第讲参数方程及其应用
参数方程与参数方程的应用
参数方程与参数方程的应用参数方程是描述曲线或曲面的一种常见方法，通过给出自变量的取值范围，我们可以得到相应的因变量。
在数学、物理、工程等领域中，参数方程被广泛应用于描述和解决各种问题。
本文将介绍参数方程的基本概念，以及它在不同领域中的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程由自变量和因变量组成，一般形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y表示曲线上的点的坐标，t是自变量的取值，f(t)和g(t)是与t相关的函数。
通过给定不同的t值，我们可以得到不同的曲线上的点。
参数方程的优势在于能够轻松地描述一些复杂的曲线形状，如椭圆、双曲线和螺旋线等。
与直角坐标系相比，参数方程对于描述曲线的形状更加直观和灵活。
二、参数方程的应用案例1. 物理学中的抛体运动抛体运动是物理学中经典的运动问题之一。
在空中投掷物体时，其运动轨迹可以使用参数方程来描述。
假设一个物体以初速度v0以角度α抛出，空中运动一段时间后，其轨迹可由以下参数方程表示：x = v0 * cos(α) * ty = v0 * sin(α) * t - (1/2) * g * t^2其中，g是重力加速度，t为时间。
通过这个参数方程，我们可以计算物体在不同时间点上的位置坐标。
这对于预测物体的落点和弹道分析非常有用。
2. 工程学中的曲线设计在工程领域，曲线的设计是一项重要的任务。
参数方程可以用于描述和控制曲线的形状。
例如，在高速公路建设中，我们需要设计道路的水平转弯曲线。
通过使用参数方程，我们可以根据设计要求控制曲线的曲率和变化率。
另外，参数方程还可以用于描述和控制工程中的其他曲线，比如流线型物体的设计、飞机机翼的曲线和汽车车身的造型等。
通过调整参数方程中的参数，我们可以灵活地控制曲线的形状，以满足设计需求。
3. 经济学中的需求曲线在经济学中，需求曲线是描述市场上消费者对商品或服务需求的一种方式。
需求曲线可以用参数方程来表示，其中价格作为自变量，需求量作为因变量。
参数方程及其应用
参数方程及其应用参数方程是数学中一种常用的描述曲线的方法，通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。
参数方程的优势在于它可以描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线和螺旋线等。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在不同领域中的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程由一组函数构成，这些函数分别表示曲线上的点的x坐标和y坐标。
通常用t作为参数，通过给定t的取值范围，我们可以确定曲线上的点。
例如，对于平面上的一条曲线，它的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过选择不同的函数形式，我们可以得到各种不同的曲线。
二、参数方程的应用1. 几何学中的参数方程参数方程在几何学中有广泛的应用。
例如，椭圆可以用参数方程表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
通过改变参数t的取值范围，我们可以获得椭圆上的所有点。
另一个例子是螺旋线，它可以通过以下参数方程描述：x = a*cos(t)y = a*sin(t)z = b*t通过改变参数t的取值范围，我们可以得到一条在三维空间中逐渐升高的螺旋线。
2. 物理学中的参数方程参数方程在物理学中也有广泛的应用。
例如，质点在自由落体过程中的运动可以用参数方程描述：x = v0*cos(θ)*ty = v0*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2其中v0表示起始速度，θ表示抛射角度，g表示重力加速度。
通过给定不同的初始条件，我们可以得到不同情况下的自由落体轨迹。
3. 工程学中的参数方程参数方程在工程学中也有一些应用。
例如，在航空领域中，飞机的航迹可以用参数方程表示：x = v*cos(α)*ty = v*s in(α)*tz = h其中v表示飞机的速度，α表示飞机的航向角，t表示时间，h表示飞机的高度。
通过改变参数的取值，我们可以获得飞机在空中飞行的轨迹。
4. 计算机图形学中的参数方程参数方程在计算机图形学中也有广泛的应用。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念引导学生了解参数方程的定义和特点举例说明参数方程在实际问题中的应用1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数和变量的关系练习将直角坐标方程转换为参数方程第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质和特点举例说明参数方程图像的形状和变化趋势2.2 参数方程的图像绘制学习如何绘制参数方程的图像练习绘制不同类型的参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等举例说明参数方程在圆锥曲线中的应用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹练习解决物理问题，如求解物体在参数方程下的速度和加速度第四章：参数方程的转换4.1 参数方程与直角坐标方程的转换学习如何将参数方程转换为直角坐标方程练习将参数方程转换为直角坐标方程，并解决相关问题4.2 参数方程与其他形式的方程的转换介绍参数方程与其他形式的方程（如极坐标方程）的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并进行问题求解第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立合适的参数方程模型练习解决实际问题，如计算曲线的长度、面积等5.2 参数方程在数学竞赛中的应用介绍参数方程在数学竞赛中的应用，如解决综合题练习解决数学竞赛中的参数方程问题第六章：参数方程与曲线积分6.1 参数方程下的曲线积分概念引入曲线积分的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲线积分的计算方法6.2 参数方程下的曲线积分计算学习如何利用参数方程计算曲线积分练习计算不同类型曲线积分问题第七章：参数方程与曲面面积7.1 参数方程下的曲面面积概念引入曲面面积的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲面面积的计算方法7.2 参数方程下的曲面面积计算学习如何利用参数方程计算曲面面积练习计算不同类型曲面面积问题第八章：参数方程与优化问题8.1 参数方程在优化问题中的应用引入优化问题的概念，解释参数方程在优化问题中的应用举例说明参数方程在优化问题中的解法8.2 参数方程优化问题的解决方法学习如何利用参数方程解决优化问题练习解决实际优化问题，如最短路径问题等第九章：参数方程与微分方程9.1 参数方程与微分方程的关系解释参数方程与微分方程之间的联系举例说明微分方程在参数方程中的应用9.2 参数方程微分方程的求解方法学习如何利用微分方程求解参数方程练习求解不同类型的参数方程微分方程问题第十章：参数方程的综合应用案例分析10.1 参数方程在工程中的应用案例分析分析实际工程问题，利用参数方程进行问题建模练习解决工程问题，并进行案例分析10.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析分析实际科学研究问题，利用参数方程进行问题建模练习解决科学研究问题，并进行案例分析重点和难点解析重点一：参数方程的概念与特点学生需要理解参数方程的定义，即变量与参数之间的关系强调参数方程在解决实际问题中的应用价值重点二：参数方程的图像特点与绘制方法学生应掌握参数方程图像的性质和变化趋势练习将参数方程转换为图像，并分析图像的特点重点三：参数方程在几何和物理中的应用学生需要学会利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等强调参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹重点四：参数方程的转换方法学生应掌握参数方程与直角坐标方程、极坐标方程等的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并解决相关问题重点五：参数方程在曲线积分、曲面面积和优化问题中的应用学生需要理解参数方程在曲线积分和曲面面积计算中的作用强调参数方程在解决优化问题中的应用，如最短路径问题重点六：参数方程与微分方程的关系和求解方法学生应理解参数方程与微分方程之间的联系练习利用微分方程求解参数方程，并解决实际问题重点七：参数方程的综合应用案例分析学生需要学会将参数方程应用于工程和科学研究问题强调案例分析的重要性，通过实际问题加深对参数方程的理解本教案围绕参数方程的概念、图像、应用和转换等方面进行了详细的讲解和练习。
参数方程的表示与应用
参数方程的表示与应用参数方程是一种用参数表达的函数形式，常用于描述曲线、曲面等几何图形。
本文将介绍参数方程的基本定义及表示方法，并探讨参数方程在数学和物理等领域的应用。
一、参数方程的基本定义与表示方法参数方程是一种使用参数变量表示的函数形式，适用于描述一些特殊的几何图形。
通常，参数方程由多个参数变量和对应的函数关系组成。
例如，考虑一个简单的二维平面上的点的轨迹问题。
我们可以用参数方程来描述一个点P(x,y)的轨迹：x = f(t)y = g(t)其中，t是参数变量，f(t)和g(t)是t的函数，它们决定了点P在平面上的位置。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到点P在平面上的不同轨迹。
同样地，对于三维空间中的曲线或曲面，我们可以用参数方程来表示：x = f(u,v)y = g(u,v)z = h(u,v)其中，u和v是参数变量，f(u,v)，g(u,v)和h(u,v)是u和v的函数，它们决定了曲线或曲面上的点的坐标。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到不同的曲线或曲面。
二、参数方程的应用参数方程在数学和物理等领域有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 几何图形的描述参数方程可以用来描述各种几何图形，如线段、圆、椭圆等。
通过设定参数变量的范围，我们可以得到图形的具体形状和轨迹。
2. 曲线的参数化许多曲线的方程很难用一般的函数形式表示，但可以用参数方程来描述。
例如，心形曲线可以用参数方程x = a(2cos t - cos 2t)，y = a(2sin t - sin 2t)表示，其中a是常数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出不同形状的心形曲线。
3. 运动学模型参数方程在物理学中的运动学模型中经常被使用。
例如，一个物体在抛体运动中的轨迹可以用参数方程来表示。
参数方程可以提供物体在不同时刻的位置坐标，有助于对物体的运动进行研究和分析。
4. 曲面的参数化与曲线类似，参数方程也可以用于描述三维空间中的曲面。
高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例
高中数学含参数方程的解题技巧及应用实例数学中的参数方程是一种常见的表达方式，它可以描述一条曲线或者一个平面的方程。
在高中数学中，我们经常会遇到含有参数方程的问题，因此掌握解题技巧对于学生们来说非常重要。
本文将介绍一些解题技巧，并通过实例来说明其应用。
一、参数方程的基本概念在开始介绍解题技巧之前，我们首先来了解一下参数方程的基本概念。
参数方程是由参数表示的一组方程，通常用来描述曲线或者平面上的点的位置。
一个参数方程通常由两个或多个参数方程组成，例如：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点。
二、解题技巧及应用实例1. 求参数方程的交点当我们需要求解两个参数方程的交点时，可以将两个参数方程联立起来，解得参数的值，再代入其中一个参数方程中求得交点的坐标。
例如，考虑以下两个参数方程：x = ty = t^2我们需要求解这两个参数方程的交点。
将第一个参数方程代入第二个参数方程中，得到：t^2 = t解这个方程，我们可以得到t=0或t=1。
将这两个t值代入第一个参数方程中，我们可以得到两个交点坐标：(0,0)和(1,1)。
2. 求参数方程的导数在一些问题中，我们需要求参数方程的导数。
对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，它们的导数可以通过对x和y分别关于t求导得到。
例如，考虑以下参数方程：x = t^2y = 2t我们需要求解这个参数方程的导数。
对x和y分别关于t求导，我们可以得到：dx/dt = 2tdy/dt = 2这样，我们就得到了参数方程的导数。
3. 求参数方程的弧长在一些问题中，我们需要求解参数方程所描述的曲线的弧长。
为了求解弧长，我们可以使用积分的方法。
对于参数方程x=f(t)和y=g(t)，它们的弧长可以通过积分公式得到：L = ∫[a,b] √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt其中，[a,b]表示积分区间，dx/dt和dy/dt分别是参数方程的导数。
参数方程的应用
参数方程的应用
1 参数方程概述
参数方程（Parameter equations, 简称参数方程）是一类常微分
方程，它的特点是其解的形式是以指定的参数为变量的某种函数下的
曲线，常称为参数曲线。
它有平面参数方程（plane parametric equations）和空间参数方程（space parametric equations）之分。
它是利用几何观念，建立数学模型，从而求解复杂问题的重要不可或
缺的工具。
2 参数方程应用
参数方程在计算机图形学、力学、流体力学、天文学等领域都有
广泛的应用，特别是用在物理模型的建立上，发挥着重要作用。
例如，用参数方程可以求解受外力作用的轮组线的姿态以及与其他部位的相
对位置；化学反应机构的分子运动轨迹；某双轴复绕机械系统的状态
方程；某轴系的动力学运动方程；某多维空间的分部运动系统中指定
粒子的轨迹；进行宇宙射击、抛物线轨道计算等等都是利用参数方程
得到解答。
3 参数方程发展
在现代计算机数值运算上，参数方程随着数值分析技术的不断发
展而更加得到应用，它可以利用计算机快速求解二次、多项式及幂律
的近似解，以及解非线性方程，解求常微分方程初值问题，解求难度
重大的微分方程编程问题。
它也可以利用计算机进行图形处理，画出数学模型，从而核算出复杂度问题的解决方案。
4 总结
由上所述，参数方程是一类常微分方程，解的形式是以指定的参数为变量的某种函数下的曲线，是应用于物理模型的建立的重要不可或缺的工具，其应用范围十分广泛，并随着计算机数值运算的不断发展而被更加得到应用，发挥以求解复杂度问题的重要作用。
参数方程
设M(x,y),由上面两直线方程可求得: 18a x 2 , 2 2 x y a 9 (a为参数), 消去参数a, 得 1( x 0). 2 9 4 y 2a 18 a2 9
点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去B,B).
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参数方程及其应用 例 (2015· 内蒙古包头市模拟)已知直线 x＝1＋1t， 2 l： 3 y＝ t 2 参数)． (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点，求|AB|；
A
12
x 5cos (5).二次曲线 ( 是参数） y 3sin 的左焦点的坐标为（） (-4,0)
t t
x e e (6).参数方程 ( t 为参数 ) 表示的曲线（ t t y e e A.双曲线B.双曲线的下支C.双曲线的上支D.圆
若x y a恒成立，求实数 a的取值范围
x2 y 2 x= 3 cos , (1)由椭圆 + =1的参数方程为 ( 为参数)， 3 4 y 2sin 可设点P的坐标为( 3 cos , 2sin ) 3 1 则2x+y=2 3 cos 2sin 4 cos sin 2 2
P ( x, y ) t 的几何意义：表示有向线段 P0 P 的数量，
直线上两点P1,P2对应的参数分别是t1，t2，则 | P1P2|=| t1-t2 |
4
●两个要点 x＝x0＋tcosα， (1)在直线的参数方程 (t 为参数)中 t 的几何 y＝y0＋tsinα 意义是表示在直线上从定点 P0(x0，y0)到直线上的任一点 P(x，y) 构成的有向线段 P0P 的数量且在直线上任意两点 P1、P2 的距离为 |P1P2|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2.
掌握参数方程在物理和工程问题中的应用
掌握参数方程在物理和工程问题中的应用参数方程是一种使用参数来描述曲线的方法，广泛应用于物理和工程领域。
通过使用参数方程，我们可以更方便地研究和分析曲线的特性。
1. 参数方程在物理问题中的应用1.1 轨迹的描述物理中很多运动可以通过参数方程来描述其轨迹。
例如，在自由落体运动中，我们可以用参数方程描述物体在不同时间下的位置坐标。
通过参数方程，我们可以轻松地计算物体的速度、加速度以及轨迹的形状和方程。
1.2 复杂弯曲运动的分析对于复杂弯曲的运动，参数方程也能提供更好的分析方法。
例如，在电磁场中运动的电荷粒子的轨迹可以通过参数方程来描述。
通过参数方程，我们能够更清晰地了解粒子在电磁场中的运动特性。
1.3 曲线的参数化表示在物理研究中，往往需要对曲线进行参数化表示。
通过使用参数方程，我们可以将曲线的参数化表示与其他物理量进行关联，从而更好地理解和描述曲线的性质。
2. 参数方程在工程问题中的应用2.1 建模与设计参数方程在工程领域中广泛应用于建模和设计过程中。
通过使用参数方程，我们可以更好地描述和控制物体的形状和运动。
例如，在机械工程中，参数方程可以用于描述机械零件的轨迹、运动过程以及受力情况，进而为设计提供准确的参考和分析。
2.2 控制系统在控制系统中，参数方程也有着重要的应用。
通过使用参数方程，我们可以建立系统动力学模型，并对系统进行分析和控制。
参数方程可以描述系统的输入输出关系，从而帮助工程师更好地优化和调控控制系统。
3. 结论参数方程在物理和工程问题中具有广泛的应用价值。
通过参数方程，我们可以更方便地描述和分析曲线的特性。
在物理问题中，参数方程可以用于轨迹描述、复杂运动分析和曲线的参数化表示。
在工程问题中，参数方程可以用于建模与设计、控制系统等方面。
掌握参数方程的应用能力，对于解决物理和工程问题，具有重要的帮助和指导作用。
参数方程与极坐标参数方程与极坐标的转换和应用
参数方程与极坐标参数方程与极坐标的转换和应用参数方程与极坐标：参数方程的定义和应用在数学中，参数方程是一种描述曲线的数学工具，而极坐标则是另一种描述平面上点的工具。
本文将介绍参数方程与极坐标之间的转换关系以及它们在数学和科学中的应用。
一、参数方程的定义与性质参数方程是用参数表示的一组方程，其中每个方程都将变量表示为参数的函数。
一般形式的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
参数方程的优点是可以灵活地描述复杂的曲线形状。
通过改变参数的取值范围和步长，可以绘制出图像在不同区间上的局部特征。
与直角坐标系不同，参数方程可以表示一些非代数曲线，如椭圆、双曲线和螺旋线等。
二、极坐标的定义与性质极坐标是以原点O为中心，以极轴和极径表示平面上的点P的坐标系统。
极径表示点P到原点O的距离，极轴则表示P与某一固定方向的夹角，一般用θ表示。
点P的极坐标可以表示为(r,θ)的形式。
极坐标的优势在于对于圆形和对称图形，其方程形式会更加简洁。
由于可以直接用极径和极角表示曲线上的点，因此在极坐标下进行积分和求解微分方程等数学计算时会更加便利。
三、参数方程与极坐标之间的转换关系参数方程与极坐标之间存在一种转换关系，通过这种关系可以将一个曲线在参数方程和极坐标之间进行相互转换。
1. 参数方程转换为极坐标在已知参数方程x = f(t)和y = g(t)的情况下，可以通过以下方式将其转换为极坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)其中，sqrt表示开方，atan2表示求反正切。
2. 极坐标转换为参数方程同样地，在已知极坐标r和θ的情况下，可以通过以下方式将其转换为参数方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦，sin表示正弦。
这种转换关系使得我们可以通过参数方程和极坐标两种不同的方式描述和研究同一个曲线。
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。
这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。
一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。
假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。
二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。
其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。
2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。
参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。
三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。
通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。
2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。
旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。
3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。
可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。
4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，让学生理解参数方程是一种描述曲线运动的数学工具。
通过实际例子，让学生了解参数方程在现实中的应用。
1.2 参数方程的基本形式介绍参数方程的两种基本形式：圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程。
通过图形和实例，让学生理解参数方程与普通方程之间的关系。
第二章：参数方程的图像与性质2.1 参数方程的图像利用图形软件，绘制常见参数方程的图像，让学生直观地了解参数方程的特点。
引导学生观察图像，探讨参数方程与坐标轴之间的关系。
2.2 参数方程的性质引导学生研究参数方程的单调性、周期性和奇偶性等性质。
通过实例，让学生了解参数方程的性质在实际问题中的应用。
第三章：参数方程的变换与化简3.1 参数方程的变换介绍参数方程的基本变换，如平移、旋转和缩放等。
通过实例，让学生学会如何对参数方程进行变换。
3.2 参数方程的化简引导学生利用数学方法对参数方程进行化简，使其形式更加简洁。
通过实例，让学生了解参数方程化简的意义和应用。
第四章：参数方程的应用4.1 参数方程在物理中的应用以机械运动为例，介绍参数方程在描述物体运动中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际物理问题。
4.2 参数方程在工程中的应用以电子电路为例，介绍参数方程在描述系统动态行为中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际工程问题。
第五章：参数方程的综合练习5.1 参数方程的解题技巧通过实例，让学生学会如何运用不同的技巧解决参数方程问题。
5.2 综合练习题提供一系列与参数方程相关的综合练习题，让学生巩固所学知识。
对练习题进行讲解和解析，帮助学生提高解题能力。
第六章：参数方程在圆锥曲线中的应用6.1 圆锥曲线的参数方程复习圆锥曲线的普通方程，并引入其参数方程。
通过图形和实例，让学生了解圆锥曲线的参数方程表示方法。
6.2 圆锥曲线的参数性质引导学生研究圆锥曲线的参数性质，如渐近线、焦点、顶点等。
参数方程及其应用
极坐标与参数方程一、极坐标与直角坐标之间的转换(,)(cos ,sin )A A r q r q r q ® c o s ,s i nx y r q r q == 222x y r += a r =：表示半径为a 圆心为原点的圆r q =：表示顶点在原点，与x 轴的正半轴夹角为q 的射线 2cos ()22a ppr q q =-＃表示圆心为(,0)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同） 2sin (0)a r q qp =＃表示圆心为(0,)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）二、常见的参数方程 1、直线的参数方程 形式一：（倾斜角）00cos sin x x t y y t q qì=+ïí=+ïî（t 为参数）形式二：（向量式）00x x mty y lt ì=+ïí=+ïî（t 为参数）过定点00(,)P x y ，直线斜率sin cos lk mq q == 两种形式的转化方法：00x x mt y y lt ì=+ïí=+ïî（t 为参数）022022mx x t m l l y y t m l ì=+ïï+ï®íï=+ïï+î（t 为参数）2、圆的参数方程c o s s i nx r y r qq ì=ïí=ïî（q 为参数）cos sin x a r y b r qqì=+ïí=+ïî（q 为参数） 3、椭圆的参数方程c o s s i nx a y b qq ì=ïí=ïî（q 为参数）00cos sin x x a y y b qqì=+ïí=+ïî（q 为参数） 4、双曲线的参数方程s e ct a n x a y b q q ì=ïí=ïî（q 为参数）00sec tan x x a y y b qqì=+ïí=+ïî（q 为参数） 5、抛物线的参数方程22y px = 22t x p y tìï=ïíï=ïî（t 为参数）222x pty ptì=ïí=ïî（t 为参数）三、直线参数方程中t 的几何意义的应用00c o s s i n x x t y yt q q ì=+ïí=+ïî（t 为参数）t 表示直线上任意一点到定点00(,)P x y 的距离.直线参数方程00cos sin x x t y y t qq ì=+ïí=+ïî（t 为参数），椭圆方程2222:1x y C a b +=，相交于,A B 两点，直线上定点00(,)P x y将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于t 的一元二次方程，则：2121212()4AB t t t t t t =-=+-12121212120t t t t PA PB t t t t t t ì+>ï+=+=í-<ïî‥‥‥‥12PA PBt t ?若M 为AB 的中点，则122t t PM +=1、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6pa=，圆的极坐标方程为2cos 6sin r q q =+. （1）写出直线l 的参数方程，并将圆的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）设l 与圆相交于A B 、两点，求弦AB 的长.答案：（1）312112x t y t ìï=+ïíï=+ïî（t 为参数），22260x y x y +--= （2）27AB =同类型题1：在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2324x ty t ì=--ïí=-ïî（t 为参数），它与曲线22:(2)1C y x --=交于A B 、两点.（1）求AB 的长；（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为3(22,)4p，求点P 到线段AB 中点M 的距离.答案：（1）10717AB =（2）307同类型题2：（2010福建）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ìï=-ïíï=+ïî（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin r q =.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B .若点P 的坐标为(3,5)，求PA PB +. 答案：（1）22(5)5x y +-= （2）32四、极坐标方程和参数方程的应用1、已知曲线14cos :3sin x t C y t ì=-+ïí=+ïî（t 为参数），28cos :3sin x C y qqì=ïí=ïî（q 为参数）.（1）化12C C 、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t p =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332:2x tC y t ì=+ïí=-+ïî（t 为参数）距离的最小值.答案：（1）1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆；2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长为16，短轴长为6的椭圆. （2）最小值为855同类型题1：以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程为31cos :2sin x t C y t aa ì=+ïíï=î（t 为参数0a p <<），曲线C 的极坐标方程为22cos sin qr q=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，当a 变化时，求AB 的最小值.答案：（1）22y x = （2）当2pa =时，AB 的最小值为2.同类型题2：（2013新课标2）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y tì=ïí=ïî（t 为参数）上，对应参数分别为t a =与2(02)ta a p =<<，M 为PQ 中点.（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.答案：（1）cos cos 2sin sin 2x y a aa a ì=+ïí=+ïî（a 为参数） （2）a p =时过原点2、（2013新课标1）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty tì=+ïí=+ïî（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin r q =.（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程； （2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)r q p 常<.答案：（1）28cos 10sin 160r r q r q --+= （2）(2,),(2,)42p p同类型题1：（2013辽宁）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆1C 和直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos()224pr q r q =-=. （1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a by t ì=+ïíï=+ïî （t R Î为参数），求,a b 的值.答案：（1）(22,),(4,)42p p（2）1,2a b =-=3、（2010新课标）已知直线11cos :sin x t C y t a a ì=+ïí=ïî（t 为参数），圆2cos :sin x C y qqì=ïí=ïî（q 为参数）.（1）当3pa =时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点.当a 变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 答案：（1）13(1,0),(,)22- （2）圆心为1(,0)4，半径为的14圆同类型题1：在极坐标系中，曲线1C 与2C 的极坐标方程依次为2cos ,cos()13pr q r q =-+=. （1）求曲线1C 和2C 的公共点的个数.（2）过极点作动直线与曲线2C 相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使2OP OQ =，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形.答案：（1）没有公共点 （2）是以为13(,)22-圆心，1为半径的圆。
高考数学中的参数方程及其应用
高考数学中的参数方程及其应用一、参数方程简介在数学中，参数方程指的是一种用参数来描述几何图形的方式。
与常规的直角坐标系不同，参数方程使用的是另一种坐标系，叫做参数坐标系。
在这种坐标系中，每一个点用两个参数来表示，分别是横坐标参数和纵坐标参数。
举个简单的例子，如果要描述一个圆形，我们可以使用直角坐标系中的圆方程x²+y²=r²，但是在参数坐标系中，我们可以使用以下的参数方程：x = r * cosθy = r * sinθ其中θ是角度参数，r是半径。
二、参数方程在高考数学中的应用在高考数学中，参数方程通常被用于描述曲线的形状。
这种方式非常直观，因为参数方程可以让我们更加清晰地了解曲线的性质。
下面是一些常见的应用场景。
1. 极坐标系与参数方程极坐标系是一种基于极角和极径的坐标系，与参数坐标系非常相似。
因此，参数方程在极坐标系中的应用非常广泛。
比如在物理领域中，有很多通过观察物体运动轨迹来推导出物理定律的案例，这个时候往往需要将轨迹用参数方程进行描述。
2. 参数方程与计算当我们需要计算曲线的长度，面积等参数时，参数方程同样能够提供便利。
在计算方面，通常需要使用微积分的知识，利用已知的数据推导出曲线的性质。
比如，我们可以使用参数方程来计算圆的弧长、圆的面积等等。
3. 参数方程与计算机随着计算机技术的日益发展，参数方程在计算机绘图中的应用也越来越广泛。
因为参数方程具有天然的“可视化”特征，我们可以通过直接输入参数来获取图像。
这种方式非常方便，尤其在建模、绘制等领域中非常实用。
三、基本参数方程除了上面提到的圆形参数方程之外，还有许多其他的基本参数方程。
这些基本参数方程可以用来描述各种不同的曲线类型，比如椭圆、双曲线、抛物线等等。
下面是一些常见的例子：1. 椭圆（a、b分别是长半轴和短半轴）x = a*cosθy = b*sinθ2. 双曲线（a、b分别是双曲线的常量）x = a*coshθy = b*sinhθ3. 抛物线（a是常数）x = a*t²y = 2*a*t四、总结参数方程的引入给我们提供了一种新的描述曲线的方式，不仅可以更加具体地了解曲线的性质，而且还可以方便计算和计算机绘图。
参数方程及其应用
x 1 2t x 3cos 以直线 被圆 ，截得的弦长为2 7. y 1 2t y 3sin
1 x 3 t 2 3.已知直线l的参数方程为 (t为参数)， y 7 3 t 2 x 4cos 曲线C的参数方程为 (q为参数)． y 4sin
所以AP AQ | 1 2 1 2 | 12 2. AP AQ | 1 2 | 224 4 14.
参数方程与极坐标方 程的综合应用
【例3】已知曲线C的极坐标方程是＝2 sin ，直线 3 x t2 5 l的参数方程是 (t为参数)． y 4t 5 1 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； 求MN的最大值．
x sin cos 1.参数方程 ( 为参数)化为普通 y sin2 2 方程是 x y 1 0( 2 x . 2)
x 1 cos 3 2.若曲线 ( 为参数)经过点( ，a)， 2 y 2sin 则a 3.
x+y+ 2 2 -1=0. 设P(1+cosθ , sinθ), θ∈[0 , 2π)， 则
d 1 cos sin 2 2 1 2
sin( ) 2 4 2 sin( ) 4
所以，当 3 时，即θ= 4 2
5 4
时，dmin=1,
1 cos 3 1 cos 2 解析：由 2 ，得 ， a sin a 2sin 2 平方相加可解得a 3.
x 2cos 3.直线： 3x 4y 9 0与圆： ( 为参数) y 2sin 的位置关系是 相交 .
2
x 1 2t 2.求直线 (t为参数)， y 1 2t x 3cos 被圆 ( 为参数)， y 3sin 截得的弦长．
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用一、教学内容:1．参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化 2．直线的标准参数方程及其应用 二、重点难点:1．参数方程的概念:在xoy 平面上，若曲线C 的任意点的坐标(x, y)都能通过第三变量t 表示出来，即⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，t ∈M,①,这里M 是某个指定的区间，反之，对于每一个t ∈M, 由①确定的点(x,y)都在曲线C 上，那么方程组①才能叫做曲线C 的参数方程. 2．曲线参数方程与普通方程的互化:曲线C 的普通方程和参数方程是曲线C 的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.曲线的参数方程曲线的普通方程.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。
还常利用万能公式消解决形如2221()(,,,1()1()At x at a A B B at y at ⎧=⎪+⎪⎨⎡⎤-⎪⎣⎦=⎪+⎩其中为非零参数） 的消参问题 · 但特别要注意，（1）互化时，必须使坐标x, y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）.A 、⎪⎩⎪⎨⎧==42ty t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 2sin sin C 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x D 、⎪⎩⎪⎨⎧==2t y tx分析:在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与y=x 2不等价，而在D 中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同，且以⎪⎩⎪⎨⎧==2ty tx 代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。
如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。
3．直线的参数方程过点M 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧α+=α+=.sin ,cos 00t y y t x x其中参数t 的几何意义是:规定l 向上方向为正方向，t 是有向直线l 上，从已知点M 0(x 0, y 0)到点M(x,y)的有向线段M 0M 的数量，且|M 0M|=|t|. 当t>0时，点M 在点M 0的上方 当t=0时，点M 与点M 0重合 当t<0时，点M 在点M 0的下方特别地，若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .当t>0时，点M 在点M 0的右侧当t=0时，点M 与点M 2重合当t<0时，点M 在点M 0的左侧 4. 直线的参数方程的应用：由参数t 的几何意义可知，若M 1，M 2为直线l 上两点， t 1, t 2分别为M 1，M 2所对应的参数, 则(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|(2)010212M M M M t t ⋅=(3)若M 3为M 1，M 2的中点，则中点M 3对应的参数为2213t t t +=所以，处理过定点的直线截得的线段长问题，采用直线的参数方程有时比较方便。
参数方程的基本概念及其应用
参数方程的基本概念及其应用参数方程是解决数学问题中常用的一种表达方式，它以参数的形式描述了变量之间的关系。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在数学和物理等领域的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常情况下，我们用字母t作为参数，并将函数的自变量和因变量用t来表示。
一个简单的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示函数的自变量和因变量，f(t)和g(t)分别表示x和y关于t的函数表达式。
通过给参数t不同的取值，我们可以得到一系列(x, y)的值，这些值构成了这个函数的图像。
参数方程的优点在于它能够描述一些图形在不同坐标系下的变化规律。
例如，对于一条曲线，在直角坐标系下可能很难用一个简单的函数表达式来描述，但在参数方程下，我们可以通过调整参数的取值来改变曲线的形状和位置。
二、参数方程的应用1. 几何学应用在几何学中，参数方程常用于描述曲线、曲面和体积等几何对象。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程来表示其每个点的坐标。
通过调整参数的值，我们可以绘制出曲线的图像，并研究其性质和变化规律。
此外，参数方程也可以用于描述曲面和体积。
通过给参数不同的取值范围，我们可以生成各种形状的曲面和体积，并对其进行分析和计算。
2. 物理学应用在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹和物理量之间的关系。
例如，对于抛体运动，我们可以用参数方程来表示物体在不同时间下的位置坐标。
通过调整参数的取值，我们可以研究物体的运动规律，并计算其速度、加速度等物理量。
参数方程还可以用于描述电路中的电流、电压和电阻之间的关系，通过调整参数的取值，我们可以研究电路的特性和响应。
3. 经济学应用在经济学中，参数方程用于描述经济模型中各个变量之间的关系。
例如，经济增长模型可以用参数方程来表示产出、消费和投资之间的关系。
通过调整参数的取值，我们可以研究经济增长的趋势和变化规律。
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10
y
2r
r
P
B
O
A
r
所以摆线的参数方程为：
2r x
x r(sin) y r(1cos)
（其中φ为参数）
每一拱摆线的拱高为2r，拱宽为 2r
拱长为 8r，面积为 3r 2
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11
摆线的应用
由于采用摆线作为齿廓线的齿轮，具有传动精度好、 耐磨损等优点，所以在精密度要求较高的钟表工业和 仪表工业中，广泛采用摆线作为齿轮的齿廓线。
14
设开始时绳子外端(笔尖)位于点A， 当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角θ的一段弧 AB展开后成
为切线,所以切线BM的长就是弧AB的长。
这就是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定 圆叫做渐开线的基圆。
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15
渐开线的参数方程
2
故该参数方程表示的是一条线段，其方程为：
y 2 x 10 x 2
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7
例1：求下列参数方程所表示的曲线：
x1co2s, (1) y54si2n,
0,2
(2) xy 2 tt2 11 tt,, t0
解：（2）观察该参数方程的特征可知
x2 y2
2
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引进参数以后，不仅可以求出某些曲线的方程，而且 在很多情况下，使曲线方程的形式简单，，便于研究其 性质.因此参数方程是解析几何的重要内容之一，它既是 进一步学习数学的基础，又是解决科学研究和生产实践 的有效工具.
在理解参数方程的概念时，要注意以下几点： (1)在建立参数方程时，要先明确谁是参数; (2)注意参数的取值范围; (3)曲线的参数方程并不唯一;
解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆 的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的 参数方程为：
x11(cossin) x11(sinsin) (θ为参数）
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19
小结 你能总结一下本讲的主要内容吗？
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20
练习
1．已知一齿轮的齿廓线为圆的渐开线，它的基圆 直径为300mm, 写出此齿廓线所在渐开线的参数 方程；
2．已知摆线的生成圆的直径为80mm，写出此摆 线的参数方程，并求其一的拱宽和拱高.
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21
祝 你 工 作 愉 快 ！
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祝 你 学 习 进 步 ！
22
4 t
t
2
2 1
4
1 t2 1
4t 2
所以
x2 4y
2
4t 4
2
t
4
1 t2
2
4
1 t2
即有 x2 4y2 8
化简得：x2 y2 1
82
即该参数方程表示的是一条双曲线，其方程为： x2 y2 1 82
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8
二、参数方程的应用
1.摆线
思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在
x C B B D B D c C 9 M o 0 ) O 0 s 9 i ( 0 B ) n r s 0 ( r i c n y M M D M E O D E B s D C 9 i 0 ) M O n c 0 9 ( 0 o ) B r c 0 s r s o (
笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？ 摆线在它与定直线
上述问题抽象成数学问题就是：当的一两个个圆相沿邻着交一点条之定间直线 无滑动地滚动时，圆周上一个定点的的轨部迹分是叫什做么一？个拱。
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满 足的几何条件:线段OA的长等于弧MA的长,即OA=rφ
以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角θ唯一确定。 过点M作 M Ex轴，交x轴于点E，
过点B作 BDM，E垂足为点D，交y轴于点C，则 BM ABr
取θ为参数，则 M B BD O 9 C 00
cos9 (00 )sin sin9 ( 00 )co s
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16
xr(cossin) yr(sincos)
（θ为参数）
这就是圆的渐开线的参数方程。
渐开线的应用： 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行 的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数 齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开 线方程。
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例2：已知摆线的生成圆直径为80mm，写出摆线 的参数方程，并求出其一拱的拱高和拱宽.
解：由于摆线的生成圆直径为80mm，所以生成圆 的半径为40mm，摆线的参数方程为
x 40( sin)
y
40(1cos)
（θ为参数）
其一拱的拱高为80mm，拱宽为80mm，约 251.3mm.
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5
以前我们曾学过一些参数方程的基本知识，如
yy0k(xx0)
x2 y2 1 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
y22p(xp0)
y x
y0 x0
t sin t cos
x a cos t
y
b sin
t
x a sec t
y
b
tan
t
x 1 t 2 2p y t
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注意：
1.发生线BP沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆 弧长度。 2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。 3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
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例3:有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆 直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。
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6
例1：求下列参数方程所表示的曲线：
x1co2s, (1) y54si2n,
0,2
(2) x y 2 tt 2 1 1 tt,, t0
解：（1）由三角函数公式 co 2s12si2n可求得 sin2 1 x
2 代入另一式化简得 y12x
又因为 0sin21x1，所以 0x2
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2.圆的渐开线及其参数方程
定义： 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
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第讲参数方程及其应用
淮南矿业技师学院《应用数学》多媒体课，理解弹道曲线、 双曲线和抛物线的参数方程；
2、较熟练地化一般参数方程为普通方程；也能对给定 的参数，化一些简单的普通方程为参数方程；
3、理解圆的渐开线和摆线及其参数方程。
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圆心在点B。从点M分别作AB、x轴的垂线，垂足分别是C、D。
设点M的坐标为(x,y)，取φ为参数，根据点M满足的几何条件，
有
x O D O A D A O A M C r r s i n ,
y D M A C A B C B r r c o s.
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我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
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9
摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
M
B C
OD A
Ex
设开始时定点M在原点，圆滚动了φ角后与x轴相切于点A，