高考数学回归基础知识二、函数及其表示

高考数学回归基础知识：二、函数及其表示

二、函数及其表示

(一)函数的概念 1、定义

一般地，我们说：

设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集。

2、函数的三要素

(1)函数的三要素是指定义域、对应关系和值域。

(2)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。

3(2)满足不等式a

(3)满足不等式a ≤x

[)(]b a b a ,,,

这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。

实数集常用区间表示为()-∞+∞，，

“∞”读作“无穷大”。 “-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”

⎩⎨

⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠-≥+2

1

0201x x x x ，即x ≥-1且x ≠2， 故所求函数的定义域为{}21|≠-≥x x x 且

例2 (1)已知函数f(x)的定义域是［-1，3］，求f(x+1)和f(x 2

)的 定义域

(2)已知函数f(2x+3)的定义域为(]2,1-，求f(x-1)的定义域

解析 (1)∵f(x)的定义域为［-1，3］，

∴f(x+1)的定义域由-1≤x+1≤3确定，即-2≤x ≤2， ∴f(x+1)的定义域为［-2，2］.

f(x 2

)的定义域由-1≤x 2

≤3确定，即33≤≤-x

∴f(x 2

)的定义域为[33，-]

(2)∵函数f(2x+3)的定义域为(]2,1-， ∴2x+3中的x 满足-1

令t=2x+3，则f(t)的定义域为(]7,1. 又1

4、反函数

式子y=f(x)表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，我们从式子y=f(x)中解出x 得到x=g(y)，如果对于y 在C 中的任何一个值通过式子x=g(y),x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=g(y)表示y 是自变量x 的函数，这样的函数x=g(y)叫做y=f(x)的反函数，记作)(1

y f

x -=，一般写成)(1

x f

y -=.

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

2

⎪⎪⎩⎨∈⋯⋯n

n D x x f )(

分段函数是一个函数，而不是几个函数，对于分段函数必须分段处理，其定义域为D 1∪D 2∪…∪D n .

球通”移动电话资费“套餐”，这个套餐的最大特点是针对不同用户采用了不同的收费方法，具体方案如下：

话用时之和)的函数关系式。

解析 “套餐”中第3种收费函数为 3、复合函数

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y=f(u),u=g(x),x ∈(a, b),u ∈(m,n)，那么y 关于x 的函数y=f ［g(x)］，x ∈(a,b)叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g(x)的值域。

4、映射

设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任何一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

代入解析式求得y=f(t)的解析式，要注意t 的取值范围为所求函数的定义域。

③赋值法：可令解析式中的自变量等于某些特殊值求解。

④列方程(组)法求解。若所给式子中含有f(x)，⎪⎭

⎫

⎝⎛x f 1或f(x),f(-x)等形式，可考虑构

造另一个方程，通过解方程组获解。

5．配凑法

例 解答下列各题：

(1)已知f(x)=x 2

-4x+3，求f(x+1)；

(2)已知f(x+1)=x 2

-2x ，求f(x)；

(3)已知二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5，图象过原点，求g(x)。

解析 (1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x 2

-2x (2)方法一：(配凑法)

f(x+1)=(x+1)2-2x-1-2x=(x+1)2-4x-1=(x+1)2

-4(x+1)+3，

∴f(x)=x 2

-4x+3

方法二：(换元法)令x+1=t ，则x=t-1，

f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2

-4t+3，

∴f(x)=x 2

-4x+3.

(2)由题意设g(x)=ax 2

+bx+c ，a ≠0. ∵g(1)=1,g(-1)=4，且图象过原点，

∴ .

0,5,

1⎪⎩

⎪

⎨⎧==+-=++c c b a c b a 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==.0,2,3c b a

∴g(x)=3x 2

-2x.