2020届赢在微点大一轮总复习数学理 (47)

(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0°，180°) 。
2．直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角 θ 不是 90°，则斜率 k＝ tanθ ；若直线的倾斜
角 θ＝90°，则斜率不存在。
(2)计算公式：若由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k＝ y2－y1 x2－x1 。(x1≠x2)
解析 (2)l：mx＋y＋1＝0 可写成 y＝－mx－1，即 l 过定点 R(0，－1)， 直线 PR 的斜率 k1＝1－－1－－01＝－2，直线 QR 的斜率 k2＝2－2－－01＝32。因 为直线 l 与线段 PQ 有交点，所以斜率 k≥32或 k≤－2。又因为 k＝－m，所 以 m≤－32或 m≥2。
答案 (1)0，4π∪34π，π
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(2)已知两点 M(2，－3)，N(－3，－2)，斜率为 k 的直线 l 过点 P(1,1)且 与线段 MN 相交，则 k 的取值范围是________。
解析 (2)因为 kPM＝1－1－－23＝－4，kPN＝11－ －－ －23＝34，所以 k 的取值 范围为(－∞，－4]∪34，＋∞。
答案 x－2y＋2＝0 或 x＝2
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微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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考点一 直线的斜率与倾斜角
【例 1】 (1)直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．0，π4 C．0，4π∪π2，π
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5．如果 A·C<0 且 B·C<0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0，在 y 轴上 的截距－CB>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
B．34π，π D．π4，π2∪34π，π
解析 (1)由直线方程可得该直线的斜率为－a2＋1 1，又－1≤－a2＋1 1
<0，所以倾斜角的取值范围是34π，π。 答案 (1)B
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(2)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(－1,1)和 Q(2,2)，若直线 l：mx ＋y＋1＝0 与线段 PQ 有交点，则实数 m 的取值范围是________。
所以2a＋1b＝1，则 1＝2a＋1b≥2 a2b，故 ab≥8，故 S△AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a＝1b＝12时取等号，此时 a＝4，b＝2，故直线 l：4x＋ 2y＝1，即 x＋2y－4＝0。
答案 (1)x＋2y－4＝0
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2019 考纲考题考情
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微知识·小题练
教材回扣 基础自测
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1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角。当直线 l 与 x 轴 平行或重合 时，规定它的倾斜角为 0°。
微提醒：①由直线方程求斜率的思路不清；②忽视斜率和截距对直线位
置的影响；③忽视直线斜率不存在的情况。 4．直线 l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0 的斜率为( )
A．
3 3
B． 3
C．－ 3
D．－
3 3
解析 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－csoisn13500°°＝ 33。 答案 A
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【变式训练】 (1)平面上有相异两点 A(cosθ，sin2θ)，B(0,1)，则直线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是________。
解析 (1)由题意知 cosθ≠0，则斜率 k＝tanα＝scions2θθ－－01＝－cosθ∈ [－1,0)∪(0,1]，那么直线 AB 的倾斜角的取值范围是0，π4∪34π，π。
答案 (2)(－∞，－4]∪34，＋∞
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考点二 直线的方程 【例 2】 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的13的直线方程。 (2)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直 线方程。
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一、走进教材
1．(必修 2P86 练习 T3)若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( )
A．1
B．4
C．1 或 3
D．1 或 4
解析 由题意得－m2－－4m＝1，解得 m＝1。 答案 A
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解 (1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k＝－4×13＝－43。又直线经过点 A(1,3)，因此所求直线方程为 y－3＝－43(x－1)，即 4x＋3y－13＝0。
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(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为2xa＋ay＝1，将(－5,2)代入所设方 程，解得 a＝－12，所以直线方程为 x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方 程为 y＝kx，则－5k＝2，解得 k＝－25，所以直线方程为 y＝－25x，即 2x＋5y＝ 0。故所求直线方程为 2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0。
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3．直线方程的五种形式
名称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
条件
点斜式 斜率 k 与点(x0，y0)
斜截式 斜率 k 与截距 b
两点式 两点(x1，y1)， (x2，y2)
方程 y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b yy2－－yy11＝xx2－－xx11
适用范围
不含直线 x＝x0
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1．直线倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率。 (2)不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 k＝tanα，当 α∈0，2π时，α 越 大，斜率 k 就越大，同样 α∈π2，π时也是如此，但当 α∈[0，π)且 α≠π2时就不 是了。 2．截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而 “距离”是一个非负数。应注意过原点的特殊情况是否满足题意。
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1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采 用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否 为零)。
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解析
设 P(x，x2)，直线 AP 的斜率为 k，则 k＝xx2＋－1214＝x－12。因为
－12<x<32，所以直线 AP 斜率的取值范围是(－1,1)。
答案 (－1,1)
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三、走出误区
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必考部分
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第八章 平面解析几何
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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
微知识·小题练 微考点·大课堂
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(2)由已知设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾斜角为 2α。 因为 tanα＝3，所以 tan2α＝1－2tatannα2α＝－34。 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0。 (3)由题意可知，所求直线的斜率为±1。 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)。 所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0。
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2．(必修 2P100A 组 T9 改编)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线 方程为________。
解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0；当截距不为 0 时，设直 线方程为ax＋ay＝1，则2a＋3a＝1，解得 a＝5，所以直线方程为 x＋y－5＝0。
答案 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0
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二、走近高考 3．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线 x2＝y，点 A－12，14，B32，94， 抛物线上的点 P(x，y)－12<x<32，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q，则 直线 AP 斜率的取值范围是________。
【变式训练】 求适合下列条件的直线方程。 (1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x 的倾斜角的 2 倍； (3)经过点 B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。 解 (1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，即 l 过点(0,0)和 (4,1)， 所以 l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0。 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， 因为 l 过点(4,1)，所以4a＋1a＝1， 所以 a＝5，所以 l 的方程为 x＋y－5＝0。 综上可知，直线 l 的方程为 x－4y＝0 或 x＋y－5＝0。
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考点三 直线方程的综合应用微点小专题 【例 3】 (1)(2019·成都模拟)已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x 轴的 正半轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时， 直线 l 的方程为________。 解析 (1)设直线 l：ax＋by＝1，且 a>0，b>0，因为直线 l 过点 M(2,1)，
(2)已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当 0<a<2 时， 直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a＝ ________。
解析 (2)直线 l1 可写成 a(x－2)＝2(y－2)，直线 l2 可写成 2(x－2)＝ a2(2－y)，所以直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 的纵截距为 2－a，直线 l2 的横截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)
答案 C
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6．过直线 l：y＝x 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的 三角形的面积为 2，则直线 m 的方程为____________________。
解析 ①若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x＝2，直线 m， 直线 l 和 x 轴围成的三角形的面积为 2，符合题意；②若直线 m 的斜率 k ＝0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意；③若直线 m 的斜率 k≠0， 设其方程为 y－2＝k(x－2)，令 y＝0，得 x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2 ＝2，即1－1k＝1，解得 k＝12，所以直线 m 的方程为 y－2＝12(x－2)，即 x －2y＋2＝0。综上可知，直线 m 的方程为 x－2y＋2＝0 或 x＝2。
不含垂直于 x 轴 的直线 不含直线 x＝ x1(x1＝x2)和直线 y＝y1(y1＝y2)
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名称 截距式 一般式
条件 截距 a 与 b
—
方程
适用范围
ax＋by＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标 轴和过原点的直 线
平面直角坐标系 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 内的直线都适用
答案 (2)－∞，－32∪[2，＋∞)
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斜率取值范围的两种求法 1．数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形， 结合正切函数的单调性确定。 2．函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之 亦可。
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