高中数学教案必修1 第十讲：函数与方程

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函数与方程教案苏教版必修

函数与方程教案苏教版必修一、教学目标1. 理解函数与方程之间的关系，掌握函数的概念和性质。

2. 学会解一元一次方程、一元二次方程、不等式等基本数学问题。

3. 能够运用函数与方程的知识解决实际生活中的问题。

二、教学内容1. 函数的概念与性质函数的定义与表示方法函数的域与值域函数的单调性、奇偶性、周期性2. 一元一次方程与一元二次方程一元一次方程的解法一元二次方程的解法方程的根的判别式3. 不等式与不等式组不等式的性质一元一次不等式的解法一元二次不等式的解法4. 函数的图像与解析式函数图像的性质函数解析式的求法函数与方程的图像关系5. 函数与方程的应用函数与方程在实际生活中的应用函数与方程的数学建模函数与方程的综合练习三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探究来理解函数与方程的概念和性质。

2. 利用数形结合的方法，通过绘制函数图像和解析式，帮助学生直观地理解函数与方程之间的关系。

3. 提供实际生活中的例子，让学生学会运用函数与方程的知识解决实际问题。

四、教学评估1. 课堂练习：每节课结束后，安排适量的练习题，巩固学生对函数与方程的理解和应用能力。

2. 课后作业：布置相关的作业题，要求学生在规定时间内完成，以检验学生对知识的掌握情况。

3. 单元测试：每个章节结束后，进行一次单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握程度。

五、教学资源1. 教材：苏教版必修数学教材2. 教辅资料：相关的函数与方程的辅导书籍和练习题库3. 教学软件：数学软件或教育平台，用于展示函数图像和解析式4. 实际案例：收集一些实际生活中的问题，用于教学中的应用举例六、教学内容6. 函数的性质探究函数的极值与最值函数的转折点与单调区间函数的凹凸性与拐点7. 方程的求解方法代数法求解方程图像法求解方程数值法求解方程8. 函数与方程的变换函数的平移与拉伸函数的旋转与翻转函数的复合与分解9. 函数与方程的应用案例经济增长模型药物浓度变化模型运动物体轨迹模型10. 函数与方程的综合练习综合性的函数与方程问题函数与方程的实际应用题函数与方程的数学竞赛题七、教学方法1. 采用案例教学法，通过分析实际案例，引导学生理解和掌握函数与方程的性质和应用。

高中数学老教材教案

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第一课：函数与方程
1.1 学习目标：了解函数的概念，掌握基本的函数图像与性质，能够解决简单的函数方程。

1.2 教学内容：
（1）函数的定义与符号表示
（2）函数的图像与性质
（3）函数方程的解法
1.3 教学重点与难点：
重点：函数的定义、函数图像与性质、函数方程的解法
难点：函数的概念理解、函数方程的解法
1.4 教学过程：
（1）引入：通过举例引入函数的概念，让学生了解什么是函数。

（2）讲解：介绍函数的定义和符号表示，然后讲解函数的图像与性质。

（3）练习：让学生进行简单的函数图像绘制和性质分析。

（4）总结：对函数的概念和性质进行总结，并让学生进行相关练习。

1.5 作业布置：
（1）课后完成相关练习题目
（2）预习下节课的内容
1.6 教学反思：
通过本节课的教学，学生理解了函数的概念和性质，掌握了相关的解题方法。

但在教学过
程中，应该注意让学生更加深入地理解函数的概念，加强与实际问题的联系，提高学生的
学习兴趣和主动性。

以上是一份高中数学教案范本，希望对您有所帮助。

高中必修1——函数与方程 (教案)

函数与方程【知识导图】知识讲解知识点一函数零点的定义一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α= 则α叫做这个函数的零点.重点强调：①零点不是点，是一个实数；②等价关系：函数()y f x =有零点⇔()0f x =有实数根⇔函数()y f x =图像与x 轴有公共点；③求函数零点的步骤：令()0f x =⇒解方程()0f x =⇒写出零点. 知识点二零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间（a ,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根. 注意：①存在性定理只能判出有零点，定理不成立不能说没有零点；②存在性定理只能判出有零点，不能判出零点的个数；③函数存在性定理判出的都是变号零点.知识点三二分法二分法求零点：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；（2）求区间a (，)b 的中点1x ；（3）计算)(1x f ：①若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点；②若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；③若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4.注意：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1) 直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个数；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 例题讲解类型一求函数的零点【例题1】若函数f (x )的零点与g (x )＝2x －2的零点相同，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝x 2＋4x －5D ．f (x )＝x 2－1【解析】令g (x )＝2x －2＝0，得x ＝1，∴g (x )的零点为1.由题意知方程f (x )＝0只有x ＝1一个根．只有选项B 中函数f (x )＝(x －1)2满足．【答案】 B【例题2】已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1【解析】∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C.【答案】C【例题3】方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)【解析】设函数f (x )＝e x －x －2，计算易得f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．【答案】C类型二零点个数的判断【例题1】函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y ＝x 3－16x 的零点有3个．【答案】 D【例题2】若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【解析】由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．【答案】 B【例题3】函数x x g x x x x x f -=⎩⎨⎧>≤-=3)(,1,lg 1,12)(，则函数)()()(x g x f x h -=的零点个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0【答案】A【解析】函数)(x h 的零点满足0)()(=-x g x f ，即)()(x g x f =，绘制函数f (x )与g (x )的图像，交点的个数即函数零点的个数，如图所示，观察可得：函数)()()(x g x f x h -=的零点个数是2.类型三求参数取值【例题1】已知函数()22,032,0x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，函数()()g x f x a =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）A . 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B . 1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C . [)2,+∞D . [)0,2 【解析】函数g (x )=f (x )−a 恰有三个不同的零点，即y =f (x )和y =a 恰有三个不同的交点，画出函数f (x )的图象，如图所示：，x >0时,f (x )的最小值是−14，结合图象,−14<a <2. 【答案】B【例题2】若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.【解析】由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)课堂练习基础1.下列函数没有零点的是( )A ．f (x )＝0B ．f (x )＝2C ．f (x )＝x 2－1 D ．f (x )＝x －1x 2.方程lgx +x =3的解所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)3.若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c fB ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c fC ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c fD ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f4.函数()1lg 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭零点的个数为（） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 答案与解析1.【答案】B【解析】函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点．2. 【答案】C【解析】利用零点与方程的联系，利用存在性定理解答；也可做出x y lg =与x y -=3的图象，看两个图象交点个数.3. 【答案】C【解析】由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B ，可通过反例“)1)(1()(+-=x x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(<-f f ，但其存在三个解}1,0,1{-”推翻；同时选项A 可通过反例“)1)(1()(+-=x x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其存在两个解}1,1{-”；选项C 正确，见实例“1)(2+=x x f 在区间]2,2[-上满足0)2()2(>-f f ，但其不存在实数解”.4.【答案】B 【解析】函数()1lg 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0f x =，可得1lg 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和lg y x =的图象，可得它们有1个交点，则()f x 的零点个数为1，故选B .巩固1.已知函数f (x )＝x 2－2 015x ＋2 016与x 轴的交点为(m,0)，(n,0)，则(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)的值为________．2.若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则有( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >13.若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k 的取值范围为________.4. 函数()223,02,0x x x f x lnx x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案与解析1.【答案】2 016【解析】由题意，f (m )＝m 2－2 015m ＋2 016＝0，f (n )＝n 2－2 015n ＋2 016＝0，mn 是方程x 2－2 015x ＋2 016＝0的两根，mn ＝2 016，∴(m 2－2 016m ＋2 016)(n 2－2 016n ＋2 016)＝mn ＝2 016.2.【答案】 A【解析】设方程的两根为x 1，x 2，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>-=∆<=,044,0121a a x x ∴0,1,0<⇒⎩⎨⎧<<a a a . 3.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛3221，【解析】.设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎪⎩⎪⎨⎧><>,0)2(,0)1(,0)0(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<-+-+>-,012424,01221,012k k k k k∴12<k <23. 4.【答案】C【解析】由()0f x =得23,x x e =-=所以零点个数为2，选C ．拔高1.已知函数1)(,ln )(,2)(--=+=+=x x x h x x x g x x f x 的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系是（）A . 312x x x <<B . 321x x x <<C . 231x x x <<D . 132x x x <<2. 已知a x x x f －－－32=)(2，问a 取何值时分别满足下列条件．（1）有2个零点；（2）有3个零点；（3）有4个零点．3.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()[]20,1f x f x x =+∈，当时， ()2f x x =，若方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B . []0,2C . ()1,2D . [)1,+∞答案与解析1.【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出函数1,ln ,2,--===-=x y x y y x y x 的图象，如图所示：由图可知321x x x <<.故选B .2.【答案】当0=a或4>a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有2个零点；当4=a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有3个零点；当4<<0a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有4个零点. 【解析】函数a x x x f －－－32=)(2的零点，即函数32=)(2－－x x x g 与函数a x h =)(的交点的横坐标．作函数32=)(2－－x x x g 的图象，可知（1）当0=a或4>a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有2个零点；（2）当4=a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有3个零点；（3）当4<<0a 时，函数a x x x f －－－32=)(2有4个零点. 3.【答案】A【解析】由()()2f x f x =+可得函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时， ()2f x x =，又()f x 为偶函数，则当[]1,0x ∈-时， ()2f x x =-，由()0(0)ax a f x a +-=>得()f x ax a =+，作出()y f x =和y ax a =+即()1y a x =+的图象，可知直线()1y a x =+斜率为a 且过定点()1,0-.要使方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线()1y a x =+的斜率必须满足AC AB k a k <<，由题意可得()()()1,0,1,2,3,2A B C -，则12AC k =， 1AB k =．即有112a <<．故选A ．达标训练基础1. 函数442y x x =--的零点所在区间为（）A.)01(，-，(0,1)B.)12(--，，(1,2)C.)01(，-，(1,2)D.)12(--，，(0,1)2.函数f (x )＝x ＋x1的零点个数为( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 33. 函数()()()22232f x x x x =--+的零点是____________. 4.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是. 答案与解析1.【答案】C【解析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f （-1），f （0），f （1），f （2），f （-2）等的符号情况即可．2.【答案】A 【解析】令10x x +=，即210x x +=，显然该方程无解，即函数()1f x x x=+的零点个数为0；故选A .3.2.【解析】由f (x )=(x 2−2)(x 2−3x +2)=0，得x 2−2=0，或x 2−3x +2=0，解得123412x x x x ===，.4.【答案】()0,3【解析】由于函数()22x f x a x =--在()1,2上单调递增，且函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则有()10f a =-<且()230f a =->，解得03a <<.巩固1. 函数xx x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21的零点个数为( ) A . 3 B . 2 C . 1 D . 02. 已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间(),1k k +内，则正整数k 的值为___________.3. 函数2()(21)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大,另一个零点比1小,则实数a 的取值范围是.4.已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根．答案与解析1.【答案】C【解析】函数f (x )的定义域为[0,+∞)21x y = 在定义域上为增函数,x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21在定义域上为增函数 ∴函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21在定义域上为增函数，而021)1(,01)0(>=<-=f f ，故函数x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21)(21的零点个数为1个本题选择C 选项.1. 【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在(0,+∞)上是增函数，且f (2)=ln 2+2−4<0,f (3)=ln 3+3−4>0，故有f (2)f (3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数在区间(2,3)上存在零点.结合所给的条件可得，故k =2.3.【答案】23a < 【解析】由于二次函数图像开口向上，只需令0)1(<f 即可.4.【答案】6【解析】由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－2<x 1<－1，x 2＝0,1<x 3<2.令g (x )＝x 1，由g (x )图象可知方程g (x )＝x 1有两个根，令g (x )＝0得两个根，令g (x )＝x 3得两个根，∴f [g (x )]＝0有6个根．拔高1.设二次函数)0()(2>+-=a a x x x f ,若0)(<m f ,则)1(-m f 的值为 ( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能2. 设)(x f 与)(x g 是定义在同一区间],[b a 上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在],[b a x ∈上有两个不同的零点，则称)(x f 和)(x g 在],[b a 上是“关联函数”，区间],[b a 称为“关联区间”．若43)(2+-=x x x f 与m x x g +=2)(在]3,0[上是“关联函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．]4,49[- B.]4,49(- C. ]2,49[-- D. ]2,49(-- 3. 已知函数f (x )＝|x 2－2x －2 018|，若关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝__________．答案与解析1. 【答案】A【解析】)0()1()(2>+-=+-=a a x x a x x x f ，设)1()(-=x x x g 的零点是0,1,与x 轴交点为（0，0）、（1，0），)(x f 函数图象可看作由)(x g 向上平移a 个单位长度得到的，由于a >0，易得0)0(>f ，0)1(>f ，与x 轴交点的区间长度小于1，0)(<m f ，所以)1(-m f >0.2. 【答案】D【解析】略3.【答案】4【解析】不妨设x1＜x2＜x3＜x4，则x1＋x4＝2，x2＋x3＝2. x1＋x2＋x3＋x4＝4。

高中数学24函数与方程教案新人教A版必修1教案

高中数学24函数与方程教案新人教A版必修1教案标题：高中数学函数与方程教案教学内容：函数与方程教材版本：新人教A版必修1教学目标：1.了解函数的定义与性质；2.学习函数的表示方法与函数的图像；3.掌握一元一次方程与一元二次方程的解法；4.能解决实际问题中的函数与方程相关的计算问题。

教学重点：1.函数的定义与性质；2.函数的表示方法与函数的图像；3.一元一次方程与一元二次方程的解法。

教学难点：1.函数的性质和函数的图像的关系；2.一元二次方程的解法。

教学准备：1.教师准备：教材必修1教材、多媒体设备；2.学生准备：课前预习教材内容。

教学过程：第一步：导入（5分钟）教师通过提问导入主题，引发学生的思考，激发兴趣。

教师：同学们，你们知道什么是函数吗？怎样表示一个函数呢？学生：函数是输入和输出之间的关系，通常用x表示自变量，y表示因变量。

函数可以通过一张图来表示。

教师：非常好！正是这样。

我们今天的主题就是函数与方程。

让我们一起来学习吧。

第二步：概念解释与讲解（15分钟）教师通过投影仪，呈现教材中关于函数的定义与性质的内容，并进行解释和讲解。

教师：请同学们看一下幻灯片上的内容。

函数的定义是什么？学生：函数是一个集合，其中每一个输入值都恰好对应一个输出值。

教师：非常好！函数的性质有哪些？学生：函数有定义域、值域、图像和奇偶性等性质。

教师：很好，函数的图像与具体函数的关系是什么？学生：函数的图像是函数的集合在坐标系中的表示，可以通过函数图像来判断函数的性质。

第三步：讲解函数表示方法及函数图像（20分钟）教师通过实例讲解函数的表示方法与函数图像的绘制。

教师：请同学们看一下幻灯片上的例子。

根据函数的定义域和表达式，我们可以如何表示一个函数？学生：可以用输入输出表、映射图、解析式等方法表示。

教师：非常好！接下来我们来练习一下画函数的图像。

同学们看这个例子，请问这是一个什么样的函数图像？学生：这是一个抛物线的图像。

教师：是的，抛物线是一种常见的函数图像，由一元二次方程表示。

函数与方程、不等式之间的关系教案-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】【教学目标】【核心素养】1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点）2．会求函数的零点．（重点）3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点）1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．【教学过程】一、新知初探1．函数的零点（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．（2）三者之间的关系：函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c 的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．二、初试身手1．函数y＝1＋1x的零点是（）A．（－1，0）B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0 答案：B解析：令1＋1x＝0解得x＝－1，故选B．2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个x －1012 3e x0．3712．727．4020．12x＋21234 5A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）答案：C解析：令f（x）＝e x－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程e x－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内．3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（）A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2D．1＜m＜3答案：A解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．4．不等式1＋x1－x≥0的解集为________．答案：[－1，1）解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．三、合作探究类型1：函数的零点及求法例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，∴（x3－x）－（6x－6）＝0，∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．规律方法求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像．（1）写出这个二次函数的零点；（2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系．解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1．（2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系例2：利用函数求下列不等式的解集：（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．（3）由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2，即9x 2－12x ＋4＞0．解方程9x 2－12x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝23．结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞．规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a 的符号化为正；2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；3．求其对应一元二次方程的根；4．写出解集大于取两边，小于取中间．跟踪训练2．利用函数求下列不等式的解集：（1）2x 2＋7x ＋3＞0；（2）－x 2＋8x －3＞0；（3）x 2－4x －5＜0；（4）－4x 2＋18x －814＞0．解：（1）对于方程2x 2＋7x ＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝－3，x 2＝－12．又因为二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞．（2）对于方程－x 2＋8x －3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝4－13，x 2＝4＋13．又因为二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下，所以原不等式的解集为（4－13，4＋13）．（3）原不等式可化为（x －5）（x ＋1）＜0，所以原不等式的解集为（－1，5）．（4）原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922＜0，所以原不等式的解集为∅．类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集例3：求函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－3，1，2．x （－∞，－3）（－3，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）－＋－＋由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．规律方法解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．跟踪训练3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－2，1，2．x （－∞，－2）（－2，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）＋－＋－由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．四、课堂小结1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．五、当堂达标1．下列图像表示的函数中没有零点的是（）答案：A解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．3．函数f（x）＝x－1x零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C解析：令x－1x＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－1x的零点有两个．4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零点为±1，－2，3，共4个．【第2课时】【教学目标】【核心素养】1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数．（重点）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）1．通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．【教学过程】一、新知初探1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f（x0）＝0．2．二分法的定义（1）二分法的条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0．（2）二分法的过程：通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f （x ）在[a ，b ]上的零点近似值的步骤是：第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间[a ，b ]的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步．第三步若f （a ）f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝ ⎛⎭⎪⎫用a ＋b 2→b 表示，下同，回到第一步；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f （b ）＜0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步．二、初试身手1．下列函数不宜用二分法求零点的是（）A ．f （x ）＝x 3－1B ．f （x ）＝ln x ＋3C ．f （x ）＝x 2＋22x ＋2D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1 答案：C解析：因为f （x ）＝x 2＋22x ＋2＝（x ＋2）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（）A ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上不可能有零点B ．函数f （x ）在区间[a ，b ]上一定有零点C ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则必有f （a ）·f （b ）＜0D ．若函数f （x ）在区间[a ，b ]上没有零点，则必有f （a ）·f （b ）＞0 答案：D解析：函数f （x ）在区间[a ，b ]上为单调函数，如果f （a ）·f （b ）＜0，可知函数在（a ，b ）上有一个零点，如果f （a ）·f （b ）＞0，可知函数在[a ，b ]上没有零点，所以函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能没有零点，也可能有零点，所以A 不正确；函数f （x ）在区间[a ，b ]上可能有零点，也可能没有零点；所以B 不正确；若函数f （x ）在区间[a ，b ]上有零点，则可能f （a ）·f （b ）＜0，也可能f （a ）·f （b ）＝0所以C 不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0，正确；故选D．]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．4．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．三、合作探究类型1：判断函数零点所在的区间例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．规律方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．跟踪训练1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0 答案：C解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．类型2：对二分法概念的理解例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）答案：B解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B 中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．跟踪训练2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（）A．（－2．1，－1）B．（1．9，2．3）C．（4．1，5）D．（5，6．1）答案：B解析：只有B 中的区间所含零点是不变号零点．类型3：用二分法求函数零点例3：求函数f （x ）＝x 2－5的负零点．（精确度为0．1）解：由于f （－2）＝－1<0，f （－3）＝4>0，故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，区间中点的值中点函数近似值（－3，－2）－2．5 1．25 （－2．5，－2）－2．25 0．0625 （－2．25，－2）－2．125 －0．4844 （－2．25，－2．125）－2．1875－0．2148 （－2．25，－2．1875）－2．21875－0．0771由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，所以函数的一个近似负零点可取－2．25．规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练3．证明函数f （x ）＝2x ＋3x －6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．解：由于f （1）＝－1<0，f （2）＝4>0，又函数f （x ）在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x 0，则x 0∈[1，2]．下面用二分（a ，b ）（a ，b ）的中点f （a ） f （b ） f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 （1，2）1．5f （1）<0f （2）>0f （1．5）>0（1，1．5） 1．25 f （1）<0 f （1．5）>0 f （1．25）>0 （1，1．25） 1．125f （1）<0 f （1．25）>0f （1．125）<0 （1．125，1．25）1．1875 f （1．125）<0f （1．25）>0f （1．1875）<0因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f （x ）＝2x ＋3x －6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．类型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x 3＋3x －3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）．解：令f （x ）＝2x 3＋3x －3，经计算，f （0）＝－3<0，f （1）＝2>0，f （0）·f （1）<0，所以函数f （x ）在（0，1）内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在（0，1）内有解．取（0，1）的中点0．5，经计算f （0．5）<0，又f （1）>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在（0．5，1）内有解．（a ，b ）中点c f （a ） f （b ） f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 （0，1） 0．5 f （0）<0 f （1）>0 f （0．5）<0 （0．5，1） 0．75 f （0．5）<0 f （1）>0 f （0．75）>0 （0．5，0．75） 0．625 f （0．5）<0 f （0．75）>0 f （0．625）<0 （0．625，0．75） 0．6875f （0．625）<0f （0．75）>0f （0．6875）<0（0．6875，0．75）|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f （x ）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．（2）对于求形如f （x ）＝g （x ）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．跟踪训练4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）解：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．取2与3的平均数2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2与2．5的平均数2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此继续下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0∈（2．375，2．4375）．∵|2．375－2．4375|＝0．0625<0．1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0．1的近似解可取为2．4375．四、课堂小结1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：（1）在区间[a，b]上连续不断；（2）f（a）·f（b）<0，上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．五、当堂达标1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上（）A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点答案：B解析：令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．2．用二分法求函数f （x ）＝x 3＋x 2－2x －2的一个正零点的近似值（精确到0．1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝－2，f （1．5）＝0．625，f （1．25）≈－0．984，f （1．375）≈－0．260，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1．4作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1．375作为近似C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．4375）D ．没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．3125）答案：C解析：由二分法知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的根在区间（1．375，1．5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1．4375）．故选C ．3．函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）答案：B4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ]上，当|a n －b n |＜ε时，函数的近似零点a n ＋b n2与真正零点的误差不超过A ．εB ．12εC ．2εD ．14ε 答案：B解析：根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|a n －b n |＜ε时，区间[a n ，b n ]的中点x n ＝12（a n ＋b n ）就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过12ε．故选B ．。

数学北师大版高中必修1《方程与函数》说课稿

《方程与函数》说课稿一．说教材函数与方程是中学数学的重要内容．本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．二．说目标（一）认知目标：1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）能力目标：培养学生自主发现、探究实践的能力．（三）情感目标：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.三.说重点、难点教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件教学难点：探究发现函数零点的存在性.四．说教法、学法“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是我进行教学的指导思想，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用“启发—探究—讨论”式教学模式.五．说过程（一）创设问题情境。

问题1 求下列方程的根．（1）；（2）；（3）；（4）．设计意图：由简单到复杂，使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲．思考：一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？问题2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，图象与有利于培养学生思维的完整性,也为学生归纳方程与函数的关系打下基础．问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程根的情况及相应的二次函数的图象与图象与把具体的结论推广到一般情况,向学生渗透“从最简单、最熟悉的问题入手解决较复杂问题”的思维方法,培养学生的归纳能力．（二）启发引导，形成概念1．函数零点的概念：把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．辨析练习：判断下列说法的正误．函数的零点是：⑴（-1，0），（3，0）；（）⑵ x=-1和x=3；（）⑷ -1和3．（）2．等价关系：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．设计意图：利用辨析练习，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点.引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键．（三）初步应用例1 求函数的零点．变式练习：求下列函数的零点．（1）；（2）．设计意图:巩固函数零点的求法，渗透二次函数以外的函数零点情况．进一步体会方程与函数的关系．(四) 讨论探究，揭示定理问题4：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数y＝f(x)一定有零点？探究: 观察二次函数的图象，如下图.计算和的乘积；猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有成立，那么函数在区间(a,b)上有零点．设计意图：通过小组讨论完成探究，教师恰当辅导，引导学生大胆猜想出函数零点存在性的判定方法.这样设计既符合学生的认知特点，也让学生经历从特殊到一般过程.1．零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 在区间(a, b)内函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x) = 0在区间(a, b)至少有一个实数解．2．概念辨析：3．说明：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，就是说上述定理不可逆．4．判定零点存在性的方法：（1）利用定理;（2）利用图象．反馈练习：函数必有一个零点的区间是（）．A．(-5, -4) B．(-4,3) C．(-1, 0) D．(0,2)设计意图：过反馈练习,使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题．引导学生观察图象的单调性以及在每一个单调区间的零点情况，得出相应的结论，为后面的例题学习作好铺垫．（五）例题解析例2 判断方程有两个相异的实根，且一个大于5，一个小于2．设计意图：引导学生思考如何应用零点存在定理来解决相关的具体问题，接着让学生利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识.(六)知识应用1．判断方程在内的实数解的存在性，并说明理由。

3.2 高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》

高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》教材分析函数是中学数学的核心概念，函数的零点是函数的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机地联系在一起。

本节课是在学生学习了函数的性质，数形结合的知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质，判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，以及函数与方程的综合应用，如知道零点求参数范围等问题。

学情分析学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练地掌握了求解一元二次方程的方法，但是学生对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在学生的头脑中，函数、方程、不等式都是模糊的。

通过这节课的学习，能让学生真正地体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。

教学目标1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系。

2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和求零点的一元高次不等式的方法。

3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法。

教学重点1、理解零点的概念与性质。

2、应用函数解不等式的步骤与方法。

教学难点函数与方程、不等式之间的关系。

教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入已知函数f（x）= x - 1，我们知道，这个函数的定义域为x∈R，而且可以求出，方程f（x）= 0的解集为 {1}，不等式f（x）＞0的解集为{1，+∞}，不等式f（x）＜0的解集为{-∞，1）。

在图3-2-1中作出函数f（x）= x-1的图象，总结上述方程，不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。

二、新知由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。

具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A = {x∈D | f（x）＜0}B = {x∈D | f（x）= 0}C = {x∈D | f（x）＜0}显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D = A∪B∪C。

人教版高中必修1(B版)2.4函数与方程课程设计

人教版高中必修1(B版)2.4函数与方程课程设计一、课程背景和意义“函数与方程”是数学中的一个重要分支，也是高中数学必修内容之一。

本课程作为高中必修课程的一部分，旨在通过对函数和方程的学习，培养学生的逻辑思维和数学分析能力，并为学生的高考和未来的学习生活打下坚实的数学基础。

二、课程目标1.通识技能目标•培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力。

•帮助学生掌握函数和方程的基础知识，能够应用到实际问题中。

•强化学生的数学应用能力和解决实际问题的能力。

2.学科知识目标•熟练掌握二次函数的定义、性质和图像，能够应用到解决实际问题中。

•熟练掌握指数函数、对数函数的定义、性质和图像，能够应用到解决实际问题中。

•理解函数的复合运算和反函数的概念，能够运用到实际问题的解决中。

•能够利用函数方程解决实际问题。

三、教学方法和教学手段1.教学方法•讲授法：对二次函数、指数函数、对数函数等知识点进行系统讲解。

•实践法：结合实际问题进行案例分析和解决。

•互动法：组织课堂讨论和互动活动，让学生积极参与课堂学习和交流。

2.教学手段•PPT课件：呈现课程内容和案例演示。

•数学工具软件：如Geogebra、Wolfram Alpha等，帮助学生理解数学概念和掌握解题方法。

•作业：包括日常作业和课程设计作业。

四、教学内容和进度安排1.教学内容•二次函数的定义、性质和图像。

•指数函数、对数函数的定义、性质和图像。

•函数的复合运算和反函数的概念。

•利用函数方程解决实际问题。

2.进度安排•第1周：二次函数的定义和性质。

•第2周：二次函数图像的绘制和应用。

•第3周：指数函数的定义和性质。

•第4周：指数函数图像的绘制和应用。

•第5周：对数函数的定义和性质。

•第6周：对数函数图像的绘制和应用。

•第7周：函数的复合运算和反函数的概念。

•第8周：函数运算实例和解题方法。

•第9-10周：利用函数方程解决实际问题。

五、课程设计本课程设计分为理论学习和应用实践两个部分。

人教B版高中数学必修一教案-2.4 函数与方程

《函数与方程》教学设计
教学反思
一、高考对本节课内容的考查主要有：
(1)函数与方程是A级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；
(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；
试题类型可能是选择、填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查．
二、本节课是高考专项训练的重要课节。

根据高考考纲对本知识点的要求，设置的一节专项训练课。

针对高三学生，在二轮复习中进行。

通过本节课讲解，使学生对常见函数求零点的问题有一定的理解。

对学生函数模型的构建思想起到了一定的作用。

同时对数形结合的数学思维有一定的培养作用。

本节课的教学活动主要是以学生回忆、小组讨论、自主研究及合作学习为主体。

对高三学生自主复习思路有一定的培养。

本节课在设置上有一个欠缺之处，就是容量稍大，知识点迁移较大，尤其是几道高考原题和典型例题有一定的高度，学生在理解及心理层面上有一定困难。

高中数学函数与方程教案苏教版必修1 教案

函数与方程教学目标：使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.教学重点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.教学过程：Ⅰ.复习引入初中二次函数的图象及有关的问题Ⅱ.讲授新课问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x、x2；1（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的取值X围．解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴B⊆A．若B＝φ，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，∴－1＜a ＜2；若B ≠φ，解法一：△＝4a 2－4（a ＋2）≥0， ∴a ≥2或a ≤－1．∵方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根为x 1，2＝a ±a 2―a ―2 ．则B ＝{x |a －a 2―a ―2 ≤x ≤a ＋a 2―a ―2 }，由题意知⎩⎨⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈（－1，187］．解法二：f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4a 2－4（a ＋2）≥0f （1）＝3－a ≥0f （4）＝－7a ＋18≥01≤a ≤4解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈（－1，187］．［例2］已知x 的不等式4x －x 2 ＞ax 的解区间是（0，2），求a 的值．解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y 1＝4x －x 2 和y 2＝ax 的图象．如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y ＝ax 必过点（2，2），则a ＝1．解法二：∵0＜x ＜2，当a ≥0时，则4x －x 2＞a 2x 2．∴0＜x ＜41＋a 2 ，则41＋a 2＝2，∴a ＝1．当a ＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，∴a ＜0舍去．综上知a ＝1．［例3］已知函数f （x ）＝x 2＋2bx 十c （c ＜b ＜1），f （1）＝0，且方程f （x ）＋1＝0有实根，（1）证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；（2）若m 是方程f （x ）＋1＝0的一个实根，判断f （m －4）的正负，并说明理由．解析：（1）由f （1）＝0，则有b ＝－c ＋12 ，又因为c ＜b ＜1，消去b 解之得－3＜c ＜－13； ① 又方程f （x ）＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故△＝4b 2－4（c ＋1）≥0，消去b 解之得c ≥3或c ≤－1； ② 由①②可知，－3＜c ≤－1且b ≥0．（2）f （x ）＝x 2＋2bx ＋c ＝（x －c ）（x －1），f （m ）＝－1＜0，∴c ＜m ＜1，从而c －4＜m －4＜－3＜c ，∴f （m －4）＝（m －4－c ）（m －4－1）＞0，即f （m －4）的符号为正．Ⅲ.课后作业1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是（－∞，－12 ）∪（13，＋∞），求ab 的值解析：方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12 、13，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧．＝－，＝－－61261aa b ∴⎩⎨⎧．＝－，＝－212b a ∴ab ＝24．2．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，某某数a 的取值X 围．解析：方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜52 ．方法二：利用二次函数图象的特征，设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a ＜52 ． 3．已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}，求不等式6x 2－5x ＋a ＞0的解集．解析：由题意，方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得⎩⎨⎧，＝－，＝－61b a 则所求不等式为6x 2－5x －1＞0，解之得x ＜－16或x ＞1．4．关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧05)52(20222＜＋＋＋，＞－－k k x x x 的整数解的集合为{－2}，某某数k 的取值X 围．解析：不等式组可化为⎩⎨⎧0))(52(12＜＋＋＜－或＞k x x x x ，∵x ＝－2，（如下图）∴（2x ＋5）（x ＋k ）＜0必为－25＜x ＜－k ，－2＜－k ≤3，得－3≤k ＜2．。

苏教版数学高一《函数与方程》精品教案

关系？结论：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x) 的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 ⑤ 练习：求下列函数的零点244y x x =-+；243y x x =-+ → 小结：二次函数零点情况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出243y x x =-+的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号②观察下面函数()y f x =的图象，在区间[],a b 上______(有/无)零点；()f a ·()f b _____0（＜或＞），在区间[],b c 上______(有/无)零点；()f b ·()f c _____0（＜或＞），在区间[],c d 上______(有/无)零点；()f c ·()f d _____0（＜或＞)．③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b ）内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数。

（试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程()0f x =的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()y f x =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．⑥ 练习：求函数23x y =-的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：2. 求函数3222y x x x =--+的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：（1）254y x x =--；（2）2(1)(31)y x x x =--+；（3）220y x x =-++；（4）22()(2)(32)f x x x x =--+.4．已知2()2(1)421f x m x mx m =+++-：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．()0f b<，则令（或b）；否则重复步骤。

高中数学必修一函数教案

高中数学必修一函数教案授课内容：1. 函数的定义2. 函数的自变量和因变量3. 函数的符号表示4. 函数的图象5. 函数的性质：奇函数、偶函数、单调性、周期性等教学目标：1. 理解函数的基本概念和符号表示方式2. 掌握函数的图象及性质3. 能够应用函数解决实际问题教学重点：1. 函数的定义和性质2. 函数的图象和符号表示教学难点：1. 函数的奇偶性质的理解2. 函数的周期性的应用教学过程：一、导入（5分钟）通过实际生活中的例子引入函数的概念，让学生了解函数在数学中的重要性和应用价值。

二、讲解函数的定义（15分钟）1. 定义函数及其自变量和因变量2. 函数的符号表示3. 图示函数的图象三、讨论函数的性质（20分钟）1. 函数的奇偶性质2. 函数的单调性3. 函数的周期性四、示范应用题（15分钟）提供几个实际问题，让学生运用所学的函数知识解决问题。

五、总结与作业布置（5分钟）总结本节课的内容，强调函数的重要性及应用。

布置相关作业，巩固学生对函数的理解和应用能力。

教学资源：1. 纸板、彩色粉笔2. 多媒体教学设备3. 课本、练习册课后延伸：1. 自学函数的相关知识2. 通过做更多的习题，巩固函数的概念和性质3. 向教师请教不懂的地方，及时纠正错误教学反馈：1. 收集学生对本课内容的理解程度2. 解答学生提出的问题3. 督促学生完成作业，并及时批改和反馈以上为高中数学必修一函数教案范本，希望能够对您的教学工作有所帮助。

祝您教学顺利！。

人教B版高一数学函数与方程教学计划

人教B版高一数学函数与方程教学计划第1篇：人教B版高一数学函数与方程教学计划一设计思想：函数与方程是中学数学的重要内容，是衔接初等数学与高等数学的纽带，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，是具体事例与抽象思想相结合的体现，在教学过程中，我采用了自主探究教学法。

通过教学情境的设置，让学生由特殊到一般，有熟悉到陌生，让学生从现象中发现本质，以此激发学生的成就感，激发学生的学习兴趣和学习热情。

在现实生活中函数与方程都有着十分重要的应用，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。

二教学内容分析：本节课是《普通高中课程标准》的新增内容之一，选自《普通高中课程标准实验教课书数学i必修本(a版)》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。

本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在*以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形.它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。

之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中(3.1.2)加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解(3.2)更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系.渗透“方程与函数”思想。

总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到未完，继续阅读 >第2篇：人教版高一数学函数与方程教学计划1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和*质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的*质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系;3.函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。

高中数学函数的方程教案

高中数学函数的方程教案教学目标：通过本节课的学习，让学生掌握如何求解各种类型的函数方程，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

教学重点：掌握一元一次方程、一元二次方程的解法，能够应用函数概念解决实际问题。

教学难点：能够灵活运用函数的性质解决问题，特别是在求解复合函数时的应用。

教学步骤：1.复习上节课内容：回顾一元一次方程和一元二次方程的解法，特别是方程求解过程中的注意事项。

2.引入新知识：介绍函数的定义和性质，引导学生理解函数的概念及其在数学中的重要性。

3.讲解函数方程的解法：通过几个实际例题，详细讲解如何求解各种类型的函数方程，包括一元一次函数、一元二次函数等。

4.练习与讨论：让学生进行练习，通过小组讨论和互相交流，加深对函数方程解法的理解。

5.拓展应用：引导学生运用所学知识解决实际问题，例如通过函数方程模拟问题解决过程。

6.总结与反馈：对本节课的重点内容进行总结，并针对学生在练习和应用中存在的问题进行反馈和指导。

教学评估：通过课堂练习和讨论，观察学生的解题过程和思维逻辑，评估学生对函数方程解法的掌握程度。

教学资源：教材、课件、实物教具等。

板书设计：函数方程的解法1. 一元一次函数：ax + b = 02. 一元二次函数：ax² + bx + c = 03. 函数的性质和应用反馈与延伸：1.请同学们总结函数方程解法的基本步骤。

2.设计一个实际问题，让学生运用函数方程解法进行求解。

3.自主学习：学生可自行查找相关资料，深入了解函数方程在实际生活中的应用。

高中数学函数的方程教案范本就是以上的形式。

高一数学必修1 函数与方程教学设计

高一数学必修1 函数与方程教学设计一、教材分析1．本单元的教学内容范围2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法2．本单元的教学内容在模块中的地位和作用函数的应用是学习函数的主要目的之一。

本模块安排了2.3, 2.4, 3.4三节函数应用的学习，2.3, 3.4节主要是关注函数在生活实践及其它领域中的应用，而本节内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给学生呈现了研究一个问题完整的思路和方法。

本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系。

在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用。

函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用。

3．本单元教学内容的总体教学目标（1）进一步了解函数的广泛应用（2）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法4．本单元的教学内容重点和难点分析重点：理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解。

难点：函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。

5．其它相关问题本单元的两节内容属于新增内容，涉及函数在数学内部的应用。

大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用。

课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处。

函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质，二次函数的相关知识，为本节的学习提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新，体现了本套教材低起点，循序渐进，螺旋式上升的特色。

1高中数学必修1精品教案：函数与方程1

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点授课人：教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1 人民教育出版社一、教学目标1、理解二次函数的图像与x 轴的交点（函数的零点）和相应的一元二次方程根的关系2、学会判别式的运用3、掌握函数零点的概念4、函数零点存在的充要条件和函数零点的存在性定理二、教学重难点、关键1、重点：零点的概念及存在性的判定2、难点：零点的确定3、关键：如何利用函数的图像判定与确定三、教学过程1. 复习引入先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：⑴方程0322=--x x 与函数322--=x x y⑵方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y⑶方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？2. 引申铺垫上述结论推广到一般的一元二次方程02=++c bx ax 和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 同样成立，为此使用判别式来把两者的关系联系起。

3. 分析归纳、自主定义函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

⑴函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

⑵函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

⑶二次函数的零点： )0(2≠++=a c bx ax y ．① △＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点。