利用逆矩阵解线性方程组
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。
解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。
本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。
它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。
2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。
3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。
4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。
二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。
以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。
2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。
3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。
三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。
2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。
3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。
克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。
四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。
对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。
1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。
毕业论文广义逆矩阵与线性方程组的求解
广义逆矩阵与线性方程组的求解The solution of linear equations by the generalized inverse matrix专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一摘要本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类, 然后主要对一些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论, 其中包括对减号逆的求解、Moore-Penrose 逆的存在性与唯一性的证明、左逆与右逆的性质与求解等等. 通过对这些重要的广义逆矩阵的性质和求解方法的研究, 最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用.关键词: 广义逆矩阵；线性方程组；相容方程组；通解AbstractThis article first to define the generalized inverse matrix and its classification, and then mainly on some important properties of generalized inverses and solution of a detailed discussion, including a minus sign for solving inverse, Moore-Penrose inverse of the existence and uniqueness of proof, the left inverse and right inverse of the nature of and solution and so on. On these important properties of generalized inverse matrix of the theory and method, the last of the generalized inverse matrix in the solution of linear equations.Keywords: generalized inverse matrix；linear equations；compatibility equations；general solution目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (2)1 矩阵的几种广义逆 (1)1.1)1(A的定义与计算 (3)1.5加号逆+A的性质及计算 (4)1.6左逆与右逆的定义 (5)2 用广义逆矩阵求解线性方程组 (7)2.1左右逆的应用 (7)2.2相容方程组的通解与-A的应用 (8)2.3+A的应用 (11)参考文献 (14)0 引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问题出发的, 设有线性方程组b Ax = （0.1）当A 是n 阶方阵, 且0det ≠A 时, 则方程组（0.1）的解存在, 并唯一. 1x A b -= （0.2）但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵A 往往是奇异方阵或是任意的n m ⨯矩阵 （一般n m ≠）, 显然不存在通常的逆矩阵1-A , 这就促使人们去想象能否推广逆的概念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G , 使得其解仍可以表示为类似于式（0.2）的紧凑形式? 即Gb x = （0.3）1920年摩尔（E.H.Moor ）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起人们的重视, 指直到1955年, 彭诺斯（R.Penrose ）以更明确的形式给出了Moore 的广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩阵的一个重要分支. (见参考文献[1][2])1 矩阵的几种广义逆1955年, 彭诺斯（R.Penrose ）指出, 对任意复数矩阵n m A ⨯, 如果存在复矩阵m n A ⨯,满足A AXA = (1.1) X XAX = (1.2)AX AX H =)( (1.3)XA XA H =)( (1.4)则称X 为A 的一个 Moore —Penrose 广义逆, 并把上面四个方程叫做 Moore —Penrose 方程, 简称 M —P 方程.由于 M —P 的四个方程都各有一定的解释, 并且应用起来各有方便之处， 所以出于不同的目的, 常常考虑满足部分方程的 X , 叫做弱逆, 为引用的方便, 我们给出如下的广义逆矩阵的定义.定义1.1 设n m C A ⨯∈, 若有某个m n C X ⨯∈, 满足 M —P 方程（1.1）～（1.4）中的全部或其中的一部分, 则称X 为A 的广义逆矩阵.(见参考文献[3])例如有某个X , 只要满足式（1.1） , 则X 为A 的{}1广义逆, 记为{}1A X ∈； 如果另一个Y , 满足式(1.1), (1.2)则Y 为A 的{}2,1广义逆, 记为{}2,1A Y ∈； 如果{}4,3,2,1A X ∈, 则X 同时满足四个方程, 它就是 Moore —Penrose 广义逆, 等等. 总之, 按照定义 1.1可推得, 满足1个, 2个, 3个, 4个Moore —Penrose 方程的广义逆矩阵共有1544342414=+++C C C C 种, 但应用较多的事一下五种{}1A , {}2,1A , {}3,1A , {}4,1A , {}4,3,2,1A .其中每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵, 分述如下:1．{}1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作减号逆, 或g 逆, 记为-A ； 2．{}2,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作自反广义逆, 记为r A ； 3．{}3,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小范数广义逆, 记为m A ； 4．{}4,1A : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小二乘广义逆, 记为i A ；5．{}4,3,2,1A : 唯一，称作加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为+A .为叙述简单起见, 下面我们以n R 及实矩阵为例进行讨论, 对于n C 及复的矩阵也有相应结果.本文着重介绍减号逆-A 和加号逆+A 以及左逆与右逆的性质及计算, 并讨论它们在解线性方程组中的应用.1.1 (1)A 的定义与计算定义 1.1.1 设m n A C ⨯∈, 若m n C G ⨯∈满足AGA A =, 则称G 为A 的{1}-逆记为(1)A ,由定义可知{}{}m n C G A AGA G A ⨯∈==,|1.例如设1100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则100a G ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是A 的{1}-逆, 这里a 可以任取. 不难看出A 的{1}-逆并不唯一.定理 1.1.1 设m n r A C ⨯∈, P , Q 分别为m 阶与n 阶非奇异方阵, 且000rIPAQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 122122{1}(,1,2)r ijI G A Q P G i j G G ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为任意阶数的矩阵. （证明见参考文献[7]） 例1 求矩阵101002221453A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的广义逆)1(A .解 构造分块矩阵340AI B I ⎛⎫=⎪⎝⎭, 通过适当变化, 将A 进行行列变换化为000rI ⎛⎫⎪⎝⎭形式, 并求出变换P , Q .31314110111001000100022201002220101453001044400110000001011000010000001000000010000001000000010000001000r r c c c c ++--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323242221/21000100010012000001211011000011100000100000001000r r c c c c r ---⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪−−−→- ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭,因此有10001/20121P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1011011100100001Q -⎛⎫⎪--⎪= ⎪⎪⎝⎭.于是我们取12G , 21G , 22G 均为0得()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000002100010000000100011P Q A .1.2 加号逆+A 的性质及计算定义1.2.1设n m R A ⨯∈, 若存在m n ⨯ 阶矩阵 X , 它同时满足： 1) A AXA = 2）X XAX = 3）()AX AX T= 4）()XA XA T=则称X 为 A 的加号逆, 或伪逆, 或 M oore-Penrose 逆, 记为+A .从定义中可看出, 加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆, 在四个条件中, X 与A 完全处于对称地位. 因此A 也是+A 的加号逆, 即有()A A =++; 另外可见, 加号逆很类似于通常的逆阵, 因为通常的逆1-A 也有下列四个类似的性质:1.A A AA =-12. 111---=A AA A3. I AA=-14. I A A =-1由定义1.2.1 中的条件 3）和 4）还可看出, +AA 与A A +都是对称矩阵.前面已经介绍了什么样的矩阵称为M P -广义逆矩阵, 下面将讨论M P -广义逆矩阵的唯一性.定理1.2.1对任意m n A C ⨯∈, A +存在且唯一.证明 设()rank A r =, 若0r =则A 是m n ⨯阶零矩阵, 显然n m ⨯阶零矩阵满足条件.若0r >则A 的满秩分解为A FG =, 其中m r r F C ⨯∈, r n r G C ⨯∈, 于是11()()H H H H B G GG F F F --=即为所求的A +. 因为(1) ()11()()H H H H ABA FG G GG F F F FG FG A --===； (2) 1111()()()()H H H H H H H H BAB G GG F F F FGG GG F F F ----=11()()H H H H G GG F F F B --==；(3) 111()(()())(())H H H H H H H H H AB FGG GG F F F F F F F ---== 1()H H F F F F AB -==；(4) 111()(()())(())H H H H H H H H H BA G GG F F F FG G GG G ---== 1()H H G GG G BA -==. 由此说明了P M -广义逆的存在性.又设,{1,2,3,4}X Y A ∈则有()()()()H H H H H X XAX X AX XX AYA X AX AY XAY =====()()()()H H H H H H H XA YAY XA YA Y A X A Y Y YAY Y =====. 这便说明了A +的唯一性.定理 1.2.2 设A 为秩为r 的m n ⨯矩阵, 其满秩分解为A FG =, 其中m rr F C ⨯∈,r nr G C ⨯∈, 则11()()H H H H A G GG F F F +--=.A +的唯一性前面已经作出了说明, 此定理的证明见参考文献[7]1.3 左逆与右逆的定义定义 1.3.1 设A 是m n ⨯矩阵, 若有n m ⨯矩阵G 满足m AG I =(或n GA I =), 则称G 为A 的右逆(或左逆), 记为1R A -(或1L A -).定理1.3.1 设A 是m n ⨯的矩阵, A 有右(左)逆1R A -(1L A -)的充要条件是()rank A m =(()rank A n =).若A 有右(左)逆, 则其中一个右(左)逆是11()H H R A A AA --=(11()H H L A A A A --=), 通式为11()H H R A VA AVA --=(11()H H L A A VA A V --=)其中V 是任意满足()()()()()H H rank A rank AVA rank A rank A VA ==的矩阵.证明 充分性: 已知()rank A m =, 则()H rank AA m =, H AA 是可逆矩阵, 若记1()H H G A AA -=, 则1()H H m AG AA AA I -==, 因此G 是A 的右逆.必要性: 设G 是A 的一个右逆, 则AG =m I . 由于()()()m m rank I rank AG rank A m ==≤≤,因此()rank A m =.设V 是任意满足()()H rank A rank AVA =的矩阵, 最后证明右逆的通式可以表示成为11()H H R A VA AVA --=的形式.由于1()H H m AVA AVA I -=, 因此1()H H VA AVA -是A 的右逆. 设G 是A 的任意右逆,记H V GG =, 则H H H m AVA AGG A I ==因此()()H rank A rank AVA m ==. 又因为1()H H VA AVA -=H H m m GG A I GI G ==,由上分析可知A 的任意右逆G 都可找到V 使其表示为1()H H G VA AVA -=的形式.因此矩阵A 的右逆的通式为11()H H R A VA AVA --=.对于左逆同理证明.例2求矩阵111000A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的左逆1L A -. 解 由于1111021101001100H A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭, 所以我们有11121110010()11100110H HL A A A A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210121A ,试求其右逆. 解 易知rank 2=A ,即A 是最大秩矩阵，有11210121210121210121--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=R A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡824365141.2 用广义逆矩阵求解线性方程组考虑非齐次线性方程b Ax = （2.1） 其中n m C A ⨯∈, m C b ∈给定, 而m C x ∈为待定向量. 若()rankA b A rank =, 则方程（2.1）有解, 或称方程组相容, 否则, ()rankA b A rank ≠, 则方程（2.1）无解, 或称方程组不相容或矛盾方程组.2.1 左右逆的应用定理2.1.1 设Ax b =是相容性线形方程组, A 是行满秩矩阵, 1R A -是它的一个右逆.显然11()R R A A b AA b b --==, 因此1R A b -是线形方程组的解. 又若A 为列满秩矩阵, 1L A -是它的一个左逆, 则1L A b -是线形方程组的解.例4 求方程组Ax b =的解其中111000A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 210b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 解 显然方程组是相容的. 由于从前面已经知道1010110L A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,因此方程组的解为120101111010L x A b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭.2.2 相容方程组的通解与-A 的应用线性方程组相容时, 若系数矩阵n m C A ⨯∈, 且非奇异（即0det ≠A ）, 则有唯一的解b A X 1-= （2.2） 但当A 为奇异方阵或长方矩阵时, 它的解不是唯一的, 此时1-A 不存在或无意义，那么我们自然会想到, 这时是否能用某个矩阵G 把一般解（无穷多）表示成 Gb X = （2.3） 的形式呢? 这个问题是肯定的. 我们将会发现A 的减号逆A 充当了这一小角色.对于一个m n ⨯阶相容的线性方程组, 不论系数矩阵A 是方阵还是长方矩阵, 是满秩的还是降秩的, 我们都有一个标准的求解方法, 并且能把它的解表达成非常简洁的形式. 下面定理形式给出.定理2.2.1 如果线性方程组（2.1）是相容的, -A 是A 的任一个减号逆, 则线性方程组（2.1）的一个特解可表示成b A X -= 而通解可以表示成()z A A I b A X ---+= （2.4）其中z 是与X 同维的任意向量.(见参考文献[6])证 因为b AX =相容, 所以必有一个n 维向量, 使 b AW = 成立, 又由于是-A 是A 的一个减号逆, 所以A A AA =-,则有AW AW AA =-.亦即b b AA =-.由此得出b A X -= （2.5） 是方程组（2.1）的一个特解.其次, 在式子（2.4）两端左乘A . 则有b AA Z A A I A b AA AX ---=-+=)(由于b b A A =-)(, 所以式（2.4）确定的X 是方程组（2.1）的解, 且当x ~为任意一个解时, 令b A X Z --=~, 有)~)(()(b A X A A I Z A A I -----=- =Ab A X A A b A X ---+--~~ =b A b A b A X ---+--~=b A X --~从而得()Z A A I b A X ---+=~证毕.这表明由式（2.4）确定的解时方程组（2.1）的通解. 例5 求解⎩⎨⎧=+-=-+221232321x x x x x解 将方程组写成矩阵形式 b AX = 其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210121A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b 由于()rankA b A rank ==2, 所以方程组是相容的, 现在只要要求得A 的一个减号就可以了, 由例1.3.2知矩阵A 的一个减号逆为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-8326451411RA 利用公式（2.4）, 我们就可立即求得方程组的通解：()Z A A I b A X R R 11---+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++---+=321321321213192461036913141z z z z z z z z z 也即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=++-=--+=32133212321123191412461014136913141z z z x z z z x z z z x其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321z z z Z 为任一向量. 例6 求方程组Ax b =其中101102221453A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 101b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的解.解 不难看出, 该方程组是相容的, 由于前面已经求得(1)1000120000000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以方程组的通解为1342343344110010001011011012001000120002220000010000114530000001000y y y y y y x y y y y +-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中3y , 4y 为任意实数.2.3 +A 的应用（一）判别线性方程组有解.普通线性代数中判别方程组b AX =有解的方法是用矩阵的秩，即()rankA b A rank =时有解;而有了广义逆矩阵理论之后, 便可用广义逆矩阵的方法判别, 并可同时求出解.结论1: 线性方程组b AX =有解b AA b +=⇔． 证 若线性方程组b AX =有解．不妨设其解为a ，则()()b AA Aa AA a A AA Aa b +++====反之, 若有b AA b +=, 则()()b A X A b A X b A X A b AA b AX ++++=⇒≠=-⇒=-⇒==000即b A X +=为线性方程组的一个解． （二）求齐次线性方程组的解空间利用广义逆矩阵可以求出齐次方程组的一切解结论2: 齐次线性方程组0=AX 的解空间=W {()Y Y A A E +-为任意列向量} 证 任取()W A A E a ∈-=+β, 有()()0=-=-=++ββA AA A A A E A Aa , 则a 为齐次线性方程组的解. 反之.若a 为方程组的解, 即0=Aa (2.3.1)两边左乘以A A +, 得0=+AAa A (2.3.2 )联立以上两式有()0=-+a A A E A (2.3.3)由（2.3.3）知: ()a A A E +-为方程组的解, 且()W a A A E ∈-+.(三) 判别齐次线性方程组有唯一解一般由个方程以及个未知数组成的齐次线性方程组0=AX 有唯一解的充分必要条件是0≠A . 但是当方程组的个数与未知数的个数不相等时, 不是方阵, 不能有用行列式判别. 可以用广义逆矩阵的方法判别如下：结论3: 齐次线性方程组0=AX 有唯一解E A A =⇔+证 ⇒ 若齐次线性方程组有唯一解, 则唯一解即为零解. 若E A A ≠+, 则0≠-+A A E由结论2知, 0≠∃Y , 使得()0≠-=+Y A A E a , 为方程组的解, 这与方程组有唯一零 解矛盾. 所以E A A =+.⇐ 若E A A =+, 则0=-+A A E , 由结论2知此时解空间有唯一零解. （四）求非齐次线性方程组的解空间结论4: 非齐次线性方程组b AX =的解空间=H {()Y Y A A E b A ++-+为任意 列向量}.事实上, 由线性方程组的一般理论知, 非齐次方程组的通解应该为对应齐次 的通解和自身的一个特解之和. 结论1、2告诉我们: b A +为其自身的一个特解； 而()Y Y A A E +-为对应齐次的通解(Y 取任意列向量). 显然即为其解空间.例7 求b AX =的通解. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201,420021b A解 因为 ()2,1201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==FG A , 5=H GG , 5=F F H ,所以()b b AA A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+2012012001000010052512014022012514200214022012512,0,1552111 通解为()Y Y A A E X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12245121512151. 其中Y 为任意列向量．致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢!参考文献[1] 姜同松编. 高等代数解题方法[M]. 石油大学出版社. 2001.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数[M]. 北京：高等教育出版社，1988．[3] 蔡剑芳. 高等代数综合题解[M]. 湖北科学技术出版社. 1986.[4] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南：山东教育出版社. 1989.[5] 黄有度, 狄成恩, 朱士信. 矩阵理论及其应用[M]. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1995.[6] 林升旭. 矩阵论学习辅导与典型题解析[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003.[7] 苏育才, 姜翠波, 张跃辉. 矩阵理论[M]. 北京: 科学出版社, 2006.[8] 李新, 何传江. 矩阵理论及其应用[M]. 重庆: 重庆大学出版社, 2005.[9]Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl；1975.180-187．[10] Dai Hua.On the symmetric Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl.1990(131)1-7．。
用逆矩阵求解线性方程组的方法-Read
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
也是方程组的 1 解.
例 1.16 解线性方程组
x1 3 x2 7 x3 2 2 x1 4 x2 3 x3 1 3 x 7 x 2 x 3 1 2 3
1 2 2 3
1, M 5
1 0
0, M 6
0 0
0 1
0 4 D M 1 A1 M 2 A2 M 3 A3 M 4 A4 M 5 A5 M 6 A6
0
由拉普拉斯定理知
3 13 1 4 43
由此可见，当选出的行（列）中所组成的k阶子式 大部分为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值 比较简单.
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
证明
用D中第j列元素的代数余子式 A1 j , A2 j ,, Anj 依次乘方程组1的n个方程, 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
解： 系数行列式 1 3 7 D 2 4 3 196 3 7 2
由于系数行列式不为零， 所以可以使用克拉默法则， 方程组有唯一解。此时
1 D 2 3
3 4 7
7 3 196 2
2 D1 1 3
1
3 4 7
追赶法，高斯消元法，逆矩阵法，迭代法——解线性方程组精仪学院马金玉
追赶法，高斯消元法，逆矩阵法，迭代法 —— 解线性方程组精仪学院 马金玉 1012202030本文主要详细介绍了追赶法，高斯法，逆矩阵法的方法原理，运用这三种方法分别进行线性方程的求解举例，给出MATLAB 相应程序，最后做结果分析，比较说明追赶法和高斯法的特点。
最后对三种典型迭代方法Jacobi 迭代,Gauss-Seidel 迭代，SOR 迭代进行简单的分析比较。
1. 追赶法1.1）.追赶法方法介绍追赶法用于求解以下形式的方程组(三对角方程组)d Ax =其中 1[,,]T n d d =d ，系数矩阵(三对角矩阵)11222111n n n n n b c a bc a b c a b ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A系数矩阵A 的元素满足1100 0 (2,,1)0i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+>≠=-⎨⎪>>⎩第一步：实现A=LU 的分解，按照递推公式1111//()i i i i i c b c b a βββ-=⎧⎨=-⎩ 计算 123,,...........βββ：第二步：求解方程组LY=f,相应的递推公式 11111/()/()i i i i i i i y f b y f a y b a β--=⎧⎨=--⎩ 第三部：求解方程组UX=Y ，相应的递推公式1()n nii i i x y x y x β-=⎧⎨=-⎩ 求得x因为计算1231......n ββββ-→→→→ 及 1231......n y y y y -→→→→的过程是追赶的过程，结出结果X 。
1.2）.追赶法解线性方程组的matlab实例解线性方程组第一步：编写M文件如下：function [x,y,beta]=zhuiganfa(a,b,c,f)%a,b,c是三对角阵的对角线上的元素,f是自由项.n=length(b);beta(1)=c(1)/b(1);for i=2:nbeta(i)=c(i)/(b(i)-a(i)*beta(i-1));endy(1)=f(1)/b(1);for i=2:ny(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1))/(b(i)-a(i)*beta(i-1));endx(n)=y(n);for i=n-1:-1:1x(i)=y(i)-beta(i)*x(i+1);enddisp(sprintf('k x(k) y(k) beta(k)')); for i=0:n-1disp(sprintf('%d %15.4f %15.4f %15.4f',i,x(i+1),y(i+1),beta(i+1))); end追赶法M文件程序截图如图1所示图1 追赶法M文件程序截图第二步：根据所求方程，在命令窗口中输入如下命令，并按ENTER 键确认。
可逆矩阵与线性方程组
若 A 0，方程组有无数多个解，或者无解。
3
用矩阵观点来看解线性方程组
方程组可用系数矩阵A来表示
a11
a平面上点(x,y)在矩阵A的作用下，变成点(b1,b2 )。
求方程组的解，即是求点(x,y)。
我们可以利用点(b1,b2 )，在矩阵A-1的作用下，得到点(x,y)。
10
用逆矩阵解方程组的几何含义00110301109090xyxyxxmmyyxxyyxyxmy???????????????????????????????????????????????????????????????????0方程组用矩阵的语言可以翻译为
可逆矩阵与线性方程组
1
一、数学理解
• 行列式、矩阵、向量是研究代数问题的三 个工具。
x y
.
几何意义是：向量
x y
逆时针旋转900，得到向量
=
-31，求向量
x y
。
要想求向量
x y
，即可将向量
=
-1
3
顺时针旋转900
得到。
即
x y
M
1
9
五、教学设计
• 第一部分：课题导入 • 第二部分：探求新知 • 第三部分：实例分析 • 第四部分：映射观点看矩阵 • 第五部分：抽象概括 • 第六部分：例题分析 • 第七部分：课题小结
x y
A-1
b1 b2
4
用向量的观点来看解方程组
方程组可以用向量表示为
a11 a21
x
a12 a22
y
b1 b2
解方程组的问题就转化为向量
b1 b2
是否可以用向量
a11 a21
和向量
逆矩阵例题
逆矩阵例题摘要：一、逆矩阵的定义和性质1.逆矩阵的概念2.逆矩阵的性质3.可逆矩阵与逆矩阵的关系二、逆矩阵的求解方法1.通过行列式求逆矩阵2.通过伴随矩阵求逆矩阵3.通过高斯消元法求逆矩阵三、逆矩阵在线性方程组中的应用1.逆矩阵与线性方程组的解2.逆矩阵在齐次线性方程组中的应用3.逆矩阵在非齐次线性方程组中的应用四、逆矩阵在矩阵运算中的应用1.逆矩阵与矩阵的乘积2.逆矩阵与矩阵的幂3.逆矩阵与矩阵的行列式正文：逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有很多重要的性质和应用。
本文将首先介绍逆矩阵的定义和性质，然后讨论逆矩阵的求解方法，接着分析逆矩阵在线性方程组中的应用，最后探讨逆矩阵在矩阵运算中的应用。
一、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是一个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵，即A * A = I。
其中，A 是n 阶方阵，A是A 的逆矩阵。
逆矩阵具有以下性质：1.逆矩阵是唯一的：对于一个可逆矩阵，其逆矩阵是唯一的。
2.逆矩阵是矩阵的逆元素：对于任意矩阵A，有A * A * A = A。
3.逆矩阵与转置矩阵的关系：A 的逆矩阵等于A 的转置矩阵的逆矩阵，即A = A。
二、逆矩阵的求解方法1.通过行列式求逆矩阵：如果矩阵A 是可逆的，那么可以通过计算行列式|A|来求解逆矩阵。
具体方法是，将逆矩阵表示为A = 1/|A| * A，其中A是A 的伴随矩阵。
2.通过伴随矩阵求逆矩阵：如果矩阵A 是可逆的，那么可以通过计算伴随矩阵来求解逆矩阵。
具体方法是，将逆矩阵表示为A = 1/|A| * A，其中A是A 的伴随矩阵。
3.通过高斯消元法求逆矩阵：如果矩阵A 是可逆的，那么可以通过高斯消元法将矩阵A 化为阶梯形矩阵，然后根据阶梯形矩阵的性质求解逆矩阵。
三、逆矩阵在线性方程组中的应用1.逆矩阵与线性方程组的解：如果线性方程组的系数矩阵是可逆的，那么可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，得到线性方程组的解。
2.逆矩阵在齐次线性方程组中的应用：如果齐次线性方程组的系数矩阵是可逆的，那么可以通过求解系数矩阵的逆矩阵，得到齐次线性方程组的通解。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，解决线性方程组可以帮助我们求解各种实际问题。
在本文中，我们将介绍几种常见的求解线性方程组的方法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常见、最简单的一种求解线性方程组的方法。
该方法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为简化的梯形方程组，并进一步求解出方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 选取矩阵中的一个元素作为主元，将主元所在的行进行换位，使主元尽可能地靠近对角线。
3. 使用消元法，通过将主元下方的所有元素消为零，将矩阵化为简化的梯形矩阵。
4. 从最后一行开始，逆推求解出每个未知数的值。
高斯消元法的优点是简单易懂，适用于一般的线性方程组。
然而，该方法在涉及大规模矩阵的情况下计算量较大，效率相对较低。
二、矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆和逆矩阵法是通过求解矩阵的逆矩阵来求解线性方程组的方法。
这种方法需要先求出矩阵的逆矩阵，然后利用逆矩阵和增广矩阵相乘得到方程组的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式。
2. 求解增广矩阵的逆矩阵。
3. 将逆矩阵与增广矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵的逆和逆矩阵法的优点是适用于包含多个方程组的情况，且相对于高斯消元法在计算大型矩阵时具有更高的效率。
然而，该方法要求矩阵可逆，且逆矩阵存在才能得到准确的解。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的方法，用于求解含有n个未知数的n个线性方程组的解。
该方法通过求解方程组的行列式来得到各个未知数的解。
具体的步骤如下：1. 将线性方程组写成矩阵形式，并求出系数矩阵的行列式D。
2. 分别将系数矩阵的每一列替换成常数项的列向量，分别求出替换后的矩阵的行列式D1、D2...Dn。
3. 通过D1/D、D2/D...Dn/D得到方程组的解。
克拉默法则的优点是对于小规模的线性方程组简单易懂，但对于大规模的线性方程组计算量较大，效率较低。
总结：以上介绍了几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和逆矩阵法，以及克拉默法则。
逆矩阵的性质及在考研中的应用
逆矩阵的性质及在考研中的应用矩阵是线性代数中的基本概念之一，而逆矩阵是矩阵理论中的重要组成部分。
在研究生入学考试中，逆矩阵的出现频率较高，是考生必须掌握的重要内容之一。
本文将介绍逆矩阵的基本性质以及在考研中的应用场景，旨在帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
逆矩阵是矩阵的一种重要性质，其定义如下：设A是一个可逆矩阵，那么存在一个矩阵B，使得$AB=BA=I$，其中I是单位矩阵。
在这个定义中，矩阵B被称为A的逆矩阵。
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$计算行列式$det(A)$： $det(A) = |\begin{matrix} 2 & 3 \ 1 & 2 \end{matrix}| = 2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$计算A的伴随矩阵A*： $A* = \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix}$计算A的逆矩阵A-¹： $A-¹ = \frac{1}{det(A)} \times A* =\frac{1}{1} \times \begin{matrix} & -2 & 3 \ -1 & 2 & \end{matrix} = \begin{matrix} 2 & -3 \ -1 & 2 \end{matrix}$在考研中，逆矩阵的应用主要涉及以下几个方面：解方程：逆矩阵可以用来求解线性方程组。
当方程组的系数矩阵是可逆矩阵时，我们可以通过逆矩阵快速求解方程组。
证明不等式：在证明某些矩阵不等式时，可以通过引入逆矩阵来简化证明过程。
求特征值和特征向量：在计算矩阵的特征值和特征向量时，需要先求出矩阵的逆矩阵。
解决优化问题：在数学优化中，逆矩阵往往作为系数矩阵的逆出现，对于一些约束优化问题，可以通过求解线性方程组来得到优化解。
矩阵的逆和行列式的关系
矩阵的逆和行列式的关系一、引言矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，矩阵的逆和行列式是两个重要的概念。
本文将探讨矩阵的逆和行列式之间的关系，以及它们在解线性方程组和计算矩阵的秩等问题中的应用。
二、矩阵的逆2.1 定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A的逆（即A-1）。
2.2 逆矩阵的性质•若A是可逆矩阵，则A-1也是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。
•若A是可逆矩阵，且c是一个非零标量，则cA也是可逆矩阵，且(cA)-1=(1/c)A-1。
•若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1。
•若A是可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵，且(AT)-1=(A-1)T。
三、行列式3.1 定义对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n，其中aij表示A的第i行第j列元素，Aij表示A中的余子式。
3.2 行列式的性质•若A是可逆矩阵，则|A|≠0。
•若A的某行（或某列）全为零，则|A|=0。
•若A的某两行（或某两列）成比例，则|A|=0。
•若A与B是相似矩阵，即存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，则|A|=|B|。
四、矩阵的行列式和逆矩阵的关系4.1 逆矩阵的求法设A为一个可逆矩阵，若要求A的逆矩阵A-1，可以使用伴随矩阵法。
首先，计算A的余子式矩阵，然后对其进行转置，得到A的伴随矩阵adj(A)，最后，将adj(A)的每个元素除以|A|，则得到A的逆矩阵A-1。
4.2 行列式和逆矩阵的关系对于一个可逆矩阵A，有以下关系成立：A-1 = (1/|A|)·adj(A)即可通过求A的行列式|A|和伴随矩阵adj(A)来求解A的逆矩阵。
五、应用5.1 解线性方程组假设有一个线性方程组Ax=b，其中A为n阶系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。
矩阵求逆法求方程的解matlab
矩阵求逆法求方程的解matlab在数学和计算机科学领域，矩阵求逆法是一种常用的技术，用于解决线性方程组和矩阵方程的问题。
这种方法在矩阵计算和数字模拟中得到了广泛的应用，其中MATLAB作为一种强大的数学软件，在矩阵求逆法方面有着非常强大的功能和应用，本文将介绍矩阵求逆法在MATLAB中的应用，以及如何利用MATLAB求解线性方程组和矩阵方程。
一、矩阵求逆法的原理和方法1.1 矩阵求逆原理矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵。
矩阵求逆法主要利用线性代数的理论，通过矩阵的初等行变换、伴随矩阵和初等矩阵等方法，求解矩阵的逆矩阵。
1.2 矩阵求逆方法矩阵求逆的常用方法有伴随矩阵法、初等行变换法和逆矩阵的性质法等。
伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法，适合于小规模的矩阵计算；初等行变换法是一种通过初等行变换将原矩阵化为单位矩阵，从而得到逆矩阵的方法，适合于大规模的矩阵计算；逆矩阵的性质法是通过矩阵的性质和性质矩阵的快速求解，适合于特定类型的矩阵。
二、MATLAB中矩阵求逆的应用2.1 MATLAB的矩阵操作MATLAB作为一种专业的数学软件，具有强大的矩阵计算和矩阵操作功能。
在MATLAB中，可以通过一系列的内置函数和操作符，快速有效地实现矩阵的加减乘除、转置、逆矩阵等计算。
2.2 MATLAB中矩阵求逆函数在MATLAB中，有多种函数和命令可以实现矩阵求逆的操作，其中最常用的是inv()函数。
该函数可以接受一个矩阵作为输入，输出该矩阵的逆矩阵。
MATLAB还提供了pinv()函数来求解矩阵的伪逆矩阵，以及linsolve()函数来求解线性方程组的解。
2.3 MATLAB中矩阵求逆的实例下面通过一个简单的实例来演示在MATLAB中如何利用矩阵求逆来求解线性方程组的解。
假设有一个线性方程组Ax=b，其中矩阵A为：A = [1, 2; 3, 4]向量b为：b = [5; 7]要求解x，可以通过如下MATLAB代码实现：A = [1, 2; 3, 4];b = [5; 7];x = inv(A) * b;通过上述代码，可以得到线性方程组的解x，从而实现了通过矩阵求逆方法来求解线性方程组的目的。
广义逆矩阵作用
广义逆矩阵作用广义逆矩阵，也叫伪逆矩阵，是矩阵理论中的一个重要概念。
在线性代数和应用数学中，矩阵的逆矩阵是一个很常见的概念，但是有些矩阵并不存在逆矩阵。
为了解决这个问题，广义逆矩阵应运而生。
广义逆矩阵是对非方阵进行求逆运算的一种方法。
一般来说，如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它的逆矩阵一定是唯一的。
但是对于非方阵，它们并没有逆矩阵，只能求得广义逆矩阵。
那么广义逆矩阵有什么作用呢？首先，广义逆矩阵可以用来求解线性方程组的最小二乘解。
在实际问题中，经常会遇到超定线性方程组，即方程的个数大于未知数的个数。
这时候，线性方程组一般是无解的，但是可以使用广义逆矩阵来求解最小二乘解，使得方程组的残差最小化。
广义逆矩阵还可以用于解决矩阵方程。
矩阵方程是指形如AX=B的方程，其中A是一个矩阵，X和B是向量或矩阵。
如果A存在逆矩阵，那么方程可以直接求解，即X=A^(-1)B。
但是如果A不存在逆矩阵，就需要使用广义逆矩阵来求解。
广义逆矩阵的求解方法有很多种，其中最常用的方法是Moore-Penrose广义逆矩阵。
Moore-Penrose广义逆矩阵是广义逆矩阵的一种特殊形式，它具有很多良好的性质。
对于任意一个矩阵A，它的Moore-Penrose广义逆矩阵可以通过以下方法求得：首先计算A的转置矩阵A^T，然后计算A^TA的逆矩阵(A^TA)^(-1)，最后再将结果与A^T相乘，即可得到A的Moore-Penrose广义逆矩阵。
广义逆矩阵在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在信号处理领域中，广义逆矩阵可以用于解决信号重构问题，通过最小二乘法使得信号的重构误差最小。
在机器学习和数据挖掘中，广义逆矩阵可以用于降维和特征选择，帮助提取数据中的关键特征。
广义逆矩阵还在控制理论和系统工程中扮演重要角色。
在控制系统设计中，经常需要求解线性方程组，而广义逆矩阵可以用于求解最优控制器的增益矩阵。
在系统工程中，广义逆矩阵可以用于求解线性约束问题，例如最小二乘估计以及线性规划等。
线性方程组的解法与矩阵求逆
线性方程组的解法与矩阵求逆线性方程组是数学中的重要概念，它可以描述多个线性方程的关系。
解线性方程组的方法有很多种，其中一种常用的方法是矩阵求逆。
本文将介绍线性方程组的解法以及矩阵求逆的原理和步骤。
一、线性方程组的解法线性方程组可以用矩阵形式表示。
比如，我们有如下的线性方程组：```2x + 3y = 74x - 2y = 2```可以看出，这是一个二元一次线性方程组，其中未知数是x和y，常数项分别是7和2。
我们可以将方程组的系数写成一个矩阵A，未知数写成一个矩阵X，常数项写成一个矩阵B。
那么，上述线性方程组可以表示为下面的形式：```A*X = B```要求解这个线性方程组，可以使用消元法、代入法、剩余定理等多种方法。
在这里，我们将重点介绍矩阵求逆法。
二、矩阵求逆要使用矩阵求逆法解线性方程组，首先需要知道矩阵的逆。
一个n阶方阵A的逆矩阵记作A^-1，具有以下性质：```A * A^-1 = I```其中，I是n阶单位矩阵。
如果我们将线性方程组的系数矩阵A进行求逆操作，再将方程组的常数项矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵，就可以得到未知数矩阵X的值。
具体求解步骤如下：1. 计算系数矩阵A的行列式D。
如果D=0，则矩阵A没有逆矩阵，线性方程组无解。
2. 计算A的伴随矩阵Adj(A)，即将A的每个元素的代数余子式组成的矩阵取转置。
3. 计算A的逆矩阵A^-1，使用如下公式：```A^-1 = (1/D) * Adj(A)```其中，D为A的行列式。
4. 将矩阵B乘以矩阵A的逆矩阵A^-1，即得到未知数矩阵X：```X = A^-1 * B```通过以上步骤，我们可以求解出线性方程组的未知数矩阵X。
需要注意的是，如果A的行列式D为0，则方程组无解或者有无穷解。
三、示例我们以一个三元一次线性方程组为例，来演示矩阵求逆法的求解过程：```2x + y - z = 7x - 3y + 2z = -113x + y - 4z = 5```首先，将系数矩阵A和常数项矩阵B写成矩阵形式：```A = | 2 1 -1 || 1 -3 2 || 3 1 -4 |B = | 7 ||-11 || 5 |```然后，按照矩阵求逆法的步骤进行计算：1. 计算A的行列式D，有D = -42。
16广义逆阵与线性方程组求解及最小二乘法讲述
第十六讲CH6.4 广义逆矩阵与线性方程组求解考虑非齐线性方程组b Ax = (6.4.1)其中m n m C b C A ∈∈⨯,给定.n C x ∈为待定向量, 如果存在向量x 使(6.4.1)成立,则称方程组相容,否则称不相容或矛盾方程组.问题:⑴方程组(6.4.1)相容的条件是什么? 相容时求出其通解(如果解不唯一的话);⑵如果方程组(6.4.1)相容,其解可能有无穷个,求出具有极小范数的解,即x bAx =min (6.4.2) 其中∙是欧氏范数.可以证明,满足该条件的解是唯一的,称为极小范数解. ⑶如果如果方程组(6.4.1)不相容, 则不存在通常意义下的解,但许多实际问题,需要求出极值问题 b Ax n Cx -∈min (6.4.3) 其中∙是欧氏范数.称该极值问题为求矛盾方程组的最小二乘问题,相应的解称为最小二乘解.⑷一般地,矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的.但其中具有极小范数的解 x b Ax m in min - (6.4.4)是唯一的,称为极小范数最小二乘解.广义逆矩阵与线性方程组的求解有密切关系.利用广义逆矩阵可以给出上述诸问题的解. 反之, 由线性方程组的解又可以确定广义逆矩阵.一. 线性方程组的相容性、通解与广义{1}-逆定理6.26 设q m q p n m C D C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,,则矩阵方程D AXB = (6.4.5) 相容的充要条件是D B DBAA =)1()1( (6.4.6) 其中{}{}1,1)1()1(B B A A ∈∈. 当方程(6.4.5)相容时,其通解为)1()1()1()1(AYBB A Y DBA X -+= (6.4.7) 其中p n C Y ⨯∈.证: 充分性: 若条件(6.4.6)成立,显然)1()1(DB A X =是(6.4.5)的解. 必要性: 若X 是(6.4.5)的任意解, 则有B DB AA B AXBB AA AXB D )1()1()1()1(===.当方程(6.4.5)相容时, 容易验证(6.4.7)是它的解.D B DB AA AYB AYB B DB AA B AYBB AA AYB B DB AA AXB B A ==-+=-+=)1()1()7.4.6()1()1(1,1)1()1()1()1(另外,若X 是方程(6.4.5)的任意解,则)1()1()1()1(AXBB A X DB A X -+=这为(6.4.7)的形式,因而是方程(6.4.5)的通解.推论 设{}1,)1(A A C A n m ∈∈⨯,则{}{}m n C Z AZAA A Z A A ⨯∈-+=|1)1()1()1( (6.4.8)定理6.27 线性方程组(6.4.1)相容的充要条件是b b AA =)1( (6.4.9)且其通解为y A A I b A x )()1()1(-+= (6.4.10)注: ⑴由线性代数理论,方程组(6.4.1)的通解为()()A N z z x x ∈+=0其中,0x 是特解.此处,b A )1(是(6.4.1)的特解,而()()A N y A A I ∈-)1(是0=Ax⑵由(6.4.9)可推得方程(6.4.1)相容的充要条件是()A R b ∈.例6.9 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+=14413363124012000020j j j j j A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+=j j j b 1510315514求解线性方程组b Ax =.解: 由例6.4,取0====d c b a 有A 的一个{1}-逆⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=00000003/10000002/000)1(j A 容易验证b b AA =)1(,所以方程组b Ax =相容,其通解为()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-+=654321)1()1(1000101200000000000002/2100001002/100001005072/50ξξξξξξj j j j j y A A I b A x 其中,()6,,1 =∈i C i ξ任意.因此, 由{1}-逆可构造相容方程组的解,反之由相容方程组的解也可给出{1}-逆.定理6.28 设m n m n m C X C b C A ⨯⨯∈∈∈,,.若对于使方程(6.4.1)相容的所有b ,Xb x =都有解,则{}1A X ∈. 证：记j a 为A 的第j 列，则方程组j a Ax =相容.由于j Xa x =是方程组的解,即()n j a AXa j j ,,2,1 ==从而 A AXA = 证毕二. 相容线性方程组的极小范数解与广义{1,4}-逆引理6 相容方程组(6.4.1)的极小范数解唯一,且这个唯一解在()H A R 中.证: 设b Ax =的极小范数解0x .存在性:先证()H A R x ∈0.反设()H A R x ∉0,则由()()()()A N A R A R A R C H H H n ⊕=⊕=⊥知()()0,,11100≠∈∈+=y and A N y A R y y y x H H 于是 20212020y y y x >+= 而 0100Ay Ay Ay Ax b =+==这与0x 是b Ax =的极小范数解矛盾.唯一性:若有()H A R y x b Ay ∈≠=000,,则()00000=-=-=-b b Ay Ax y x A即 ()()H A R A N y x ⊥=∈-00; 又()H A R y x ∈-00,则()()H H A R A R y x ⊥∈- 00因此000=-y x ,即00y x =.引理7 集合A{1,4}由矩阵方程A A XA )4,1(= （6.4.11）的所有解X 组成,其中{}4,1)4,1(A A ∈.证：若X 满足方程（6.4.11）,则A AA AXA A )4,1(==,等式1)成立;()()XA A A A A XA H H ===)4,1()4,1(,等式4)成立.所以, {}4,1A X ∈.反之, 若{}4,1A X ∈,则有 ()()()()()XA XA X A X A AA X A A A XA A A AXA A A A H H H H H H H HH H H =======)4,1()4,1()4,1()4,1()4,1(定理6.29 设{}4,1,)4,1(A A C A n m ∈∈⨯,则{}(){}m n C Z AA I Z A A ⨯∈-+=|4,1)4,1()4,1( （6.4.12）证 方程（6.4.11）的通解为m n C Y YAA Y AA A X ⨯∈-+=,)4,1()4,1()4,1(令Z A Y +=)4,1(即得{}(){}m n C Z AA I Z A A ⨯∈-+=|4,1)4,1()4,1(.定理6.30 设方程组（6.4.1）相容,则b A x )4,1(= 是极小范数解,其中}4,1{)4,1(A A ∈.反之,设m n C X ⨯∈,若对所有()Xb x A R b =∈,是方程组（6.4.1）的极小范数解,则}4,1{A X ∈.证: 若b Ax =相容,则()A R b ∈.由(6.4.10)知,对任意}4,1{)4,1(A A ∈, b A x )4,1(=都是解,由()A R b ∈推得,存在n C u ∈使得Au b =,所以()()()H HH H A R u A A u A A Au A b A ∈===)4,1()4,1()4,1()4,1(,由引理6, b A x )4,1(=是方程（6.4.1）的唯一极小范数解.所有反之,若对()Xb x A R b =∈,都是方程组（6.4.1）的极小范数解,则有 ()}4,1{)4,1()4,1(A A b A Xb ∈=依次取b 为A 的各列,得 A A XA )4,1(=由引理7, }4,1{A X ∈.三. 矛盾方程组的最小二乘解与广义{1,3}-逆引理8 设n m C A ⨯∈,集合A{1,3}由矩阵方程)3,1(AA AX = （6.4.13）的所有解X 组成,其中}3,1{)3,1(A A ∈.证:类似引理7证明.定理6.31设{}3,1,)3,1(A A C A n m ∈∈⨯,则{}(){}m n C Z Z A A I A A ⨯∈-+=|3,1)3,1()3,1( （6.4.14）证:方程（6.4.13）的通解为m n C Y AY A Y AA A X ⨯∈-+=,)3,1()3,1()3,1(令Z A Y +=)3,1(即得{}(){}m n C Z Z A A I A A ⨯∈-+=|3,1)3,1()3,1(.#定理6.32设}3,1{,,)3,1(A A C b C A m n m ∈∈∈⨯则b A x )3,1(= (6.4.15)是方程组（6.4.1）的最小二乘解,其中}3,1{)3,1(A A ∈.反之,设m n C X ⨯∈,若对所有()Xb x A R b =∈,是方程组（6.4.1）的最小二乘解,则}3,1{A X ∈.证:因为()()b b P b P Ax b Ax A R A R -+-=-)()(而 ()())(,)()()()(A R b P b P I b b P A R b P Ax A R A R A R A R ⊥∈-=--=-∈-⊥，所以 2)(2)(2b b P b P Ax b Ax A R A R -+-=- (6.4.16) 其中⋅为欧氏范数.显然,(6.4.16)取得极小值的充要条件是b P Ax A R )(= (6.4.17)任取}3,1{)3,1(A A ∈,根据定理6.5之(6),有⑴ ()()A R AA R =)3,1(⑵ ()()())()()()A R A N A A N AA N AA N H H H H ⊥====)3,1()3,1()3,1( 所以 )()3,1(A R P AA =.因此当b A x )3,1(=时,b P b AA Ax A R )()3,1(==即(6.4.17)成立.反之,若对所有Xb x C b m =∈,满足(6.4.17),即b P Axb A R )(=则有)(A R P AX =,容易推得}3,1{A X ∈.一般地,最小二乘解不是唯一的,仅当A 是列满秩时, 最小二乘解才是唯一的.因为,若0x 是最小二乘解,则对于任意()A N y ∈,也是最小二乘解.推论 x 是方程(6.4.1)的最小二乘解的充要条件是, x 为b A Ax A H H = (6.4.18)的解.证: 因为()b P b P b P I b P b H A N A R A R A R )()()()(+=-+=由(6.4.17)知, x 是方程(6.4.1)的最小二乘解的充要条件是)()()()()(H A N A N A R A N b P b P b P Ax b Ax H H ∈-=+-=-所以()0=-b Ax A H .方程组(6.4.18)成为矛盾方程组(6.4.1)的法方程(或正规方程组)四. 矛盾方程组的极小范数解与广义逆矩阵+A虽然最小二乘解不是唯一的,但是极小范数最小二乘解却是唯一的,并且可由Moore-Penrose 逆+A 表出.定理 6.33 设m n m C b C A ∈∈⨯,,则b A x +=x 是方程组(6.4.1)的唯一极小范数最小二乘解.反之, 设m n C X ⨯∈,若对所有Xb x C b m =∈,是方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解.则+=A X .证: 取}3,1{)3,1(A A ∈,由定理6.32的证明和式(6.4.17)知, 方程组(6.4.1)的最小二乘解是b AA Ax )3,1(= (6.4.19)的解,因而方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解就是方程组(6.4.19)的极小范数解.由定理6.30和定理6.9得, 方程组(6.4.19)的唯一极小范数最小二乘解是b A b AA A x +==)3,1()4,1(反之,若对所有Xb x C b m =∈,是方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解,则有b A Xb +=从而+=A X .需要指出的是,若方程组(6.4.1)相容,则最小二乘解与一般意义下的解一致,而极小范数最小二乘解与极小范数解一致.例6.10 取例6.4的矩阵A 和[]T j b 1,1,-=,求方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解.解: 由例6.5的结果知, 方程组(6.4.1)的极小范数最小二乘解为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-------==+j j j j j b A x 59462129551813362608741五.矩阵方程D AXB =的极小范数最小二乘解定理6.33的结果可以推广到矩阵方程组(6.4.5)的情形.设矩阵范数为 ∑∑===m i n j ij a A 1122 (6.4.20) 又设()A vec 是将矩阵A 按行拉直所得的列向量,即 ()()Tm n m n n a a a a a a A vec ,,,,,,,,,1221111 = (6.4.21) 显然矩阵A 的范数(6.4.20)等于对应向量的欧氏范数.利用矩阵直积和拉直的关系,可将矩阵方程(6.4.5)化为线性方程组()()()X vec X vec B A T =⊗ (6.4.22)定理6.34 若矩阵方程(6.4.5)不相容,则它的极小范数最小二乘解,即满足X D AXB -min min 的唯一解为++=DB A X证: 根据定理6.33并利用习题6.2中第14题的结果知,线性方程组(6.4.22)的唯一极小范数最小二乘解为 ()()()()()D vec B A D vec B A X vec T T )(+++⊗=⊗=从而矩阵方程(6.4.5)的极小范数最小二乘解为++=DB A X 证毕矛盾方程（组）的解---最小二乘法一、从实验数据处理谈起设有一组实验数据(t 1，s 1)，(t 2，s 2)，……，(t n ，s n )，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。
线性方程组的解法及应用案例
线性方程组的解法及应用案例一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组的方法有很多种，本文将介绍常见的解法，并结合实际案例进行应用分析。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过将方程组转化为阶梯形式，从而简化计算过程。
下面通过一个例子来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有如下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = 3x + y - z = 0```首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式：```[2 3 -1 | 1][3 -2 2 | 3][1 1 -1 | 0]```接下来，我们通过行变换的方式将矩阵转化为阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][1 1 -1 | 0]```2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][0 -1 0 | -0.5]```3. 将第三行乘以-8，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 -1 0 | -0.5]```4. 将第三行乘以3，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 0 0 | -2]```现在，我们得到了一个阶梯形的矩阵。
接下来，我们可以通过回代的方式求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到z的值为1。
然后，将z的值代入第二行的方程中，可以得到y的值为-0.5。
最后，将z和y的值代入第一行的方程中，可以得到x的值为0.5。
综上所述，线性方程组的解为x=0.5，y=-0.5，z=1。
三、矩阵求逆法除了高斯消元法，矩阵求逆法也是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过求解方程组的逆矩阵，从而得到方程组的解。
下面通过一个例子来说明矩阵求逆法的具体步骤。
利用矩阵的广义逆求线性方程组的解
从而原方程的基础解系可取 ａ
１
＝（１ ，２，０， ０） ，ａ
２
＝（－５，０，５，２） ，其全 部解为 ｋ １ ａ １ ＋ｋ ２ ａ ２ 其中 ｋ １ ｋ ２ 为任意数。 运算并不简单，但方法可取。
E G0 A = Q0−1 r 0
0 Q0 ， 0
−1 M −1 (G0 A) M = ( M −1Q0 ) ，
* 0 可见 Ｅ ｎ－Ｇ ０Ａ 是对 经行 0 En− r
与列的互换后所得矩阵，因而仍然恰有
r 个零列。
推论 １ 若 ｍ × ｎ 矩阵 r ＜ ｎ 的秩 则 Ｅｎ－Ｇ０Ａ中的 ｎ－ r 个非零列向量恰是 齐次线性方程组 Ａ Ｘ ＝ ０ 的一个基础解 系。
1 0 G0 A = 所以 0 0
r Q0−1 = R1 O
R2 ， R3
一个 Ｐ Ｓ Ｑ 分解式。 （显然， 上述分解式 一般不唯一） 。 定义 １．３ 称主对角线上的元素全为 １ 的上三角形矩阵为特殊上三角形矩 阵；称后 ｋ 行的分块为（０，Ｅｋ）的 ｎ 阶特 殊上三角形矩阵为 ｎ 阶单位特殊上三角 形矩阵。
1 5 1 0 1 − 2 0 2 0 0 0 1 − 5 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 → 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
1 基本概念
定义 １．１ 设 Ａ 为 ｍ × ｎ 矩阵。如 果 ｎ × ｍ 矩阵 Ｇ 满足 ＡＧＡ＝Ａ，称 Ｇ 为 Ａ 的一个广义逆。 定义 １．２ 设 ｍ × ｎ 矩阵 Ａ 的秩为 ｒ，若存在 ｍ 阶可逆矩阵 Ｐ 和 ｎ 阶可逆矩
E 阵Ｑ 使A= P r 0 0 Q 则称此式为 Ａ 的 0
广义逆矩阵及其应用
题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号目录第一章前言 (1)第二章广义逆矩阵 (2)§2.1广义逆矩阵的定义 (2)§2.2 广义逆矩阵的性质 (3)第三章广义逆矩阵的计算 (12)§3.1 一般广义逆求解 (12)§3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16)结论 (19)第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。
为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。
逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。
为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。
满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。
1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。
1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。
美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。
1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。
逆矩阵例题
逆矩阵例题
逆矩阵是指对于一个方阵A，存在另一个方阵B使得A与B 的乘积等于单位矩阵I。
逆矩阵在线性代数中有着重要的应用，可以用于解线性方程组和计算行列式的逆等。
下面我们来解一个逆矩阵的例题：
假设有一个2x2的矩阵A：
A = [a b]
[c d]
要求求解A的逆矩阵A^-1。
首先，我们需要计算A的行列式D：
D = ad - bc
如果D不等于0，则A存在逆矩阵。
逆矩阵A^-1的表达式为：
A^-1 = (1/D) * [d -b]
[-c a]
其中，1/D表示D的倒数。
以上是一个简单的逆矩阵求解的例题。
当涉及到更大的矩阵或者复杂的运算时，可以使用行列式的性质、伴随矩阵或者高斯-约当消元法等方法来求解逆矩阵。
矩阵逆运算公式
矩阵逆运算公式
矩阵逆运算公式是在线性代数中常见的数学工具，它用于计算一个矩阵的逆矩阵。
逆矩阵是一个重要的概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。
在本文中，我们将探讨矩阵逆运算公式的应用，并介绍它在现实生活中的一些例子。
让我们回顾一下矩阵逆运算公式的定义。
给定一个矩阵A，如果存在另一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵具有许多重要的性质，例如，对于任意一个非零向量x，都有A^-1Ax=x。
因此，矩阵逆运算是线性代数中一个非常重要且有用的概念。
矩阵逆运算的应用非常广泛。
在工程领域，矩阵逆运算被广泛用于解决线性方程组。
通过将线性方程组表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵逆运算来计算方程组的解。
这在电路设计、结构力学以及通信系统等领域中都有重要的应用。
在金融领域，矩阵逆运算可以用于投资组合优化。
通过将资产收益率表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵逆运算来计算最优的投资组合权重。
这有助于投资者在选择投资组合时降低风险并提高收益。
矩阵逆运算还在计算机图形学中得到广泛应用。
通过将图像表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵逆运算来实现图像的旋转、缩放和变形等操作。
这在游戏开发和动画制作中非常常见。
总结来说，矩阵逆运算公式是一种重要的数学工具，它在许多领域中都有广泛的应用。
通过理解矩阵逆运算的定义和应用，我们可以更好地解决实际问题，并提高工作效率。
希望本文能够帮助读者更好地理解矩阵逆运算，并在实际应用中发挥作用。
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