微积分讲义导数共58页
《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
导数的概念课件
导数的概念课件导数的概念课件数学作为一门抽象而又具有普适性的学科，其中的导数概念在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
导数的概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的变化率。
本文将以课件的形式介绍导数的概念，帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
在导数的定义中，我们引入极限的概念，即当自变量趋向于某一点时，函数在该点处的斜率。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h二、导数的几何意义导数的几何意义可以从函数图像的角度进行理解。
导数表示了函数图像在某一点处的切线斜率。
当导数为正时，函数图像在该点处上升；当导数为负时，函数图像在该点处下降；当导数为零时，函数图像在该点处达到极值点。
三、导数的计算方法导数的计算方法有多种，常见的包括基本函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘法法则和除法法则等。
这些计算方法可以帮助我们快速求解复杂函数的导数。
四、导数的应用导数在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在数学中，导数可以用于求解函数的极值点、判断函数的增减性和凹凸性等问题。
在物理学中，导数可以用于描述物体的运动状态，如速度和加速度等。
五、导数的图像导数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的变化规律。
通过绘制函数图像和导数图像，我们可以观察函数的极值点、拐点和增减性等特征。
六、导数的局限性导数作为函数变化率的描述，虽然在很多情况下非常有用，但也有其局限性。
导数无法描述函数在间断点处的变化，也无法描述函数的非光滑性。
此外，导数还受到计算精度的限制，对于复杂函数的导数计算可能存在误差。
七、总结导数作为微积分的基础概念，在数学和物理学中有着重要的应用。
通过本课件的介绍，我们对导数的概念、几何意义、计算方法和应用有了更深入的了解。
同时，我们也了解到导数的局限性，这将有助于我们在实际问题中正确应用导数概念。
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
《微积分一》导数的概念
y g(x)
如何精确度量 x0 处利润增加的快慢？
O
x0
x
《微积分》(第三版) 教学课件
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§3.1 引出导数概念的例题
一、变速直线运动的速度 二、切线问题
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引出导数概念的例题
一. 变速直线运动的瞬时速度
设作变速直线运动的物体的运动规律为 s s(t),
t
t
v(t0 ) v
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引出导数概念的例题
2. t越小，v越接近于v(t0 )
v(t0 )
_
lim v
t0
= lim s lim s(t0 t) s(t0 )
t t0
t0
t
v(t0
)=
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t ) t
y
y f (x)
如何精确度量 x0 处利润增加的快慢？
y g(x)
O
x0
x
导数
（函数的瞬时变化率）
第三章 导数与微分
§3.1 引出导数概念的例题 §32 导数概念
导数的概念
§3.3 导数的基本公式与运算法则 导数的计算
§3.4 高阶导数
§3.5 微分
《微积分》(第三版) 教学课件
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需要解决的问题
甲、乙两种商品的利润函数分别为y f (x)和y g(x)
y
y f (x)
瞬时速度
函数的改变量
导
自变量的li改m变量0自变量的改变量
导数的概念教学课件
最值点的求法
通过求导数，将导数为零的点 找出来，再将这些点与两端点 的函数值进行比较，便可以找 到函数极值点。
曲线绘制
导数可以帮助我们知道函数曲 线的大致方向和特征。在给出 一定条件的前提下，可以合理 地绘制函数曲线的形状、特征 和重要点。
导数运算法则
1
求导常数
对于常数C，它的导数等于0，即
复合函数求导
记忆公式和规律
通过记忆求导公式和规律， 可以轻松快速地求解导数。
练习问题和案例
通过练习求解不同类型和难 度的练习问题和案例，可以 更全面地掌握导数。
导数与曲线的关系
1
绝对值的导数
2
绝对值函数不光滑，在x=0处的导数不
存在。但是向左趋近于0的导数是-1，
向右趋近于0的导数是+1。
3
最大值和最小值
当导数为0时，曲线有转折点，可能 是最大值或最小值。
导数为正的情况
导数为正表示函数在这个点上单调递 增，曲线向上缓慢地变化。导数越大， 表明曲线越陡峭，变化越快。
为什么要学习导数？
导数不仅是微积分学科的基础，也是数学、物理等科学领域中重要的分析工具。理解导数对 于提升数学素养及解决实际问题都有非常重要的帮助。
导数的基本性质
1
可加性
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的和(或差)也有导数。
2
乘法法则
如果函数f(x)和g(x)都有导数，那么它们的乘积就有导数，且导数等于f(x)的导数 乘以g(x)再加上g(x)的导数乘以f(x)。
导数与微分的关系
1 导数和微分是相关的
2 微分的应用
导数是微分的一种表示方法，一阶导数就 是微分。微分是导数的积分，反之亦然。
导数概念课件
泰勒展开的应用
泰勒公式不仅仅应用于提高函数的逼近精 度，更可将问题转化成求某个数列的极限 问题。
总结
导数是微积分学中基础和重要的概念。在本节中我们介绍了导数的本质、作用和局限性。
1
导数的本质
导数是用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率的概念。
2
导数的作用
导数在最值问题、曲率问题和斜率问题的解法中具有重要作用。
导数概念ppt课件
本PPT课件将教授导数的概念和应用。了解导数的定义、性质和求法，为最值 问题、曲率问题和斜率问题的解法提供基础。
导数的定义
导数用于衡量函数在某一点上的切线斜率或增长速率。本节将讲解坡度与导数、切线与导数之间 的关系。
坡度
斜率的简称，描述了曲 线的陡峭程度。
导数
函数在某一点上的切线 斜率,
利用导数求曲线的斜率
导数可用于计算曲线在某一 点上切线的斜率。
利用导数求曲线的凹凸 性及驻点
导数可以描述函数凹凸性 及驻点，对函数图像进行全 面分析。
练习题
本节将提供练习题，让您巩固导数的概念和常见的应用场景之间的联系。
选择题
加深对导数基本概念的 认知和理解。
计算题
巩固求导数的方法和技 巧。
应用题
切线
曲线在某一点上的切线， 与导数相关。
导数的求法
本节主要介绍三种求导数的方式：函数图像、函数公式和复合函数。对于函数图像，可以通过 绘制切线并计算斜率来求导数。而对于函数公式，可以通过求导数公式计算更为方便。
1
函数图像
通过绘制切线并计算斜率来求导数。
2
函数公式
通过求导数公式计算，比如可用一元多次函数求导法。
应用
导数不仅在理论中具有重要性，也在实际问题中发挥巨大作用。本节将从最值问题、曲率问题和 斜率问题三个方面，介绍导数在不同应用场景中的运用。
《导数的概念》课件
导数的定义
导数的定义是函数在某一点处的极限值。可以通过求导数来确定函数在该点 的切线斜率。
函数图像与导数的关系
函数的导数可以告诉我们函数的增减性、凹凸性以及极值的位置。导数为0的 点可能是函数的极值点。
复合函数求导法则
复合函数的导数可以通过链式法则来求解。这个法则是求导数中的重要工具， 能够简化复杂函数的求导过程。
高阶导数
高阶导数是指导数的导数。通过求高阶导数可以获得函数的更多信息，如函数的凹凸性和曲率。
求导数的方法总结
求导数的方法有很多种，如基本求导法则、常用函数导数表以及各种求导公式。掌握这些方法可以更有效地求 解导数。
导数的几何意义
导数有的重要作用。
《导数的概念》PPT课件
从导数的概念到应用，全面讲解微积分中的导数知识，帮助学生深入理解并 轻松掌握这一重要概念。
导数的概念简介
导数是微积分中的重要概念之一，用来描述函数在某一点的变化率。通过导数可以分析函数的增减性、极值等 性质。
基本符号表示
导数可以使用不同的符号来表示，如f'(x)、dy/dx、y'等。这些符号是用来表示函数的变化率。
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
高中数学《导数》讲义(全)
高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
导数及其应用微积分基本定理ppt
描述物体在单位时间内运动的距离和方向，是位置向量的时间导数。
加速度向量
描述物体在单位时间内速度的变化量，是速度向量的时间导数。
利用导数描述刚体的转动
01
02
03
角位置
描述刚体绕固定轴转过的 角度。
角速度
描述刚体在单位时间内转 过的角度。
角加速度
描述刚体在单位时间内角 速度的变化量，是角速度 的时间导数。
利用导数描述流体的流动
流速
描述流体在单位时间内流过的距离。
流量
描述在一段时间内流经某一截面的流体体积。
流导
描述流量与流速的关系，是流量的时间导数。
THANKS
感谢观看
f(a))/(b-a)·x，然后利用导数研究函数的单 调性来证明。
微积分基本定理的证明
微积分基本定理的现代形式的证明方法可以归结为三种：直接法、定义法、和极 值法。
直接法是通过求导数直接得到；定义法是通过构造函数，利用定义证明；极值法 是通过研究函数的极值点来证明。
05
导数在经济学中的应用
利用导数分析经济问题
1 2
分析边际成本和收益
导数可以用来分析经济活动的边际成本和收益 ，从而帮助企业做出更准确的成本和收益分析 。
需求和供给弹性
导数可以用来计算需求和供给的弹性，从而帮 助理解价格的变动对市场需求和供给的影响。
3
最大利润原则
导数可以用来找到获得最大利润的产量和价格 ，从而帮助企业制定最优的产量和价格策略。
VS
详细描述
首先，根据不等式的形式构造一个适当的 函数，该函数往往具有某种特定的形状或 结构。然后，通过对这个函数求导，找到 它的极值点并计算出极值，这些极值往往 是证明不等式的关键。最后，利用这些极 值得出不等式的证明结果。
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
微积分教学课件第2章导数与微分
微积分
三、 导数的几何意义
y y f(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
nan1
说明：
微积分
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x)x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
微积分
例3. 求函数 f(x)sixn的导数.
解: 令hx,则
f (x) lim f(xh)f(x) lim sin x(h)sixn
u(xh)vu (x()x u)v(ux((x)vxv)2)( (vxxu ())x(x)vh)(x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
微积分
例2. 求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例6. 设
f
(x0)
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).