(完整版)数列大题专题训练1[老师版]

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数列大题专题训练1

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1

1()2

n n S a n N +=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设*

3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程233411112551

n n b b b b b b ++++=L 的n 值. 【解析】 试题分析：（1）由

n

S 与

n

a 关系求数列

{}

n a 的通项公式时，注意分类讨论：当1n =时，11

a S =；当2n ≥时，

1

n n n a S S -=-，得到递推关系11

3n n a a -=，再根据等比数列定义确定公比，由通项公式求通项

（2）先求数列{}n a 前n 项和11()3n

n S =-，再代入求得n b n =-，因为11111n n b b n n +=-+，从而根据裂项相消法求和23

3411111121n n b b b b b b n ++++=-+L ，解11252151n -=+得n 值

试题解析：（1）当1n =时，

12

3a =

，

当1n >时，112n n S a +=，111

1

2n n S a --+=， ∴131022n n a a --=，即1

1

3n n a a -= ∴

23n n a =

.

（2）21(1())

1331()1313n n

n S -==--，∴n b n =-，11111n n b b n n +=-+，

∴23

3411111121n n b b b b b b n ++++=-+L ， 即11252151n -=

+，解得101n =.

考点：由

n

S 与

n

a 关系求数列

{}

n a 的通项公式，裂项相消法求和

【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨

⎧

⎭

⎬⎫

c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂

试卷第2页，总14页

项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n≥2)或1

n （n ＋2）.

2．已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列．

（1）求

{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足11,2n n

a b n n a T +⎛⎫

= ⎪

⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值．

【答案】（1）1

12n n a -⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

；（2）1．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++⇒-+-=+-⇒

314a a = 1

231111,422n n a q q a a -⎛⎫

⇒==⇒=⇒= ⎪

⎝⎭

；（2）由1111222n n

n n

a b n

a b n n a b +⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

12n n -⇒g 21112232...2n n T n -=⨯+⨯+⨯++g ，再由错位相减法求得()112n n T n =+-,1n n T T +⇒-=

()120n n +>g {}n T ⇒为递增数列⇒当1n =时，()min 1,n T =．又原命题可转化()min n T m ≥1m m ⇒≤⇒的最大

值为1．

试题解析： （1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,

即314a a =,于是1

2

311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭

Q Q ．

（2）11111,,2222n n

n n

a b n

a b n n n a b n -+⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

Q g ,

21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++g , ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++g ,② ∴①- ②得:()2

1

12122 (2)

2212112

n

n n

n n n T n n n ---=++++-=-=---g g ,()112n n T n ∴=+-,

n T m ≥Q 恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+>Q g g g ,

{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1．

考点：1、等差数列；2、等比数列；3、数列的前n 项和；4、数列与不等式．

【方法点晴】本题考查等差数列、等比数列、数列的前n 项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．第二小题首

先由1111222n n

n n

a b n

a b n n a b +⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

12n n -⇒g 2112232...n T =⨯+⨯+⨯+

12n n -+g 再由错位相减法求得()112n n T n =+-1n n T T +⇒-=()120n n +>g {}n T ⇒为递增数列⇒当1n =时，