韦达定理的推广：一元多次方程的根与系数的关系
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韦达定理
韦达定理
• 法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的 识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条 定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种 关系，人们把这个关系称为韦达定理。 • 同时，又有韦达定理的逆定理。根据根与系数的关系，可 列出原方程。
一元一次方程中根与系数的关系
x 2a
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2是方程x2+bx+c=0的根. 则(x-x1)(x-x2)=0. 即x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 故 x1+x2=-b , x1x2=c.
一元三次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax3+bx2+cx+d=0(a≠0).
x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 x2 x4 ... x2 xn ... xn 1 xn S n 2 x1 x2 x3 ... x1 x2 xn ... x1 xn x1 x1 xn xn x2 x3 x4 ... xn 2 xn 1 xn S n 3 ... x2 x3 x4 ...xn x1 x3 x4 ...xn x1 x2 x4 ...xn x1 x2 x3 ...xn-2 xn x1 x2 x3 ...xn-1 - 1 S1
• 标准形式：ax+b=0(a≠0). • 求根公式： x b
a
• • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1是方程x+b=0的根. 则x-x1=0. 故 x1=-b.
一元二次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0). • 求根公式： b b 2 4ac
• • • • • •
根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2,x3是方程x3+bx2+cx+d=0的根. 则(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0. 即x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0. 故 x1+x2+x3=-b , x1x2+x1x3+x2x3=c , x1x2x3=-d.
n 1
x1 x2 x3 x4 ...xn-2 xn-1 xn - 1 S0
n
• 这个关系就称为韦达定理。 • 韦达定理的逆定理：若根与系数满足上列关系，则可列出 原方程。
来自百度文库
一元高次方程中根与系数的关系
m n n 1 标准形式： a x a 0 . 即 a x a x ... a1 x a0 0. m 0 n n 1 m1 n
设Sk
ak a a ，例如：Sn1 n1 , S1 1 . an an an
记：x1 , x2 ,...,xn为原方程的n个根.则各根与系数满足系列 关系： x1 x2 ... xn S n 1
韦达定理
• 法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的 识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条 定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种 关系，人们把这个关系称为韦达定理。 • 同时，又有韦达定理的逆定理。根据根与系数的关系，可 列出原方程。
一元一次方程中根与系数的关系
x 2a
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根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2是方程x2+bx+c=0的根. 则(x-x1)(x-x2)=0. 即x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 故 x1+x2=-b , x1x2=c.
一元三次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax3+bx2+cx+d=0(a≠0).
x1 x2 x1 x3 ... x1 xn x2 x3 x2 x4 ... x2 xn ... xn 1 xn S n 2 x1 x2 x3 ... x1 x2 xn ... x1 xn x1 x1 xn xn x2 x3 x4 ... xn 2 xn 1 xn S n 3 ... x2 x3 x4 ...xn x1 x3 x4 ...xn x1 x2 x4 ...xn x1 x2 x3 ...xn-2 xn x1 x2 x3 ...xn-1 - 1 S1
• 标准形式：ax+b=0(a≠0). • 求根公式： x b
a
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根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1是方程x+b=0的根. 则x-x1=0. 故 x1=-b.
一元二次方程中根与系数的关系
• 标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0). • 求根公式： b b 2 4ac
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根与系数的关系： 将最高次项系数化为1. 设x1,x2,x3是方程x3+bx2+cx+d=0的根. 则(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0. 即x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3=0. 故 x1+x2+x3=-b , x1x2+x1x3+x2x3=c , x1x2x3=-d.
n 1
x1 x2 x3 x4 ...xn-2 xn-1 xn - 1 S0
n
• 这个关系就称为韦达定理。 • 韦达定理的逆定理：若根与系数满足上列关系，则可列出 原方程。
来自百度文库
一元高次方程中根与系数的关系
m n n 1 标准形式： a x a 0 . 即 a x a x ... a1 x a0 0. m 0 n n 1 m1 n
设Sk
ak a a ，例如：Sn1 n1 , S1 1 . an an an
记：x1 , x2 ,...,xn为原方程的n个根.则各根与系数满足系列 关系： x1 x2 ... xn S n 1