【方向】433余角和补角
433余角和补角
2
1
4
3
等角的补角相等
探究二：
如图∠5与∠6互余，∠7 与∠8 互余 ，如果∠5＝∠7，那么∠6与 ∠8相等吗？为什么？
5
6
7
8
等角的余角相等
例1
已知：如图，点O为直线AE上一点，∠DOB=90°，求：
（1）图中互余的角有（ ）组，分别是：
∠DOC和∠COB ∠DOE和∠AOB
（2）图中互补的角有（ ）组，分别是：
作业布置：
即时检测星级挑战 （要求：全班同学做到第8题，学
有余力的同学争取做到第10题。）
∠DOE和∠AOD
∠COE和∠AOC
∠BOE和∠AOB
例2
若一个角的补角等于它的余角的4倍，求 这个角的度数。
温馨提示：若设这个角是a，则它的补角是
（
），余角是（ ），再依据题设
中的等量关系“补角=4余角”，便可列出
方程求解。
【变式】一个角的补角是它的余角的3倍，这 个角是多少度？
课堂小结 这节课我学到了……（讲给同伴听）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 3
∠3与∠4的和呢？
4
3
4
互为补角 如果两个角的和是一个
180°（平角），那么这两 个角叫做互为补角，即其中 一个角是另一个角的补角。
3
环节一：找朋友
归纳：
同角的余角相等 同角的补角相等
环节二：挑战自我
探究一：
如图：∠1 与∠2互补，∠３ 与∠ ４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
2
1
图中∠1与∠2的和是多少？
∠1+∠2=90o
我们把具有这种关系的∠1、∠2称为互余
433余角和补角教学设计与反思.doc
4. 3. 3余角和补角教学设计与反思教学目标：1、在具体情境中了解余角、补角和方位角，憧得等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等, 并能运用这些性质解决具体问题。
2、经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的几何概念，培养学生的推理能力和表达能力。
3、体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的自信心。
余角和补角余角和补角教学难点：余角、补角性质，方位角的判别及其应用。
教学重点：余角、补角性质的应用。
教学过程设计：问题与情境教师活动学生活动一、创设情境，提出问题1、说一说一副三角板中行个角的度数？30° , 60° , 90° , 45° , 45° ,90°2、同一块三角板两个锐角的度数和等于多少？30° +60° =90° ,45° +45° =90°在现实生活中，从身边的角出发提出问题，吸引学生的注意力，激发兴趣和积极性，从而自然引入新课学生讨论后回答。
二、探索新知，解决问题1、互为余角的定义：如果两个角的和等于90°就说这两个角互为余角。
其中一个角是另一个角的余角。
由30° +60° =90° ,45° +45° =90°给概念下定义，介绍余角的概念。
学生讨论后回答。
2、自主学习，进行类比，加深理解。
问题1：你能在教科书上找到互为补角的定义吗？如果两个角的和等于180。
就说这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。
问题2：你认为两角互余，两角互补与两角的位置有关系吗？画出图让学生进…步理解什么是什么补角。
两角互余，两角互补只是两个角间的数量关系，而与两角的位置无关。
3、余角补角的定义.问题3：如果匕1与匕2互余，匕3和匕4互余，并且Z1=Z3,那么Z2和Z4相等吗？为什么？解：Z2=90°-Zl 匕4=90。
433余角和补角 湘雅中学公开课PPT课件
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2 （同角的余角相等)
24
你的点滴收获 ● 本节课你学到了哪些知识？请 你说一说.25互余数量 关系
∠1+∠2=90°
互补
∠1+∠2=180°
对
应
图
形
21
21
性
等角的余角相等 等角的补角相等．
1
2
2
1
3
2
1
4
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
5
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
6
4 3
7
4
3
8
4
互为补角 如果两个角的和是一个
平角，那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角是另一 个角的补角。
1
2
3
4
21
余角性质：
同角或等角的余角相等
22
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等.
如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E 在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之 间的关系？并试着说明理由？
D
A
B
2
3 4
1
E
O
C
23
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 °
433余角和补角
4.3.3 余角和补角Ⅰ学法导引1．学习余角、补角时，要注意它们是指两个角大小之间的关系，只与它们的和有关，而与其位置无关，同时也要学会列方程(组)的方法来解决几何问题．2．在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度表示出来．注意表示时要先写出南、北，再写偏东或偏西，偏多少度．Ⅱ思维整合解析重点本节的重点是互为补角、互为余角的概念及性质．(1) 概念：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，也就是说其中一个角是另一个角的补角，如图3－4－20中，∠α与∠β互为补角．如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，也就是说其中一个角是另一个角的余角，如果3－4－21中，∠1与∠2互为余角．注意：两个角互为补角、互为余角是指它们大小之间的关系，只与这两个角的和有关，与它们的位置无关．用法：∵∠α＋∠β＝180°，∴∠α与∠β互为补角，或∵∠α与∠β互补，∴∠α＋∠β＝180°．∵∠1与∠2互余，∴∠1＋∠2＝90°或∵∠1＋∠2＝90°，∴∠1与∠2互为余角．2．性质：同角(或等角)的余角相等．同角(或等角)的补角相等．用法：∵∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3．或∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，∴∠2＝∠4．【例1】一个角的补角加上10°，等于这个角的余角的3倍，求这个角．解析可设这个角为x，则其余角为(90°－x)，其补角为(180°－x)，也可设这个角的余角为y，则这个角的补角为(90°＋y )，两种设未知数的方法，根据题意，均可列出方程求解．解方法一：设这个角为x，则其余角为(90°－x)，其补角为(180°－x)，根据题意，得180°－x＋10°＝(90°－x)×3，解得x＝40°．方法二：设这个角的余角为y，则其补角为(90°＋y)，根据题意得：90°＋y＋10°＝3y，解得y＝50°，则这个角为90°－50°＝40°．点拨有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程(组)去解，所设未知数不同，所得到的方程也不同．设一个未知数，要列一个方程；设两个未知数，要列方程组来解，总之设几个未知数，常列几个方程．剖析难点本节难点是方向的表示方法．在表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测量出角度表示出来．注意表示时要先写是北还是南，再写偏东或偏西，偏多少度．如图3－4－22，OA是表示北偏东30°的一条射线，OB是表示南偏西50°的一条射线；特别地，射线OC表示北偏西45°可写成西北方向，OD表示东南方向．【例2】在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的．如图3－4－23用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角．从A 到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°．试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．解析先由实际问题转化成图中具体角的大小，再进行角之间的计算．解由题意得，∠NAB＝35°，∠NAC＝60°，∠NAD＝145°．∴∠BAC＝∠NAC－∠NAB＝60°－35°＝25°．∠CAD＝∠NAD－∠NAC＝145°－60°＝85°．∴AB与AC之间的夹角是25°，AD与AC之间的夹角是85°．图中虚线AE即为从A飞出且方向角为105°的飞行线．点拨先确定正南、正北方向，再找飞机飞行的方向角．。
4.3.3余角与补角(教案)-2021-2022学年人教版七年级数学上册
三、教学难点与重点
1.教学重点
-余角与补角的定义：这是本节课的核心知识，教师需明确讲解余角（两个角的和等于90°）与补角（两个角的和等于180°）的概念，并通过实例让学生加深理解。
-余角与补角的性质：包括互为余角的两个角相等，互为补角的两个角互补等性质，教师应通过具体图形和例题进行强调。
在理论介绍和案例分析环节，我尽量来强化理解。我发现，通过直观的图形演示，学生们更容易接受和理解这些抽象的几何概念。然而，我也意识到，对于一些学生来说，从理论到实践的转化还存在一定的难度，他们需要更多的练习和指导。
在实践活动和小组讨论中，我鼓励学生们积极思考，主动参与。看到他们热烈的讨论和展示成果时的兴奋，我感到非常欣慰。但同时，我也观察到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，这就需要我及时引导，确保讨论的方向和深度。此外，我也在思考如何更好地平衡小组内不同学生的学习需求，以便每个学生都能在讨论中得到提升。
-灵活运用性质进行计算：学生可能难以将余角与补角的性质应用到复杂的计算中，教师应提供多种类型的练习题，帮助学生突破这一难点。
-解决实际问题时角的识别：在实际问题中，学生可能难以识别哪些角是余角或补角，教师应通过具体例题教授角的识别方法。
举例：难点在于解决如“一个三角形的两个内角分别是50°和60°，求第三个角的余角和补角”这样的问题。学生需要理解如何将三角形的内角与余角、补角的概念联系起来，以及如何计算得出答案。
4.3.3余角与补角（教案）-2021-2022学年人教版七年级数学上册
一、教学内容
本节课选自人教版七年级数学上册4.3.3节“余角与补角”。教学内容主要包括以下两个方面：
433余角和补角1PPT课件
E
西 C
F
北 D 45° 45°
O
B南
（1）正东，正南，正西，正北
射线OA OB OC OD H（2）西北方向:_射__线__O_E___
西南方向:_射__线__O_F____ 东
A
东南方向:_射__线__O_G____ G 东北方向:_射__线__O_H____
北
（3）南偏西25°
B
70°
射线OA
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
比萨斜塔
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2 1
2
1
2 1
2 1
2 1
2 1
互为余角(互余):
如果两个角的和是
90°(直角)，那么这
两个角叫做互为余角，
2
其中一个角是另一个 角的余角。
即:∠1是∠2的余角
或∠2是∠11的余角.
考考你:
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
25o
（4）一个角为X度 ，则它 的余角为（__9_0_-_X_）度 ，则它 的补角为___（__1_8_0- X度）则它 的补角比余角大____9_0_°
结论：同一个角的补角比它的余 角大 _9_0_°_
学有所用：
1. 已知∠a 的补角是105°, 则∠a的
余角是（ ）A
4.3.3 余角和补角 教案
4.3.3余角和补角◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握余角、补角的定义、性质及应用;2.理解方位角的意义,会画方位角.【过程与方法】经历余角、补角性质的推导和应用过程,初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化,进一步提高识图能力,发展空间观念.【情感、态度与价值观】通过互余、互补性质的学习过程,培养善于观察、独立思考、合作交流的良好学习习惯.◇教学重难点◇【教学重点】方位角的辨析与应用.【教学难点】余角、补角的性质及应用.◇教学过程◇一、情境导入知识回顾(1)叙述直角、平角的概念.(2)画出直角、平角的图形.二、合作探究探究1探究余角、补角的性质典例1点A,O,B在一直线上,射线OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC.(1)图中互余的角有对;(2)∠3的补角是.[解析](1)由已知,∠1=∠2,∠3=∠4,且∠2+∠4=90°,所以互余的角有:∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4共4对;(2)∠3的补角是∠AOE.[答案](1)4如图是一张不规则的纸,先任意折叠,得折痕OC,展开后,通过点O折叠使OA落在OC上,得折痕OD,同样将OB落在OC上得折痕OE,沿着这三条折痕剪开,得到四个角,用其中的两个角拼成一个直角,共有不同的拼法是()A.1种B.2种C.3种D.4种[解析] 由已知,∠1=∠2,∠3=∠4,且∠2+∠4=90°,所以互余的角有:∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4共4对.[答案] D探究2角的计算典例2 一个角的补角与这个角的余角的和是平角的34还多1°,求这个角. [解析] 设这个角为x °,则它的余角为(90-x )°,补角为(180-x )°,则(90-x+180-x )=34×180+1,解得x=67.答:这个角为67°.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的13,则这个角的度数是 .[答案] 60°探究3 方位角典例3 如图,O 点是学校所在位置,A 村位于学校南偏东42°方向,B 村位于学校北偏东25°方向,C 村位于学校北偏西65°方向,在B 村和C 村间的公路OE (射线)平分∠BOC.(1)求∠AOE 的度数;(2)公路OE 上的车站D 相对于学校O 的方位是什么?(以正北、正南方向为基准)[解析] (1)∵A 村位于学校南偏东42°方向,∴∠1=42°,则∠2=48°,∵C 村位于学校北偏西65°方向,∴∠COM=65°,∵B 村位于学校北偏东25°方向,∴∠4=25°,∴∠BOC=90°,∵OE (射线)平分∠BOC ,∴∠COE=45°,∴∠EOM=65°-45°=20°,∴∠AOE=20°+90°+48°=158°.(2)由(1)可得:∠EOM=20°,则车站D 相对于学校O 的方位是:北偏西20°.三、板书设计余角和补角余角和补角{余角、补角的性质余角、补角的计算方位角◇教学反思◇对于七年级学生来说,他们在生活中已有了一定的确定位置的经验,方位角的概念、方位角的表示是学生在小学就有所了解的,但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的方位是学生不熟悉的.特别是图形与文字语言之间的转化,以及从实际问题中抽象出几何图形,对学生来说有一定难度.基于学生的以上学情,制定教学难点:运用方位角解决实际问题.。
433+余角和补角
学习目标
（1）理解什么是互为余角，什么是互为补角。 （2）掌握余角和补角的性质。
探究1：互为余角
1.观察三角板，其中∠1和∠2有什么关系？
1
1
2
2
∠1+∠2=90
o
∠1+∠2=90
o
2.以三角形直角顶点O为端点画一条射线OA， 射线OA把直角分成两个角,这两个角有什么 关系？
A
1 2
∠1+∠2=90
o
O
互为余角
一般地，如果两个角的和等于 两个角 90° （直角），就说这两个角互为余角．即 互为 其中每一个角都是另一个角的余角。
思考： 互余的两个角与它们的位置有没有关系？ 请你判断:
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.(
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×)
(2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3 互为余角.( )
×
互为余角
一般地，如果两个角的和等于 900，就说这两个角互为余角．
几何语言表示为： 若∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为 余角
∠1 = 90°—∠2
或：若∠1与∠2互为余角，那么 ∠1+∠2=90°
图中给出的各角，哪些互为余角？
10o 30o
50
o
60o
40
o
80
o
探究2：互为补角
下图长方形中∠1和∠2有什么关系？
⌒
∠1与∠2互补、∠2与∠3互补 ∠1＝∠3 同角的补角也是相等的
A
1 O 2
D
三、如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？
人教版数学七年级上册教案4.3.3余角和补角
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角和补角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和量角器来验证余角和补角的关系。
2.教学难点
（1）理解互为余角和补角的两个角之间的关系：学生可能会混淆余角和补角的概念，难以理解它们之间的联系和区别。
-难点解释：余角和补角之间的关键区别在于它们的和分别为90°和180°。可以通过图形、实际例子等方式帮助学生理解这一难点。
（2）在实际问题中运用余角和补角的知识：学生在解决问题时可能不知道如何运用所学知识，需要教师引导和指导。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概念。余角是指两个角的和等于90°的两个角，而补角是指两个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何在直角三角形中利用余角和补角求解未知角度。
（2）余角和补角的性质：学生需要掌握互为余角和补角的两个角的和分别为90°和180°，并能运用这些性质解决相关问题。
举例：在讲解余角和补角的性质时，可以通过以下示例进行强调：
-当一个角的度数为30°时，它的余角度数为60°，因为30°+60°=90°。
-当一个角的度数为90°时，它的补角度数为90°，因为90°+90°=180°。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
人教版七年级上册数学课件 433 余角和补角
由题意得180°－x＝3(90°－x)－20°，
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
因为∠AOB＝180°－∠AOE－∠BOF＝180°－20°－70° ＝90°，
又因为OC平分∠AOB， 所以∠AOC＝12∠AOB＝12×90°＝45°， 所以∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝45°＋20°＝65°， 所以点 C 在点 O 的北偏西 65°的方向上．
1．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是
4.3.3 余角和补角 知识管理
知识管理
1．互为余角 互 余：如果两个角的和为___9_0_°__，则这两个角互为余角． 2．补角的概念 互 补：如果两个角的和为__1_8_0_°__，则这两个角互为补角． 注 意：(1)互为余(补)角是指两个角，而非一个角，也不是三
个角．
(2)它们之间的关系是和为90°(或180°)． (3)互余(补)只与两角的大小有关，与位置无关． 3．余角、补角的性质 性 质 ： 同 角 或 等 角 的 余 角相_等_______ ， 同 角 或 等 角 的 补 角 __相__等___．
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/72021/11/72021/11/711/7/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察 是思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021 8 、 普 通 的 教 师 告 诉 学 生 做 什 么 ， 称 职 的 教 师 向 学 生 解 释 怎 么 做 ， 出 色 的 教 师 示 范 给 学 生 ， 最 优 秀 的 教 师 激 励 学 生 。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
北师大版七年级上册《433 余角和补角》精品课件
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
余角和补角（1）
研究实例
活
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【关键字】方向
4.3.3 余角和补角
基础检测
一、填空：
1.已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=1500,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角.
2.如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角∠γ=_____,∠α-∠β=___.
3.若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°, 依据是_______。
二、选择：
4.如果∠α=n°,而∠α既有余角,也有补角,那么n的取值范围是( )
A.90°<n<180°
B.0°<n<90°
C.n=90°
D.n=180°
5.如图,甲从A点出发向北偏东70°方向走至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85°
B.160°
C.125°
D.105°
6.如图,长方形ABCD沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,
如果∠BAF=60°,则∠DAE等于( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
7.已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β 和∠α的补角∠γ.
8.一个角的余角比它的补角的少40°,求这个角的度数.
9.在图中,确定A、B、C、D的位置:
(1)A在O的正北方向,距O点;
(2)B在O的北偏东60°方向,距O点;
(3)C为O的东南方向,距O点;
(4)D为O的南偏西40°方向,距O点.
10.直线AB、CD相交于O,∠BOC=80°,OE平分∠BOC,OF为OE的反向延长线. 画出图形并求出∠BOD和∠DOF的度数.
11.如图所示,A、B两条海上巡逻艇同时发现海面上有一不明物体,A艇发现该不明物体在它的东北方向,B艇发现该不明物体在它的南偏东60°的方向上, 请你试着在图中确定这个不明物体的位置.
拓展提高
12.小华从A点出发向北偏东50°方向走了到达B地,从B 地他又向西走了到达C地.
(1)用1:2000的比率尺(即图上等于实际距离)画出示意图;
(2)用刻度尺和量角器量出AC的距离,以及C点的方向角;
(3)回答C点距A点的实际距离是多少(精确到),C点的方向角为多少.(精确到1°).
13.在飞机飞行时,飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的.如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角. 从A到B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D 的飞行方向角为145°,试求AB与AC 之间夹角为多少度AD与AC之间夹角为多少度并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线.
余角和补角答案：
1.∠3,∠2
2.50°29′,129°31′,79°2′
3.40°,同角的余角相等
4. B
5.C
6.A 8.30°10.∠BOD=120°,∠DOF=40°
13.AB与AC之间夹角为25°, AD与AC之间夹角85°.
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