电工学课件：第3章 正弦交流电路

例
iR
i 通过电阻R时，在t
时间内产生的热量
为Q
IR
I 通过电阻R时，在t 让周期电流i和直流电流I分别通过两个阻 值相等的电阻R，如果在相同的时间T内，两个 电阻产生的热量相等，则称该直流电流I的值称 为周期电流i的有效值。
由于直流电在电阻上做功大小为 I2RT ,于是根据定义有：
IM e j
复矢量按ω角速度逆时针旋转，如下图：
直角坐 标系中 有一有 向线段
旋转起来
投影
Im Im
旋转的矢量 可以描述一 个正弦量
t
旋转的复矢量为：IM e j(t ) e j(t) e j
{cos(t ) j sin(t )}
则有： sin(t ) Im(IM)
观察复矢量，其中 是e j复 常数，即上图的未旋转的复矢
复数A的实部a1及虚部a2与模a及辐角θ的关系为：
a1 a cos
其中 a a12 a22
a2 a sin
arctg a2
a1
1.复数的表示形式: 根据上式关系式及欧拉公式
e j cos j sin
+j
a2 a
A
θ
O
a1 +1
可将复数A 表示成代数型、三角函数型、指数型和
极坐标型4种形式。
2
2
EM sin(t 01 02 )
2
其中：EM 2EM 0 cos 01 02
2
上式说明２个特点：
1. 叠加后的结果也是同频率正弦量。
2. 相位差对合成正弦量的幅值影响很大。
四、正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值
瞬时值是以解析式表示的： i(t) Im sin(t i )
最大值就是上式中的Im， Im反映了正弦量振荡的幅度。 有效值指与交流电热效应相同的直流电数值。
1）求u1 与u2 的相位差 ？，谁超前？
2）若改变u2 的参考方向，重复问题 1）
解：1）已知
1 120
1 120 2 90
1 2 120 (90) 210 则 210 360 150 u1 滞后
2 90
30 1 2
2）
若改变u2 的参考方向，则 2 90
120 - 90 30 即 u1 超前u2 30
三、同频率正弦量的叠加
设有2个正弦量e1和e2： 求e=e1+e2
e1 EM 0 sin(t )01 e2 EM 0 sin(t )02
根据三角形和差公式有：
e EM 0[sin(t )01 sin(t 02)]
2EM 0 cos 01 02 sin(t 01 02 )
耐压为220V的电容 器，能否用在180V 的正弦交流电源上 ？
U=180V，则 Um≈255V
255V>220
V 不能用在180V正弦电源上 ！
§3-2 正弦量的相量表示法 一、复数及其运算
复数 A a1 ja2
+j
a2 a
A
θ
O
a1 +1
用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度a 称为复数A的模，模总是取正值。该有向线段与实轴正 方向的夹角θ称为复数A的辐角。
u Um sin(t u )
i Im sin(t i )
u(t )
Um
u 0
2
t
Um
特点是：幅度不仅随时间在变动，而且方向也不断变动。
§3.1 正弦量的基本概念
• 一、正弦交流电的周期、频率和角频率
周期T： 正弦量完整变化一周
所需要的时间。
i Im
频率f： 正弦量在单位时间
内变化的周数。
0 O
第3章 正弦交流电路
§3.1 正弦量的基本概念 §3.2 正弦量的相量表示法 §3.3 元件约束和结构约束的相量形式 §3.4 复阻抗和复导纳 §3.5 正弦交流电路分析举例 §3.6 正弦交流电路的功率 §3.7 功率因数的提高 §3.8 电路的谐振
第3章 正弦交流电路
随时间按正弦规律变化的电压、电流称为正弦 电压和正弦电流。表达式为：
相位差值等于它们的初相之差。分有4种情况：
（1） = 1 - 2 > 0 , i1超前i2 （2） = 1 - 2 < 0 ,i1滞后i2
(3) = 1 - 2 = 0 , i1、i2同相 (4) = 1 - 2=180°,i1、i2反相
例 u1(t) 100sin(314t 120)V ，u2 (t) 50sin(314t 90)V
I 2RT
T i2Rdt R
T
I2 m
sin 2
tdt
0
0
即： I 2RT RIm2 T 1 cos 2t dt RTIm2
0
2
2
得
I Im 0.707Im
2
结果说明正弦电流的有效值等于最大值的0.707倍。同理， 正弦电压的有效值为：
U Um 0.707Um 2
交流电有效值的日常应用
(2)加减运算（平行四边形法则）：
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
(3)乘除运算：
A B ae j1 be j2 abe j(12 )
ab(1 2 )
A B
ae j1 be j2
a b
e j (1 2 )
a b
(1
2 )
二、正弦量的相量表示法
若将一个复矢量IM 用复数表示
A a1 ja2 a cos ja sin ae j a
代数型 三角函数型 指数型 极坐标型
其中 a1 a cos a a12 a22
a2 a sin
arctg a2
a1
2.复数的四则运算： 设两复数为： A a1 ja2 a1
B b1 jb2 b2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则 A=B。
1. 日常用的交流电源，电压220V是指有效值。 2. 一般电器铭牌上标有的电压、电流（即额定电压、电流）是指有效值。 3. 一般交流电压表、交流电流表上的刻度是指有效值。
何谓正弦量的 三要素？它们 各反映了什么 ？
正弦量的三 要素是最大值、 角频率和初相。 最大值反映了正 弦交流电的大小 问题；角频率反 映了正弦量随时 间变化的快慢程 度；初相确定了 正弦量计时始的 位置。
ωt
周期与频率的关系：
f 1 T
角频率ω： 正弦量单位时间内变化的弧度数。
角频率与周期及频率的关系： 2 2f
T
二、 两个同频率正弦量的相位之差
设两个同频信号： i1 Im1 sin(t 01) i2 Im2 sin(t 02 )
相位差为： (t 01) (t 02 ) 01 02