北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系 讲义和习题
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1
直角三角形的边角关系（讲义）
➢ 课前预习
1. 根据两个特殊的直角三角形的相关知识填空：
1
3
2
30°
A
B C
a c =_______，
b
c =_______，a b =_______，b
a
=_______．
1
1
2
C
A
45°
b
a c =_______，
b
c =_______，a b =_______，b
a
=_______． 2. 我们一般将特殊角度（30°，45°，60°）放到__________中处理，同时不能破坏特殊角．
如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，AB
=1，则△ABC 的面积为___________．
A
B
C
3. 小明在操场上放风筝，已知风筝线长为250 m ，拉直的线
与地面所成的锐角为α，小明从点A 移动到点A 3的过程中，风筝也从点B 移动到点B 3，小明研究了α的大小与其所在的直角三角形两直角边比值的关系特征，根据小明提供的数据填空．
O
B 3
A 3
B 2
A 2
B 1A 1
B
A
1
在点A 时，α=∠BAO ，BO =240，AO =70，
BO
AO
=________； 在点A 1时，α=∠B 1A 1O ，B 1O =200，A 1O =150，
11B O
A O
=_____； 在点A 2时，α=∠B 2A 2O ，B 2O =150，A 2O =200，
22B O
A O
=____； 在点A 3时，α=∠B 3A 3O ，B 3O =70，A 3O =240，
33B O
A O
=_____； 小明发现，在α逐渐减小的过程中，
BO
AO
的值逐渐_______， 进一步探索发现，在α逐渐减小的过程中，
BO BA 的值逐渐____，AO
BA
的值逐渐__________． ➢ 知识点睛
1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，
tan A =________．
2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，
余弦cos A ______，正切tan A ______． 3. 特殊角的三角函数值：
60°
45°30°α正切 tan α
余弦 cos α正弦 sin α
4. 计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________
中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理．
➢ 精讲精练
1. 下列说法正确的是（ ）
A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 3
5
=
B
C
A
1
B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍
C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=
D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.23 2. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 3
4
=
，则AC 的长是_______． 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空：（∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ） （1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a
，则sin A =__________．
4. 在锐角三角形ABC
tan 0B =，则∠C =_______． 5. 已知在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且
(tan 0B A =，则△ABC 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．有一个角是60°的三角形
6. 已知∠A
为锐角，且cos 2
A >
，则∠A 的度数（ ） A ．小于45° B ．小于30° C ．大于45° D ．大于30°
7. 当4590A ︒<∠<︒时，下列不等式中正确的是（ ）
A ．tan cos sin A A A >>
B ．cos tan sin A A A >>
C ．sin tan cos A A A >>
D ．tan sin cos A A A >>
8. 计算：
（1）22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒；
1
（2）22sin 45cos 452sin 30(tan 30)2cos30-︒⋅︒-︒+︒-︒； （3
）sin 302tan 60︒
-︒
．
9. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C
，2BC =+1
tan 2
B =
，那么AD 的长是（ ）
A ．12
B ．1 C
．
12
+ D
．13
+
C
D
B
A
第9题图 第10题图
10. 如图，在△ABC 中，cos
B =
，sin C 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ） A ．
21
2
B ．12
C ．14
D ．21
11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠P AB 的值是（ ）
A
B
C