05第五讲多元微积分-17页word资料

第五讲 多元微积分（上）考纲要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）. 一、多元微分学概念及其关系问题1 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？答 首先要正确理解各概念.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的极限00lim (,)x x y y f x y A →→=表示(,)P x y 以任何方式趋近于000(,)P x y ，函数(,)z f x y =趋近于常数A .注：若找到两种不同趋近方式，使),(lim 00y x f y y x x →→存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim 00y x f y y x x →→不存在，则可断言),(y x f 在点),(000y x P 处极限不存在．如果0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续.二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆∆∆→+-=；函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为0000000(,)(,)(,)limy y f x y y f x y f x y y∆∆∆→+-=.注： ),(00y x f x 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0x 处的导数x x dzdx =；00(,)y f x y 实质上是一元函数0(,)z f x y =在点0y 处的导数y y dz dy=.如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中B A ,不依赖于y x ∆∆,而仅与y x ,有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分，记为dz ，即dz =y B x A ∆+∆.若函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则全微分z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂. 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系如图所示：例1.证明函数222222,0,(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处极限不存在、不连续，但偏导数存在且0)0,0()0,0(==y x f f .2.证明函数22220,(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在点)0,0(处连续、可偏导且0)0,0()0,0(==y x f f ，但不可微.3.证明函数222222221()sin ,0,(,)0,0.x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处连续、偏导数存在且0)0,0()0,0(==y x f f 、可微，但偏导数不连续.4. 设函数(,)f x y 在点00(,)x y 的两个偏导数都存在，则（ ）.【C 】 (A)(,)f x y 在点00(,)x y 连续 (B)(,)f x y 在点00(,)x y 可微 (C)00lim (,)x x f x y →与00lim (,)y y f x y →都存在 (D)0lim (,)x x y y f x y →→存在5. 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ）.【C 】 （A ）(,)(0,0)lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=（B ）0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=，且0(0,)(0,0)lim0y f y f y →-= （C ）(,)lim0x y →=（D ）0lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →-=，且0lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →-=问题2 如何求二元函数的极限（二重极限）？答 求二元函数的极限是一件困难的事情，读者只要会求一些简单的极限就可以了，求这些简单极限的主要依据是：⑴一元函数极限的四则运算和幂指运算法则对二元函数成立； ⑵一元函数极限的某些结论（无穷小乘有界函数、两个重要极限）对二元函数成立；⑶二元初等函数在其定义区域（包含在定义域内的区域或闭区域）内是连续的．例 求下列极限：⑴2222001lim()sin x y x y x y →→++；⑵22200sin()lim x y x y x y →→+；⑶0x y →→22()lim ()e x y x y x y -+→+∞→+∞+；⑸100lim(1sin )xyx y xy →→+.二、偏导数和全微分的计算问题3 如何求初等函数的偏导数（全微分）？答 类似一元函数，对一个自变量求偏导数，其余的自变量看作常数. 例1.设arctan22()eyxz x y -=+，求dz 与yx z∂∂∂2（98-3）解 z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂， arctan arctan arctan 2222212e ()e [()](2)e 1y yyx xxz y x x y x y y xx x---∂=++--=+∂+，arctan arctan arctan 2222112e ()e [](2)e 1y yyx xxz y x y y x y yx x---∂=++-⋅=-∂+， 故arctane[(2)(2)]y xdz x y dx y x dy -=++-，222arctan arctan arctan 222211e (2)e ()e 1y yyx x xz y xy x x y y x yx x y x---∂--=++-⋅=∂∂++. 2.设xyv y x u u z v arctan ,ln ,22=+==，求dz .【22ln ln v u xv yv dz y u dx x u dy x y u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦】问题4 如何求抽象复合函数的一、二阶偏导数？ 答 首先要正确理解和运用复合函数求导法则：设函数(,)u u x y =及(,)v v x y =都在点(,)x y 具有对x 和y 的偏导数，且函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 法则表明：复合函数对自变量求导必须通过所有中间变量. 然后要弄清函数、中间变量、自变量，正确使用导数记号. 例1.设),(v u f 有二阶连续偏导数，且)sin ,2(x y y x f z -=，求yx z∂∂∂2.解 【复合函数的二阶偏导数】122cos zf y xf x∂''=+∂， 21112221222[(1)sin ]cos cos [(1)sin ]zf f x xf y x f f x x y∂'''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅∂∂ 2111222cos 2(2sin cos )sin cos x f f x y x f y x x f ''''''=⋅-+-+⋅.注⑴1f '表示对第一个中间变量求导，12f ''表示先对第一个中间变量求导，再对第二个中间变量求导，其余记号有类似含义；⑵对中间变量的偏导数1f '，2f '仍然是两个中间变量的函数；⑶如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.本题中1221f f ''''=，应该合并.2.设),(v u f 有二阶连续偏导数，)(u g 有二阶连续导数，且(,)()yz f x xy g x=+，求y x z ∂∂∂2. 解 【复合函数的二阶偏导数】122z yf yfg x x∂'''=+-∂， 21112221222110(0)()z f f x f y f f x g yg x y x x∂''''''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂ 12222231yxf f xyf g g x x''''''''=++--. 问题5 如何求隐函数的偏导数？ 答 求隐函数的偏导数的方法有： ⑴两边求导法；⑵公式法，使用时务必正确理解和运用隐函数求导公式： 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =确定，则yx F Fdx dy -=. 设函数(,)z f x y =由方程(,,)0F x y z =确定，则z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂.⑶全微分法，使用时务必正确理解和运用全微分形式的不变性： 无论是自变量还是中间变量，函数(,)z f u v =的全微分u v dz f du f dv =+. 例1. 设)(22yz y z x ϕ=+，ϕ可微，求y z ∂∂. 【2z z y y yz y ϕϕϕ'∂-=-'∂-】解 【隐函数的一阶偏导数，用公式或者用两边求导法】 方程为22(,,)()0z F x y z x z y yϕ=+-=，故2()122y zzy F zz y y y F yz y z y yϕϕϕϕϕϕ'--⋅-'∂-=-=-=-'∂-'-⋅. 2.),(v u f 有连续偏导数，函数(,)z z x y =由方程11(,)0f x zy y zx --++=所确定，证明z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 证 【用公式法】方程为11(,,)(,)0F x y z f x zy y zx --=++=2121112()x zF f f x z zx F f y f x---''+⋅-∂=-=-∂''⋅+⋅，2121112()y z F f y z f zy F f y f x---''⋅-+∂=-=-∂''⋅+⋅，故 1112121112xf f x z f y z yf z z x y z xy x y f y f x----''''-+⋅+⋅-∂∂+==-∂∂''⋅+⋅. 3.设(,)y f x t =，而t 是由方程(,,)0F x y t =所确定的x ，y 的函数，其中f ，(1)F C ∈，求dydx. 解 【两个方程确定的隐函数，用全微分法】 取全微分法，得x t dy f dx f dt =+，0x y t F dx F dy F dt ++=，消去dt ，得x t t xt y tf F f F dy dx f F F -=+. 三、极值与最值问题6 如何求二元函数的极值？答 求二元函数),(y x f z =极值的步骤是：⑴解驻点方程(,)0,(,)0,x yf x y f x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 得驻点00(,)x y ；⑵求驻点处的二阶偏导数000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===； ⑶判别：若20AC B ->，则00(,)f x y 是极值，且0A >时，00(,)f x y 是极小值，0A <时00(,)f x y 是极大值；若20AC B -<，则00(,)f x y 不是极值.例1.设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.（04-1）解 【隐函数的极值】方程两边对x 求导，得26220z zx y yz x x∂∂---=∂∂，⑴ 方程两边对y 求导，得6202220z zx y z yz y y∂∂-+---=∂∂，⑵ 令0zx ∂=∂，0z y ∂=∂，得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩ 即3,,x y z y =⎧⎨=⎩代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x ，解得9,3,3,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或者9,3,3,x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩⑴式两边对x 求导，得22222222()20z z zy z x x x∂∂∂---=∂∂∂，⑴式两边对y 求导，得22622220z z z z zyz x x y y x x y ∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂∂∂， ⑵式两边对y 求导，得22222202222()20z z z z zy z y y y y y∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂，将9,3,3,x y z ===0zx∂=∂，0z y ∂=∂代入，得22222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)115,,,623zz z A B C xx y y ∂∂∂====-==∂∂∂∂ 2110,0366AC B A -=>=>，故点(9,3)是),(y x z z =的极小值点，极小值为(9,3)3z =类似可得点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点，极大值为(9,3)3z --=-. 问题7 如何求条件极值？ 答 求条件极值的步骤是：⑴先构造拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，其中λ为某一常数；⑵解驻点方程(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.x x x y y y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕϕ=+=⎧⎪=+=⎨⎪==⎩ 得00(,)x y ；⑶求出相应的函数值00(,)f x y .注 这种方法称为拉格朗日乘数法，拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情形.例如：求函数(,,)u f x y z =在条件(,,)0x y z ϕ=，(,,)0x y z ψ=下的极值.先构造拉格朗日函数12(,,,,)(,,)F x y z f x y z λλ=+12(,,)(,,)x y z x y z λϕλψ+，再解驻点方程，得可疑极值点的坐标.例1..求椭球面 1222222=++cz b y a x 的内接长方体的最大体积.解 设内接长方体位于第一卦限的顶点为(,,)x y z ，则它的长、宽、高分别为2x ，2y ，2z ，问题归结为求体积8V xyz =(0,0,0)x y z >>>在条件1222222=++cz b y a x 下的最大值. 构造拉格朗日函数:222222(,,,)8(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=+++-解驻点方程组:222222222280,280,280,10,xy z x L yz ay L xz b z L yx c x y z L a b c λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩得唯一驻点：x y z ===， 由实际意义知道，内接长方体的最大体积存在，其最大体积为max 9V ==. 2..已知曲线C ：22220,3 5.x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩ 求曲线C 距离xoy 最远的点和最近的点.【(5,5,5),(1,1,1)--】问题8 如何求有界闭区域D 上连续函数的最值？答 由于有界闭区域D 上连续函数的最值一定存在，所以只要求出函数在D 的内部和D 的边界上可能取得最值的点，并求出这些点处的函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.请读者结合下面的例子归纳出求有界闭区域D 上连续函数的最值的步骤.例 求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.解 ⑴先求函数在D 内的驻点，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f yx 得区域D 内驻点)1,2(,且4)1,2(=f , ⑵再求D 的边界上的可能的最值点 在边界0=x 和0=y 上,0),(=y x f ； 在边界6=+y x (06)x <<上，x y -=6，于是232()(,6)(6)(2)212(06)g x f x x x x x x x =-=--=-<<, 由2()6240g x x x '=-=,得4x =，且(4)(4,2)64g f ==-， ⑶故4)1,2(=f 为最大值,64)2,4(-=f 为最小值. 四、二重积分问题9 叙述二重积分的定义和性质. 答 二重积分的定义、性质类似定积分. 例1.设⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=DDDd y x I d y x I d y x I σσσ2223222221)cos(,)cos(,cos 其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（ ）.(A)123I I I >>（B ）321I I I >>（C ）312I I I >>（D ）213I I I >> （A ） 2.设(,)f x y 在区域D 上连续，00(,)x y 是D 的一个内点，r D 是以00(,)x y 为中心，以r 为半径的闭圆盘，则201lim(,)rr D f x y dxdy rπ+→=⎰⎰ .3.设D 是平面有界闭区域，(,)f x y 与(,)g x y 都在D 上连续，且(,)g x y 在D上不变号，证明：存在(,)D ξη∈，使得(,)(,)(,)(,)DDf x yg x y dxdy f g x y dxdy ξη=⎰⎰⎰⎰.问题10 将二重积分表为二次积分时，如何确定积分限？答 确定积分限是计算二重积分的关键，务必熟练掌握确定积分限的方法.若积分区域D 为x 型区域，将区域D 向x 轴投影，得a x b ≤≤，再对任一(,)x a b ∈，作平行于y 轴的直线，交D 的边界于12(,()),(,())x y x x y x ，得12()()y x y y x ≤≤，则21()()(,)(,)by x ay x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰.若积分区域D 为y 型区域，将区域D 向y 轴投影，得c y d ≤≤，再对任一(,)y c d ∈，作平行于x 轴的直线，交D 的边界于12(,()),(,())y x y y x y ，得12()()x y x x y ≤≤，则21()()(,)(,)dx y cx y Df x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰.我们把直角坐标系中确定积分限的方法形象地称为“投影找区间，穿刺找线段”.若利用极坐标计算二重积分，从极点引一条射线穿过区域D ，当这条射线在区域D 内旋转时，得αθβ≤≤，再对任一(,)θαβ∈，射线交D 的边界于12(,()),(,())r r θθθθ，得12()()r r r θθ≤≤，则()()21(cos ,sin )(cos ,sin )r r Df r r rdrd d f r r rdr βθαθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰.我们把极坐标系中确定积分限的方法形象地称为“旋转找区间，穿刺找线段”.问题11 如何利用对称性计算二重积分？ 答 利用对称性，可以简化二重积分的计算.⑴若区域D 关于x （或者y ）轴对称，(,)f x y 关于y （或者x ）是奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰；⑵若区域D 关于x （或者y ）轴对称，(,)f x y 关于y （或者x ）是偶函数，则1(,)2(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰；⑶若区域D 关于x 轴和y 轴都对称，(,)f x y 关于y 和x 都是偶函数，则1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰；⑷若区域D 关于直线y x =对称（交换,x y ，区域D 不变），则(,)(,)DDf x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰（交换被积函数中的,x y ，积分不变），特别地，()()DDf x d f y d σσ=⎰⎰⎰⎰.例1.设D 为以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ ）.【A 】(A) ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x . (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy (D) 02.设22{(,)4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b为常数，则Dσ=⎰⎰( ).【D 】（A ） ab π (B) 12ab π (C) ()a b π+ (D) 2a bπ+(C) ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy (D) 0问题12 如何计算二重积分？ 答 计算二重积分的步骤是： ⑴画出积分区域D ； ⑵考察对称性； ⑶选择坐标系； ⑷选择积分次序； ⑸确定积分限（关键）； ⑹表为二次积分； ⑺计算二次积分.注意：选择坐标系、积分次序的依据是被积函数和积分区域（积分的两要素）时，可以考虑采用极坐标计算二重积分.例1.计算⎰⎰-+=Dd y x I σ122,}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .314(-π） 2.设22{(,)0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数.计算二重积分22[1]Dxy x y dxdy ++⎰⎰.（05-1，38）3.计算二重积分{}22max ,ex y Ddxdy⎰⎰,其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（02-1，e 1-）4.设D 是由3,x y x y ==在第一象限所围区域，求2e x Ddxdy ⎰⎰. （e12-）5.设函数2,(,)0,x y f x y ⎧=⎨⎩,,0,21else x y x ≤≤≤≤区域}2),{(22x y x y x D ≥+=， 求(,)Df x y dxdy ⎰⎰.（4920） 6..求221()2[1e]x y Dy x dxdy ++⎰⎰的值，其中D 由,1,1y x y x ==-=围成.（32-） 7..设二元函数2,1,(,)2,x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中{}(,)2D x y x y =+≤.8.设闭区域{}22(,),0D x y x y y x =+≤≥，(,)f x y 为D上的连续函数，且8(,)(,)Df x y f u v dudv π=⎰⎰，求(,)f x y .（02-4）解 设(,)Df u v dudv a =⎰⎰，则8(,)af x y π=，8(,)DDDaa f x y dxdy dxdy π==-⎰⎰⎰⎰Da =-⎰⎰，cos3220001112(1cos )()26623a d rdr d ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰，42(,)()323f x y ππ=-. 问题13 如何交换积分次序？答 先根据积分限画出积分区域，再按另一次序确定积分限：“投影找区间，穿刺找线段”.例1.交换积分次序，=⎰⎰-2210),(y ydx y x f dy .【210010(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰⎰⎰】2.设()f x 为连续函数，1()()tty F t dy f x dx =⎰⎰，则(2)F '= . 【)2(f 】 问题14 如何交换坐标系？答 先根据积分限画出积分区域，再按另一坐标系确定积分限. 例 1.表为直角坐标下的二次积分，cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰.【100(,)dx f x y dy ⎰⎰】2.表为极坐标下的二次积分，11112(,)(,)x xxdx f x y dy dx f x y dy +∞-+=⎰⎰⎰⎰ .【410cos sin (cos ,sin )x xd f r r rdr πθθθ+∞+⎰⎰】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。