电磁场与电磁波(第二章)

特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，
r'0
Rr
E(r )
q
4 0r 2
er
q (1)
4 0 r
r qO Rr
三、点电荷系统和分布电荷产生的电场
1、多点电荷系统产生的电场
真空中，N个点电荷：
电荷量： q1, q2 ,…,qN
由矢量叠加原理：
电荷位置： r1 ', r2 ', …，rN '
E(r ) E1 E2 … EN
R eR R
0
为真空中介电常数。 0
1
36
109
F
/
m
二、电场强度矢量 E
❖真空中点电荷q在P点处产生的电场强度：
F
q
q
R
E(r ) lim q qs 0 s
4 0 R2 eR
r'
q
q
1
R
( )
4 0 R3
4 0 R
O
P
r Rr r'
其中
(
1) R
eR R2
证明
对 qs 取极限是避免引入试验电荷影响原电场； P
3、线电流与电流元 ❖电荷只在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。
❖电流元Idl ：长度为无限小的线电流元。
三、电流的连续性方程
I
电荷守恒定律：从任一闭合面流出的电
流等于该闭合面内电荷的减少率
即： J (r ) ds dq
s
dt
q为闭合面S内的电荷量
q V (r,t)dV
( J )dV (r,t) dV
❖引入电流密度矢量 J 描述空间电流分布状态。
1、体电流密度
❖电荷在一定体积空间内流动所形成的电流成为体电流。
❖体电流密度 J 定义：
设正电荷沿 e j 方向流动，则在垂直
e j 方向上取一面元S，若在t 时
间内穿过面元的电荷量为 q，则：
I
q
J lim lim
s0 S s0 t S
t 0
ej
❖面电流密度 J s 定义：
电流在曲面S上流动，在垂直于
电流方向取一线元 l ，若通过
I l J
线元的电流为 I ，则定义
S
Js
lim I l0 l
dI dl
同样可求得： J sv
穿过任意曲线的电流：
I
n
l
dl J S
l J S n dl
I l Js
n
注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体 电流就有面电流。
V
V t
电流连续性方程积分形式
J
t
J 0
t
电流连续性方程微 分形式
讨论：1）对于恒定电流，有
0
t
故：恒定电流的电流连续性方程为
J 0 s J ds 0
意义：流入闭合面S的电流等于流出闭合面S的电流。
2）对于面电流，电流连续性方程为：
l JS
(n dl )
s
S
lim v S t v
s0 t S
t 0
讨论：1) J v
式中： 为空间中电荷体密度，v 为
正电荷流动速度。
2) I J (r ) ds J (r ) nds
S
S
S J (r ) cos ds
n
S
J (r )
2、面电流密度
❖当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。
2、面电荷密度
❖面电荷：当电荷只存在于厚度可以忽略不计的表面上，称电
荷为面电荷。
❖面电荷密度 s (r )的定义： 在面电荷上，任取面积元 S ，其中电荷量为 q
则
s (r )
lim
S 0
q S
dq dS
q S s (r )ds
3、线电荷密度
❖线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷为线电荷。
r r'
O
❖设体电荷密度为(r )，图中 d ' 在P点产生的电场为：
dq
dE(r , r
')
(r ')d 4 0 R3
'
R
Rr r'
则整个体积 内电荷在P点处产生的电场为：
E(r )
1
dE(r , r ')
4 0
(r ')
R3
Rd
'
b)面分布电荷系统
类似地，面电荷在空间某点处产生的电场强度
❖线电荷密度 l (r ) 的定义：
在线电荷上，任取线元 l ，其中电荷量为 q
则
l (r )
lim
l 0
q l
dq dl
q l l (r )dl
4、点电荷
❖点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为 点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。
(r ) lim q
V 0 V
二、电流与电流密度
S t
dS
对时变面电流
l JS (n dl ) 0
对恒定面电流
第二节 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
❖库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。
❖库仑定律内容：如图，电荷q1 对电荷q2的作用力为：
q1
R
q2
r
F12
q1 q2
4 0 R 2
eR
q1 q2
4 0 R3
R
r'
O
式中： R r r ' R R
E(r )
dE(r , r ') 1
S'
4 0
S
'
s (r
R3
')
RdS
'
1
40
S
s
(r
')(
1 R
)dS
'
c)线分布电荷系统
类似地，线电荷在空间某点处产生的电场强度
E(r ) dE(r , r ') 1 l (r ') Rdl '
l'
40 l ' R3
1
4 0
l
'
l
0
r0 r 0
❖电荷的定向运动形成电流。电流大小用电流强度i描述。
❖电流强度i的定义：
设在 t 时间内通过某曲面S的电量为 q ，则定义通
过曲面S的电流为：
i(t) lim q dq t0 t dt
❖电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量。
❖恒定电流： i(t) const 即电流大小恒定不变。：
第二章 电磁场中的基本物理量 和基本实验定律
第一节 电磁场的源量 ——电荷和电流
一、电荷与电荷密度
1、体电荷密度 ❖体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。
❖体电荷密度 (r )的定义：
在电荷空间V内，任取体积元 V ，其中电荷量为 q
则 (r ) lim q dq
VFra Baidu bibliotek0 V dV
q V (r )dV
1 N
40 i1
式中:Ri r ri '
qi 3 Ri Ri
q2 q E合 1
P(r ) R2
R1 r2 ' r RN
EN
r1 ' O rN '
qN
E1
P(r )
E2
2、分布电荷系统产生的电场，矢量积分公式
a)体分布电荷系统
❖处理思路：
d '
R
P(r )
1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
(r
')(
1 R
)dl
'
四、例题
例题一：如图所示，一个半径为 a 的半圆环上均匀分 布线电荷，其电荷线密度为 l 。求垂直于圆环平面的
轴线上任一点的电场强度E
解：取线元 dl '，其上电量为:
dq ldl ' lad '
其所产生的电场为：
z
dE
P r
dE