【图文】3.2简单的三角恒等变换(一).
3.2简单的三角恒等变换
数学C1版课件人教版必修4 第三章3.2 简单的三角恒等变换优思教辅共享课件分享人：教员–黄钟吕CONTENTS 半角公式的应用01积化和差、和差划积公式的应用02三角恒等式的证明03目录角的构造技巧与公式的灵活运用0405向量与三角知识的综合运用3．2简单的三角恒等变换重点：①半角的正弦、余弦、正切公式及推导．②积化和差公式及和差化积公式的推导．难点：公式的运用．1．半角公式、和积互化公式不要求记忆，要求能够结合题目特点选用公式．若想记忆公式可参照下列口诀：(1)半角公式无理半角常戴帽，半角确定帽前号；数1余弦加减连，余弦用加正弦减，半角正切不用记，同角弦切有关系．若要不用符号式，分母正弦分子减．(2)和差化积公式正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、余减反正弦．(3)积化和差公式正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和，正积反余差．注：“反”即添负号换名称．2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的内在联系：3．注意下列问题(1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．(2)注意理解简单的三角变换的思路：①观察不同三角函数式结构形式方面的差异；②观察不同三角函数式所包含的角的差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异．③依据“差异”选取变换途径及公式．(3)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(4)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化积结果可能不一致．引入辅助角公式也是一种化积公式，在解题中有广泛应用．[例1] 化简：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ.[解析] 解法一：∵tan θ2＝1－cos θsin θ＝sin θ1＋cos θ＝1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ， ∴1tan θ2＝1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ∴原式＝tan θ2＋1tan θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法二：原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法三：原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.已知3π2<θ<2π，化简1＋sin θ－1－sin θ＝______.[解析] 原式＝|sin θ2＋cos θ2|－|sin θ2－cos θ2|，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0， 则原式＝－(sin θ2＋cos θ2)－(sin θ2－cos θ2) ＝－2sin θ2.[例2] 已知cos α＝35，α的终边在第四象限，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解析] 因为α是第四象限的角，所以 2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )k π＋3π4<α2<k π＋π(k ∈Z )， 当k 为偶数时，α2是第二象限角， 此时，sin α2＝1－cos α2＝55，cos α2＝－1＋cos α2＝－255； tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12；当k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sin α2＝－1－cos α2＝－55， cos α2＝1＋cos α2＝255， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12.已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝________，cosθ2＝________，tan θ2＝________.[答案] －255 －552[解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. ∵cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2.[例3]化简求值(1)求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值；(2)求sin75°－sin15°的值．[解析](1)解法一：原式＝－14(cos60°－cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°＝sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20° ＝sin80°cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116.(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30° ＝2×22×12＝22.解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos15°×22－sin15°×22 ＝2cos(15°＋45°)＝2cos60°＝2×12＝22.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则sin(α＋β)的值为________．[答案] 1213[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加减产生过cos(α±β)，但sin(α＋β)的展开式为异名积，因此不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公式变形，再相除可得tan α＋β2的值，进而可求sin(α＋β)的值．[解析] ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②①÷②得－tan α＋β2＝－32.∴tan α＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例4] 证明：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .[解析] 解法一：2sin x cos x ＋cos2x ＝sin xcos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.解法二：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2·cos x 2－cos 3x 2·sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .求证：cos2x ＋cos2y 1＋cos2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y ).[证明] 左边＝2cos(x ＋y )cos(x －y )2cos 2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y )＝右边.[例5]设A、B、C是△ABC的三个内角，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sin A sin B sin C.[分析]左和右积，故考虑和差化积，然后利用A＋B＝π－C转化．[证明]∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π－(A＋B)]＝2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin A·sin(－B)＝4sin A sin B sin C＝右边．在△ABC中，求证：cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sin A2sinB2sinC2.[证明] ∵A ＋B ＝π－C ， ∴cos A ＋B 2＝sin C 2，cos(A ＋B )＝－cos C ，左边＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－cos(A ＋B )＝2cos A ＋B 2(cos A －B 2－cos A ＋B 2)＋1＝1＋2sin C 2·(－2)·sin A 2·sin(－B 2) ＝1＋4sin A 2sin B 2sin C 2＝右边．[例6]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．[分析]从不同的观察角度入手，可产生不同的解题思路．①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°，这样整个式子中只含10°角的正余弦，便于化简有解法一．②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构造对偶式，这样两式相加减都容易化简，有解法二．③平方可降幂，积可化和差，然后由变形后的式子考虑下步变形方法有解法三．④从a 2＋b 2＋ab 入手考虑完全平方式(a ＋b )2，化同名，和差化积可产生特殊角，故有解法四．[解析] 解法一：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10° ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法二：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°，则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.解法三：原式＝1－cos20°2＋1＋cos80°2＋12(sin50°－sin30°)＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°)＝1＋cos40°2－12cos40°＋14＝34.解法五：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.[点评]解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．解法五：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．求值：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝________.[答案]1 4[解析]令x＝sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°y＝cos220°＋sin280°＋3cos20°sin80°，则x＋y＝2＋3sin100°，x －y ＝－cos40°＋cos160°－32＝－2sin100°sin60°－32＝－3sin100°－32，∴x ＝14.自己试解下列各题并总结你的解题体会． ①求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值； 求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；②求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值； 求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosαsin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sin x sin y为定值3 4；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sin x sin y为定值34；⑤若sin(β－α)＝a2或sin(α＋β)＝－a2，则sin2α＋cos2β＋a sinαcosβ＝1－14a 2.。
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。
课件10：§3.2 简单的三角恒等变换
4．将下列各式化简为 Asin(ωx＋φ)的形式： (1)cos x－sin x； (2)3sin x＋ 3cos x.
解：(1)cos x－sin x＝－
2(
2 2 sin
x－
2 2 cos
x)＝
－ 2(sin xcos π4－cos xsin π4)＝－ 2sin(x－π4).
(2)3sin x＋
归纳点评 利用三角公式把三角函数式化简为y＝ Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0)或y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω>0)的形 式，是解决三角函数的周期、最值、奇偶性、单调性 等问题的常用方法．
解：(1)方法 1：f(x)＝1－c2os 2x＋sin 2x＋3(1＋c2os 2x)＝ 2＋sin 2x＋cos 2x＝2＋ 2sin 2x＋π4 . ∴当 2x＋π4＝2kπ＋π2，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时，f(x)取得 最大值 2＋ 2.函数 f(x)取得最大值时自变量 x 的集合 为{x|x＝kπ＋π8，k∈Z}.
2．使用此公式的基本思想是“从右到左”用和差角的正弦 或余弦公式，把它化成 Asin(x＋φ)或 Acos(x＋φ)的形式．
规律总结 1．通过公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(或 asin x ＋bcos x＝ a2＋b2cos(x＋φ))将形如 asin x＋bcos x(a，b 不同时为零)的三角函数收缩为一个三角函数式，这种变 换就是收缩变换．收缩变换有利于三角函数式的化简， 有利于探求三角函数的性质．
解：设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE 对称，而 M，N 分别为 AD，BC 的中点． 在 Rt△ONC 中，CN＝sin α，ON＝cos α， OM＝ DMπ＝ 3DM＝ 3CN＝ 3sin α，
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
简单的三角恒等变换
一、学习目标： 1.知识与技能：
掌握半角公式的正用、逆用和变形应用，并会应用其 进行求值、化简和证明； 2.过程与方法：
小组合作探究、大胆质疑拓展，类比归纳 ； 3.情感态度价值观： 协作精神及合作共赢的意识，激发学习的热情和兴趣。 二、重点、难点：
重点：半角的正弦、余弦、正切公式以及公式的逆用、 变形应用；
难点：半角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系 式、诱导公式、和角公式、倍角公式的综合应用 。
知识回顾:
两角和的正弦 1：sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ
两角差的正弦 2：sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ
3：倍角公式 sin2α ＝2sinα cosα cos2α ＝cos2α －sin2α
tan sin 1 cos 2 1 cos sin
注意：每一个确定的半角的三角函数值唯一 确定。应根据角的象限定符号！
2
2
2
tan2 1 cos . 2 1 cos
半角公式：
sin2 1 cos
2
2
cos2 1 cos
2
2
tan2 1 cos
2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
2
1 cos
2
tan 1 cos 2 1 cos
＝2cos2α －1 ＝1－2sin2α ；
设疑自探 问题1：由二倍角
的公式求出 sin2 , cos2 ,
问题2： 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
简单的三角恒等变换 课件
B．cos2α2＝1＋c2os α
C．tanα2＝±
1－cos α 1＋cos α
D．tan 2α＝1－2tatnanα2α
解析：A.tanα2＝1－sincoαs α不恒成立．恒成立的条件是 sin α≠0，
C．tanα2＝±
1－cos 1＋cos
α不恒成立．恒成立的条件是 α
cos
α≠－1，
D．tan 2α＝1－2tatnanα2α不恒成立．恒成立的条件是 tan α≠±1，
cos θ＋cos ＝_______________，⑦ cos θ－cos ＝_______________，⑧
上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．
θ＋φ θ－φ 2sin 2 cos 2
θ＋φ θ－φ 2cos 2 sin 2
θ＋φ θ－φ 2cos 2 cos 2
－2sinθ＋2 φsinθ－2 φ
12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)]
由cos＝cos αcos β－sin αsin β， cos＝cos αcos β＋sin αsin β 得cos αcos β＝_________________，③ sin αsin β＝___________________，④
上面的三个式子称为半角公式．同样有 tanα2＝________＝________.
1－cos α
(3)±
2
1＋cos α
±
2
±
1－cos α 1＋cos α
1－cos sin α
α＝1＋sincoαs
α
思考应用
1．试应用半角公式讨论，下列各式中恒成立的是
( )，如不恒成立，请指出应补充的条件．
3.2简单的三角恒等变换课件人教新课标
[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象
简单的三角恒等变换
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
跟 踪 训 练 2 已 知 函 数 f(x) ＝ 3 sin 2x－π6 ＋ 2sin2 x－1π2 (x∈R).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)求函数 f(x)在区间π8，34π上的最小值和最大值. 解 因为 f(x)＝ 2sin2x－π4在区间π8，38π上为增函数，在区间 38π，34π上为减函数，又 fπ8＝0，f38π＝ 2， f34π＝ 2sin32π－π4＝－ 2cos π4＝－1， 故函数 f(x)在区间π8，34π上的最大值为 2，最小值为－1.
要点疑点 深入探究 课堂检测
和一些简单的应用.
填要点·记疑点
1.半角公式
(1)S 2
：sin
α2＝ ±
(2)C ：cos 2
α2＝
±
1－cos α 2；
1＋cos α 2；
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
±
(3)T ：tan 2
α2＝
三角恒等变形图文
交流电路
在交流电路中，三角函数用于描 述电压、电流等物理量的周期性
变化。
三角函数在工程学中应用
建筑设计
01
三角函数用于计算建筑物的角度、高度和距离等参数，以确保
设计的准确性和稳定性。
航空航天
02
在航空航天领域，三角函数用于描述飞行器的轨迹、速度和姿
态等运动特性。
测绘学
03
在测绘学中，三角函数用于进行地图投影、坐标转换和距离测
三角恒等变形图文
目 录
• 三角恒等式基本概念 • 三角恒等变形方法 • 图形化理解三角恒等变形 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01 三角恒等式基本概念
定义与性质
三角恒等式是指在三角函数中，无论角度如何变化，等式两边始终保持相等的数学 表达式。
三角恒等式具有普遍性、必然性和稳定性，是三角函数的重要基础。
03 图形化理解三角恒等变形
单位圆与三角函数关系
1 2
单位圆定义
平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的 圆。
三角函数与单位圆关系
正弦、余弦、正切等三角函数值可通过单位圆上 点的坐标来表示。
3
诱导公式推导
利用单位圆对称性，可推导出三角函数的诱导公 式。
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变三角函数前的系数，可实现 图像在y轴方向上的拉伸或压缩。
三角恒等式的变形包括和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些变形在 三角函数的计算、化简和证明中具有重要作用。
常见三角恒等式
基本三角恒等式
sin^2(x) + cos^2(x) = 1， tan(x) = sin(x)/cos(x)等。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价转换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。
掌握三角恒等变换的关键是熟悉三角函数的基本性质和一些常见的恒等关系。
一、基本恒等变换：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.余弦函数和正弦函数的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)3.正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)4.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)cot(x) = 1 / tan(x)5.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = cos(x) / cot(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)6.余弦函数和余切函数的关系：cos(x) = sin(x) / csc(x)csc(x) = sin(x) / cos(x)7.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))8.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))二、和差角公式：1.正弦函数的和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)2.余弦函数的和差角公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)3.正切函数的和差角公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))三、倍角公式与半角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2.余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)3.正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))4.正弦函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)5.余弦函数的半角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)6.正切函数的半角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))四、和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)3.正切函数的和差化积公式：tan(x) + tan(y) = sin(x + y) / (cos(x)cos(y))tan(x) - tan(y) = sin(x - y) / (cos(x)cos(y))以上是一些常见的三角恒等变换，通过熟练掌握和灵活运用这些公式，可以在解决三角函数相关问题时简化计算过程，提高解题效率。
简单的三角恒等变换
3.2简单的三角恒等变换（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学过程：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-；()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．（二）新课讲解：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。