怎样凑微分
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
一、凑微分法
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
ln | sec x tan x | C.
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
1
定理 :
设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
e
x2
sin x dx , dx , x
一凑微分法
解：
原式
x arctan
x
x 1 x2 dx
例13.
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C. 2
x2e3xdx
x2d (e3x ) x2 e3x 2xe3xdx
33
3
x2 e3x 2 xd ( e3x ) x2 e3x 2x e3x 2 e3xdx
33
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§2. 不定积分的计算
根据代数分项分式定理, 有
F ( x) Q(x)
A1 (x a)
A2 (x a)2
A (x a)
B1 (x b)
B2 (x b)2
B (x b)
C1x D1 x2 px
q
C2 x (x2 px
D2 q)2
L
(
x
C 2
sec tdt ln(tan t 1 a
a2 a2 tan2 t ) C1
ln(x x2 a2 ) C, (C C1 ln a).
例10. 求
dx x 2 a2
解： 1. 令x a sect, dx a sect tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
dx (t)dt
( 将变量x替换为函数(t) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1(x)即得
所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
sin
x
cos
函数t 1(x)存在且连续, 且
f ((t))(t)dt F(t) C,
凑微分法技巧口诀
凑微分法技巧口诀
这三句口诀是：换元必换限，换限不还原，换顺序必化为重积分。
“换元必换限”中限指的是上下限，也就是函数中自变量的取值范围，这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。
“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了，则原来函数定义就不需要还原了。
“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时，如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。
积分运算法则：
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时，可以通过观察把某些函数放到d的后面（放在d后面的函数会发生变化），使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出。
二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。
2凑微分法
2凑微分法微积分中最常用的方法之一就是微分法，可以通过微分法来求出对于复杂的函数的导数。
而对于一些比较复杂的函数，需要使用一些特殊的技巧来求导数，其中包括凑微分法。
1. 凑微分法的基本原理凑微分法的基本原理可以归结为以下三个步骤：（1）把原函数中的不可微部分分离出来。
（2）将可微部分用恰当的方法凑成微分的形式。
（3）利用微积分基本定理求出微分的导数。
对于一个复合函数而言，其可微部分即为所有的内函数对应的导数的乘积。
而不可微部分即为外函数的不可微分性质。
例如：$$y = \sin(x^2)$$对于上述函数而言，它的不可微部分即为$\sin(x^2)$，可微部分即为$(\sin(x^2))' = 2x \cdot \cos(x^2)$。
凑微分法的关键是要找到一种方法，使得所求的可微部分与其微分的形式尽量相似。
通常情况下，我们可以使用一些恰当的代换或变形来达到这个目的。
例如：对于上述函数而言，我们可以令$x = \sqrt{t}$，则有：$$\begin{aligned} y &= \cos((\sqrt{t})^2) \\ & = \cos(t) \end{aligned}$$此时，可微部分为$\cos(t)$，而其微分形式为$d\sin(t)$，进而有：$$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = - \sin(t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = - \frac{\sin(x^2)}{2x}$$根据微积分基本定理，可得到函数的导数可以通过函数的微分求出，从而可以通过凑微分法求导。
即：其中，$F(u)$为可微函数，$g(x)$为实函数。
通过这种方法，我们可以将一些比较复杂的函数用凑微分法求导，从而简化求导过程，使得我们更加容易求得函数的导数。
总结凑微分法是微积分中重要的求导方法之一，其基本原理是通过将可微部分凑成微分的形式，然后利用微积分基本定理求出微分的导数。
一、凑微分法
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
则
f ( x)dx F ( 1 ( x)) C.
证明： d ( F ( 1 ( x)) F (t ) ( 1 ) dx
1 f ( (t )) (t ) f ( x). (t )
x x 2 a 2 x 2 a 2 dx a 2 ln | x x 2 a 2 | C1
2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln | x x 2 a 2 | C. 2 2
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2 x a x 2 a 2 dx x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C. 2 2
ln | sec x tan x | C.
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§2. 不定积分的计算
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
cos x 1 cos x sin x dx sin xd sin x 1 sin x dx 0 1?
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§2. 不定积分的计算 将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时, cos x d sin x sin x dx sin x ln | sin x | C. 使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
《凑微分法》课件
复合函数与幂函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2}e^{x})dx$ 时， 可以将 $x^{2}e^{x}$ 视为
$frac{d}{dx}(e^{x}x^{2})$ 的微分，从而得 到 $e^{x}x^{2}$ 的积分结果。
04
凑微分法的注意事项与技巧
凑微分法的注意事项
观察目标函数形式
凑微分法的数学原理
凑微分法的定义
凑微分法是一种通过观察或变形，将复杂的积分表达式转化为容易计算的积分表达式的技巧。其核心 思想是将被积函数进行适当的变形，使其符合某个已知的积分公式的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用
凑微分法在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。通过凑微分法，我们可以将复杂的积分问题转 化为简单的计算，从而快速得到结果。例如，在求解某些物理问题的过程中，我们经常需要用到凑微 分法来计算某个物理量的变化率或累积值。
三角函数凑微分
例如，计算积分 $int sin{x}dx$ 时， 可以将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而 得到 $-cos{x}$ 的积分结果。
复杂问题的凑微分法实例
多项式与三角函数混合积 分
例如，计算积分 $int (x^{2} + sin{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}$ 视为 $frac{d}{dx}(x^{3})$ 的微分，将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得 到 $frac{3}{2}x^{2} - cos{x}$ 的积分结果 。
微分与积分的互逆关系
微分与积分互为逆运算
微分和积分在数学上是互逆的过程。微分是将函数进行局部线性化，而积分则是 求函数与x轴所夹的面积。由于这两个过程具有相反的特性，因此它们可以相互 转化。
53凑微分法和分部积分法
一、凑微分法(第一换元法)
g(x)dx F[(x)](x)dx
1. 凑微分
F[(x)]d(x)
2. 换 元
F(u)du
3. 计 算
F(u)C
4. 回 代
F [(x) ]C
例1 e2xdx(令u2x)
1 2
e2xd(2x)
12eud(u)
1eu
2
C
1e2x C
求 解?
命题 (分部 ) 设 积 u u (分 x )v , v 法 (x )有的 连 导数，则
u ( x ) v ( x ) d x u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) d x
或
u d vu v v d u .
例1. 求 xcoxsdx. (幂 三角型)
1.若有理函数为数 假,则 分将 式其 函表示为多 函数与真分式;函 否数 则之 进和 行下 . 一步
2.将真分式函数的行 分因 母式 进分. 解
3.用待定系数法将函真数分表式示为部分分式 和, 对每个部分分式积求分不即.定可
思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同?
(1)
dx 4 x
d(44xx)
故
原式 =
1ex(sx i n co x) sC
2
说明: 也可设 uex,v为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
解题技巧: 选取 u及v的一般:方法
把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三”
顺序, 前者为 u后者为 v.
例5. 求arcx cdox.s
的 反: 反三角函数
对: 对数函数 幂: 幂函数
例7. 求 (axb)m d x(m 1).
凑微分法解不定积分个人用讲义
凑微分法一，凑微分法原理回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x)dy/dxdf(x)/dx等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)=df(x)/dx再加以变形可得f′(x)dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。
（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：例题一：d(2x+1)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)=2d(x)例题二：d(e^x)=dx解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)=e^xdx因为做题目的时候，往往是告诉你们e^xdx要你们求d(e^x)。
我再举一个凑微分法的事例:例题三：12dx x=-⎰解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d后面去。
所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。
具体的实例就不举了，多操作。
下面我要重点说说，讨厌，这个问题二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。
所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。
根据已知的不定积分公式我们可以知道：1三角函数求导仍为三角函数2反三角函数求导为有理函数3幂函数求导认为幂函数4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数5幂函数求导仍为幂函数所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。
不定积分凑微分法
不定积分凑微分法不定积分凑微分法是一种常见的求解不定积分的方法，它的基本思想是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得原函数的形式更加简单，从而更容易求解。
这种方法在高等数学中应用广泛，是学习微积分的重要内容之一。
不定积分凑微分法的核心是“凑微分”，也就是通过对被积函数进行一定的代数变形，使得被积函数的微分形式更加简单。
具体来说，我们可以通过以下几种方法来实现凑微分：1. 代数变形法：将被积函数进行一定的代数变形，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=x^2+2x+1，我们可以将其变形为f(x)=(x+1)^2，从而得到f(x)的微分形式为2(x+1)dx。
2. 分部积分法：将被积函数进行分部积分，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=xsinx，我们可以将其进行分部积分，得到f(x)=xcosx+sinx，从而得到f(x)的微分形式为cosxdx。
3. 有理函数分解法：将被积函数进行有理函数分解，使得其微分形式更加简单。
例如，对于被积函数f(x)=1/(x^2+1)，我们可以将其进行有理函数分解，得到f(x)=1/2[(x-i)/(x^2+1)+(x+i)/(x^2+1)]，从而得到f(x)的微分形式为1/2arctanxdx。
不定积分凑微分法的应用非常广泛，可以用于求解各种类型的不定积分，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
在实际应用中，我们可以根据被积函数的特点选择不同的凑微分方法，从而更加高效地求解不定积分。
不定积分凑微分法是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们更加轻松地求解各种类型的不定积分，提高我们的数学能力和解题能力。
因此，在学习微积分的过程中，我们应该认真掌握不定积分凑微分法，加强对其应用的理解和掌握。
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
分部积分法中的凑微分技巧
分部积分法中的凑微分技巧
凑微分技巧是物理中比较经典的求解数学问题的方法，它广泛用于分部积分法中，受到广大科技爱好者的青睐。
说起凑微分技巧，大家脑海中可能第一时间会浮现出一个复杂漂亮的函数，用一个困难的解析式来描述穿越图像的分部积分法。
这里有一个重要的概念，那就是**变换**，是将一个问题的一个维度变换到另一个维度，得出一种新的解析式，来解决本来无法求出正确结果的数学问题。
具体而言，凑微分技巧的主要过程是：先将定义域上的一组复杂的函数变分成一系列简单的函数再求取极限，例如将多项式分层拆分成不同系数的项，再依据分部积分法进行拆解并进行极限运算，求出整个函数的积分结果。
特别是在解决复应对象具有穿越属性的情况下，上述技术更显现出它的作用，能够做到有效的把复杂的数学问题简化成更容易求解的分部积分法。
因此，凑微分技巧是一种数学计算的相当精妙的方法。
它在求解复杂函数时，能够帮助我们获得正确的分部积分结果，从而使复杂数学问题更易理解，也使物理运算变得容易得多。
可以说，在不改变数学难度的情况下，凑微分技巧是一项十分实用的工具，再次印证了科学家们说的“一分耕耘一分收获”的道理。
§5.2 凑微分法(凑法)
ln sin x C
1 (1 x ) C 2
3 2 2
例题7
求 e
3 x
x
dx
2 3 x 解： 原式 e d (3 x ) 3
2 3 e 3
x
C
例题8
1 求 dx x ln x
d (ln x) 解： 原式 ln x
ln ln x C
例题9
1 求 2 dx 2 x a 1 1 1 解： 原式 ( )dx 2a x a x a
1 xa ln C 2a x a
例题10
1 求 2 dx 2 a x 1 1 1 解： 原式 ( )dx 2a a x a x
1 ax ln C 2a a x
例题11
求 sin xdx
3
解： 原式 (1 cos x)d cos x
sin 2 x C
例题2
1 求 dx 3 2x
1 d (3 2 x) 解： 原式 2 3 2x 1 ln 3 2 x C 2
例题3
1 求 2 dx 2 a x x d( ) 1 a 解： 原式 a 1 ( x )2 a 1 x arctg C a a
例题4
求 1 a x
2 2
dx
x d( ) a 解： 原式 x 2 1 ( ) a x arcsin C a
例题5
求 x e dx
2 x3
1 x3 3 解： 原式 e dx 3 1 x3 e C 3
例题6
求 x 1 x dx
2
1 2 2 解： 原式 1 x d (1 x ) 2
凑微分法怎么理解 [浅谈凑微分法的理解及应用]
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凑微分法怎么理解[浅谈凑微分法的理解及应用]【摘要】凑微分法是微积分学中重要的积分法，初学者难以熟练掌握.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 【关键词】基本积分公式；凑微分；不定积分计算不定积分的方法很多，凑微分法是比较重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟练应用这种方法是学习后继微积分知识的基础.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 一、凑微分法的理论依据例1求∫2cos2xdx. 分析因为cos2x是复合函数，这个不定积分不能用直接积分法求出结果，但可以考虑套用公式∫cosxdx=sinx+C来计算. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C. 验证积分结果的正确性：sin2x+C′=2cos2x，积分结果的导数等于被积函数，说明这种积分思路及过程是正确的. 解设u=2x，则du=2dx. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 解题特点引入新变量u=2x，把原被积表达式化成基本初等函数的微分形式cosudu，再用基本积分公式求出积分结果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 这种求不定积分的方法具有一般性，其理论依据如下：设y=F（u）及u=φ（x）都是可导函数，且F′（u）=f（u），则由y=F（u）和u=φ（x）构成的复合函数是y=F[φ（x）]. 对函数y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C；对复合函数y=F[φ（x）]，dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C. 由此可见，不论u是自变量还是中间变量，总有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到结论：如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可导函数，那么∫f（u）du=F （u）+C. 即只要所给积分的被积表达式能凑成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C写出积分结果. 此结论表明：在基本积分公式中，自变量换成任何可导函数u=φ（x）时，公式仍成立.这条性质叫做积分形式不变性.这个结论扩大了基本积分公式的使用范围. 例1中使用的方法，实质上是把微分形式不变性反过来用于不定积分而得到的求积分的方法，这种方法通常叫做第一类换元积分法，也叫凑微分法. 二、凑微分法的定义一般地，若不定积分的被积表达式能写成f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，令φ（x）=u，当积分∫f （u）du=F（u）+C时，则有下面的结论：∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f （u）duu=φ（x）=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C. 通常把这种积分方法称为第一类换元积分法，又叫凑微分法. 三、凑微分法的理解在凑微分法的过程中，变量u在这里处于中间变量的地位，u是x的可导函数u=φ（x），因此这种方法的关键也可以说是正确选择中间变量u.在具体解题的过程中，要注意凑出来的新的积分∫f（u）du要能用直接法求出积分结果，否则就失去了换元的意义.四、应用举例 1.凑微分法求解步骤设∫f（u）du=F（u）+C，运用凑微分法做积分运算时首先将原积分形变为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步骤进行：∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分1∫f[φ（x）]dφ（x）变量代换1φ（x）=u ∫f（u）du计算积分1F（u）+C变量代换1u=φ（x）F[φ（x）]+C. 2.常用的凑微分形式（1）dx=11ad （ax）=11ad（ax+b）；（2）xdx=112dx2=112ad（ax2+b）；（3）11xdx=dlnx；（4）11xdx=2dx；。
凑微分法详细讲解
凑微分法详细讲解
嘿，朋友们！今天咱来唠唠凑微分法。
这凑微分法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门呢！
你想想看，有些数学式子就像一团乱麻，让你摸不着头脑。
可凑微分法呢，就像是一个耐心的梳理者，能把这团乱麻慢慢地理顺。
比如说，遇到那种看起来很复杂的式子，咱通过巧妙地变形、凑一凑，就能让它变得清晰明了。
这凑微分法就好像是变魔术一样！本来让人头疼的式子，经过这么一凑，嘿，就变得乖乖听话啦。
举个例子哈，就像你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们拼成一个完整的形状。
凑微分法就是帮你找到那些合适的积木块，然后把它们拼凑在一起。
咱在学习凑微分法的时候，可别着急，得慢慢来。
就跟学走路似的，一步一步来，走稳了才不会摔跟头。
一开始可能会觉得有点难，哎呀，这怎么凑啊？但别灰心，多试试，多练练，慢慢就找到感觉啦。
你看那一道道难题，不就是一个个小怪兽嘛！咱拿着凑微分法这把宝剑，勇敢地去挑战它们。
有时候可能一下子没凑对，没关系，调整调整再上。
就像打游戏，失败了再来一局呗。
而且啊，凑微分法还特别实用。
在好多数学问题里都能派上大用场。
你说，这是不是个宝贝？它能让咱解题的效率大大提高，就像给咱加了一双翅膀，能在数学的天空中飞得更高更远。
所以啊，朋友们，可别小瞧了这凑微分法。
好好学，好好用，让它成为咱数学学习路上的得力助手。
相信我，一旦你掌握了它，你就会发现数学的世界变得更加精彩啦！这凑微分法，真的值得咱好好去钻研，去掌握，去运用！咱可不能错过这么好的方法呀，对不对？。
高等数学第二节 凑微分法
解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16
第二节 不定积分的的凑微分法 - 烟台南山学院(最全)word资料
第二节 不定积分的凑微分法一、不定积分的凑微分法例6．2．1 cos x x e e dx ⎰（x xe dx de =）cos x x e de =⎰ （cos d O O ⎰）sin x e C =+ （sin C O + ）通过凑微分公式，凑出一个中间变量（被积函数中那个复合函数的中间变量“O ”），得到一个不定积分公式的左边，从而套公式解决问题———这是《凑微分法》的主要思想. 二、不定积分的凑微分举例 例6．2．2 求下列积分：（1）3xe dx ⎰；（2）112dx x -⎰；（3）；(4) . 解（1）3xe dx ⎰3133xe d x =⎰ 313x e C =+； （2）112dx x -⎰ ()1112212d x x =---⎰1ln 122x C =--+；（3）212=21arcsin C 2x =+；（4）2=⎰22csc =⎰C =-.例6．2．3 求下列积分：(1)1ln dx x x ⎰；（2） 1xxe dx e +⎰；（3）tan xdx ⎰；（4）sec xdx ⎰. 解 (1)1ln dx x x ⎰ 1ln ln d x x=⎰ln ln x C =+（注：此类积分一般都含“ln x ”，所以“1ln dx d x x=”中“x ”不用加绝对值.）； （2）1xx e dx e +⎰ 11xxde e =+⎰1(1)1x xd e e=++⎰ ln(1)x e C =++；（3）tan xdx ⎰sin cos xdx x =⎰1cos cos d x x=-⎰ln cos x C =-+即tan xdx ⎰ln cos x C =-+------------------------------------不定积分公式（16）；类似可得cot xdx ⎰ln sin x C =+-------------------------------不定积分公式（17）； （4）sec xdx ⎰sec (sec tan )sec tan x x x dx x x+=+⎰()sec tan sec tan x x dx x x'+=+⎰()sec tan sec tan d x x x x+=+⎰ln sec tan x x C =++即sec xdx ⎰ln sec tan x x C =++------------------------------不定积分公式（18）； 类似可得 csc xdx ⎰ln csc t x co x C =-++----------------------不定积分公式（19）. 例6．2．4 求下列积分：（1）221dx a x +⎰；（2）221dx a x -⎰；（3）；（4）2cos xdx ⎰. 解 （1）221dx a x +⎰ 22211a dx x a=+⎰ 2111xd a ax a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰1arctan xC a a=+； （2）221dx a x -⎰ ()()1dx a x a x =+-⎰()()1112dx a a x a x ⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦⎰()()()()111122d a x d a x a a x a a x =+--+-⎰⎰ 1ln 2a xC a a x+=+-； （3）==112211(1)(1)(1)(1)22x d x x d x =++---⎰⎰ 332211(1)(1)33x x C =+--+； （4）2cos xdx ⎰()11cos 22x dx =+⎰ 11cos 2224dx xd x =+⎰⎰ 11sin 224x x C =++. 例6．2．5 求下列积分：（1）22332x dxx x --+⎰；(2)；(3)1x x dx e e -+⎰ ；(4)3cos xdx ⎰. 解 （1）22332x dx x x --+⎰()223232xx dx x x '-+=-+⎰()2213232d x x x x =-+-+⎰2ln 32C x x =-++；(2)==2=C =；(3)1x x dx e e -+⎰()21xx e dx e =+⎰ ()211x x de e=+⎰arctan C x e =+；(4)3cos xdx ⎰2cos cos x xdx =⎰ 2cos sin xd x =⎰ ()21sin sin x d x =-⎰ 2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C =-+ (()()dF x F x C =+⎰).综上所述，凑微分法的关键是：利用凑微分公式凑出剩下的那个复合函数的中间变量.凑不出，就不能用凑微分法，须考虑其它的积分法-------比如说下一节的分部积分法.思考题6.21. 不定积分csc xdx ⎰ln csc t x co x C =-+正确吗？这与不定积分公式（19）冲突吗？ 2. 思考凑微分公式在凑微分法中的地位与作用.（灵感的源泉） 练习题6.21.直接套不定积分公式计算下列积分：（1）()223(23)x d x ++⎰； （2）22x e dx ⎰； （3）()111d x x++⎰；（4）⎰（5）11d x +⎰ （6）()cot 55xd x ⎰.2.用凑微分法计算下列积分： （1）cos 2xdx ⎰； （2）1x dx e ⎰； （3）221dx x x ++⎰；（4）222dx x x ++⎰； （5）2123dx x x +-⎰； （6）；（7）5sin cos x xdx ⎰； （8）； （9）；（10）（11）41x dx x +⎰； （12）1sin cos x dx x x -+⎰.练习题6.2答案 1.解 （1）()223(23)x d x ++⎰()31233x C =++；（2）22x e dx ⎰2C xe =+；（3）()111d x x ++⎰ln 1x C =++；（4）⎰C =-；（5）11d x +⎰()211d =+⎰C =； （6）()cot 55xd x ⎰ln sin5x C =+.2.解（1）cos 2xdx ⎰1cos 222xd x =⎰ 1sin 22x C =+； （2）1x dx e ⎰x e dx -=⎰ ()x e d x -=--⎰x e C -=-+；（3）221dxx x ++⎰()211dx x =+⎰()()211x d x -=++⎰ 11C x =-++； （4）222dxx x ++⎰()()21111d x x =+++⎰arctan(1)x C =++；（5）2123dx x x +-⎰()13(1)dx x x =+-⎰111413dx x x ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰ 11ln 43x C x -=++； （6）()1223x dx -=-⎰()()12123233x d x -=---⎰C =； （7）5sin cos x xdx ⎰5sin sin xd x =⎰61sin 6x C =+； （8）=()arcsin ln x C =+；（9）tanx = ()12tan tan x d x -=⎰C =；（10）1arccos arccos d x x=-⎰ln arccos x C =-+；（11）41xdx x +⎰()2221121dx x =+⎰ 21arctan C 2x =+； （12）1sin cos xdx x x -+⎰()cos cos x x dx x x '+=+⎰()1cos cos d x x x x=++⎰ln cos x x C =++.第四章 不定积分一、学习目的与要求1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。