北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系 讲义和习题
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章小结与复习教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。
二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系北师大版
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：直角三角形的边角关系二. 教学目标：1. 理解锐角三角函数的概念，熟练掌握直角三角形的边角之间的关系。
2. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。
3. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
三、重点及难点：重点：1. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。
2. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。
四. 课堂教学［知识要点］1. 如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A tan ∠∠=∠A 的对边A ∠A 的邻边 C2. A tan 的值越大，梯子越陡。
3. 正切也经常用来描述山坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比））4. ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A sin ∠=5. ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A cos ∠=6. sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡。
7. 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。
8.9. 测量底部可以到达的物体的高度。
所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。
如图，要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：（1）在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α。
（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l 。
（3）量出测倾器的高度AC=a （即顶线成水平位置时，它与地面的距离）。
则物体MN=ME+EN=l tan α+a10. 测量底部不可以到达的物体的高度。
北师大版九年级下第一章直角三角形的边角关系同步复习
第一章直角三角形边的关系知识点一：锐角三角函数一、正切定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ；注意：一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
例1在ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BC AC 2=，求A sin ，A tan ，A cos 的值。
变式练习：在ABC ∆中， 90=∠C ，125tan =A ，求A cos 的值。
31sin =B ，1=AD ，求BC 的长。
能力提高：（1）已知1tan =α，且α为锐角，则ααcos 2sin 3-的值为。
（2）如图，已知菱形ABCD 的边长为10cm ，AB DE ⊥，53sin =A ，则这个菱形的面积是 。
（7）（2013·深圳）如图，已知321////l l l ，相邻两条平行线间的距离相等，若等腰直角ABC ∆的三个顶点分别在这三条平行线上，求αsin 的值。
（2）证明：BBB cos sin tan =； （3）根据上面的两个结论解答：①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值； ②若2tan =B ，求BB BB sin cos 2sin cos 4+-的值。
知识点二：30°，45°，60°角的三角函数值及计算题一、三角函数值参照表减小）而减小（或增大）。
例1计算下列各题：（1） 45sin 230cos 330tan 62--（2）已知45sin =a ，60sin =b ，求：()bb a b a b ab a ab a 222222-÷--+++变式练习： 计算下列各题：，那么C ∠= 。
能力提高：（1）已知3=a ，且()021345tan 42=-++-c b b ，以a 、b 、c 为边组成的三角形面积等于 。
（2）如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，5=BO ，53sin =∠BOA ，求： ①点B 的坐标； ②BAO ∠cos 的值。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 测试题 (含答案)
直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。
北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系 含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为（）A. B. C. D.不能确定2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A. B. C. D.3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（）A. B. C. D.4、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米5、如图，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC的长为6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（）A. B. C.6cos50° D.6、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（）A. B. C. D.7、已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A. B. C. D.8、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.9、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值（）A.缩小2倍B.扩大2倍C.不变D.不能确定10、如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（）A.5cmB.5 cmC.5 cmD.6cm11、在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式：①b=ccosB；②b=atanB；③a=csinA；④a=ccosB；⑤a=btanA；⑤a=bcotA，其中正确的有（）A.1 个B.2 个C.3个D.4个12、如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，的值始终等于.则下列说法正确的是（）A.①，②都对B.①对，②错C.①错，②对D.①，②都错13、二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：①m=3；②当∠APB=120°时，a= ；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M （M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥正确的是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②③④14、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中正确的是（）A.cosA=B.sinB=C.tanB=D.cotA=15、在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）A.45°B.60°C.75°D.105°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在四边形ABCD中，∠A=90°AB=AD，E、F分别是AB、AD中点，若＝________EF＝，BC＝，CD＝，则S四边形ABCD17、一段公路的坡度为1∶3，某人沿这段公路路面前进100米，他上升的最大高度为________．18、在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________．19、计算：sin60°•cos30°﹣tan45°=________．20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=________ ．21、如图，在离地面高度为5米的A处引拉线固定电线杆，要使拉线与地面α=37°，工作人员需买拉线的长度约为________（精确到米）．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）．22、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．23、如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为________m（结果保留根号）．24、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=3，则sinA的值是________.25、如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且，，则OD的最大值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣（﹣1.414）0+|﹣2|﹣32﹣tan30°+ ．27、某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米，≈1.73）28、如图所示，某施工队要测量隧道BC长度，已知：AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，ED=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长．(sin53°≈,cos53°≈，tan53°≈）．29、襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一.某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量.如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121m，拉索AB与桥面AC 的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度（结果精确到0.1m.参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）.30、如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、C4、B5、B6、A7、B8、D9、C10、B11、C12、A13、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。
(完整)新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系小结复习练习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ ABC 中，/ C=90考点二、一些特殊角的三角函数值 三角函数 30 °45 °60 °sin aCOS atan a考点三、各锐角三角函数之间的关系(1) 互余关系： sinA=cos(90 ° — A)， cosA=si n(90 °—A)； (2) 平方关系： 2 2 sin A cos A 1 ； (3)倒数关系： tanA ?tan(90 ° — A)=1(4)商的关系： 丄 Asin A tanA=— cos A考点四、锐角三角函数的增减性 当角度在0° ~90。
之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大而 _______ ；⑵ 余弦值随着角度的增大而 ________ ； (3)正切值随着角度的增大而 _____________ ；考点五、解直角三角形 1、 解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角， 由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、 解直角三角形的理论依据在Rt △ ABC 中，/ C=90，/ A ，Z B ，Z C 所对的边分别为a ，b ，c(1)三边之间的关系： _________ (勾股定理);(2)锐角之间的关系： ____________________正弦： sinA余弦： cos A正切：tan AA 的对边斜边A 的邻边斜边__A 的对边 A 的邻边的对边ZE 的邻边N 直的邻边 MB 的对边（3） 边角之间的关系：正弦 sinA= _________ ，余弦 cosA= _____ 正切tanA= ___________________________________ 考点六、解直角三角形应用1、 将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、 仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版)
第1章直角三角形的边角关系课题回顾与思考教具目标(一)教学知识点1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图．2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系。
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用．(二)能力训练要求1．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题．2．进一步体会三角函数在现实生活中的广泛应用，增强应用数学的意识．(三)情感与价值观要求1．在独立思考问题的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点．并尊重与理解他人的见解，在交流中获益．2．认识到数学是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心．教学重点1．建立本章的知识结构框架图．2．应用三角函数解决现实生活中的问题，进一步理解三角函数的意义．教学难点应用三角函数解决问题教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示、计算器教学过程Ⅰ．回顾、思考下列问题，建立本章的知识框架图[师]直角三角形的边角关系，是现实世界中应用广泛的关系之一．通过本章的学习，我们知道了锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用．如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，—般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系．利用锐角三角函数解决实际问题是本章的重要内容，很多实际问题穿插于各节内容之中．[问题门举例说明，三角函数在现实生活中的应用．[生]例如：甲、乙两楼相距30 m，甲楼高40 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶．仰角为30°，乙楼有多高?(结果精确到1 m)解：根据题意可知：3乙楼的高度为30tn30°=40+30×3=40+103≈57(m)，即乙楼的高度约为57 m．[生]例如，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距180 m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正南方向，在Q南偏西50°的方向，求河宽(结果精确到1 m)．解：根据题意，∠TPQ＝90°，∠PQT=90°-50°＝40°，PQ＝180 m．则：PT就是所求的河宽．在Rt△TPQ中，PT=180×tan40°=180×0．839≈151 m，即河宽为151 m．[师]三角函数在现实生活中的应用很广泛，下面我们来看一个例子．多媒体演示如图．MN表示某引水工程的一段设计路线从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心，500 m为半径的圆形区域为居民区，取MN上的另一点B，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?[师生共析]解：根据题意可知∠CMB=30°，∠CMA＝60°，∠EBA＝75°，MB=400 m，输水路线是否会穿过居民区，关键看A 到MN 的最短距离大于400 m 还是等于400 m ，于是过A 作AD ⊥MN ．垂足为D ．∵BE//MC ．∴∠EBD ＝∠CMB ＝30°．∴∠ABN=45°．∠AMD ＝∠CMA-∠CMB ＝60°-30°=30°．在Rt △ADB 中，∠ABD ＝45°，∴tan45°＝BD AD ，BD ＝︒45tan AD ＝AD ， 在Rt △AMD 中．∠AMD=30°，tan30° =MD AD ，MD ＝︒30tan AD =3AD ， ∵MD=MD-BD ，即 3AD-AD ＝400， AD-200(3+1)m>400m ．所以输水路线不会穿过居民区．[师]我们再来看[问题2]任意给定一个角，用计算器探索这个角的正弦、余弦、正切之间的关系．例如∠α＝25°，sin α、cos α、tan α的值是多少?它们有何关系呢?[生]sin25°≈0．4226，cos25°≈0．9063，tan25°≈0．4663． 而︒︒25cos 25sin ≈0．4663． 我们可以发现ααcos sin ＝tan α． [师]这个关系是否对任意锐角都成立呢?我们不妨从三角函数的定义出发来推证一下．[师生共析]如 图，在Rt △ABC 中． ∠C ＝90°，∵sinA ＝ABBC cosA ＝AB AC tanA ＝ACBC ， ∴ACBC AC AB AB BC AB AC AB BC A A =⋅=÷=cos sin =tanA, tanA=A A cos sin . 这就是说，对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的商等于∠A 的正切．[师]下面请同学们继续用计算器探索sin α，cos α之间的关系．[生]sin 225°≈0．1787,cos 225°≈0．8213，可以发现：sin 225°+cos 225°≈0．1787+0．8213＝1．[师]我们可以猜想任意锐角都有关系：sin 2α+cos 2α＝1，你能证明吗?[师生共析]如上图．sinA= AB BC ，cosA=ABAC sin 2A+cos 2A ＝2222222AB AC BC AB AC AB BC +=+， 根据勾股定理，得BC 2+AC 2＝AB 2，∴sin 2A+cos 2A ＝1，这就是说,对于任意锐角A ，∠A 的正弦与余弦的平方和等于1．[师]我们来看一个例题，看是否可以应用上面的tanA 、sinA 、cosA 之间的关系．已知cosA=53，求sinA ．tanA ． [生]解：根据sin 2A+cos 2A ＝1．得sinA ＝.54)53(1cos 122=-=-A tanA=345354cos sin ==A A . [生]我还有另外一种解法,用三角函数的定义来解．解：∵cosA ＝.53=∠斜边的邻边A 设∠A 的邻边＝3k ．斜边＝5k ．则∠A 的对边＝.4)3()5(22k k k =-∴sinA=.5454==∠k k A 斜边的邻边 tanA=.3434==∠∠k k A A 的邻边的对边 [师]问题3：你能应用三角函数解决哪些问题?[生]锐角三角函数反映了直角三角形的边角关系．凡是属于直角三角形的问题或可以转化为直角三角形的问题，都可以用三角函数来解决．[师]我们知道在直角三角形中，除直角外，有两个锐角．两条直角边以及斜边共5个元素，它们之间的关系很丰富．如图：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ．(1)边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)：(2)角的关系：∠A+∠B ＝90； (3)sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=b a ；sinB=c b ，cosB=c a ，tanB=ab ． 利用三角形的全等和直角三角形全等，以及作图，我们知道：当一直角边和斜边确定时，直角三角形唯一确定，即直角三角形的一直角边和斜边已知，则直角三角形中其他元素都可以求出．同学们不妨试一试．[生]例如Rt △ABC 中，∠C ＝90°．a ＝4，c=8求b ，∠A 及∠B解：∵a ＝4，c ＝8，根据勾股定理可得 b=3422=-a c .∵sinA=c a =2184=， ∴∠A ＝30°．又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B ＝60°．[师]很好，是不是只要知道直角三角形除直角外的两个元素，其余元素就都可以求出呢?[生甲]可以．[生乙]不可以．例如Rt △ABC 中，∠c ＝90°，∠A ＝25°．∠B=65°．这样的直角三角形有无数多个，是不唯一确定的，所以其余的元素无法确定．[生丙]我认为已知直角三角形中除直角外的两个元素．其中至少有一个边，就可以求出其余元素．[师]很好，我们来做一个练习．多媒体演示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B 、∠C 的对边．(1)已知a ＝3，b ＝3，求C ，∠A ，∠B ．(2)已知b ＝5，c ＝10，求a ，∠A ，∠B ．(3)已知∠A=45°，c ＝8，求a ，b ，∠B ．[生]解：(1)根据勾股定理c ．=23332222=+=+b a .又∵tanA ∴∠A=b a =33=1, ∴∠A=45°． 又∵∠A+∠B ＝90，∴∠B ＝45°．(2)根据勾股定理，得a=355102222=-=-b c ,又∵sinB ＝21105==c b ∴∠B=30°． 又∵∠A+∠B=90°∴∠A=60°.(3)∵sinA=ca ∴=csinA=8×sin45°=42, 又∵cosA ＝c b ∴b=c ·cosA ＝8×cos45°=42， 又∵∠A+∠B ＝90°，∴∠B=45°．[师]实践证明，在直角三角形中，已知除直角外的两个元素(至少有一个是边)，利用直角三角形中特殊的边的关系、角的关系、边角关系，就可求出其余所有元素．因此，在现实生活中，如测量、建筑、工程技术和物理学中，常遇到的距离、高度、角度都可以转化到直角三角形中，这些实际问题的数量关系往往就归结为直角三角形中边和角的关系问题．接下来，我们看问题4：如何测量一座楼的高度?你能想出几种办法?[生]有四种方法：第一种：用太阳光下的影子来测量．因为在同一时刻，物体的高度与它的影子的比值是一个定值．测量出物体的高度和它的影子的长度，再测出高楼在同一时刻的影子的长度．利用物体的高度：物体影子的长度＝高楼的高度，高楼影子的长度．便可求出高楼的高．第二种：在地面上放一面镜子，利用三角形相似，也可以测量出楼的高度．第三种：用标杆的方法．第四种：利用直角三角形的边角关系求楼的高度．[师]下面就请同学们对本章的内容小结，建立本章内容框架图．[师生共析]本章内容框架如下：Ⅱ．随堂练习1．计算(1)︒-︒︒-︒45cos 60sin 45sin 30cos (2)sin 230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos 230°；(3)原式＝.60tan 60tan 60tan 212︒-︒+︒-解：（1）原式=22232223--=1； （2）原式=（21）2+2×23+1-3+（23）2； =4331341+-++ =1+1=2（3）原式=︒-︒-60tan )60tan 1(2＝｜1-tan60°｜-tan60°＝tan60°-1-tan60°＝-1．2．如图，大楼高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及楼与塔之间的距离AC(结果19确到0．0l m)．解：没AC=x ，BC ＝y ，在Rt △ABC 中，tan60°=xy ，① 在Rt △BDE 中．tan30°=x y 30-，② 由①得y ＝3x ，代入②得33=xx 303 . x=153≈25．98(m)．将x ＝153代入y=3x=3×153 ＝45(m)．所以塔高BC 为45 m ，大楼与塔之间的距离为25．98 m ．Ⅲ．课时小结本节课针对回顾与思考中的四个问题作了研讨，并以此为基础，建立本章的知识框植架结构图．进一步体验三角函数在现实生活中的广泛应用．Ⅳ．课后作业复习题A 组1，2，5，6，8B 组2．3，4，5，6Ⅴ．活动与探究如图．AC 表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD 表示一个建筑物，但不能到达．已知AC 与BD 地平高度相同，AC 周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量建筑物BD 高度的方案，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图：(2)写出计算BD 高度的表达式．[过程]利用测量工具和直角三角形的边角关系来解决．这里的答案不唯一，下面只写出一种方法供参考．[结果]测量步骤(如图)：①用测角器在A 处测得D 的俯角α；②用测角器在A 处测得B 的仰角β ③用皮尺测得AC=am ．(2)CD=αtan a ,BE=αtan a ·tan β, BD=a+αβtan tan a . 板书设计回顾与思考本章内容结构框架图:。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系章末复习课件
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.
练习巩固
B
16 5
sin
A
∠A的对边 斜边
cos
A
∠A的邻边 斜边
tan
A
∠A的对边 ∠A的邻边
重点二：锐角三角函数 特殊角30°，45°，60°的三角函数：
重点三：解直角三角形
在直角三角形的6个元素中，直角
是已知元素，如果再知道一条边和第三
个元素，就可以求得这个三角形的所有
元素.
两边
一边和一锐角
重点四：三角函数的应用 坡度与坡角的关系：
北师版·九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系 章末复习
重点知识梳理
重点一：直角三角形的边角关系
三边的关系： _a_2_+_b_2=_c_2_.（勾股定理）
两锐角的关系： _∠__A_+_∠__B__=_9_0_°. （两锐角互余）
Bc aACb边与角的关系：锐角三角函数
斜边
B
∠A的对边
A
∠A的邻边 C
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
【完整版】北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。
北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系(包含答案)
第一章直角三角形的边角关系一、选择题1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=513,则tan B的值为()A.1213B.512C.1312D.125答案 D 在△ABC中,∵∠C=90°,∴sin A=BCAB ,又sin A=513,∴BCAB=513,设BC=5k(k>0),则AB=13k,∴AC=√AB2-BC2=√(13k)2-(5k)2=12k,∴tan B=ACBC =12k5k=125,故选D.2.已知α为锐角,且cos(90°-α)=12,则α的度数为()A.30°B.60°C.45°D.75°答案 A ∵cos60°=12,α为锐角,∴90°-α=60°,∴α=30°.3.如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为()A.12B.√55C.√1010D.2√55答案 B 如图,连接CO.根据网格的特点知CO⊥AB,不妨设每个小正方形的边长为1. 在Rt△AOC中,CO=√12+12=√2, AC=√12+32=√10,则sin A=OC AC =√2√10=√55.4.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,∠C=90°,a=2,cos B=13,则b=( ) A.√1010B.2√10C.4√2D.4√23答案 C ∵cos B=13,∴a c =13, 又a=2,∴c=6, ∴b=√62-22=√32=4√2.5.如图,在△ABC 中,sin B=√22,cos C=45,AC=5,则△ABC 的面积为( )A.13B.14C.21D.10.5 答案 D 过点A 作AD ⊥BC,垂足为D.∵cos C=45,AC=5,∴CD=4, ∴AD=√AC 2-CD 2=3, ∵sin B=√22,∴∠B=45°,∴BD=AD=3,∴S △ABC =12BC ·AD=12(3+4)×3=10.5.故选D.6.图是横断面为梯形的河坝,根据图中数据,若AB=(9+4√3)米,那么斜坡BC 的坡比i 等于( )A.1∶2B.√3∶2C.√3∶1D.1∶√3答案 D 如图,作DF ⊥AB 于F,则DF=CE=4米,FE=CD=5米.所以AF=√AD 2-DF 2=√(4√2)2-42=4米,所以BE=AB-AF-FE=9+4√3-4-5=4√3米. 所以i=tan B=CE EB =44√3=1√3,即i=1∶√3.7.在△ABC 中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sin B 的值是( )A.5√714 B.√35 C.√217D.√2114答案 D 如图所示,过C 作CD ⊥AB 交BA 的延长线于D.∵∠CAB=120°,∴∠CAD=60°. 在Rt △CDA 中,AC=2,∠CDA=90°, ∴AD=2cos 60°=1,CD=2sin 60°=√3,∴在Rt △CDB 中,BC 2=CD 2+(AD+BA)2=(√3)2+(1+4)2=28,∴BC=2√7,∴sin B=CD BC =√32√7=√2114,故选D.8.如图,在△ABC 中,∠A=30°,E 为AC 上一点,且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB 于F,连接FC,则tan ∠CFB 等于( )A.16√3 B.12√3 C.43√3 D.14√3 答案 C 如图,作CD ⊥AB,垂足为D,则EF ∥CD,设EC=x(x>0),则AE=3x,∵sin A=sin 30°=EF∶AE=1∶2,∴EF=32x,∵cos A=cos 30°=AF∶AE=√32,∴AF=3√32x, ∵EF∥CD,∴AE EC =AF FD=3,AE AC =EF CD =34,∴FD=AF 3=√32x,CD=43EF=2x, ∴tan∠CFB=CD FD =3x 2=43√3,故选C.二、填空题9.在△ABC 中,∠A,∠B都是锐角,若|sinA -12|+(cosB -12)2=0,则∠C=.答案 90° 解析∵|sinA -12|+(cosB -12)2=0,∴sin A=12,cos B=12,∵∠A,∠B 都是锐角, ∴∠A=30°,∠B=60°, 则∠C=180°-30°-60°=90°.10.如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB,垂足为E,DE=6,sin A=35,则菱形ABCD 的周长为 .答案 40解析 在Rt △ADE 中,DE=6,sin A=DE AD =35,所以AD=10,所以菱形ABCD 的周长为4×10=40. 11.如图,在△ABC 中,AB=5,AC=7,∠B=60°,则BC 的长为 .答案 8解析 过点A 作AD ⊥BC 于点D,则在Rt △ABD 中,BD=AB ·cos 60°=5×12=52,AD=AB ·sin 60°=5√32, 所以DC=√AC 2-AD 2=112, 所以BC=BD+DC=52+112=8.12.如图,平面直角坐标系中有正方形ABCD,B(0,√3),∠BAO=60°,那么点C 的坐标是 .答案 (-√3,√3+1)解析 如图,作CE ⊥y 轴于E,则Rt △CEB ≌Rt △BOA.所以CE=BO=√3,BE=AO=BO tan ∠BAO =√3√3=1,所以OE=BO+BE=√3+1,因此C(-√3,√3+1).13.在综合实践课上,小聪所在的小组要测量一条河的宽度,如图1-7-8,河岸EF ∥MN,小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向,然后沿着河岸走了30米,到达B 处,测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.根据这些数据可求出河的宽度为 米(结果保留根号).答案10(3+√3)解析如图,过点C作CP⊥MN于点P,过点D作DQ⊥MN于点Q,设河宽为x米,则CP=DQ=AP=x 米.在直角三角形DBQ中,可以得到BQ=√3x米,3由题意知CD=PQ=10米,因为AQ=AP+PQ,所以30+√3x=x+10,解得 x=10(3+√3).3即河的宽度为10(3+√3)米.14.在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，AC=5，则△ABC的面积是______．【答案】75或25【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD=AB•sinB=10，BD=AB•cosB=10；在Rt△ACD中，AD=10，AC=5，∴CD==5，∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，∴S△ABC=BC•AD=75或25．故答案为：75或25．过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．15.为解决停车难的问题,在如图所示的一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.(√2≈1.4)答案17解析如图,BC=2.2×cos45°=2.2×√2≈1.54米,2≈3.5米,CE=5×sin45°=5×√22BE=BC+CE=5.04米,≈3.14米,EF=2.2÷sin45°=2.2÷√22(56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个).故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.16.如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时,观测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是海里.(结果精确到个位,参考数据:√2≈1.4,√3≈1.7,√6≈2.4)答案24解析∠CBA=25°+50°=75°.作BD⊥AC于点D.∠CAB=(90°-70°)+(90°-50°)=20°+40°=60°,则∠ABD=30°,∴∠CBD=75°-30°=45°.在直角△ABD中,BD=AB·sin∠CAB=20×sin60°=20×√3=10√3(海里).2在直角△BCD中,∠CBD=45°,则BC=√2BD=10√3×√2=10√6≈10×2.4=24(海里).三、解答题17.计算:(1)|-2|+2sin 30°-(-√3)2+(tan 45°)-1;(2)cos245°-cos60°+tan245°-tan260°.1−sin30°答案(1)原式=2+1-3+1=1.(2)原式=(√22)2-121−12+12-(√3)2=12-1+1-3=-52.18.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点N 的坐标为(20,0),点M 在第一象限内,且OM=10,sin ∠MON=35.求:(1)点M 的坐标;(2)cos ∠MNO 的值.答案(1)过点M 作MP ⊥ON,垂足为P.在Rt △MOP 中,由sin ∠MON=35,OM=10,得MP 10=35,即MP=6.由勾股定理,得OP=√102-62=8.∴点M 的坐标是(8,6).(2)由(1)知MP=6,PN=20-8=12.∴MN=√62+122=6√5.∴cos∠MNO=PNMN =6√5=2√55. 19.如图,已知在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的中线,过点A 作AE ⊥CD,AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E,AH=2CH.(1)求sin B 的值;(2)如果CD=√5,求BE 的长.答案(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=2BD,∴∠DCB=∠B.∵AH⊥CD,∴∠AHC=∠CAH+∠ACH=90°.又∵∠DCB+∠ACH=90°,∴∠CAH=∠DCB=∠B.∴△ABC∽△CAH.∴ACBC =CH AH.又∵AH=2CH,∴BC=2AC.可设AC=k,BC=2k,k>0, 则在Rt△ABC中,AB=√AC2+BC2=√5k.∴sin B=ACAB =√5 5.(2)∵AB=2CD,CD=√5,∴AB=2√5.在Rt△ABC中,AC=AB·sin B=2√5×√55=2. ∴BC=2AC=4.在Rt△ACE和Rt△AHC中,tan∠CAE=CEAC =CHAH=12.∴CE=12AC=1.∴BE=BC-CE=3.20.如图,小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m.请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin35°≈712,cos35°≈56,tan35°≈710)答案如图,作AD⊥CB交直线CB于点D.由题意知∠ACD=35°,∠ABD=45°.在Rt△ACD中,∠ACD=35°,tan35°=AD,CD所以CD≈10AD.7在Rt△ABD中,∠ABD=45°,tan45°=AD,BD所以BD=AD.因为BC=CD-DB,所以10AD-AD=100,解得AD≈233.7答:热气球离地面的高度约为233 m.21.校车安全是最近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的试验:如图,先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.(1)求AB 的长(精确到0.1米,参考数据:√3≈1.73,√2≈1.41);(2)已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A 到B 用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.答案 (1)由题意得,在Rt △ADC 中,AD=CD tan30°=21√3≈36.33(米),在Rt △BDC中,BD=CD tan60°=√3=7√3≈12.11(米),所以AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2(米).即AB 的长约为24.2米.(2)从A 到B 用时2秒,所以速度为24.2÷2=12.1(米/秒),因为12.1×3.6=43.56,所以该校车速度为43.56千米/小时,大于40千米/小时,所以此校车在AB 路段超速.22.如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°.沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°.已知山坡AB 的坡度i=1∶√3,AB=10米,AE=15米.(i=1∶√3是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比)(1)求点B 距水平面AE 的高度BH;(2)求广告牌CD 的高度.(测倾器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)答案 (1)在Rt △ABH 中,i=tan ∠BAH=1√3=√33, ∴∠BAH=30°,∴BH=12AB=5米.即点B 距水平面AE 的高度BH 为5米. (2)如图,过B 作BG ⊥DE 于G,由(1)得BH=5米,∴AH=5√3米,∴BG=AH+AE=(5√3+15)米,在Rt △BGC 中,∠CBG=45°,∴CG=BG=(5√3+15)米.在Rt △ADE 中,∠DAE=60°,AE=15米,∴DE=√3AE=15√3米.∴CD=CG+GE-DE=5√3+15+5-15√3=20-10√3≈2.7(米).∴广告牌CD的高度约为2.7米.23.在东西方向的海岸线l上有一长为1 km的码头MN(如图1-7-17),在码头西端M的正西方向19.5 km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°方向,且与A相距40 km的B处,经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°方向,且与A相距8√3 km的C处.(1)求该轮船航行的速度(结果保留根号);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么该轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.答案(1)如图,∵∠1=30°,∠2=60°,∴△ABC为直角三角形.∵AB=40 km,AC=8√3 km,∴BC=√AB2+AC2=√402+(8√3)2=16√7 km.小时,∵1小时20分钟=43∴该轮船航行的速度为16√7=12√7千米/小时.43(2)如图,作BR⊥l于R,作CS⊥l于S,延长BC交l于T.∵∠2=60°,∴∠4=90°-60°=30°,∵AC=8√3 km,∴CS=8√3×sin 30°=4√3 km,AS=8√3×cos 30°=8√3×√32=12 km.∵∠1=30°,∴∠3=90°-30°=60°.∵AB=40 km,∴BR=40×sin 60°=20√3 km,AR=40×cos 60°=40×12=20 km.易知△STC ∽△RTB,∴ST RT =CS BR ,即ST ST+20+12=√320√3,解得ST=8(km).∴AT=12+8=20 km.∵AM=19.5 km,MN=1 km,∴AN=20.5 km,∵AM<AT<AN,故该轮船能够正好行至码头MN 靠岸.。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 讲义+随堂练习
第一章直角三角形的边角关系一锐角三角函数1.1.1锐角三角函数（一）【教学内容】锐角三角函数（一）【教学目标】知识与技能理解锐角三角函数中正切函数的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算过程与方法经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.情感、态度与价值观从实践中引导学生学会观察、思考，探索发现客观事物中存在的数学规律。
【教学重难点】重点：探索直角三角形的边角关系.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，难点：理解正切函数的意义，领会直角三角形边角关系的实质.【导学过程】【情景导入】一、学会观察，学会发现:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？【新知探究】探究一、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC CB AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如图)，在每个直角三角形中，∠A 的对边和邻边比值会变吗？ ⑷由此你得出什么结论?根据相似三角形对应边的比相等，上述每两组线段的比值是一定的。
实际上，决定比值大小的量不是它们边的长短，而是∠A 度数的大小。
即如果锐角A 度数确定，那么∠A 的对边与邻边的比也随之唯一确定，这符合函数的定义，因此我们把锐角A 度数叫做自变量，它的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA.。
即tanA=∠A 的对边／∠A 的邻边根据函数的定义，当∠A 变化时，tanA.也随之变化。
探究二、例题：例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?归纳：当锐角的正切值较大时，坡度也较大。
探究三、例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=15cm ，AB=25cm ，求tanA 和tanB 的值.…….归纳：求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边。
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1直角三角形的边角关系（讲义）➢ 课前预习1. 根据两个特殊的直角三角形的相关知识填空：13230°AB Ca c =_______，bc =_______，a b =_______，ba=_______．112CA45°ba c =_______，bc =_______，a b =_______，ba=_______． 2. 我们一般将特殊角度（30°，45°，60°）放到__________中处理，同时不能破坏特殊角．如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，AB=1，则△ABC 的面积为___________．ABC3. 小明在操场上放风筝，已知风筝线长为250 m ，拉直的线与地面所成的锐角为α，小明从点A 移动到点A 3的过程中，风筝也从点B 移动到点B 3，小明研究了α的大小与其所在的直角三角形两直角边比值的关系特征，根据小明提供的数据填空．OB 3A 3B 2A 2B 1A 1BA1在点A 时，α=∠BAO ，BO =240，AO =70，BOAO=________； 在点A 1时，α=∠B 1A 1O ，B 1O =200，A 1O =150，11B OA O=_____； 在点A 2时，α=∠B 2A 2O ，B 2O =150，A 2O =200，22B OA O=____； 在点A 3时，α=∠B 3A 3O ，B 3O =70，A 3O =240，33B OA O=_____； 小明发现，在α逐渐减小的过程中，BOAO的值逐渐_______， 进一步探索发现，在α逐渐减小的过程中，BO BA 的值逐渐____，AOBA的值逐渐__________． ➢ 知识点睛1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3. 特殊角的三角函数值：60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α4. 计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理．➢ 精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 35=BCA1B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.23 2. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 34=，则AC 的长是_______． 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空：（∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ） （1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a，则sin A =__________．4. 在锐角三角形ABCtan 0B =，则∠C =_______． 5. 已知在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且(tan 0B A =，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．有一个角是60°的三角形6. 已知∠A为锐角，且cos 2A >，则∠A 的度数（ ） A ．小于45° B ．小于30° C ．大于45° D ．大于30°7. 当4590A ︒<∠<︒时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>8. 计算：（1）22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒；1（2）22sin 45cos 452sin 30(tan 30)2cos30-︒⋅︒-︒+︒-︒； （3）sin 302tan 60︒-︒．9. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ）A ．12B ．1 C．12+ D．13+CDBA第9题图 第10题图10. 如图，在△ABC 中，cosB =，sin C 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ） A ．212B ．12C ．14D ．2111. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠P AB 的值是（ ）ABC1C'B'BCAA．2+B．2C．12D．12PD CBACE DB A第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，3sin 4CBD ∠=，则AE 的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆 时针旋转得到△AC′B′，若A ，C ，B′ 三点共线，则tan ∠B ′CB =________．14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26.5°，AC =60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）DCBA15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）1BCA67.5°37°16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD 的长．DCBA【参考答案】➢课前预习1.12；2；32；2；1；12.3.247；43；34；724；减小；减小；增大➢知识点睛1.A∠的对边斜边；A∠的邻边斜边；AA∠∠的对边的邻边2.越大；越小；越大3.4.直角三角形；转移；构造➢精讲精练1.C112. 63. （1）5； （2）83； （3）124. 75°5. D6. A7. D8. （1）原式=2；（2）原式=3 ；（3）原式9. B 10. A 11. A 12. 9 13.214. AD =45，CD =75，AB =120． 15. BC =10.5． 16. AD=7． 直角三角形的边角关系（习题）➢ 例题示范例：如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41）BCA 67.5°37°从下面书写板块的名称中选取合适的内容，写到对应的横线上．①得出结论；②解直角三角形；③准备条件．D67.5°37°C BA1➢巩固练习1.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A的值为（）A．35B．45C．34D3.在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且21sin cos02A B⎛⎫⎪⎝⎭+-=，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4.若∠A为锐角，且cos A的值大于12，则∠A（）A．大于30°B．小于30°C．大于60°D．小于60°5.已知β为锐角，且tan3β<≤β的取值范围是（）A．3060β︒︒≤≤B．3060β︒<︒≤C．3060β︒<︒≤D．30β<︒6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α，若3cos5α=，AB=4，则AD的长为（）A．3B．163C．203D．1651。