导热微分方程

பைடு நூலகம்
习题：
一块辐射系数为ε＝0.8的钢板，温度为 127℃。 （1） 试计算钢板辐射出的热流密度。 （2） 钢板除本身辐射出辐射能散热外，还 由什么其他散热方式？
第三讲 导热微分方程
前言
运用物理数学方法研究表示特定现象各物理
量的关系。确定物理过程的量随空间时间的
变化。
在铸造凝固过程中我们要得到温度随时间空 间位置变化的情况。
数学物理方法：
限制在一定时间间隔内（微元时间间隔 dt ），并在整个空间内只研究一个微元体 （选取微元体的体积为 dv）。
从数学观点看，这些量是无穷小；物理观 点看，这些量足够大，以致在所研究的范围 内能忽略介质的不连续性，而作为连续介质 处理。
边界条件：
（3）第三类边界条件：
给定边界上物体与周围流体间的表面换热 系数 hc ，及周围流体的温度 Tf 。 此类边界条件可表示为：
T hc Tw T f n w
边界条件：
（4）辐射换热边界条件： 当考虑物体表面的热辐射时，辐射换热 边界条件： T T 4 w T 4 f n w
柱坐标系下导热微分方程的一般形式：
T 1 T T 1 T T cp 2 Q t r r r r r z z
球坐标系：
T 1 2 T 1 T 1 T cp 2 r 2 sin t r r r sin sin Q
T dQx qx (dydz )dt dydz dt x
同理：
T dQy q y (dxdz )dt dxdz dt y
T dQz qz (dxdy )dt dxdy dt z
微元体内热源的生成热：
若单位时间单位体积物体中内热源的发热率为
1. 直角坐标系下的导热微分方程
对所选取的微元体应用能量守恒定律：
在 dt 时间内，由于导热从外部进入微元体 的热量以及微元体内热源所产生的热量等于微 元体所包含的内能或焓的变化。 焓（enthalpy）：H，系统热力学参数。定义： H=U+PV。是状态函数，即系统的状态一定， 焓就是定值了。
流和辐射两种换热，其边界条件为：
T hc hr Tw Tf n w
边界条件：
（5）金属/铸型界面换热条件：
T 1 hi Tw1 Tw 2 n w1
λ1：为铸件材料的导热系数 w1，w2：分别代表铸件与铸型表面 Tw1，Tw2：分别代表铸件和铸型的表面温度 hi：为金属/铸型界面换热系数，可以通过经验数值或假设 一定的分布函数形式处理
3. 等价比热容法: 将结晶潜热折算成比热容加到合金的实际比热 上，作为合金结晶温度区间的修正比热。等价比热 容： f s c pe c p L T
直角坐标系下导热微分方程变为：
T T T T c pe t x x y y z z
Tf为已知环境温度
Tw为物体表面温度
边界条件：
线性化处理，使得该类边界条件具有与对流换 热边界条件类似的形式，即
T hr Tw T f n w

Tf
hr T 2 w T 2 f
T
w

hr称为辐射换热系数
边界条件：
在实际导热问题中，物体表面经常同时存在着对
则在dt 时间内，微元体的发热量为：
Q
dxdydz dt Q
导出微元体的总热量： dQx dx dQy dy dQz dz
在dt 时间内，x方向通过x = x+dx 表面流出微元 体的热流量dQx+dx，可按Taylor级数展开如下：
同理：
dQx dQx dx dQx dx x dQy dQy dy dQy dy y
L－金属的结晶潜热； ρ－金属的密度；
fs－温度为T时的质量固相率，是温度的函数
将上式带入直角坐标系下的导热微分方程，得 到：
f s T T T T cp L T t x x y y z z
2. 其他坐标系的导热微分方程
在工程实际中往往涉及柱面或球面对称
的导热问题，边界条件给定在一个表面上，
此表面具有坐标保持不变的性质。
通过坐标变换，可以将直角坐标下的导 热微分方程变换成相应坐标系的导热微分方 程。
圆柱坐标系：
设圆柱坐标系下任一点P（r，θ，z），该点 在直角坐标系中的投影关系得出直角坐标与 柱坐标的变换关系如下： x= r cosθ r=(x2+y2)1/2 y= r sinθ θ= tan-1(y/x) z= z
1. 直角坐标系下的导热微分方程
按照能量守恒定律，微元体的热平衡式可
以表示为下列形式： 导入微元体的总热流量+微元体内热源的 生成热=微元体内能的增量+导出微元体的总热 流量
导入微元体的总热量： dQx dQy dQz
由Fourier导热定律，在 dt 时间内 x 方向通过 x=x表面流入微元体的热流量为:
一维： 二维： 三维：
2T 0 2 x 2T 2T 2 0 2 x y
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
3.直角坐标系下一般方程的特殊形式：
无内热源、常物性条件下导热微分方程的简化 形式： 非稳态导热：
一维： 二维： 三维：
2T 1 T 2 x t
处理结晶潜热项的关键：处理固相率随温 度变化的函数。取决于合金的种类及其凝固 特性。
合金的固相率用非平衡条件下的杠杆定律 （Scheil方程）来确定：
Tm T f s (T ) 1 Tm TL
Tm－合金熔点；
1 k0 1
TL－合金的液相线；
k0－合金的平衡溶质分配系数。
由于合金的固相率式温度的非线性函数， 给数值计算带来困难，在凝固过程数值模拟 中，采用一下方法处理凝固结晶潜热的析出：
1. 热焓法：采用热焓变换处理方程。 2. 温度回升法：把金属凝固时释放的潜 热用于补偿由于热传导所带走的热量，即补 偿了由传热所引起的温度的降低，从而使单 元自身温度作相应的回升。
3.直角坐标系下一般方程的特殊形式：
原因：
由于导热微分方程的一般形式存在非线
性，往往难以直接进行数值求解。但在某些 特殊条件下，可将上述问题简化为同问题所 建立的条件相一致的最简单形式，以便进行 数值求解。
3.直角坐标系下一般方程的特殊形式：
无内热源、常物性条件下导热微分方程的简 化形式： 稳态导热：
（3）通过求解充型过程并考虑充型过程中的传
热而得到铸件充型结束后的初始温度分布。
5.凝固过程结晶潜热的处理
在金属凝固过程中，伴随着结晶潜热的释放。 对结晶潜热的处理，可将其视为具有内热源的 导热问题。 金属在单位时间内释放的结晶潜热： f s f s T Q L t L T t
化简后的热平衡式：
T T T T cp Q t x x y y z z
T T Q c p t
为拉普拉斯(laplance)算子
最简单的处理方式为： 假设金属/铸型界面处于理想接触状态，此 时其边界条件的表达式为：
T T 1 2 n w1 n w2
同样适合于不同铸型材料间接触界面换热条 件的处理。
初始条件：
非稳态问题的初始条件：
（1）为 t =0时刻所研究的空间上所有位置的温 度分布，可以是一个常数，也可以是空间的函数。 （2）给定液态金属的初始温度为浇注温度：假 设铸型瞬时充满并在充型过程中无热交换。
初始条件：
初始时刻温度分布。 边界条件： 物体边界上的温度或换热情况。
稳态导热问题的定解条件：
没有初始条件，仅有边界条件。
边界条件：
（1）第一类边界条件：
给定了边界上的温度值。 最简单的形式：给定边界温度保持不变， 即 Tw = 常数。 对于非稳态导热问题，这类边界条件给定 温度为边界上空间位置与时间的函数，即：
Tw f x, y, z, t
边界条件：
（2）第二类边界条件：
给定边界上的热流密度值。 最简单的形式：给定边界上的热流密度保持定 值，即 qw= 常数。当qw= 0，绝热边界条件。 对于非稳态导热问题，这类边界条件给定温
度为边界上空间位置与时间的函数，即：
T qw f x, y , z , t n w
dQz dz dQz dQz dz z
微元体内能的增量：
微元体内能的增量:
T dQ c p dxdydz dt t
微元体的热平衡式:
dQ
x dx
dxdydz dt dQy dy dQz dz Q
dQx dx dQy dy dQz dz + dQ
2 m / s cp
4.导热过程的定解条件
定解条件：
使微分方程得到特解的附加条件。 对于导热微分方程，通过数学方法原则 上可以获得方程的通解。然而，对于实际工 程问题而言，还要求得出既满足导热微分方 程式，又满足根据具体问题规定的一些附加 条件下的特解。
非稳态导热问题的定解条件：
2T 2T 1 T 2 2 x y t
2T 2T 2T 1 T 2 2 2 x y z t
导温系数或热扩散系数（Thermal diffusivity）:
说明:（1）表征温度变化的速度，即表征物体内部 温度趋于一致的能力。是物体热惯性的度量。 （2）与物质的性质有关。例如：液体和气体具有较 大的热惯性，它们的导温系数就小。金属的热扩散 系数比型砂大几十倍，铸件在金属型中要比砂型中 冷却的快。