第讲参数方程及其应用

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例1：求下列参数方程所表示的曲线：
x1co2s, (1) y54si2n,
0,2
(2) x y 2 tt 2 1 1 tt,, t0
解：（1）由三角函数公式 co 2s12si2n可求得 sin2 1 x
2 代入另一式化简得 y12x
又因为 0sin21x1，所以 0x2
笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？ 摆线在它与定直线
上述问题抽象成数学问题就是：当的一两个个圆相沿邻着交一点条之定间直线 无滑动地滚动时，圆周上一个定点的的轨部迹分是叫什做么一？个拱。
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满 足的几何条件:线段OA的长等于弧MA的长,即OA=rφ
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y
2r
r
P
B
O
A
r
所以摆线的参数方程为：
2r x
x r(sin) y r(1cos)
（其中φ为参数）
每一拱摆线的拱高为2r，拱宽为 2r
拱长为 8r，面积为 3r 2
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摆线的应用
由于采用摆线作为齿廓线的齿轮，具有传动精度好、 耐磨损等优点，所以在精密度要求较高的钟表工业和 仪表工业中，广泛采用摆线作为齿轮的齿廓线。
4 t
t
2
2 1
4
1 t2 1
4t 2
所以
x2 4y
2
4t 4
2
t
4
1 t2
2
4
1 t2
即有 x2 4y2 8
化简得：x2 y2 1
82
即该参数方程表示的是一条双曲线，其方程为： x2 y2 1 82
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二、参数方程的应用
1.摆线
思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在
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例2：已知摆线的生成圆直径为80mm，写出摆线 的参数方程，并求出其一拱的拱高和拱宽.
解：由于摆线的生成圆直径为80mm，所以生成圆 的半径为40mm，摆线的参数方程为
x 40( sin)
y
40(1cos)
（θ为参数）
其一拱的拱高为80mm，拱宽为80mm，约 251.3mm.
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以前我们曾学过一些参数方程的基本知识，如
yy0k(xx0)
x2 y2 1 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
y22p(xp0)
y x
y0 x0
t sin t cos
x a cos t
y
b sin
t
x a sec t
y
b
tan
t
x 1 t 2 2p y t
2．已知摆线的生成圆的直径为80mm，写出此摆 线的参数方程，并求其一的拱宽和拱高.
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祝 你 工 作 愉 快 ！
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祝 你 学 习 进 步 ！
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2
故该参数方程表示的是一条线段，其方程为：
y 2 x 10 x 2
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例1：求下列参数方程所表示的曲线：
x1co2s, (1) y54si2n,
0,2
(2) xy 2 tt2 11 tt,, t0
解：（2）观察该参数方程的特征可知
x2 y2
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xr(cossin) yr(sincos)
（θ为参数）
这就是圆的渐开线的参数方程。
渐开线的应用： 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行 的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数 齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开 线方程。
第讲参数方程及其应用
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学习目标
1、掌握直线、圆和椭圆的参数方程，理解弹道曲线、 双曲线和抛物线的参数方程；
2、较熟练地化一般参数方程为普通方程；也能对给定 的参数，化一些简单的普通方程为参数方程；
3、理解圆的渐开线和摆线及其参数方程。
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我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
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摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
M
B C
OD A
Ex
设开始时定点M在原点，圆滚动了φ角后与x轴相切于点A，
x C B B D B D c C 9 M o 0 ) O 0 s 9 i ( 0 B ) n r s 0 ( r i c n y M M D M E O D E B s D C 9 i 0 ) M O n c 0 9 ( 0 o ) B r c 0 s r s o (
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设开始时绳子外端(笔尖)位于点A， 当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角θ的一段弧 AB展开后成
为切线,所以切线BM的长就是弧AB的长。
这就是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定 圆叫做渐开线的基圆。
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渐开线的参数方程
2
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引进参数以后，不仅可以求出某些曲线的方程，而且 在很多情况下，使曲线方程的形式简单，，便于研究其 性质.因此参数方程是解析几何的重要内容之一，它既是 进一步学习数学的基础，又是解决科学研究和生产实践 的有效工具.
在理解参数方程的概念时，要注意以下几点： (1)在建立参数方程时，要先明确谁是参数; (2)注意参数的取值范围; (3)曲线的参数方程并不唯一;
圆心在点B。从点M分别作AB、x轴的垂线，垂足分别是C、D。
设点M的坐标为(x,y)，取φ为参数，根据点M满足的几何条件，
有
x O D O A D A O A M C r r s i n ,
y D M A C A B C B r r c o s.
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注意：
1.发生线BP沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆 弧长度。 2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。 3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
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例3:有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆 直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。
解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆 的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的 参数方程为：
x11(cossin) x11(sinsin) (θ为参数）
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小结 你能总结一下本讲的主要内容吗？
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练习
1．已知一齿轮的齿廓线为圆的渐开线，它的基圆 直径为300mm, 写出此齿廓线所在渐开线的参数 方程；
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2.圆的渐开线及其参数方程
定义： 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
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以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角θ唯一确定。 过点M作 M Ex轴，交x轴于点E，
过点B作 BDM，E垂足为点D，交y轴于点C，则 BM ABr
取θ为参数，则 M B BD O 9 C 00
cos9 (00 )sin sin9 ( 00 )co s