初中数学竞赛《归纳与递推》配套练习题

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(完整版)数学归纳法练习题

数学归纳法练习题一、选择题1. 用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a++-++++=∈≠-L ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )A.121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 112122k k -++ 3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,nnx y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )A. 假设*21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确; D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.二、填空题4. 数列{}n a 中,111,21n n n a a a a +==+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当*2351,12222n n N -∈+++++L 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1k +时需添加的项是三、解答题7. 求证:对于整数0n ≥时,2211112n n +++能被133整除. 8. 若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n nnαααααα=L .9. 若*n N ∈,且2n ≥,求证:1111312224n n n +++>++L . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39nf n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.12. 正数数列{}n a 中,11()2n n nS a a =+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*n N ∈,试比较 3(1)!nn +和的大小.【答案】一、选择题1. C2. D3. B 二、填空题4. 11111,,,,23456. 11n a n =+(*n N ∈)5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++L L6. 23412222++++, 55152535422222kk k k k ++++++++.三、解答题(略解)7. ① 0n =时,原式=21112133+=能被133整除;② 设n k =时,2211112k k +++ 能被133整除1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+=2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除.8. ① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=9. ① 2n =时,左=11713341224+=>② 设n k =时, 1111312224k k k +++>++L 1n k =+时, 左=1111222122k k k k +++++++L =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++L ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324.10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 1212n n n a --=① 1n =时,计算得11a =,结论成立;② 设n k =时, 1212k k k a --=, 则1n k =+时, 11111121[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-∴11212k k ka ++-=.11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.② 设n k =正确即 ()(27)39kf k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.12. ⑴ 11a =,21a =,3a = ⑵ 猜想: n a =① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即n a =则 1n k =+ 时111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+--21110k k a ++⇒+-=,解得(取正值) 1k a +=13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!nn >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!nn <+① 4n = 时,显然成立;② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!kk <+ 则 1n k =+ 时1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )即 13(11)!k k +<++。

奥数--归纳递推与逆推试题

归纳递推与逆推一只青蛙在井底，每天白天爬上4米，晚上又滑下3米，这井有90米深。

那么爬上这口井的上面一共需要多少天？1. 1.一个数是20,现在先加30,再减20,再加30 ,再减20,反复这样操作,如果每加、减一次算两次操作，请问至少经过______次操作结果是500?2. 2.有一类自然数，其数码只能是2或者3，并且没有两个3是相邻的。

请问：满足这些条件的10位数共有______个？3. 3.有一个圆，其上有两个点将圆周分成两半，并且这两个点上写有数字1，我们进行一下的操作，第1步将两段圆弧对分，在这两个分点上写上相邻的两点上的数字之和，如此继续下去，问：第6步后，圆周上所有的点的数的和是______？有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或者两级，问：要登上第十级台阶有多少种不同的走法？1. 1.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通，李楠从学校出发，步行到少年宫，学校在东南方而少年宫在西北方，走的路径最短的不同的走法有______种？2. 2.根据各个数之间的关系，在括号内填上一个恰当的数1，2，6，24，（），720；1，2，4，7，11，16，（）。

（分别回答以上两道题目，中间用一个空格隔开）3. 3.在2×8的棋盘每个格编号。

现在用8张1×2的长方形卡片去覆盖棋盘。

问：有多少种方法将棋盘完全盖住？一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请问这个数列第14个数和第18个数分别是什么？1. 1.已知用一根线段能将一个矩形分成两部分，现在问：8条线段最多能将一个矩形分成______段？2. 2.仅由字母XY组成的长度为n的“单词”恰好有2^n个（因为每个位置都有2个选择），设这些单词中至少有两个X相连的有an个，比如XXYY，YXXX，XXXY等。

现在问a10=______3. 3.从边长为1的小正方形开始，以这个正方形的对角线为边做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线做第三个正方形，如此下去，那么，第11个正方形的边长是_____？六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛。

奥数讲义计数专题：归纳与递推

华杯赛计数专题: 归纳与递推基础知识:1.递推的基本思想: 从简单情况出发寻找规律, 逐步找到复杂问题的解法。

2.基本类型: 上楼梯问题、直线分平面问题、传球法、圆周连线问题。

3.递推分析的常用思路: 直接累加、增量分析、从复杂化归简单。

例题：例1.一个楼梯共有10级台阶, 规定每步可以迈一级台阶或二级台阶.走完这10级台阶, 一共可以有多少种不同的走法？【答案】89种【解答】设n级台阶有an种走法, 则an=an-1+an-21级有1种走法；2级有（1+1和2）2种走法；3级有（1+1+1、2+1和1+2）3种走法；4级有3+2=5种走法；5级有3+5=8种走法；6级有5+8=13种走法；7级有8+13=21种走法；8级有13+21=34种走法；9级有21+34=55种走法；10级有34+55=89种走法例2.小悦买了10块巧克力, 她每天最少吃一块, 最多吃3块, 直到吃完, 共有多少种吃法？【答案】274种【解答】通过枚举法和递推法: 设n块糖有an种走法, 则an=an-1+an-2+ an-31块糖有1种吃法；2块糖有2种吃法； 3块糖有4种吃法； 4块糖有1+2+4=7种吃法； 5块糖有2+4+7=13种吃法； 6块糖有4+7+13=24种吃法； 7块糖有7+13+24=44种吃法； 8块糖有13+24+44=81种吃法；9块糖有24+44+81=149种吃法；10块糖有44+81+149=274种吃法。

例3.用 1×2的小方格覆盖 2×7的长方形, 共有多少种不同的覆盖方法？【答案】21种【解答】2×1的方格有1种盖法；2×2的方格有2种盖法；2×3的方格有2+1=3种盖法；2×4的方格有3+2=5种盖法；2×5的方格有3+5=8种盖法；2×6的方格有5+8=13种盖法；2×7的方格有8+13=21种盖法。

数学归纳法专题测试

2. 正整数数列 an 满足： a1 1, an 1
an n 若an n an n 若an n
；
（1）.求 a2014 ；（2）.求最小的正整数 n ，使 an 2014 ．
n 2 2 3. 对任意一个实数列 xn ，定义数列 yn 如下： y1 x1 , yn 1 xn 1 xi ( n 1) i 1 m m 1 m i 2 2 求证：对任意实数列 xn 及一切正整数 m ，均有 xi 2 yi m i 1 i 1
1, 若从左往右数第i枚硬币正面朝上 1 ，每次考虑从右到左的第一个 1，，则开始时的数列为 11 ci 若从左往右数第枚硬币正面朝下 i 0, n 个 1
以这个 1 为开头，取最长的奇数位数字做一次操作，记这种方案的操作总次数为 an ，证明： an （其中） x 表示不大于 x 的最大整数．
nk 1 3nk 1, k 1, 2, 3 … … ○ 1 ，对 k 归纳： k 1, 2 时已成立，设已有 ank 1 ，则由条件， ank 1 nk 1 ， ank 2 2nk 2 ， ank 3 nk ， ank 4 2nk 3 ，…，归纳易得， ank 2 m 1 nk 2 m ，
4. 把 n(n 2) 枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币开头的从左到右连续奇数枚硬币（可以是一枚）同时翻面，（翻面是指将正面朝上的硬币翻成正面朝下，将正面朝下的硬币翻成正面朝上），这称为一次操作，当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时全部硬币正面朝上，对硬币的每一种摆放方式，定义相对应的数列 c1c2 , cn 为

初中数学竞赛枚举、归纳与猜想(含答案)

枚举、归纳与猜想一、枚举法枚举法起源于原始的计数方法，即数数。

关于这方面的例子，我们在第11讲中已介绍过，现在我们从另一角度来利用枚举法解题。

当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，就不得不采用逐一检验这些答案的策略，也就是利用枚举法来解题。

采用枚举法解题时，重要的是应做到既不重复又不遗漏，这就好比工厂里的质量检验员的责任是把不合格产品挑出来，不让它出厂，于是要对所有的产品逐一检验，不能有漏检产品。

例1一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数还是平方数，其个位数也是一个平方数。

求这个三位数。

解：这道题共提出三个条件：（1）一个小于400的三位数是平方数；（2）这个三位数的前两位数字组成的两位数还是平方数；（3）这个三位数的个位数也是一个平方数。

我们先找出满足第一个条件的三位数：100，121，144，169，196，225， 256， 289， 324， 361。

再考虑第二个条件，从中选出符合条件者：169，256，361。

最后考虑第三个条件，排除不合格的256，于是找到答案是169和361。

说明：这里我们采用了枚举与筛选并用的策略，即依据题中限定的条件，面对枚举出的情况逐步排除不符合条件的三位数，确定满足条件的三位数，从而找到问题的答案。

例2哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数是1？解：168表示成两个两位质数之和，两个质数都大于68。

个位是1且大于68的两位数有71，81，91，其中只有71是质数，所以一个质数是71，另一个质数是168-71=97。

说明：解此题要求同学们记住100以内的质数。

如果去掉题目中“其中一个的个位数是1”的条件，那么上述答案不变，仍是唯一的解答。

如果取消位数的限制，那么还有168=5+163，168=11+157，168=17+151，…哥德巴赫猜想是1742年提出来的，至今已有250多年的历史了，它是数论中最有名的问题，中外许多著名的数学家都研究过，包括我国著名数学家华罗庚教授。

初中数学专题4.4 递推和归纳署

4．4 递推和归纳署递推和归纳是处理与正整数n 相关的命题时常用的方法．其基本思想是从小的n 推出下一个或者大的n 成立．强调前后者之间的联系．例1 已知有2n 个人，如果每两人一组，试问：有多少种不同的分组方式？【解】先取定一个人，他与其余21n -个人均可组成一组，故有21n -种方式；再考虑剩下22n -人，取定一人后，他有23n -种方式组队．依此类推，于是共有()()21231n n -⨯-⨯⨯即(21n -)！种不同的组队方式．例2 已知某台阶有10级，每次可以向上跨一级或两级台阶．试问：走完10级台阶有多少种走法？【解】不妨设走完n 级台阶有n a 种走法，则要走到第n 级，要么从第1n -级上一级，要么从第2n -级跨两级．于是可以得到递推关系式：12(n 3)n n n a a a --=+≥，而11a =，22a =，所以3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，，834a =，955a =，1089a =，故走完10级台阶有89种走法．例3 圆周上两个点将圆周分成两半，在这两点玉写上数1．然后将两段半圆弧等分土写上相邻两数之和；再把四段圆弧分别等分，仍然在分点上写上相邻两数之和．如此下去，问：第六步后，圆周上所有点之和是多少？【解】不妨设第n 步后，圆周上所有点之和为n a 考虑从第1n -步到第n 步的过程：添上去的新数都等于相邻两数之和，且原来的数都被计算了两遍，即新数之和为12n a -，所以11123n n n n a a a a ---=+=，又12a =，所以26a =，318a =，454a =，5162a =，6486a =，即第六步后，圆周上所有数字之和为486．例4 四人进行篮球训练，亙相传球．要求每人接球后马上传给别人，开始由甲开球，并作第一次传球．第五次传球后，球又回到甲手中．试问；有多少种不同的传球方式？【解】设第n 次传球后，球回到甲手中的传球方式有n a 种，考虑前1n -次传球，每次传球都有三种选择，故所有传球方式共有13n -种．注意到，只有第1n -次传球后，球不甲手上，那么第n 次才能传给甲，所以，()113.2n n n a a n --=-≥由10a =，可依次算得2133a a =-=，23236a a =-=，343621a =-=，454360a a =-=，所以共有60种可能的传球方式．【注】从上面的处理可看出只有恰当建立前后者之间的关系式才能方便地用递推方法解决．例5 n 条直线最多能把平面分成多少部分？【解】不妨设n 条直线最多能把平面分成n a 份，考虑第n 条直线，它最多与前面1n -条均相交，那么它被分成了n 段，被分成的每一条线段（或者射线），都可以将平面多分出一个部分，所以1n n a a n -=+，于是()121n n a a n --=+-，()232n n a a n --=+-，323a a =+，212a a =+，将上面1n -个式子相加，有123n a a n =++++，结合12a =，可得222232n n n a n ++=++++=，所以n 条直线最多可以将平面分成222n n ++个部分．例6 用1或2两个数字写n 位数，其中任意相邻的两个位置不全为1．记这样的n 位数的个数为()f n ．求()10f 的值．【解】符合条件的n 位数可以分为如下两类：（1）首位为2，则以后的1n -位符合条件的个数为()1f n -；（2）首位为1，则第二位必为2，之后2n -位符合条件的个数为()2f n -，于是()()()12f n f n f n =-+-．且()12f =，()23f =，所以可以递推得到()10144f =．【注】这里与例2 —样，均为斐波那契数列．例7 已知有排成一行的10个方格，现用红、黄、蓝三色涂每个格子，每格涂一色，要求任意相邻的格子不同色，且首尾两格也不同色．试问：有多少种不同的涂法？【解】直接考虑一般情形，不妨设一行n 个格子的涂法有n a 种，那么显然13a =，26a =，36a =，当4n ≥时，将格子编号，第1个格与第1n -格不相邻．(1)．若第1n -格与第1格颜色不同，此时第n 格只有一种颜色可以选择，且前1n -个格子满足首尾两个不同色，故这种情况有1n a -种涂法．⑵若第1n -格与第1格颜色相同，此时第2n -格与第1格颜色不同，于是前2n -个格子满足首尾两个不同色，于是前2n -个格子有2n a -种涂法，而另一方面，第n 个格子此时有两种选择，于是这种情况有22n a -种涂法．故()1224n n n a a a n --=+≥，递推可知101022a =+．例8 空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？【解】显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的：1．这n 个平面两两相交；2．没有三个以上的平面交于一点；3．这n 个平面的交线任两条都不平行．由于一般情况不易考虑，不妨从简单的、特殊的情况入手来寻找规律．设n 个平面分空间的部分数为n a ，易知：当1n =时，2n a =；当2n =时，4n a =；当3n =时，8n a =；当4n =时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15n a =；从以上几种情况，很难找串般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂．那么，我们把问题再进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不相交同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么由例5的结论知()2122n b n n =++．回到原问题，用类似思路来解决空间的问题．设k 个平面将空间分割成k a 个部分，再添加上第1k +个平面，这个平面与前k 个平面相交有k 条交线，这k 条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第1k +个平面就被这k 条直线分割成k b 个部分．而这k b 个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间．所以，添加上这第1k +个平面后就把原有的空间数增加k b 个部分．由此得递推关系式：1k k k a a b +=+，即1k k k a a b +-=．当1k =，2，，1n -时，我们得到如下1n -个关系式：211a a b -=，322a a b -=，11n n n a a b ---=，将这1n -个式子相加，得()1121n n a a b b b -=++++．因为()2122n b n n =++且12a =，所以()()()()(()((){}()()()()()22222231112112222112222121211212121111561121111126266n a n n n n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++++-+-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++++-+++-+-⎣⎦⎣⎦++⎡⎤=++--+-=++-+=⎢⎥⎣⎦，综上所述，n 个平面最多可将平面分割成()31566n n ++个部分．练习 4．41．平面上5个圆最多能把平面分成多少部分？2．设1a ，2a ，，n a 这n 个数取值为0或1．记满足12a a ≤，23a a ≥，34a a ≤，45a a ≥的序列()12,,,n a a a 个数为()f n ．求()10f 的值．3．求满足以下条件的数列的个数：项数为6，每一项为0或1或2，并且0不能为2的前一项也不能为2的后一项．4．平面上有100条直线，其中20条互相平行．问这100条直线最多能将平面分成多少部分？5．已知：ABC 内部有2011个点，以顶点A 、B 、C 和这2011个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？73,36,41,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩76,32,42,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩79,28,43,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 7．将五条边依次记为，，，，．不妨设为红色，为黄色．那么若为红，则，．可以为(黄、蓝)或者(蓝、黄)；若为蓝，则，可以为(红、黄)或(红、k)或(黄、蓝)．所以当为红色，为黄色时，共有5种染色方法．而的染色办法还可以是(红、蓝），(黄、蓝），（黄、红），（蓝、红)，（蓝、黄)，且每一种情况都与上述情况是对称的．所以不同染方法共有'种．8．分析：注意到当自变量变大时，函数值变化为，化简即为，所以若某一整数可以用以上形式表示的话，那么这个数加上6也可以用这个形式表示．所以只需枚举出1〜6中哪些数可以表示即可．令，易知．所以若整数可以表示为的形式，那么（为自然数）也可以表示为的形式．当时，；当时，；当时，；当时，；且． 82,24,44,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩85,20,45,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩a b c d e a b c d e c d e a b (),a b 6530⨯=x 12111246222x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][]2466x x x +++()[][][]246f x x x x =++()162f x f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭a ()f x 6a k +k ()f x 106x ≤<()0f x =1164x ≤<()1f x =1143x ≤<()2f x =1132x ≤<()3f x =162f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以1~6中，有4个数可以表示为/的形式．而，所以共有个数可以表示成的形式．练习 4．41．一个圆最多分成两个部分；两个圆最多分成四个部分；三个圆最多分成八个部分．现在考虑第四个圆．要使分成的部分尽量多，第四个圆必须与前三个都有两个交点，因此有6个交点，将第四个圆周分成6段，每段圆弧都可以增加一个部分．所以四个圆最表可以分成份．同理，五个元最多可以分成个部分•【注】事实上，用例5的方法，也可以算出个圆最多可以将平面分成的份数的情形．这里．2．显然，，，．记当时，满足条件的序列数为，当时满足条件的序列数为．则．当为奇数时，有，；当为偶数时，有，．于是可以得到为奇数时，；当为偶数时，．故为斐波那契数列，于是．3．考虑一般情形，记满足条件且项数为的数列个数为．其中以0为末项的数列有个，以1为末项的数列有个，以2为末项的数列有个．于是容易发现，，．所以（因为）而，，所以()f x 20046334=⨯33441336⨯=[][][]246x x x ++8614+=14+822=n ()22122232122n a n n n =+⨯+⨯+⨯++-⨯=-+()12f =()23f =()35f =0n a =()g n 1n a =()h n ()()()f n g n h n =+n ()()1h n h n =-()()1g n f n =-n ()()1g n g n =-()()1h n f n =-n ()()()()()()()1112f n g n h n f n h n f n f n =+=-+-=-+-n ()()()()()()()1121f n g n h n g n f n f n f n =+=-+-=-+-()f n ()10144f =n n f n a n b n c n n n n f a b c =++11n n n a a b --=+111n n n n b a b c ---=++11n n n c b c --=+1220n n n f f f ----=12222n n n n n b a b c f -----=++=13f =27f =6239f =4．首先，20条平行直线将平面分成了 21份．设另外加上条直线，连同这20条，将平面最多分成个部分．考虑加上第条直线时的情况．它与前是条有个交点，所以，，，，将上述后个式子相加，有．又，所以，故．习题解答【注】这里与前面例题不同的地方仅仅在于递推开始时初始状态稍有改变，基本方法仍然相同．5．设内部有个点时能分割成个小三角形．考虑从个点到个点的过程．(1)如果第个点在某小三角形的内部，那么将这个点与小三角形三顶点相接，一分为三，故增加了两个；(2)如果第个点在某两个小三角形的公共边上，则这两个小三角形的顶点与这个点相连，分别将它们都一分为二，故也增加了两个．于是，且，所以．当时，，即能把原三角形分割成4023个小三角形．k k a 1k +20k +20k +121k k a a k +=++()1211k k a a k -=++-()12212k k a a k --=++-21211a a =++1k -()()112112k k k a a k -=+-+142a =21412122k a k k =++804861a =n n a 1n -n n n 12n n a a -=+01a =21n a n =+2011n =20114023a =。

数学初中竞赛逻辑推理专题训练(含答案)

数学初中竞赛逻辑推理专题训练一．选择题1．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（）A．6种B．120种C．240种D．720种2．钟面上有十二个数1，2，3，…，12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n个负号，这个数n是（）A．4 B．5 C．6 D．73．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时是开的，那么所有不同的状态有（）A．6种B．7种C．8种D．9种4．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上2阶或3阶（不上1阶），那么小明上12阶楼梯的不同方法共有（）（注：两种上楼梯的方法，只要有1步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法．）A．15种B．14种C．13种D．12种5．如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（）A．3种B．5种C．8种D．13种6．﹣2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之一段，那么n的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）A．5种B．6种C．10种D．12种8．用六根火柴棒搭成4个正三角形（如图），现有一只虫子从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，则不同的爬行路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条9．将四边ABCD的每个顶点涂上一种颜色，并使每条边的两端异色，若共有3种颜色可供使用（并不要求每种颜色都用上），则不同的涂色方法为（）种．A．6 B．12 C．18 D．2410．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．8 B．12 C．16 D．2011．如图，在一块木板上均匀钉了9颗钉子，用细绳可以像图中那样围成三角形，在这块木板上，还可以围成x个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则x的值为（）A．8 B．12 C．15 D．1712．初二（1）班有37名学生，其中参加数学竞赛的有30人，参加物理竞赛的有20人，有4人没有参加任何一项竞赛，则同时参加这两项竞赛的学生共有（）人．A．16 B．17 C．18 D．19二．填空题13．湖南卫视推出的电视节目《我是歌手第三季》于3月27日落下帷幕，歌手韩红夺得歌王称号．在这个节目中，每场比赛7位歌手的成绩排位顺序是由现场500位大众评委投票决定的，每场比赛每位大众评委有3张票（必须使用）以投给不同的3位歌手．在某一场比赛中，假设全部票都有效，也不会产生并列冠军，那么要夺得冠军至少要获得张票．14．如图，在一个4×4的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格，那么这枚棋子走28步后到达B处．（填“一定能”或“一定不能”或“可能”）15．将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是．16．在表达式S＝中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x 2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有种．17．如图，一个田字形的区域A、B、C、D栽种观赏植物，要求同一个区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有种栽种方案．18．6名乒乓球运动员穿着4种颜色的服装进行表演赛，其中2人穿红色的，2人穿黄色的，1人穿蓝色的，1人穿黑色的．每次表演选3人出场，且仅在服装颜色不同的选手间对局比赛，具体规则是：（1）出场的“3人组”中若服装均不相同，则每两人都进行1局比赛，且比赛过的2名选手在不同的“3人组”中再相遇时还要比赛．（2）出场的“3人组”中若有服装相同的2名选手，则这2名选手之间不比赛，并且只派1人与另1名选手进行1局比赛．按照这样的规则，当所有不同的“3人组”都出场后，共进行了局比赛．19．将1、2、3、…、64填入右图8×8的表格中，每格一个数．如果某格所填的数至少大于同行中的5个，且至少大于同列的5个，那么就将这个格子涂上红色．涂上红色的格子最多个．三．解答题20．120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？21．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．22．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？23．把一条宽为1厘米的长方形纸片对折n次，得到一个小长方形，宽仍然是1厘米，长是整数厘米．然后，从小长方形的一端起，每隔1厘米剪一刀，最后得到一些面积为1平方厘米的正方形纸片和面积为2平方厘米的长方形纸片．如果这些纸片中恰好有1282块正方形，那么，对折的此数n共有多少种不同的数值？24．圆周上的十个点将圆周十等分，连接间隔两个点的等分点，共得到圆的十条弦，它们彼此相交，构成各种几何图形．图中有多少个平行四边形？25．足球的球面由若干个五边形和正六边形拼接而成，已知有12块正五边形，则正六边形的块数是？26．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2P 3…P m 中，若1≤i ＜j ≤m 时，P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n +1）n （n ﹣1）…321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1＝1，排列4321的逆序数a 3＝6．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式（用n 表示，不要求证明）；（2）令b n ＝+﹣2，求b 1+b 2+…b n 并证明b 1+b 2+…b n ＜3，n ＝1，2，…．参考答案一．选择1．解：老师在中间，故第一位同学有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法，所以共有6×5×4×3×2×1＝720种．故选：D ．2．解：因为1+2+3+…+11+12＝78，所以78÷2＝39，也就是添上负号的数的和为﹣39，其余数的和为39使代数和等于零，要填负号最少，首先从大数前面加负号，因此﹣10﹣11﹣12＝﹣33，﹣33﹣6＝﹣39，由此得到至少要添4个负号．故选：A ．3．解：我们用O 表示开的状态，F 表示关的状态，则各种不同的状态有OOOO ，OOOF ，OOFO ，OFOO ，FOOO ，FOFO ，OFOF ，FOOF 共8种状态．故选：C ．4．解：设小明上n 阶楼梯有a n 种上法，n 是正整数，则a 1＝0，a 2＝1，a 3＝1．由加法原理知a n ＝a n ﹣2+a n ﹣3，n ≥4．递推可得a 4＝a 2+a 1＝1，a 5＝a 3+a 2＝2， a 6＝a 4+a 3＝2， a 7＝a 5+a 4＝3， a 8＝a 6+a 5＝4， a 9＝a 7+a 6＝5， a 10＝a 8+a 7＝7， a 11＝a 9+a 8＝9， a 12＝a 10+a 9＝12．故选：D ．5．解：如图所示，直线代表一个1×2的小矩形纸片：1+4+3＝8（种）．答：不同的覆盖方法有8种．故选：C．6．解：∵令每个抽屉最多有2个点，则最多有6个点，∴n≥7．故选：C．7．解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，caedb，cadeb六种情况，综上所知，共10种取法．故选：C．8．解：从点A出发爬行了5根不同的火柴棒后，到了C点，不同的爬行路径有：①AB﹣BC ﹣CA﹣AD﹣DC；②AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AC；③AC﹣CB﹣BA﹣AD﹣DC；④AC﹣CD﹣DA﹣AB﹣BC；⑤AD﹣DC﹣CA﹣AB﹣BC；⑥AD﹣DC﹣CB﹣BA﹣AC．共有6条．故选：C．9．解：设供选用的颜色分别为1，2，3；当A选1时，有两种情况：①C与A的颜色相同时，B、D的选法有：一、B选2，D选3；二、B选3，D选2；三、B选2，D选2；四、B选3，D选3；共4种涂色方法；②C与A的颜色不同时，选法有：一、C选2，B、D选3；二、C选3，B、D选2；共2种涂色方法；因此当A选1时，共有2+4＝6种涂色方法；而A可选1、2、3三种颜色；因此总共有3×6＝18种涂色方法．故选C．10．解：韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左和三个右组成的排列（例如：左左右左右右是一种情况）分别对应一种搬花的顺序，并且不同的排列对应不同的搬花顺序，所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个数相同，故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数，对于这种排列只需要考虑在6个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有＝20．故选：D．11．解：如图所示：将图形分成①、②、③、④四部分，第①个小正方形中符合题意的三角形有3个；第②个小正方形中符合题意的三角形有4个；第③个小正方形中符合题意的三角形有4个；第④个小正方形中符合题意的三角形有4个；综上可得共有15个与图中三角形全等但位置不同的三角形，即x＝15．故选：C．12．解：设同时参加两项竞赛的学生有x人，根据题意可列出方程：37＝30+20+4﹣x，解得x＝17（人）；故选：B．二．填空13．解：∵（500×3）÷7＝214（张）…2（张），又∵全部票都有效，也不会产生并列冠军，∴夺得冠军至少要获得票数＝214+2＝216（张）故答案为：216．14．解：棋子每走一步都有2一4种可能的选择，所以该棋子走完28步后，可能出现的情况十分复杂．如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，且使每个黑格的四周都是白格，那么，棋子从黑色A格出发，第一步必定进人白格；第二步必定进人黑格，第三步又进入白格…也就是说棋子走奇数步时进人白格；走偶数步时，进人黑格，所以当棋子从A格出发28步后，必定落在黑格．故这枚棋子走28步后可能到达B处．故答案为：可能．15．解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．16．解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22＝24﹣8＝16（种）故答案为：16．17．解：若A，C种同一种植物，则A，C有4×1种栽种方法，B，D都有3种栽种法，共有4×3×3＝36种栽种方案；若A ，C 种不同的植物，则有4×3种栽种法，B ，D 都有2种栽种法，一共有4×3×2×2＝48种栽种法．所以共有36+48＝84种．故答案为：84．18．解：将穿红色服装的2名选手表示为平行直线l 1、l 2；将穿黄色服装的2名选手表示为另两条平行直线l 3、l 4；将穿蓝色、黑色服装的选手表示为相交直线l 5、l 6、且与l 1、l 2、l 3、l 4均相交，这就得到了图1，图中无三线共点．（1）“3人组”的服装均不相同时，按规则，对应着3条直线两两相交，其比赛局数恰为图中的线段数（图2）因为l 1、l 2、l 3、l 4上各有4个交点，每条直线有6条线段，共有24条线段．（2）当“3人组”有2人服装相同，按规则，其比赛局数恰好为图中的线段数（图3）因为l 5、l 6上各有5个交点，每条直线上都有10条线段，共得20条线段．两种情况合计，总比赛局数为44局．故答案为：44．19．解：因为一行有8个数，至多有3个数可以大于同行的5个数，只有当这两个数分别同时大于所在列的5个数时，涂上红色，所以一行最多有3个涂上红色，8行最多有3×8＝24个涂上红色，如图所示：1所在位置，都可以涂成红色．故答案为：24．三．解答20．解：将这120人分别编号为P 1，P 2，…，P 120，并视为数轴上的120个点，用A k 表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组， |A k |为该组人数，k ＝1，2，3，4，5，则|A 1|＝24，|A 2|＝37，|A 3|＝46，|A 4|＝54，|A 5|＝85，将以上五个组分别赋予五种颜色，如果某人未做对第k 题，则将表示该人点染第k 色，k ＝1，2，3，4，5，问题转化为，求出至少染有三色的点最多有几个？由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|＝246，故至少染有三色的点不多于＝82个，图是满足条件的一个最佳染法，即点P 1，P 2，…，P 85这85个点染第五色；点P 1，P 2，…，P 37这37个点染第二色；点P 38，P 39，…，P 83这46个点染第四色；点P 1，P 2，…，P 24这24个点染第一色；点P 25，P 26，…，P 78这54个点染第三色；于是染有三色的点最多有78个．因此染色数不多于两种的点至少有42个，即获奖人数至少有42个人（他们每人至多答错两题，而至少答对三题，例如P 79，P 80，…，P 120这42个人）．答：获奖人数至少有42个人．21．解：设有x个学生，y个管理员．该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x﹣1张，那么总共就用去了x（x﹣1）张贺卡；每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡；每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡；∴x（x﹣1）+xy+y＝51，∴51＝x（x﹣1）+xy+y＝x（x﹣1）+y（x+1）≥x（x﹣1）+x+1＝x2+1（当y＝1时取“＝”），解得，x≤7；x（x﹣1）+（x+1）y＝51∵51是奇数，而x和x﹣1中，有一个是偶数，∴x（x﹣1）是偶数，∴（x+1）y是奇数，∴x是偶数，而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况；当x＝2时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝4时，y＝（不是整数，舍去）；当x＝6时，y＝3．所以这个宿舍有6个学生．22．解：（1）不一定．设四个球队分别为A、B、C、D，如四个球队的比赛结果是A战胜了B，D，而B战胜了C，D，C战胜了A，D，D在3场比赛中都输了，这样，小组赛之后，ABC三个球队都得6分，D队积0分，因此小组中的第三名积分是6分，∴不能出线；（2）有可能出线．如A在3场比赛中获得全胜，而B战胜了C，C战胜了D，D战胜了B，这样，小组赛之后，A积9分，B、C、D都积3分，因此这个小组的第二名，一定是3分出线；（3）有可能出线．如A队三战全胜，B、C、D之间的比赛都战平，这样这个小组的第二名的积分一定是2分，自然有出线的可能．（4）不可能出线．如果只得1分，说明他的3场比赛成绩是1平2负，而他负的两个球队的积分至少是3分，他就不可能排到小组的前两名，必然被淘汰．23．解：设长方形的长为a，若n＝1，即对折一次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2＝a﹣2＝1282，解得：a＝1284，2|1284，符合条件；若n＝2，即对折2次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（4﹣2）＝a﹣6＝1282，解得：a＝1288，4|1288，符合条件；若n＝3，即对折3次，按题中操作可得1平方厘米的正方形纸片个数为：（﹣1）×2+（﹣2）×（8﹣2）＝a﹣2×（8﹣1）＝1282，解得：a＝1296，8|1296，符合条件；对一般的n，得到的正方形个数为；a﹣2×（2n﹣1），另a﹣2×（2n﹣1）＝1282，解得：a＝2×（2n﹣1）+1282＝2×2n+1280，若2n|a，则符合条件，显然，当2n|1280时符合条件，1280＝28×5，∴n可取1到8，对折的次数n共有8种不同的可能数值．24．解：连接圆周上的十个等分点的“对径点”，则可得5条直径，因为每条直径是一个平行四边形的较长的那条对角线，所以可得5个平行四边形．即图中有5个平行四边形．25．解：设正六边形有5x块，则正五边形有3x块，由题意得：共有12块正五边形，即3x＝12，解得：x＝4，5x＝20．即正六边形的块数是20块．26．解：（1）由排列21的逆序数a1＝1，排列4321的逆序数a3＝6，得a4＝4+3+2+1＝10，a5＝5+4+3+2+1＝15，∴a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝；（2）∵a n＝n+（n﹣1）+…+2+1＝，b n＝+﹣2，∴b n＝+﹣2＝+﹣2＝﹣，∴b1+b2+…+b n＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝3﹣﹣；又∵n＝1，2，…，∴b1+b2+…b n＝3﹣﹣＜3．。

数学归纳法试题

数学归纳法试题一、使用数学归纳法证明某个命题时，首先需要验证的是？A. 命题对第一个自然数成立B. 命题对所有自然数都成立的一个特殊情况C. 命题的递推关系式D. 命题对无穷大的自然数成立（答案：A）二、在数学归纳法中，假设命题对某个自然数k成立，接下来需要做的是？A. 证明命题对k+1也成立B. 证明命题对k-1也成立C. 重新验证命题对k的成立性D. 直接得出命题对所有自然数都成立的结论（答案：A）三、以下哪个步骤不是数学归纳法证明中的必要步骤？A. 验证基础情况B. 假设归纳步骤C. 证明递推关系D. 验证特殊情况（答案：D）四、设有一个关于自然数的命题P(n)，若要用数学归纳法证明P(n)对所有自然数n都成立，首先需要验证的是？A. P(0)成立（假设0为自然数的起点）B. P(1)成立（假设1为自然数的起点）C. P(2)成立D. P(n)的递推关系式成立（答案：A或B，根据自然数的定义起点而定，通常选B）五、在数学归纳法的归纳步骤中，我们通常做的是？A. 验证命题对第一个自然数的成立性B. 假设命题对某个自然数k成立，然后证明它对k+1也成立C. 验证命题对所有负整数的成立性D. 无需做任何假设，直接证明命题对所有自然数都成立（答案：B）六、关于数学归纳法，以下哪个说法是不正确的？A. 数学归纳法是证明自然数命题的一种有效方法B. 在使用数学归纳法时，必须验证基础情况C. 只要证明了递推关系式，就可以直接使用数学归纳法得出结论D. 数学归纳法包括基础步骤和归纳步骤（答案：C）七、设P(n)是一个关于自然数n的命题，若P(n)对n=1成立，且当P(k)成立时，P(k+2)也成立，则能得出什么结论？A. P(n)对所有自然数n都成立B. P(n)对所有正奇数n都成立C. P(n)对所有正偶数n都成立D. 无法得出P(n)对任何特定自然数集合成立的结论（答案：B，考虑到递推间隔为2）八、在数学归纳法的应用中，以下哪个情况是不需要的？A. 明确命题P(n)的形式B. 验证命题P(n)对第一个自然数的成立性C. 假设命题P(k)成立，然后证明P(k+1)也成立D. 验证命题P(n)对某个特定大数N的成立性（答案：D）。

数列与递推公式的综合练习题

数列与递推公式的综合练习题数列与递推公式是数学中的重要概念，它们在实际问题中的应用广泛。

本文将为读者提供一些综合的练习题，以加深对数列与递推公式的理解和运用能力。

第一题：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + 3n + 2，求前10项的和S。

解析：首先，我们可以求出前10项的数列：a1 = 1^2 + 3*1 + 2 = 6，a2 = 2^2 + 3*2 + 2 = 12，...根据题意，我们需要求出前10项的和S。

可以利用等差数列的求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。

代入已知条件，得到Sn = (6 + 102) * 10 / 2 = 1080。

所以，前10项的和S等于1080。

第二题：已知等差数列{an}的前两项分别为2和5，且满足递推公式an = an-1 + 3，求第10项的值a10。

解析：a2 + 3 = 5 + 3 = 8，a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11，...依次类推，我们可以求得a10的值。

a10 = a9 + 3 = a8 + 3 + 3 = ... = a2 + 3 * (10 - 2) = 5 + 3 * 8 = 29。

所以，第10项的值a10等于29。

第三题：已知等比数列{bn}的通项公式为bn = 2^n，求前5项的和S。

解析：根据已知条件，我们可以求出前5项的数列：b1 = 2^1 = 2，b2 = 2^2 = 4，...根据等比数列的求和公式：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)。

代入已知条件，得到Sn = 2 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 62。

所以，前5项的和S等于62。

第四题：已知递推公式cn = cn-1 + 2 * cn-2，其中c1 = 1，c2 = 3。

求第6项的值c6。

解析：c3 = c2 + 2 * c1 = 3 + 2 * 1 = 5，c4 = c3 + 2 * c2 = 5 + 2 * 3 = 11，...依次类推，我们可以求得c6的值。

第五讲归纳与递推2

第五讲归纳与递推计数【周周测】练习1 某城市有10条笔直的道路，这10条路没有平行的，每两条都有交叉路口，但没有3条或3条以上的路在一个路口相交，如果每一个交叉路口安排一名交警，共需安排（）名。

【解析】求最多交点数：10×（10-1）÷2=45（个）练习2 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于1000个小纸片，至少要画（）条直线。

请说明。

【解析】若有n条直线，则共有1+n×(n+1)÷2（张）1+n×(n+1)÷2>1000n×(n+1)>1998，45×45=2025，则45×44=1980,46×45=2070则n=45练习3 平面上的七个圆和一条直线最多将平面分为几部分？【解析】1）7个圆最多可分：2+7×6=44（个）2）一条直线与7个圆最多有14个交点，则对应增加14个平面共：44+14=58个练习4 如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0格。

现依反时针方向移动这枚棋子，且依次走1,2,3,…,n,…格。

不论走多少次，总有几个格子从不停有棋子，这几个格子的号码是（）。

【解析】找规律和周期问题。

练习5 在一张五边形的纸上有20个点，如果把五边形的顶点算在一起，则一共有25个点。

已知这些点中任意三个点都不在同一直线上，按下面两个规定把这些纸剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都是这25个点中的3个；②每个三角形内，都不再有这些点。

问：这张五边形的纸最多能剪出（）个这样的三角形。

【解析】五边形分三角形。

则5+2×（20-1）=43个练习6 在2,3两数之间，第一次写上5（5=2+3），第二次在2,5和5,3之间分别写上7（7=2+5），8（8=5+3）：2...7...5...8 (3)即每次都在已写上的两个相邻数之间，写上这两个相邻数之和，这样的过程共重复7次，问所有数之和是多少？【解析】找规律次数和开始（0次）2+3=515+5×1=1025+5×1+5×3=2535+5×1+5×3+5×9=70……第n次5+5×3^0+5×3^1+……+5×3^(n-1)所以第七次和5×（1+1+3+9+27+81+243+729）=5470练习7 在方格纸上画折线段（见图），小方格的边长是1，折线上每一直线段都按螺旋形一次编号为①、②、③、…，问：（1）编号69的线段长度是（）（2）长为28的线段的编号是（）你发现什么规律？大1.1）编号为69的长度是：（69+1）÷2 +1=362）若编号为偶数时：则为28×2=56若编号为奇数时：则为（28-1）×2-1=53。

人大附中华杯赛资料--《归纳与递推》配套练习题

《归纳与递推》配套练习题
一、简答题
1、请用递推方法求出甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，共有多少种不同站法？
2、在平面上有5个三角形，最多把平面分割成多少部分？
3、将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2”处转第一个弯，“3”处转第二个弯，“5”处转第三个弯，…。

问哪个数处转第十二个弯？
4、用“1×2”纸牌（如下左图）若干张，放在一个图形上，要求“不空、不超、不重叠”，满足这种条件的叫做一种“完全覆盖”。

例如，用“1×2”纸牌覆盖“2×2”图形（如下右图），有两种
方法。

问用“1×2”纸牌，覆盖“2×8”图形（如下图）有多少种覆盖方法？
5、10级台阶，每次可以上1级或者2级，那么有多少种不同的走法？
6、平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？
平面上24条直线最多能把圆的内部分成几部分？。

数学归纳法与递推关系模拟试题

数学归纳法与递推关系模拟试题在学习数学中，数学归纳法和递推关系是两个非常重要的概念。

通过数学归纳法，我们可以证明一些与自然数有关的命题；而递推关系则可以帮助我们找到数列中的规律和通项公式。

以下是一些关于数学归纳法和递推关系的模拟试题，以帮助大家更好地理解和运用这两个概念。

题目1：证明：对于任意正整数n，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 =n(n+1)(2n+1)/6题目2：已知数列{a_n}满足递推关系a_1 = 2，a_(n+1) = a_n + n (n ≥ 1)求证：a_n = (n^2 + 3n)/2题目3：已知数列{a_n}满足递推关系a_1 = 1，a_(n+1) = 2a_n (n ≥ 1)求证：a_n = 2^(n-1)题目4：证明：对于任意正整数n，1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2解答：题目1：我们使用数学归纳法来证明这个等式对于任意正整数n成立。

当n=1时，左边等式为1^2 = 1，右边等式为1(1+1)(2×1+1)/6 = 1，两边相等。

假设当n=k时等式成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 =k(k+1)(2k+1)/6。

那么当n=k+1时，左边等式为1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2，右边等式为(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)/6。

我们需要证明左边等式等于右边等式。

根据假设，左边等式可化简为k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 =(k+1)(k+2)(2k+1)/6。

经过化简，我们得到(k+1)(k+2)(2k+1)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6，两边相等。

由数学归纳法的原理可知，对于任意正整数n，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6，得证。

题目2：我们使用数学归纳法来证明这个等式对于任意正整数n成立。

数学归纳法与递推关系

数学归纳法与递推关系当然，请看下面的试题：1. 数学归纳法的基本思想是什么？- A. 递推关系式的推导- B. 从特例到一般情况的推广- C. 数列的求和方法- D. 函数的定义与性质2. 在使用数学归纳法证明命题时，通常包括哪些步骤？- 答：（填空题）3.如果要证明一个命题P(n)对所有的正整数n成立，数学归纳法要分为哪几个步骤？- 答：（填空题）4. 下列哪个不是数学归纳法的使用条件？- A. 基础情形成立- B. 归纳假设成立- C. 递推关系式成立- D. 通项公式成立5.使用数学归纳法证明命题P(n)，首先需要证明命题在哪个情形成立？- 答：（填空题）6.若数学归纳法中的归纳假设是“P(k)成立”，则在归纳步骤中需要证明什么？- 答：（填空题）7.数学归纳法是数学证明中的一种方法，它的核心思想是什么？- A. 递推与归纳的结合- B. 数列的发现与求解- C. 从简单到复杂的推理- D. 数学公式的推导8.在使用数学归纳法证明命题时，为什么需要验证归纳步骤？- 答：（填空题）9.数学归纳法与递推关系有何联系？归纳法的结果能否作为递推关系的一种应用？- 答：（填空题）10.为了使用数学归纳法证明某个命题P(n)，你需要做的第一步是什么？- 答：（填空题）11.证明“若P(k)成立，则P(k+1)也成立”属于数学归纳法的哪一步- 答：（填空题）12. 数学归纳法常用于证明哪些类型的数学命题？- A. 函数的连续性- B. 逻辑推理的正确性- C. 等式与不等式- D. 几何定理的应用13. 数学归纳法最重要的一步是什么？- 答：（填空题）14. 数学归纳法的基本要素包括哪些？- 答：（填空题）15. 递推关系是什么数学工具的一部分？- A. 基础代数- B. 离散数学- C. 微积分- D. 几何学16. 递推关系通常用于描述什么类型的数学问题？- 答：（填空题）17. 为什么数学归纳法被称为“归纳”？- 答：（填空题）18.使用数学归纳法证明一个数学命题时，你需要确保什么条件成立- 答：（填空题）19. 数学归纳法的适用范围包括哪些数学领域？- 答：（填空题）20. 如何利用数学归纳法推导一个递推关系？- 答：（填空题）希望这些题目能够满足你的需求！。

递推习题汇总

1、数字三角形【问题描述】如下所示为一个数字三角形。

请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。

只要求输出总和。

1、一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；2、三角形行数小于等于100；3、三角形中的数字为0，1， (99)测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：【样例输入】573 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5【样例输出】302、骨牌【问题描述】有2χn的一个长方形方格，用一个1*2的骨牌铺满方格。

编写一个程序，试对给出的任意一个n（n>0），输出铺法总数。

【样例输入】3【样例输出】33、棋盘格数(checkerboard)【问题描述】设有一个N*M方格的棋盘（l≤N≤100，1≤M≤100）。

求出该棋盘中包含有多少个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。

例如：当N=2，M＝3时：正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。

长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长方形有2个：3*2的长方形有1个：程序要求：输入：N，M输出：正方形的个数与长方形的个数【样例输入】2 3【样例输出】8 104、昆虫繁殖(insects)【问题描述】科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫，这种昆虫的繁殖能力很强。

每对成虫过x 个月产y对卵，每对卵要过两个月长成成虫。

假设每个成虫不死，第一个月只有一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过X个月产卵)，问过Z个月以后，共有成虫多少对？0=<X<=20,1<=Y<=20,X=<Z<=50【输入格式】x,y,z的数值【输出格式】过Z个月以后，共有成虫对数【输入样例】1 2 8【输出样例】375、位数问题(problem)【问题描述】在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果可能很大，你只需要输出这个答案对12345取余的值。