韦达定理的推广：一元多次方程的根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理（Vieta's theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了多项式根与系数之间的关系。
这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，他在16世纪首次提出了这个定理。
韦达定理的表述非常简洁，它指出：对于一个n次多项式，其根的乘积等于(-1)^n乘以常数项与最高次项系数的商。
换句话说，如果一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_i为多项式的系数，那么它的根r_1、r_2、...、r_n满足以下关系：r_1 * r_2 * ... * r_n = (-1)^n * a_0 / a_n这个定理的证明可以通过多项式展开和对称多项式的性质来完成，但在这篇文章中，我们将重点讨论韦达定理的应用。
我们可以利用韦达定理来求解多项式的根。
对于一个已知的多项式，我们可以通过观察常数项和最高次项系数的关系，来推测根的乘积。
然后，我们可以根据多项式的次数和已知的根之间的关系，来求解其他缺失的根。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解多项式的根。
韦达定理还可以用于多项式的因式分解。
根据韦达定理，如果我们已知一个多项式的根r_1、r_2、...、r_n，那么我们可以将这个多项式表示为以下形式的乘积：P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)这个形式的多项式就是多项式的因式分解形式。
通过将多项式因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质，并且更方便地进行计算和求解。
韦达定理还可以用于多项式系数的求解。
对于一个已知的多项式，如果我们已知其中n-1个根，以及一个系数，那么根据韦达定理，我们可以求解出剩下的一个系数。
这种方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们建立和求解多项式方程。
除了以上应用之外，韦达定理还有很多其他的应用。
韦达定理的推广：一元多次方程的根与系数的关系
x1 x2 x3 x4 ...xn-2 xn-1 xn - 1 S0
n
• 这个关系就称为韦达定理。 • 韦达定理的逆定理：若根与系数满足上列关系，则可列出 原方程。
• 标准形式：ax+b=0(a≠0). • 求根公式： x b
a
• • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1是方程x+b=0的根. 则x-x1=0. 故 x1=-b.
一元二次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0). • 求根公式： b b 2 4ac
x 2a
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,x2是方程x2+bx+c=0的根. 则(x-x1)(x-x2)=0. 即x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 故 x1+x2=-b , x1x2=c.
一元三次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax3+bx2+cx+d=0(a≠0).
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2,x3是方程x3+bx2+cx+d=0的根. 则(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0. 即x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0. 故 x1+x2+x3=-b , x1x2+x1x3+x2x3=c , x1x2x3=-d.
韦达定理
韦达定理
• 法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的 识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条 定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种 关系，人们把这个关系称为韦达定理。 • 同时，又有韦达定理的逆定理。根据根与系数的关系，可 列出原方程。
一元二次方程根与系数的关系和韦达定理应用探讨
∴k=1,
2若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。
解：两根则m²≠0，x1+x2=(2m-3)/m²，x1x2=1/m²
S=1/x1+1/x2=(x1+x2)/x1x2=2m-3
（1）证明：
∵
∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。
（2）解：∵ 是方程①的两个实数根
∴方程②
∵a是方程②的根，∴
6、已知关于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．证明：
（1）则实数m的取值范围是m≤ （2）当x12-x22=0时，则m=考点：根的判别式Fra bibliotek根与系数的关系．
即实数m的取值范围是；m≤
（2）由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，
若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得，m=
∵ ＞ ，
∴m= 不合题意，舍去；
若x1-x2=0，即x1=x2∴△=0，由（1）知；m=
故当x12-x22=0时，m= ．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．
A、19% B、20% C、21% D、22%
6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A、 B、3 C、6 D、9
7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（）A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3
一元二次方程根与系数的关系公式有哪些
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
妙用韦达定理巧解根与系数的关系问题
妙用韦达定理巧解根与系数的关系问题作者：徐菊萍
来源：《初中生世界·九年级》2018年第09期
法国数学家韦达发现一元二次方程的根与系数之间有着某种特殊关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，则x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca].用文字语言表述为：一元二次方程中两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商.我们称这个结论为韦达定理，妙用韦达定理，常常可以避开繁琐的求解，找到解题的捷径.
一、已知方程，求关于方程两根的代数式的值
【點评】已知一个根，用韦达定理求另一个根时，需要观察系数特点.若一次项系数是已知数，则用两根和求另一个根；若常数项是已知数，则用两根积求另一个根，再用另一组关系求字母系数.以x1，x2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）为：x2-（x1+x2）x+x1x2=0.
（作者单位：南京师范大学附属苏州石湖中学）。
一元一次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元一次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 一元一次方程的根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 2. 韦达定理的重要推论：推论1：如果方程20x px q ++=的两个实数根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-= 推论2：以两个实数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是方程：()212120x x x x x x -++=3. 利用根与系数关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要结论1．若两互为相反数，则120,0bx x b a+=-== 2.若两根互为倒数，则12120,0,1b cx x b x x a a+=-====，得到a c = 3 若有一根是0，则1200cx x c a===， 4.若有一根为1，则0a b c ++= 5. 若有一根为-1，则0a b c -+=根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．：【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（3）定性判断字母系数的取值范围 【典型例题】例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2B ．2-C ．12D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或 4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆= B ．M ∆> C ．M ∆< D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为()A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若1212x x =，求k 的值．。
一元3次方程根与系数的关系
一元3次方程根与系数的关系对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0（a≠0），设其三个根分别为x_{1}，x_{2}，x_{3}。
根与系数的关系如下：1. 韦达定理的第一个关系（x^2项系数与根的关系）- 我们有x_{1}+x_{2}+x_{3}=-(b)/(a)。
- 推导过程：- 对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d = 0，根据代数基本定理，它可以分解为a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})=0。
- 将a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})展开得a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0。
- 对比ax^3+bx^2+cx + d = 0与ax^3-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x -ax_{1}x_{2}x_{3}=0中x^2项的系数，可得x_{1}+x_{2}+x_{3}=-(b)/(a)。
2. 韦达定理的第二个关系（x项系数与根的关系）- x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=(c)/(a)。
- 推导过程：- 由上面展开式a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0对比ax^3+bx^2+cx + d = 0中x项的系数，可得x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=(c)/(a)。
3. 韦达定理的第三个关系（常数项与根的关系）- x_{1}x_{2}x_{3}=-(d)/(a)。
- 推导过程：- 同样根据a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0对比ax^3+bx^2+cx + d = 0中的常数项，可得x_{1}x_{2}x_{3}=-(d)/(a)。
一元n次韦达定理公式是怎样的
一元n次韦达定理公式是怎样的（最新版）目录1.韦达定理的背景和历史2.一元 n 次方程的韦达定理公式3.韦达定理的应用举例4.韦达定理的推广和意义正文一、韦达定理的背景和历史韦达定理是数学领域中关于方程根与系数之间关系的一个重要定理。
最早由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于 1615 年在他的著作《论方程的识别与订正》中提出。
韦达定理对于一元二次方程以及更高次方程的根与系数之间的关系进行了深入的探讨，成为了数学史上的一个重要里程碑。
二、一元 n 次方程的韦达定理公式对于一元 n 次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+p=0（其中 a ≠0），它的根记作 x1，x2，x3...xn。
韦达定理说明了方程的根与系数之间的关系，具体公式如下：x1 + x2 + x3 +...+ xn = -b/ax1x2 + x1x3 + x1x4 +...+ x1xn = c/ax1x2x3 + x1x2x4 + x1x2x5 +...+ x1x2xn = -b/a...x1x2...xn-1 = (-1)^(n-1) * c / ax1x2...xn = (-1)^n * p / a其中，-b/a 表示两根之和，c/a 表示两根之积，(-1)^(n-1) * c / a 表示三根之和，(-1)^n * p / a 表示三根之积。
三、韦达定理的应用举例例如，对于一个三次方程 x^3 - 3x^2 - 10x + 5 = 0，设它的三根分别为 x1，x2，x3。
根据韦达定理，我们有：x1 + x2 + x3 = 3x1x2 + x1x3 + x2x3 = -3x1x2x3 = -5通过求解这个方程组，我们可以得到方程的三个根。
四、韦达定理的推广和意义韦达定理不仅适用于实数域，还适用于复数域。
在复数域中，韦达定理对于多项式的根与系数之间的关系提供了一种优美的解释。
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了多项式方程根与系数之间的关系。
韦达定理在代数学和数学分析中有着广泛的应用，对于理解多项式方程的根的性质和特征具有重要意义。
韦达定理的正式表述如下：对于一个n次多项式方程，其一般形式为：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$是多项式的系数，$n$是方程的次数，$x$是未知数。
韦达定理指出，如果多项式方程有一个根为$x=k$，那么可以将方程表示为以下形式：$(x-k)(a_nx^{n-1} + b_{n-1}x^{n-2} + ... + b_1x + b_0) = 0$其中$a_n, b_{n-1}, ..., b_1, b_0$是新的系数，$x-k$是一次因式。
通过展开上述等式，我们可以得到：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$这说明多项式方程的一个根$k$对应着方程的一个一次因式$x-k$。
这意味着，如果我们能够找到多项式方程的所有根，那么我们就能够将方程完全分解成一次因式的乘积，从而得到多项式的因式分解式。
韦达定理还告诉我们，根与系数之间存在着一种重要的关系。
设多项式方程的根为$x_1, x_2, ..., x_n$，那么我们可以得到以下关系：$x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$...$x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$这些关系告诉我们，多项式方程的根的各种组合方式与系数之间有着密切的联系。
通过这些关系，我们可以在已知多项式方程的系数的情况下，计算出方程的根的和、乘积以及根的各种组合之和。
妙用韦达定理巧解根与系数的关系问题
次项 系数所 得的商的相 反数 ；两根 的积 等于它
的常数项除 以二次项 系数 所得的 商．我们称 这
个 结论 为韦达定 理 ，妙 用韦达定 理 ，常常可 以 避 开繁琐 的求解 ，找 到解题的捷径．
固固
例 １ 若 方 程 一 ＋１＝０的 两 根 是 ．， ，
则 。（１＋ｘ２）＋ ２的值 为
【答案 卜’一 元二次方程 －３ｘ－ｌ＝Ｏ的两根 分 另Ｕ是 ｌ， ２，．·．ｘ， －－３ｘＩ一１＝０， ２２—３ ２—１＝０， ｌ＋ ２＝３，． ．Ｘ２２－３ｘ２＝１，．－． ｌ＋ ２（ ２２—３ ２）＝ Ｉ＋ ２＝３，故 答案为 ：３．
【点评 】对于涉及两根 的代数式 问题 ，要 善 于观察代数式结构 ，综合考虑 韦达定理和方程 的解两个要点 ，构造相应整体求解．
寻，因此实数 ｋ的值为一２．
‘＋
【答 案 卜２． 【点 评 】已知两根关 系 ，用韦达定理求 出方 程 中的字 母系数后 ，一定要检 验 ：① 符合 根 的
判别式 ｂ２－４ａｃ－ ＇ ￣＂０；②字母 系数如 果在 二次项 系 数上 ，同时要保 证二次项 系数不 为０．
４．已知 两根 的符 号性质 ，求方程 字母 系数 的 取 值 范 围．
１＝０有 两 个 实数根 ２．若 ２满足 ｌ ＋ ２。＝ ຫໍສະໝຸດ ６＋ｘｍ ，求 实数 ｋ的 值 ．
【解 析 】将 两根 关 系恒 等 变形成 含 有两根
和与 积 的形式 ： ， ＋ ２２Ｉ ￣（Ｘ。＋ ２） 一 。 ＝１６＋ｘ · 耽，根 据韦达 定理 用 ｋ表示 。＋ ：和 得 ，＋
．
【解 析 】方程 的根 是无理 数 ，若 直接 代 入 ，
计 算繁琐 ．因所 求涉 及两 根关 系 ，可根 据韦 达
一元二次方程的根与系数的关系
．
‘
．
ａ ＝２， ＝ Ｃ －１ ｂ ４， ＝－ ．
两 根 之 和 与 两 根 之 积 直 接 应 用
ｂ
ｊ ２ 帆 ＝—
一
（ ＝ ２４ ｅ ４－ ｘ ｘ 一 ） ０ １ ｖＡ ｂ ａ ＝ ｚ４ ２ （ １ ＞ ， －
・
．
．
，１ ２ 求 得 ． ． ＝
倍 ， （ ＋ ） ＋ ２ ， 以 有 即 ａ ｂ ＝ ６＋ 所
１ ２（１ ２２２ ｌ ＋ ２ ＋ ） ｘ ２ ＝ － ｘ
＝
（＿２ ） ＿， （ ＿２ 一 ３ ２－ １
９
＋ （＋ ） ２ｂ 由 此 可 求 出 ６＝ 口 ６ ａ ， 一 （ ）同 样 ， 用 两 数 和 与 积 表 示 １． 可 两数 的倒 数 和．
、
、
、 、
、
、 —— — — —— — — —— ——
’
Ｆ ｒ ａ ｙｌｅ ｎｅｔ ｌ ｉｔｅ ｔ ｔｈｒｍ ｄｐｎ ｅ ｃ ｄ ｐｎ ｅｃ ． ｏ ｎ ，ｆ＇ｌ ｇｓｍｉ ｒ ｃ ｏ ｅｅ ｄｎｅｔｉ ｅｅｄ ｎｅ ｍ ｉ ｓｏ ｅｓｈ ｓ ｅ ｆ ｏｎ
— — —— —— — — — — — — — — … … … 一 … … — — —— —— — — … —— … … … … … … … 一 … … … … …
ｎ
帆 口一 ， 一 Ｚ一ｚ
０ 丁 Ｚ’ Ｚ一
把 方 程 化 为 一 般 式 后 准 确 确 定
出ａ ，ｂ，Ｃ ．
点 拔 利 用 两 根 的 和 与 积
利用 根 与 系数 的 关 系 ，求 一元 二次 方程 ２ Ｚ３ 一 ＝ ｘ＋ ｘ １ ０两
韦达定理公式一元n次
韦达定理公式一元n次韦达定理是数学中的一个重要定理，它给出了一元n次多项式的根与系数之间的关系。
这个定理的应用范围非常广泛，可以用来解决各种实际问题，比如求解方程、计算根的个数等。
韦达定理的表述很简洁，可以用以下公式表示：对于一元n次多项式f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，如果存在一个数r使得f(r)=0，那么r是多项式的一个根，同时也满足以下关系式：a_n \cdot r^n+a_{n-1} \cdot r^{n-1}+...+a_1 \cdot r+a_0=0其中，a_n、a_{n-1}、...、a_1、a_0 是多项式的系数。
韦达定理的核心思想是将多项式的根与系数进行了联系，通过根与系数之间的关系，我们可以在已知根的情况下，求解多项式的其他根或系数。
举个例子来说明韦达定理的应用。
假设有一个三次多项式f(x)=2x^3+3x^2-4x-6，已知它有一个根r=2，我们可以利用韦达定理来求解它的其他根。
根据韦达定理，我们可以得到以下等式：2 \cdot 2^3+3 \cdot 2^2-4 \cdot 2-6=0化简上述等式，可以得到-4=0，显然是不成立的。
这意味着我们的假设有误，根r=2并不是多项式f(x)的一个根。
通过这个例子，我们可以看出，韦达定理可以用来验证一个数是否是多项式的根。
如果我们已知一个根r，那么我们可以将它带入韦达定理的等式中，如果等式成立，那么r就是多项式的一个根；如果等式不成立，那么r就不是多项式的一个根。
除了验证根的问题，韦达定理还可以用来求解多项式的其他根。
假设我们已知一个根r，我们可以将它带入韦达定理的等式中，然后通过一系列运算，可以得到一个新的多项式g(x)。
这个新的多项式g(x)比原来的多项式f(x)的次数降低了一次，并且它的根与多项式f(x)的其他根之间也存在一定的联系。
我们可以继续运用韦达定理的等式，将新的多项式g(x)的根带入其中，得到另一个新的多项式h(x)。
一元n次韦达定理公式是怎样的
一元n次韦达定理公式是怎样的（实用版）目录1.韦达定理的背景和历史2.一元 n 次方程的韦达定理公式3.韦达定理的应用举例4.韦达定理的推广和意义正文一、韦达定理的背景和历史韦达定理是数学领域中关于方程根与系数之间关系的一个著名定理。
最早由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于 1615 年在他的著作《论方程的识别与订正》中提出。
韦达定理在代数学、解析几何等领域有着广泛的应用，对于解决各种数学问题具有重要的意义。
二、一元 n 次方程的韦达定理公式对于一元 n 次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+p=0（其中 a ≠0），它的根记作 x1、x2、x3...xn。
根据韦达定理，我们有以下公式：x1 + x2 + x3 +...+ xn = -b/ax1x2 + x1x3 + x1x4 +...+ x1xn = c/ax1x2x3 + x1x2x4 + x1x2x5 +...+ x1x2xn = -b/ax1x2x3x4 + x1x2x3x5 + x1x2x3x6 +...+ x1x2x3xn = c/a......可以看出，韦达定理给出了一元 n 次方程根与系数之间的具体关系。
三、韦达定理的应用举例例如，对于一元三次方程 x^3 - 3x^2 - 10x + 5 = 0，设其根为 x1、x2、x3。
根据韦达定理，我们有：x1 + x2 + x3 = 3x1x2 + x1x3 + x2x3 = -10x1x2x3 = -5通过求解这个方程组，我们可以得到方程的三个根。
四、韦达定理的推广和意义韦达定理不仅可以应用于一元 n 次方程，还可以推广到多元方程、线性方程组等领域。
韦达定理对于理解方程的根与系数之间的关系、解决各种数学问题具有重要的意义。
23.1《一元二次方程根与系数的关系》
。
2、若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1 、x2 c b 则x1＋x2＝ ，x1x2＝ a 。 a
3、用根与系数关系解题的条件 是 （1）a≠0 （2）△≥0 。
b2-(b2-4ac) = 4a2 = = 4ac 4a2 c a
+
-b-
b2-4ac 2a
b a
任意的一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0 b 2 4ac 0 ）的 x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关 b 系是： x1+x2=-— a
一元二次方程根与系数 的关系是法国数学家“ 韦达”发现的,所以我 们又称之为韦达定理.
1
2
q
2、填表
方程
x
1
x
1 3
2
x x x .x
1 2
1
2
9 x 6x 1 0
3 x 4x 1 0
2
2
3 x 7x 2 0
2
1 3 1 3 1 3
2 3
1 -2
4 3
7 3
1 9
1 3 2 3
说一说，你又有什么发现？
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且 a=0 b 2 4ac 0 ）的两根为x1、x2，则
x x
1
2
x1.x2与系数a，b，c
的关系:
b x1 x2 a
x1 x 2
c a
x1 x2
x1+x2= -b+ b2-4ac 2a
-2b = 2a
. x1 x2
推导一元二次方程的根与系数的关系
推导一元二次方程的根与系数的关系摘要：方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，一元二次方程在初中中占有重要席位，而掌握其中的一元二次方程的根与系数的关系，对拓展初中生的数学思维和提高他们的数学应用能力尤为必要。
"一元二次方程的根与系数的关系"(也称为韦达定理)是现行初中教材中选学的内容,它是学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后进一步揭示根与系数的关系,是对前面知识的巩固与深化,又是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,是方程理论的重要组成部分,对学生数学能力的培养起到非常重要的作用。
这就造成我们学生们也将失去认识这笔数学财富的机会。
因此，我认为教师应借机向学生传授有关韦达定理的知识点，扩充学生数学思维。
关键词：数学;一元二次方程;根;系数;韦达定理1引言1.1韦达定理的发展简史法国数学家弗朗索瓦.韦达于1615年在著作≪论方程的识别与订正≫[4]中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
1.2韦达定理的意义韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
根与系数的关系公式是什么
根与系数的关系公式是什么根与系数的关系一般指的是一元二次方程ax_+bx+c=0的两个根x1，x2与系数的关系。
即x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a，这个公式通常称为韦达定理。
根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。
它一般用字母r表示。
它是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数:又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。
根与系数的关系，又称韦达定理。
所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。
一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。
因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。
根与系数的关系，又称韦达定理。
所谓的韦达定理是指一元二次方程根和系数之间的关系。
一个一元二次方程的根可由求根公式求出，公式是含各项系数的代数式。
因此一元二次方程的的根与各项系数之间一定存在着某种数量上的关系。
根与系数的关系简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数。
它一般用字母r 表示。
它是用来度量定量变量间的线性相关关系。
复相关系数:又叫多重相关系数复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。
例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关系。
又叫部分相关系数：部分相关系数反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相关关系，校正的意思可以理解为假定其它变量都取值为均数。
偏相关系数的假设检验等同于偏回归系数的t检验。
复相关系数的假设检验等同于回归方程的方差分析。
典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性无关的综合指标．再用两组之间的综合指标的直线相关系敷来研究原两组变量间相关关系可决系数是相关系数的平方。
意义：可决系数越大，自变量对因变量的解释程度越高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。
观察点在回归直线附近越密集。
一元n次方程根与系数的关系
一元n次方程根与系数的关系
数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着
非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深
刻的认识。
很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一
员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大
学法律系的毕业生。
毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终
是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。
由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。
1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。
其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
如果一元n次方程a
n x+a
n-1
x+…+a x+a=0的n个根是x
1
,x
2
,…,x
n
,那么n n-110
人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。
2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。
3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。
4、能应用韦达定理分解二次三项式。
知识框图求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
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一元高次方程中根与系数的关系
m n n 1 标准形式： a x a 0 . 即 a x a x ... a1 x a0 0. m 0 n n 1 m1 n
设Sk
ak a a ，例如：Sn1 n1 , S1 1 . an an an
记：x1 , x2 ,...,xn为原方程的n个根.则各根与系数满足系列 关系： x1 x2 ... xn S n 1
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2,x3是方程x3+bx2+cx+d=0的根. 则(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0. 即x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0. 故 x1+x2+x3=-b , x1x2+x1x3+x2x3=c , x1x2x3=-d.
n 1
x1 x2 x3 x4 ...xn-2 xn-1 xn - 1 S0
n
• 这个关系就称为韦达定理。 • 韦达定理的逆定理：若根与系数满足上列关系，则可列出 原方程。
x 2a
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2是方程x2+bx+c=0的根. 则(x-x1)(x-x2)=0. 即x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 故 x1+x2=-b , x1x2=c.
一元三次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax3+bx2+cx+d=0(a≠0).
x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 x2 x4 ... x2 xn ... xn 1 xn S n 2 x1 x2 x3 ... x1 x2 xn ... x1 xn x1 x1 xn xn x2 x3 x4 ... xn 2 xn 1 xn S n 3 ... x2 x3 x4 ...xn x1 x3 x4 ...xn x1 x2 x4 ...xn x1 x2 x3 ...xn-2 xn x1 x2 x3 ...xn-1 - 1 S1
• 标准形式：ax+b=0(a≠0). • 求根公式： x b
a
• • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1是方程x+b=0的根. 则x-x1=0. 故 x1=-b.
一元二次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0). • 求根公式： b b 2 4ac
韦达定理
韦达定理
• 法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的 识别与订正》中建立了方方程的根与系数之间有这种 关系，人们把这个关系称为韦达定理。 • 同时，又有韦达定理的逆定理。根据根与系数的关系，可 列出原方程。
一元一次方程中根与系数的关系