高中数学教案 必修1 第十讲：函数与方程

博途教育学科教师辅导讲义(一）

学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十讲：函数与方程

授课日期

教学目标1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；

2、理解函数的零点与方程的联系.

教学内容

函数与方程

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想

函数的思想和方法；

◆教学难点：函数零点存在的条件。

〖教学过程〗

一、函数的零点

探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点

x2-2x-3=0 x

1=-1，x

2

=3 y=x2-2x-3 （-1，0），（3，0）

x2-2x+1=0 x

1= x

2

=1 y=x2-2x+1 （1，0）

x2-2x+3=0 无实数根y=x2-2x+3 无交点

（图1-1）函数y=x 2-2x-3的图像

（图1-2）函数y=x 2

-2x+1的图像

（图1-3）函数y=x 2

-2x+3的图像

归纳：

1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x 轴没有交点；

2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x 轴有交点。

反之，二次函数图像与x 轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x 轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。 1.函数的零点 概念：

对于函数y=f(x)(x ∈D),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数y=f(x)(x ∈D)的零点。

x

y

0 －

3

2 1 1

2 －

－

－－

.

.

.

.

.

. . . . .

x y

－

3

2 1 1

2 5

4 3

y

x

－

2

1 1

2

. . .

. .

（1） 意义

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图像与x 轴有交点 函数y=f(x)有零点 （2） 求函数的零点

① 代数法：求方程f(x)=0的实数根

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用

函数的性质找出零点。

2、函数零点的存在性

（1） 二次函数的零点 △=b 2-4ac ax 2+bx+c=0的实数根 y=ax 2+bx+c 的零点数 △﹥0 有两个不等的实数根x 1、x 2 两个零点x 1、 x 2 △=0 有两个相等的实数根x 1= x 2 一个零点x 1（或x 2） △﹤0

没有实数根

没有零点

x

y

x 1

x 2 0

x

y

0 x 1

（图2-1）方程ax 2+bx+c=0的判别式△﹥0时，函数y= ax 2 +bx+c(a ≠0)

的图像

（图2-2）方程ax 2+bx+c=0的判别式△=0时，函数y= ax 2+bx+c(a ≠0)的

图像

（2） 探究发现

问题1：二次函数y=x 2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？

解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5 f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4 f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0 问题2：在区间[2,4]呢？

解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3 f(4)=42-2*4-3=5

f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0

归纳：

f(2)* f(1)﹤0，函数y=x 2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)* f(4)﹤0，函数y=x 2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x 2-2x-3的两个根。 结论：

如果函数

()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线并且有

()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使

得

()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

① 图像在[],a b 上的图像是连续不断的

② ()()0f a f b ⋅<

③

函数()y

f x =在区间(),a b 内至少有一个零点

x y

（图2-3）方程ax 2+bx+c=0的判别式△﹤0时，函数y= ax 2 +bx+c(a ≠0)

的图像

2、 习题演练

利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

① y=－x2＋3x ＋5 ， ②y=2x(x －2)+3 解：①令f(x)=－x2＋3x ＋5, 做出函数f(x)的图像，如下

（图4-1）

它与x 轴有两个交点，所以方程－x2＋3x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2＋

3x ＋5有两个零点。

②y=2x(x －2)+3可化为

做出函数f(x)的图像,如下：

（图4-2）

它与x 轴没有交点，所以方程2x(x －2)＝－3无实数根，则函数y=2x(x －2)+3没有零点。

x

y

－

3 2

1 4

8 6

2

－

4

. . . .

. x y

－

3

2

1

1

2 5 4

3 .

.

.

. .