随机过程和随机序列
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称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2 ; t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
FX ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) x1x2
2
为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量 的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布， 即定义
2) 按照随机过程的分布函数（或概率 密度）的不同特性进行分类
按照这种分类法，最重要的就是平稳 随机过程，其次是马尔可夫过程等等。
4.2 随机过程的统计特性
4.2.1 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，设x为任意实数，定义
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
i
连续随机序列
随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是 连续型随机变量，即时间是离散的， 状态是连续的情况，称这类随机过程 为连续随机序列。
百度文库离散随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 t T ， X(ti) 都是离散型随机变量，即时间是连续 的，状态是离散的情况。
i
离散随机序列
对应于时间和状态都是离散的情况， 即随机数字信号。
FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
为随机过程X(t)的n维概率分布函数。
FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) f X ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) x1x2 xn
x
f X (u, t )du
f X ( x, t )dx 1
2. 二维概率分布和n维概率分布 对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和 t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可 构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二 维分布函数
FX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, t1 ) f X ( x2 , t2 )
4.2.2 随机过程的数字特征 1. 数学期望 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，将这个随机变量的数学期望定义 为随机过程的数学期望，记为mx(t)， 即
mX (t ) E[ X (t )] xf X ( x, t )dx
2
3. 自相关函数和协方差函数 设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2 二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是 相应的二维概率密度，称它们的二阶 联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称 相关函数
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2
2. 方差 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为 随机过程的方差，记为D[X(t)]，即
X (t ) D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}
2
2
[ x mX (t )] f X ( x, t )dx
4
若两个随机过程互相独立，则有
f XY ( x1,, xn , y1,, ym ; t1,, tn , t1 ' ,, tm ' ) f X ( x1,, xn ; t1,, tn ) fY ( y1,, ym ; t1 ' ,, tm ' )
一个随机过程不同时刻状态间互相独 立，即X(t1)和X(t2)互相独立
i
定义2：设有一个过程X(t)，若对于每 一个固定的时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一 个随机变量，则称X(t)为随机过程。
4.1.2 随机过程的分类
1) 按照时间和状态是连续还是离散来分类： 连续型随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 ， X(ti) t T 都是连续型随机变量，即时间和状态都 是连续的情况，称这类随机过程为连续 型随机过程。
第四讲 从随机变量到随机过 程
4.1 从随机变量到随机过程
4.1.1 随机过程的定义
随某些参量变化的随机变量称为 随机函数。
通常将以时间为参量的随机函数 称为随机过程，也称为随机信号。
自然界中变化的过程可分为两大类： 确定性过程和随机过程
确定性过程：就是事物的变化过程可 以用一个（或几个）时间t的确定的函 数来描绘。
为随机过程X(t)的一维分布函数。
若 FX ( x, t ) 的一阶偏导数存在，则 定义
FX ( x, t ) f X ( x, t ) x
为随机过程X(t)的一维概率密度。
随机过程一维分布的性质：
0 FX ( x, t ) 1 FX ( , t ) 0 FX ( , t ) 1 FX ( x, t )
随机过程：就是事物变化的过程不能 用一个（或几个）时间t的确定的函数 来加以描述。
随机过程的定义： 定义1：设随机试验的样本空间为 S={ei}，对于空间的每一个样本 ， e S 总有一个时间函数 X(t, ei)与之对应 (t T ) 对于空间的所有样本 ，可有一族 eS 时间函数X(t,e)与其对应，这族时间函 数称为随机过程，简记为X(t)。
n
为随机过程X(t)的n维概率密度。
随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度
f XY ( x1, x2 , y1, y2 ; t1, t2 , t1 ' , t2 ' ) FXY ( x1, x2 , y1, y2 ; t1, t2 , t1 ' , t2 ' ) x1x2y1y2
若 FX ( x1, x2 ; t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
FX ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) x1x2
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为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量 的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布， 即定义
2) 按照随机过程的分布函数（或概率 密度）的不同特性进行分类
按照这种分类法，最重要的就是平稳 随机过程，其次是马尔可夫过程等等。
4.2 随机过程的统计特性
4.2.1 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，设x为任意实数，定义
FX ( x, t ) P{X (t ) x}
i
连续随机序列
随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是 连续型随机变量，即时间是离散的， 状态是连续的情况，称这类随机过程 为连续随机序列。
百度文库离散随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 t T ， X(ti) 都是离散型随机变量，即时间是连续 的，状态是离散的情况。
i
离散随机序列
对应于时间和状态都是离散的情况， 即随机数字信号。
FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
为随机过程X(t)的n维概率分布函数。
FX ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) f X ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn ) x1x2 xn
x
f X (u, t )du
f X ( x, t )dx 1
2. 二维概率分布和n维概率分布 对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和 t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可 构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二 维分布函数
FX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) P{ X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 }
f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) f X ( x1, t1 ) f X ( x2 , t2 )
4.2.2 随机过程的数字特征 1. 数学期望 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，将这个随机变量的数学期望定义 为随机过程的数学期望，记为mx(t)， 即
mX (t ) E[ X (t )] xf X ( x, t )dx
2
3. 自相关函数和协方差函数 设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2 二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是 相应的二维概率密度，称它们的二阶 联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称 相关函数
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 f X ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1dx2
2. 方差 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变 量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为 随机过程的方差，记为D[X(t)]，即
X (t ) D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}
2
2
[ x mX (t )] f X ( x, t )dx
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若两个随机过程互相独立，则有
f XY ( x1,, xn , y1,, ym ; t1,, tn , t1 ' ,, tm ' ) f X ( x1,, xn ; t1,, tn ) fY ( y1,, ym ; t1 ' ,, tm ' )
一个随机过程不同时刻状态间互相独 立，即X(t1)和X(t2)互相独立
i
定义2：设有一个过程X(t)，若对于每 一个固定的时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一 个随机变量，则称X(t)为随机过程。
4.1.2 随机过程的分类
1) 按照时间和状态是连续还是离散来分类： 连续型随机过程
随机过程X(t)对于任意时刻 ， X(ti) t T 都是连续型随机变量，即时间和状态都 是连续的情况，称这类随机过程为连续 型随机过程。
第四讲 从随机变量到随机过 程
4.1 从随机变量到随机过程
4.1.1 随机过程的定义
随某些参量变化的随机变量称为 随机函数。
通常将以时间为参量的随机函数 称为随机过程，也称为随机信号。
自然界中变化的过程可分为两大类： 确定性过程和随机过程
确定性过程：就是事物的变化过程可 以用一个（或几个）时间t的确定的函 数来描绘。
为随机过程X(t)的一维分布函数。
若 FX ( x, t ) 的一阶偏导数存在，则 定义
FX ( x, t ) f X ( x, t ) x
为随机过程X(t)的一维概率密度。
随机过程一维分布的性质：
0 FX ( x, t ) 1 FX ( , t ) 0 FX ( , t ) 1 FX ( x, t )
随机过程：就是事物变化的过程不能 用一个（或几个）时间t的确定的函数 来加以描述。
随机过程的定义： 定义1：设随机试验的样本空间为 S={ei}，对于空间的每一个样本 ， e S 总有一个时间函数 X(t, ei)与之对应 (t T ) 对于空间的所有样本 ，可有一族 eS 时间函数X(t,e)与其对应，这族时间函 数称为随机过程，简记为X(t)。
n
为随机过程X(t)的n维概率密度。
随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度
f XY ( x1, x2 , y1, y2 ; t1, t2 , t1 ' , t2 ' ) FXY ( x1, x2 , y1, y2 ; t1, t2 , t1 ' , t2 ' ) x1x2y1y2