数列中的不等式的证明

数列中的不等式的证明

证明数列中的不等式的一般方法：

1.数学归纳法：

①直接应用数学归纳法：这是由于数学归纳法可以用来证明与正整数相关的命题，当然也包括与正整数

相关的不等式（即数列不等式）；

②加强命题后应用数学归纳法：直接应用数学归纳法并不能证明所有数列不等式，有些数列不等式必须

经加强后才能应用数学归纳法证出.

2.放缩法：

①单项放缩:将数列中的每一项（通项）进行相同的放缩；

②裂项放缩：将数列中的每一项裂开放缩成某两项之差；

③并项放缩：将数列中的两项合并放缩成一项；

④舍（添）项放缩：将数列中的某些项舍去或添加；

⑤排项放缩：将数列中的项进行排序（即确定数列的单调性），从而求出数列中项的最值，达到证明不

等式的目的,能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然； ⑥利用基本不等式放缩：例如平均数不等式也可在数列不等式的证明中起作用.

一、直接应用数学归纳法证明

1．已知函数ax x x f +-=3

)(在)1,0(上是增函数. )1(求实数a 的取值集合A

(2)当a 中取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+且)1,0(1∈=b a ，b 为常数，试比较n n a a 与1+的大小

(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c 使10<-

2. (2007.全国1理第22题）已知数列{}n a 中12a =

，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 中12b =，13423

n n n b b b ++=

+，123n =，，，…

43n n b a -<≤，123n =，，，…． 3．已知012)2(112=++++++n n n n a a a a ，2

11-=a 求证：（1）01<<-n a （2）122->n n a a （3）}{12-n a 递增.

4．(2004.辽宁理科高考第21题) 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于6

1，又当.8

1)(,]21,41[≥∈x f x 时 （1）求a 的值； （2）设.1

1.),(,21011+<∈=<<++n a N n a f a a n n n 证明 5．(2005.重庆理科高考第22题)数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a n n n 且. （1）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；

(2) 已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….

6. (200

7.全国2理第21题)设数列{}n a 的首项113(01)2342

n n a a a n --∈=

=，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n b a =，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．

7. （2005.辽宁卷第19题）已知函数).1(1

3)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=

（1）用数学归纳法证明1

2)13(--≤n n

n b ； （2）证明.3

32

n n 12)1(+>n a n 证明对一切正整数n 成立；

的大小，与，判断令1)3,2,1(,)2(+==

n n n n b b n n a b 并说明理由.

二、应用单项放缩或数学归纳法或排项放缩或基本不等式证明

9．（2007重庆理科高考第21题）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且

*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=

（1）求{n a }的通项公式；

（2）设数列{n b }满足1)12(=-n b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：

*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+

10．求证：),1(212)1211()511)(311(∙∈>+>-+

++N n n n n

11．求证：11(11)(1)(1))432

n N n ∙+++>∈-

12. 求证：)(1

212642)12(531∙∈+<⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯N n n n n 13．已知2,1≥>n a ，且+∈N n ，求证)1(1a a n a

a n n ->-

三、应用裂项放缩证明

14. 已知)(x f y =，1)1(=-f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f

(1)当N n ∈时求)(n f 的表达式

(2)若11=b ，)1(1-+=+n f b b n n ，求n b

(3)求证当+∈N n 时4

711121<+++n b b b 15．（2006年全国卷I 第22题）设数列{}n a 的前n 项的和14122333

n n n S a +=

-⨯+)(+∈N n ， （1）求首项1a 与通项n a ；

（2）设2n

n n T S =)(+∈N n ，证明：132n i i T =<∑. 16. 已知+∈N n ，求证：3)11(2<+≤n n

. 17. 定义数列如下：*+∈+-==N n a a a a n n n ,1,2211,求证：

（1）对于*∈N n 恒有n n a a >+1成立。

（2）当*∈>N n n 且2，有11211+=-+a a a a a n n n 成立。

（3）111121

12006

212006<+++<-a a a 18．求证：)(2

)12)(12(5323114222∙∈<+-++⨯+⨯

12(151311222∙∈+->-++++

N n n n