上做的虚功。
⑵体力的移置
单元所受的均匀分布体力为PV=[X Y]T，则由虚功原理得
Re= NTPVtdxdy
⑶面力的移置
在单元的边上分布有单位面积上的面力PS=[ X Y ]T，则由虚功原理得
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一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板；
(2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在
两板面上无外力作用。
Y
结论：板面不受力，则有
σZ Z= + t/2 =0
τYZ Z= + t/2 =0
有限元分析——平面问题
平面问题的有限元法
2014.09.16
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目录
一、平面问题的定义
1、平面应力问题 2、平面应变问题
二、平面问题有限元法
1、结构离散 2、三角形单元分析 3、整体分析 总体刚度矩阵 4、非节点载荷移置 5、边界条件处理 求解
三、简单算例
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
K(1) 12
K(1) 22
K(1) 32
K K12((1133))12 K3(13)3
为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即
FFF132(((111)))
0
0
1-μ
2
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1、结构离散 结构离散化过程：
二、平面问题有限元法
连续体结构
平面问题用 二维区域表 示
有限单元的结合体
可用不同形状 的单元，此处 用三角形单元
代替原连续体
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离 散
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2、三角形单元分析
⑴单元位移模式 形函数 根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数