集合论与图论试卷2

哈工大 2007 年 秋季学期本试卷满分90分（06级计算机、信息安全专业、实验学院）一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）（ 正确画“√”，错误画“×”）1．对每个集合A ，A A 2}{∈。

（×）2．对集合Q P ,，若∅==Q P Q Q P ,，则P =∅。

（√）3．设,,:X A Y X f ⊆→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。

（×）4．设,,:Y B Y X f ⊆→则有B B f f ⊇-))((1。

（×）5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。

（√）6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 至多可数的。

（√）7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。

（×）8．设)(ij a A =是p个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v ,有∑==pj ij i a v 1deg 成立。

（√）9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。

（×）10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。

（×）二.填空(本题40分，每空各2分)1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 }}}{,{}},{{},{,{φφφφφ 。

2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 φ==B A 。

3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X ,3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 2，3 。

4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的个数为 !m C m n 。

5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 22-n 。

6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则=)(R S R )}2,3(),4,2(),4,1{( 。

7． 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5123454321,415235432121σσ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=235411234521σσ 。

8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c a b c b c a b a c c b b a a R =+ 。

9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数为 22222222n nn nn n +--+- 。

10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的X 上的等价关系为 )},(),,(),,(),,(),,(),,{(d d c c a b b a b b a a 。

11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 6，7，8，9，10 。

12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应，这个函数为 x ctg π或-x ctg π或)2/(ππ-x tg 。

13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 p 。

14．含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为 4 。

15．设无向图G 有12条边，有6个3度顶点，其余顶点度数均小于3，则G 中顶点数至少为 9 。

16．由6个顶点，12条边构成的平面连通图G 中，每个面由 3 条边围成。

17．若p K 为平面图，则p 的取值为 4≤ 。

18．包含完全图p K 作为子图的无向图的顶点色数至少为 p 。

19．有向图的可达矩阵)(ij r R =中，若1==ji ij r r ,则顶点i v 与j v 之间是 互达 。

20．高为h 的)2(≥r r 元正则树至多有 h r 片树叶。

三、证明和计算（本题40分，每小题各5分）1.设,,A B C 是三个任意集合，证明：(\)()\()A B C A B A C ⨯=⨯⨯。

证：设 (,)(\)x y A B C ∈⨯，则x A ∈，\y B C ∈，从而x A ∈,y B ∈,y C ∉。

于是(,)x y A B ∈⨯，(,)x y A C ∉⨯,因此(,)()\()x y A B A C ∈⨯⨯，即(\)()\()A B C A B A C ⨯⊆⨯⨯。

反之，设(,)()\()x y A B A C ∈⨯⨯，有(,)()x y A B ∈⨯，(,)()x y A C ∉⨯，从而x A ∈，y B ∈，y C ∉，故x A ∈且\y B C ∈。

于是(,)(\)x y A B C ∈⨯，即()\()(\)A B A C A B C ⨯⨯⊆⨯。

因此，(\)()\()A B C A B A C ⨯=⨯⨯。

2.设N n N N g f N ∈∀→=,:,},,2,1,0{ ，()(){}1,max 0,1f n n g n n =+=-。

证明：(1)f 是单射而不是满射；(2)g 是满射而不是单射；(3)N g f I = ，但N f g I ≠ ； 证：（1）若()()f n f m = ，则11n m +=+，从而n m =，故f 为单射；但0不存在原象，故f 不是满射。

(2) n N ∀∈，()1,0g n n n +=≥,故g 是满射；但()()01g g =，故g 不是单射。

(3) ()()()(){}{}()max 0,1max 0,N g f x g f x f x x x I x ==-=== ，故N f g I = 。

但()()()001(0)N f g f g I ==≠ ，故N f g I ≠ 。

3．设R 是A 上的一个自反关系，证明：R 是等价关系⇔若(,)a b R ∈且(,)a c R ∈，则(,)b c R ∈。

证：⇒R 是A 上的等价关系。

若(,)a b R ∈且(,)a c R ∈，由R 的对称性有：(,)b a R ∈且(,)a c R ∈，由R 的传递性有：(,)b c R ∈。

⇐R 是自反的，故a A ∀∈有(,)a a R ∈。

若(,)a b R ∈，由(,)a a R ∈有(,)b a R ∈，所以R 是对称的。

若(,)a b R ∈且(,)b c R ∈，由R 的对称性有：(,)b a R ∈且(,)b c R ∈，故由题意得(,)a c R ∈，所以R 是传递。

因此，R 是A 上的等价关系。

4．设G 是一个),(q p 图，证明：G 是树⇔G 连通且1+=q p 。

证：⇒因为G 是树，所以G 是连通的；其次对G 的顶点数p 进行归纳证明p=q+1。

当p 为1或2时，连通图G 中显然有p=q+1。

假设对一切少于p 个顶点的树结论成立；今设G 是有p 个顶点树，从G 中去掉任一条边x ，则G-x 恰有两个支。

由归纳假设，每个支中顶点数与边数之间有关系式：p 1=q 1+1，p 2=q 2+1。

所以，p=p 1+p 2=q 1+q 2+2=(q 1+q 2+1)+1=q+1。

⇐显然，只须证G 中无回路即可。

设G 中有一个长为n 的回路C n ，则回路上有n 条边，显然n 〈p 。

于是，G 中还有p-n个顶点不在C n 上。

由于G 是连通的，所以不在C n 上的那些p-n 个点的每一个均关联一条边，这些边互不相同，其中每一条都在该点与C n 的某点的最短路上。

因此，除了Cn 上的n 条边之外，G 至少还有p-n 条边。

所以，G 至少有q ≥p 条边，这与p=q+1相矛盾，故G 中无回路。

5．设G 是一个),(q p 无向图，证明:（1）若]2[)(p G ≥δ，则G 是连通的； （2）若G 是连通的，则是否一定有]2[)(p G ≥δ成立？请说明理由。

证：(1)因为对G 的任一对不邻接顶点u 和v ，有1]2/[]2/[d e g d e g -≥+≥+p p p v u 。

假设G 不连通，则G 至少有两个支。

设111(,)G V E =是其中的一个支，其他各支构成的子图为222(,)G V E =，其中，1121||,||,V n V p n ==-，则12,,u V v V ∀∈∈，有11deg 1,deg 1u n v p n ≤-≤--。

于是，11deg deg (1)(1)2u v n p n p +≤-+--=-。

矛盾，所以G 是连通的。

(2) 这个定理是一个充分条件，不是必要条件,即若G 是连通的，则]2[)(p G ≥δ不一定成立。

例如：6个顶点的一条通路，每个顶点的度2deg ≤v ，不满足3]2[)(=≥p G δ。

6．证明：每个自补图必有n 4或14+n 个顶点(n 为正整数)。

证：因为每个自补图G 所对应的完全图的边数必为偶数，即(1)/2q p p =-为偶数。

而当1,2,3p =时，图G 无自补图，只有4p ≥时，图G 才有自补图。

于是p 可写成如下形式：4,41,42,43n n n n +++，其中n 为正整数；代入(1)/2q p p =-中，只有4,41n n +才能使q 为偶数，故每个自补图必有441n n +或个顶点。

7．设T 是一棵树且k T ≥∆)(，证明：T 中至少有k 个顶点的度为1。

证：设T 中有p 个顶点，s 个树叶，则T 中其余p s -个顶点的度数均大于等于2，且至少有一个顶点的度大于等于k 。

由握手定理可得：1222()2(1)pi i q p deg v p s k s ==-=≥--++∑，有s k ≥。

所以T 中至少有k 个树叶 。

8．证明：一个没有有向回路（圈）的有向图中至少有一个入度为零的顶点。

证：设D=(V,A)是一个没有有向回路的有向图。

考察D 中任一条最长的有向路的第一个顶点v ，则id(v)=0。

因为若id(v)≠0，则必有一个顶点u 使得(u,v)∈A 。

于是，若u 不在此最长路上，则此最长路便不是D 中的最长路，这是与前面的假设相矛盾。

若u 在此最长路上，则D 中有有向回路，这与定理的假设矛盾。

因此id(v)=0。