05第五讲多元微积分-17页word资料

第五讲 多元微积分（上）

考纲要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.

4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）. 一、多元微分学概念及其关系

问题1 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？

答 首先要正确理解各概念.

二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的极限00

lim (,)x x y y f x y A →→=表示(,)P x y 以任何

方式趋近于000(,)P x y ，函数(,)z f x y =趋近于常数A .

注：若找到两种不同趋近方式，使),(lim 0

0y x f y y x x →→存在，但两者不相等，

或者找到一种趋近方式，使),(lim 0

0y x f y y x x →→不存在，则可断言),(y x f 在点

),(000y x P 处极限不存在．

如果00

00lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续.

二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数

0000000

(,)(,)

(,)lim

x x f x x y f x y f x y x

∆∆∆→+-=；

函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为

0000000

(,)(,)

(,)lim

y y f x y y f x y f x y y

∆∆∆→+-=.

注： ),(00y x f x 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0x 处的导数

x x dz

dx =；00(,)y f x y 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0y 处的导数

y y dz dy

=.

如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，

则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ∆+∆.

若函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则全微分z z

dz dx dy x y

∂∂=

+∂∂. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：

例

1.证明函数22

2222,0,

(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在点)0,0(处极限不存在、不连

续，但偏

导数存在且0)0,0()0,0(==y x f f .

2.证明函数22

220,(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在点)0,0(处连续、可偏导且

0)0,0()0,0(==y x f f ，但不可微.

3.证明函数22

2222

221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩

在点)0,0(处连续、

偏导数存在且0)0,0()0,0(==y x f f 、可微，但偏导数不连续.

4. 设函数(,)f x y 在点00(,)x y 的两个偏导数都存在，则（ ）.【C 】 (A)(,)f x y 在点00(,)x y 连续 (B)(,)f x y 在点00(,)x y 可微 (C)0

0lim (,)x x f x y →与0

0lim (,)y y f x y →都存在 (D)0

lim (,)x x y y f x y →→存在

5. 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ）.【C 】 （A ）(,)(0,0)

lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=

（B ）0

(,0)(0,0)

lim

0x f x f x

→

-=，且0(0,)(0,0)lim

0y f y f y →-= （C ）(,)lim

0x y →=

（D ）0

lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →-=，且0

lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →-=

问题2 如何求二元函数的极限（二重极限）？