[高中数学]立体几何.球专题讲义,附练习题、

E B C

D A 立体几何-球-专题学案

☞ 双基练习

1.下列四个命题中错误．．

的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的

球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长

A.0

B.1

C.2

D.3

2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3

B.3π208 cm 3

C.3π500 cm 3

D.3

π34161 cm 3

3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2.

☞ 知识预备

1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ．

2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ．

3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长

叫 ．

4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ．

5. 球面距离计算公式：__________

☞ 典例剖析

（1）球面距离，截面圆问题

例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43

B.23

C.2

D. 3

练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是7

21，求球的体积．

例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCDE AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ．

(1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上；

(2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．

（2）注意体会立体空间想象能力，不要把图形想象错误

例3. 在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。

（3）经度，维度问题

例4. 把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°

，A 、B 两点间的球面距离为_____________

（4）球的外接与内切问题

例5. 求边长为1的正四面体的外接球的表面积和内切球的体积。

练习：1. 求底面边长为1，侧棱长为2的正三棱锥的外接球的体积和内切球的表面积。

2. 三棱锥O-ABC 的三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4 ； 求它的外接球和内切球的半径。

1．常考形式有以下几种：

（1） 球与截面圆的问题

（2） 球与棱柱，棱锥的结合，通常求体积，表面积；

（3） 维度，经度问题。

（4）外接球与内切球问题

2．注意球面距离容易搞错，它是与大圆相关。

3. 注意空间想象力的培养，避免把图形想象错误。

立体几何-球专题训练

A 组题：

1、,A B 是球面上相异两点，则经过,A B 可作的大圆个数为 （ ）

(A)只有一个 (B)无数个 (C)两个 (D)一个或无数个

2、半径为5的球被一个平面所截，截面面积为16π，则球心到截面的距离为 （ ）

(A) 4 (B) 3 (C)2.5 (D) 2

3、自半径为1的球面上一点Q ，作球的三条互相垂直弦,,QA QB QC ，则222QA QB QC ++=

（ ）

(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)不能确定

4、已知地球的半径为R ，在南纬α的纬度圈上有A,B 两点，若沿纬度圈这两点间的

距离为cos R πα，则A,B 两点间的球面距离为 （ ）

(A) R π (B) cos R πα (C) R α (D) (2)R πα-

5、球的半径为R ，,A B 是球面上两点，且球面距离为3R π

，则球心到过,A B 的

所有平面的距离中，最大距离为 （ ）

(A) R R (C) 12

R (D) 不存在 6、两个平行平面去截半径为5的球，若截面面积分别为9,16ππ，则这两个平行

平面间的距离是 （ ）

(A) 1 (B) 7 (C) 3或4 (D) 1或7

B 组题：

1. 半径为R 的球“紧贴”在墙角处，则球心到墙角顶点的距离为 （ ） A. R B. R 2 C. R 3 D 。 R 2

2. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ ， 表面积之比是___________ .

3. 三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，则内切球表面积为______ , 外接球体积为_____________ .

4.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为

2π，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ） A. 31 B. 33 C. 32 D. 3

6

5. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是（ ） A.9π16 B.3π8 C.4π D.9

π64

6. 把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，A 、B 两点间的球面距离为_____________

.

7. 已知球面上的三点A 、B 、C ，AB =6，BC =8，AC =10，球的半径为13，求球心到平面ABC 的距离.

8. 将半径为R 的四个球，两两相切的放在桌面上固定，上面再放一个球，求上面一个球的球心到桌面的距离.

9. 在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h 的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.