高考数学二轮复习中档题专练六
2020-2021学年高考数学专版三维二轮专题复习训练：6个解答题综合仿真练(六)_含解析
6个解答题综合仿真练(六)1.如图，在四棱锥E ABCD 中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA ⊥EB ，点M ，N 分别是AE ，CD 的中点．求证：(1)MN ∥平面EBC ； (2)EA ⊥平面EBC.证明：(1)取BE 中点F ，连结CF ，MF ， 又M 是AE 的中点， 所以MF 綊12AB.又N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以NC 綊12AB ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN ∥CF. 又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ， 所以MN ∥平面EBC. (2)在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EAB ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面EAB.又EA ⊂平面EAB ，所以BC ⊥EA.又EA ⊥EB ，BC ∩EB ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，所以EA ⊥平面EBC. 2．△ABC 中，AB ―→·AC ―→＝27S △ABC (S △ABC 表示△ABC 的面积)．(1)若BC ＝2，求△ABC 外接圆的半径； (2)若B －C ＝π4，求sin B 的值．解：(1)因为AB ―→·AC ―→＝27S △ABC ，所以AB ·AC ·cos A ＝27·12AB ·AC ·sin A ，即cos A ＝17sin A ，又因为cos 2A ＋sin 2A ＝1，A ∈(0，π)，解得sin A ＝7210，cos A ＝210.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝BC sin A ＝27210＝1027，所以R ＝527，即△ABC 外接圆的半径为527.(2)因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C)＝sin(π－A)＝sin A ＝7210，cos(B ＋C)＝cos(π－A)＝－cos A ＝－210， 则cos 2B ＝cos[(B ＋C)＋(B －C)] ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤B ＋C ＋π4 ＝cos(B ＋C)cos π4－sin(B ＋C)sin π4＝－210×22－7210×22＝－45. 又cos 2B ＝1－2sin 2B ，所以sin 2B ＝1－cos 2B 2＝1＋452＝910，又因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以sin B ＝31010.3．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB 和曲线DE 分别是顶点在路面A ，E 的抛物线的一部分，曲线BCD 是圆弧，已知它们在接点B ，D 处的切线相同，若桥的最高点C 到水平面的距离H ＝6米，圆弧的弓高h ＝1米，圆弧所对的弦长BD ＝10米．(1)求BCD 所在圆的半径；(2)求桥底AE 的长.解：(1)设BCD 所在圆的半径为r(r>0)， 由题意得r 2＝52＋(r －1)2，∴r ＝13. 答：BCD 所在圆的半径为13米．(2)以线段AE 所在直线为x 轴，线段AE 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵H ＝6米，BD ＝10米，弓高h ＝1米，∴B(－5,5)，D(5,5)，C(0,6)，设BCD 所在圆的方程为x 2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则⎩⎨⎧ 6－b 2＝r 2，52＋5－b 2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝－7，r ＝13.∴BCD 的方程为x 2＋(y ＋7)2＝169(5≤y ≤6)． 设曲线AB 所在抛物线的方程为y ＝a(x －m)2， ∵点B(－5,5)在曲线AB 上， ∴5＝a(5＋m)2，①又BCD 与曲线段AB 在接点B 处的切线相同，且BCD 在点B 处的切线的斜率为512，由y ＝a(x －m)2，得y ′＝2a(x －m)， ∴2a(－5－m)＝512，∴2a(5＋m)＝－512，②由①②得m ＝－29， ∴A(－29,0)，E(29,0).∴桥底AE ＝29－(－29)＝58米． 答：桥底AE 的长58米．4.如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A(－2,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．过点A 作斜率为k(k>0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△CF 1F 2为等腰三角形，求点B 的坐标； (3)若F 1C ⊥AB ，求k 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，14＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)∵△CF 1F 2为等腰三角形，且k>0， ∴点C 在x 轴下方，若F 1C ＝F 2C ，则C(0，－3)；若F 1F 2＝CF 2，则CF 2＝2，∴C(0，－3)； 若F 1C ＝F 1F 2，则CF 1＝2，∴C(0，－3)， ∴C(0，－3)．∴直线BC 的方程y ＝3(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，x 24＋y23＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝335.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，335.(3)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎨⎧y ＝k x ＋2，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，∴x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k 2，∴x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，∴y B ＝k(x B ＋2)＝12k3＋4k2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，∵F 1(－1,0)，∴kCF 1＝－34，∴F 1C 与AB 不垂直； ∴k ≠12，∵F 2(1,0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k ，∴直线BF 2的方程为y ＝4k1－4k 2(x －1)，直线CF 1的方程为y ＝－1k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k1－4k 2x －1，y ＝－1k x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k.∴C(8k 2－1，－8k)． 由点C 在椭圆上，得8k 2－124＋－8k 23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，即k 2＝124，∵k>0，∴k ＝612. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4－a n . (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求通项公式a n ；(2)是否存在自然数c 和k ，使得a k ＋1S k －c ＞1成立？若存在，请求出c 和k 的值； 若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＋a 1＝4，得a 1＝2,由S n ＝4－a n ，① 得S n ＋1＝4－a n ＋1，②②－①得，S n ＋1－S n ＝a n －a n ＋1，即a n ＋1＝12a n,所以a n ＋1a n ＝12，且a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，且a n ＝12n －2.(2)法一：因为a n ＝12n －2，所以a k ＋1＝12k －1，S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k ，要使a k ＋1S k －c ＝242k －1－c ·2k>1成立，只要使c －42k＋6c －42k＋4<0(*)成立， 当c ≥4时，不等式(*)不成立；(也可以根据S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k >c ，且2≤S k ＜4，所以c 的可能取值为0,1,2,3)当c ＝0时，1<2k<32，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝1时，43<2k<2，不存在自然数k 使(*)成立；当c ＝2时，2<2k<3，不存在自然数k 使(*)成立； 当c ＝3时，4<2k <6，不存在自然数k 使(*)成立． 综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c >1成立.法二：要使a k ＋1S k －c ＞1，只要S k ＋1－cS k －c>2，即只要c －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2c －S k <0，因为S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k <4，所以S k －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2＝2－12S k >0，故只要32S k －2＜c ＜S k .①因为S k ＋1＞S k ， 所以32S k －2≥32S 1－2＝1.又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c ＝2时，因为S 1＝2，所以当k ＝1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 当k ≥2时，因为32S 2－2＝52>c ，由S k ＜S k ＋1，得32S k －2＜32S k ＋1－2，故当k ≥2时，32S k －2＞c ，从而①不成立.当c ＝3时，因为S 1＝2，S 2＝3，所以当k ＝1，k ＝2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立． 因为32S 3－2＝134>c ，又32S k －2＜32S k ＋1－2，所以当k ≥3时，32S k －2＞c ，从而①不成立.综上所述，不存在自然数c ，k ，使a k ＋1S k －c >1成立．6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，g(x)＝a 2x 2＋bx ＋1. (1)若f(x)≥g(x)对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f(x)有两个不同零点x 1，x 2，函数g(x)有两个不同零点x 3，x 4. ①若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系；②若x 1＝x 3＜x 2，m ，n ，p ∈(－∞，x 1)，f ′m g n ＝f ′n g p ＝f ′pg m ，求证：m ＝n ＝p.解：(1)因为f(x)≥g(x)对任意实数x 恒成立， 所以ax 2≥a 2x 2对任意实数x 恒成立， 所以a 2－a ≤0，解得0≤a ≤1.又由题意可得a ≠0，所以实数a 的取值范围为(0,1]． (2)①因为函数g(x)的图象开口向上，且其零点为x 3，x 4， 故g(x)＜0，得x 3<x<x 4.因为x1，x2是f(x)的两个不同零点，故f(x1)＝f(x2)＝0.因为x3＜x1＜x4，故g(x1)＜0＝f(x1)，于是(a2－a)x21＜0.注意到x1≠0，故a2－a＜0.因为g(x2)－f(x2)＝(a2－a)x22＜0，故g(x2)＜f(x2)＝0，从而x3<x2<x4，于是x3＜x2＜x4.②证明：记x1＝x3＝t，故f(t)＝at2＋bt＋1＝0，g(t)＝a2t2＋bt＋1＝0，于是(a－a2)t2＝0.因为a≠0，且t≠0，故a＝1.所以f(x)＝g(x)且函数图象开口向上.所以当x∈(－∞，x1)时，f(x)单调递减，f′(x)单调递增且f′(x)＜0，g(x)单调递减且g(x)＞0.若m＞n，则f′(n)<f′(m)＜0，于是1g n ＞1g p＞0，从而g(p)＞g(n)＞0，故n＞p.同上，当n＞p时，可推得p＞m.所以p＞m＞n＞p，矛盾．所以m＞n不成立. 同理，n＞m亦不成立．所以m＝n.同理，n＝p.所以m＝n＝p.。
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题6 微重点15 离心率的范围问题
跟踪演练3 (2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线 C：ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 C 与直线 y＝x 有交点，且 双曲线上存在不是顶点的点 P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心 率的取值范围为____( __2_，__2_) __.
专题强化练
考点一
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆
和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则
e1e2 的最小值为
√A.
3 2
B.32
C.
3 4
D.34
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|， 由椭圆和双曲线的定义可得||PPFF11||＋ －||PPFF22||＝ ＝22aa12， ， 得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
A.0，12
B.0，
2
2
C.12，1
√
D.
22，1
如图所示，A为椭圆的上顶点.
依题意∠F1AF2≥90°，即∠OAF2≥45°， 又|AF2|＝a，|AO|＝b，|OF2|＝c， ∴sin∠OAF2＝||OAFF22||＝ac＝e，
∵∠OAF2≥45°，
∴sin∠OAF2∈
22，1，即
√C.0，12
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°，∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23，∴|OP|≤2 33b. 又 P 是 C 上任意一点，则|OP|max≤2 33b， 又|OP|max＝a，∴a≤2 33b，
新高考新教材高考数学二轮复习专题检测6函数与导数pptx课件
却,经过10 min物体的温度为50 ℃,则若使物体的温度为20 ℃,需要冷却
( C )
A.17.5 min
B.25.5 min
C.30 min
D.32.5 min
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
解析 由题意得 50=10+(90-10)e
( D )
2.(2023 北京,4)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( C )
A.f(x)=-ln x
1
C.f(x)=
1
B.f(x)=2
D.f(x)=3|x-1|
解析 因为 y=ln x 在(0,+∞)上单调递增,所以 f(x)=-ln x 在(0,+∞)上单调递减,
故 A 错误;
3
3 +2
g(x)= ,则函数
3 +2
x≠0,所以-a=
.
设
f(x)存在 3 个零点等价于函数
y=-a 有三个不同的交点.
2(3 -1)
g'(x)= 2 .当
3 +2
g(x)= 的图象与直线
x>1 时,g'(x)>0,
函数 g(x)在(1,+∞)内单调递增,
当 x<1 且 x≠0 时,g'(x)<0,
专题检测六
函数与导数
单项选择题
lg, > 0,
1.(2023 广东高三学业考试)已知函数 f(x)=
若 a=f
2 , < 0,
A.-2
解析 a=f
B.-1
2021版高考数学二轮复习中档大题提分训练
2021版高考数学二轮复习中档大题提分训练20XX版高考数学二轮复习中档大题提分训练中档大题保分练(01) (满分：46分时间：50分钟) 说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题；第4题可从A、B两题中任选一题.共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且3cacosB＝tan A＋tan B．(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c．解：(1)在△ABC中，∵3cacos B＝tan A＋tan B，∴3sin Csin Acos B＝sin Acos A＋sin Bcos B．即3sin Csin Acos B＝sin Acos B＋sin Bcos Acos Acos B，∴3sin A＝1cos A.则tan A＝3，∴A＝π3．(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，得cos ∠BDC＝25＋9－492×3×5＝－12，∴∠BDC＝2π3，又∵A＝π3，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5．1．(B)(12分)已知等比数列{an}中，an＞0，a1＝4，1an－1an＋1＝2an＋2，n∈N*．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n?(log2an)2，求数列{bn}的前2n项和T2n．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，因为1an－1an＋1＝2an＋2，所以1a1qn－1－1a1qn＝2a1qn＋1，因为q＞0，解得q＝2，所以an＝4×2n－1＝2n＋1，n∈N*．(2)bn＝(－1)n?(log2an)2 ＝(－1)n?(log22n＋1)2＝(－1)n?(n＋1)2，设cn＝n＋1，则bn＝(－1)n?(cn)2， T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝－(c1)2＋(c2)2＋[－(c3)2]＋(c4)2＋…＋[－(c2n－1)2]＋(c2n)2 ＝(－c1＋c2)(c1＋c2)＋(－c3＋c4)(c3＋c4)＋…＋(－c2n－1＋c2n)(c2n－1＋c2n) ＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n ＝2n[2＋?2n＋1?]2＝n(2n＋3)＝2n2＋3n．2．(12分)如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝AD＝6，AA1＝23，点E在棱BC上，CE＝2，点F为棱C1D1的中点，过E，F的平面α与棱A1D1交于G，与棱AB交于H，且四边形EFGH为菱形．(1)证明：平面A1C1E⊥平面BDD1B1；(2)确定点G，H 的具体位置(不需说明理由)，并求四棱锥B?EFGH的体积．(1)证明：在矩形A1B1C1D1中，∵AB＝AD，∴A1B1＝A1D1，∴A1C1⊥B1D1．又BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1．∵BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1．又A1C1?平面A1C1E，∴平面A1C1E⊥平面BDD1B1．(2)解：G为棱A1D1上靠近A1的三等分点，H为棱AB的中点， HB＝3，BE＝4，所以△HBE的面积S△HBE＝12×HB×BE＝12×4×3＝6．于是四棱锥B?EFGH的体积VB?EFGH＝2VB?EFH＝2VF?BEH＝2×13×S△HBE×BB1＝2×13×6×23＝83．3．(12分)20XX年2月22日，在平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中．中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破．某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况．收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据(单位：小时)．又在100位女生中随机抽取20个人．已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.(1)将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，完成频率分布直方图；(2)以(1)中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；(3)以(1)中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数．已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人．请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.P(K2≥k0)0.10 0.05 0.010 0.0 05 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K2＝n?ad－bc?2?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?(n＝a＋b＋c＋d)．解：(1)由题意知样本容量为20，频率分布表如下：分组频数频率频率组距[0,5) 1 120 0.01 [5,10) 1 120 0.01 [10,15) 4 15 0.04[15,20) 2 110 0.02 [20,25) 4 15 0.04 [25,30) 3 320 0.03[30,35) 3 320 0.03[35,40] 2 110 0.02 合计20 1 0.20 频率分布直方图为：(2)因为(1)中[30,40]的频率为320＋110＝14，所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为14．(3)因为(1)中[0,20)的频率为25，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是100×25＝40.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生女生总计累计观看时间小于20小时50 40 90 累计观看时间不小于20小时150 60 210 总计200 100 300 结合列联表可算得 K2＝300×?50×60－150×40?2200×100×210×90＝507≈7.143＞6.635，所以，有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”．4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x＝255t，y＝2＋55t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sin θ．(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|．解：(1)因为ρcos2θ＝8sin θ，所以ρ2cos2θ＝8ρsin θ，即x2＝8y，所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线．(2)直线l过抛物线的焦点(0,2)，且参数方程为x＝255t，y ＝2＋55t(t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程，得t2－25t －20＝0，所以t1＋t2＝25，t1t2＝－20．所以|MN|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2＝10．4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|．(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)记函数f(x)的最大值为m，若a＞0，b＞0，ea?e4b＝e4ab －m，求ab的最小值．解：(1)当x≤－3时，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；当－3＜x＜5时，由5－x－x－3≥x＋1，得x≤13，所以－3＜x≤13；当x≥5时，由x－5－x－3≥x＋1，得x≤－9，无解．综上可知，x≤13，即不等式f(x)≥x＋1的解集为－∞，13．(2)因为|x－5|－|x＋3|≤|x－5－x－3|＝8，所以函数f(x)的最大值m＝8．因为ea?e4b＝e4ab－8，所以a＋4b＝4ab－8．又a＞0，b＞0，所以a＋4b≥24ab＝4ab，所以4ab－8－4ab≥0，即ab－ab－2≥0．所以有(ab＋1)(ab－2)≥0．又ab＞0，所以ab≥2，ab≥4，即ab的最小值为4．。
2023年河北省高考数学二轮复习专题 专题6 导数解答题30题专项提分计划(含答案)
2023届河北省新高考数学复习 专题6 导数解答题30题专项提分计划1．（2022·河北·模拟预测）已知函数()()2e 2xm f x x m =+∈R ． (1)若存在0x >，使得()0f x <成立，求m 的取值范围；(2)若函数()()2e e x F x xf x =+-有三个不同的零点，求m 的取值范围．2．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数f x x ax bx =-++．(1)当0,1a b ==时，证明：当()1,x ∈+∞时，()ln f x x <；(2)若2b a =，函数()f x 在区间()1,2上存在极大值，求a 的取值范围．3．（2022·河北沧州·统考二模）已知函数(),R f x a x=∈. (1)求()f x 的单调区间；(2)证明：()e xxf x a -+>-.0a 、a<0讨论可得)()11f =得1x ，不等式1x--，利用的单调性可得答案，定义域为()1,f x x '=0a 时，)f x '单调递增；a<0时，)0,a --时，()0,f x 单调递减；)+∞时，f 综上，当0a 时，f 时，()f x 的单调递减区间为）知，当a =-)()11f =，1x +， ln x x a x-=，所以不等式等价于ln x e 1x-+-，则在0x >时恒成立，0时，(g x 1x ，所以1e x x x x ---+故ln e 0x x x -+>，即()e xxf x a -+>-.【点睛】本题关键点是讨论导数的正负判断函数的单调性，以及转化求出函数的最值证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题能力.4．（2022·河北邯郸·统考模拟预测）设函数()()3ln 1f x x x =++(1)求曲线()y f x =在()0,0处的切线方程； (2)证明：当n *∈N 且2n 时，()3121ln 1827n n n-+>++⋅⋅⋅+. 20x ，再换元，令）显然，(x ∈-()(00f '-=(3ln x x ++13x 0x 时，0g x，(g x ()()00g x g =，即当0x 时，()32ln 10x x x ++-1x n =，得21ln 10⎛> ⎝ ()31ln 1ln n n -+->由此可得，ln 20-= 1ln 2>-2n ，其中,a b ∈(1)若1a =，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线210x y ++=平行，求()f x 的极值； (2)当1,1b a =≤-时，证明：2()e x f x x-≥. 1b ，进而得a +，由于函数1b ，111xx x--=的变化情况如下表，(2)解：当1,1b a =≤-，()ln f x x x a =++， 因为222()e ee ln ln e ex x x x f x x x x x a x a x --≥⇔≥++⇔≥+，所以只需证明2e ln e exx x x a ≥+成立即可.令e ,0x y x x >=，则()'1e 0,0xy x x =+>>，所以，函数e ,0x y x x >=在()0,∞+上单调递增，即e 0x y x =>. 令e ,0xx t t =>，则22e ln e ln e ex x x tx a t a ≥+⇔≥+，令()2ln ,0e t t g t a t -->=，则()2'2211e e et t t t g --==， 所以，当()20,e t ∈时，()'0g t <，()g t 单调递减，当()2e ,t ∈+∞时，()'0g t >，()g t 单调递增，所以，()()22e 1ln e1a a g g t ≥=--=--，因为1a ≤-，所以10a --≥，即()0g t ≥， 所以2ln e tt a ≥+成立， 所以2()e xf x x-≥成立，证毕. 6．（2022·河北保定·统考二模）已知函数()1e ln ln ln xf x x x a a -=--+.(1)若1a =，证明：()1f x ≥.(2)当[)1,x ∞∈+时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围.7．（2022·河北秦皇岛·统考二模）已知函数()2si cos n 2f x x x a x x =-++． (1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．0,1，cos00=，处的切线的斜率为(0)k f '=0,1处的切线的斜率切线方程为10+=.8．（2022·河北·模拟预测）已知函数()1e xf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围.0（2）()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若a<0，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.9．（2022·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知函数()e ln =-xx f x a a．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若对任意的,()0x ∈+∞，总有()0f x ≥成立，试求正数a 的最小值．10．（2022·河北·模拟预测）已知函数()e x f x ax =-，R a ∈． (1)求()f x 的极值；(2)令()()sin 1F x f x ax x bx =++--，当12b <时，讨论()F x 零点的个数．【答案】(1)当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值 (2)2个零点【分析】(1)根据题意，求出函数的导函数，对导函数的正负进行分类讨论即可求解； (2)先对函数()F x 求导，令()()g x F x '=，对x 的取值范围分类讨论，利用导数的正负求出()F x 的单调性，由零点存在性定力判断零点个数即可.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且()e x f x a '=-．①当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增，无极值， ②当0a >时，令0fx，得ln x a >；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(),ln a ∞-上单调递减；在()ln ,a ∞+上单调递增；()f x 在ln x a =处取极小值()()ln 1ln f a a a =-，无极大值．综上所知，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()1ln a a -，无极大值．（2）因为()()e sin 1xF x x bx x R =+--∈，所以()e cos x F x x b =+-'， 令()()e cos x g x F x x b '==+-，则()e sin xg x x '=-．①当x π≤-时，由12b ≤<，得bx b ππ-≥≥，所以()e sin 1110xF x x ππ≥++->-->故()F x 在(],∞π--上无零点．②当[)0,x ∈+∞时，()e sin 1sin 0xg x x x ≥-'=-≥，()F x '在[)0,∞+上单调递增；()()020F x F b ≥=-'>'，()F x 在[)0,∞+上单调递增，()()00F x F ≥=，()F x ∴在[)0,∞+上有唯一零点0x =，③当(),0x π∈-时，()sin 0,e sin 0xx g x x <=->'，()F x '∴在(),0π-上单调递增，()()020,e 10F b F b ππ-=->-=--'<'，∴存在(),0t π∈-，使()0F t '=，当(),x t π∈-时，()F x 单调递减； 当(),0x t ∈时，()F x 单调递增；又()()()e 10,00F b F t F πππ--=+-><=；()F x ∴在(),t π-上有唯一零点，在(),0t 上无零点，即()F x 在(),0π-上有1个零点． 综上，当12b ≤<时，函数()F x 有2个零点．11．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知函数()()[]πsin ,0,πf x x x x =-∈ (1)求()f x 在()0,0处的切线方程；(2)若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证： ①2a <；②12ππa x x a -≤--.12．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数1ef x ax=+．f x+>；(1)当1a=时，求证：()10f x≤恒成立，求a的取值范围．(2)当a<0时，不等式()1【答案】(1)证明见解析(2){}1-0fx，∴f )211e 2=->-，即）由已知得()(1f x a '=++0f x，解得1,1a ⎫-∞--⎪⎭上单调递增，(1e a -⎛⎫=-13．（2022·河北邯郸·统考二模）已知函数()ln ex x f x a x =-，0a ≠．(1)若1ea =，分析f （x ）的单调性；(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围．14．（2022·河北唐山·统考三模）已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．15．（2022·河北·统考模拟预测）已知()(2)e f x x ax =--为R 上的增函数.(1)求a ；(2)证明：若122x x +>，则()()121f x f x +>-.16．（2022·河北唐山·统考二模）已知函数()3f x x =+，()sin g x b x =，曲线()y f x =和()y g x =在原点处有相同的切线l ．(1)求b 的值以及l 的方程；(2)判断函数()()()h x f x g x =-在()0,∞+上零点的个数，并说明理由．【点睛】本题考查导数几何意义、函数的零点、用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，知识考查较为综合，对学生是一个挑战，属于难题.17．（2022·河北·校联考模拟预测）已知函数()()1eln f x ax =-，()()0ag x a x=>． (1)求函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上的极值；(2)当1a =时，若直线l 既是曲线()y f x =又是曲线()y g x =的切线，试判断l 的条数． )()0,+∞的根的个数，令的根的个数.)1eln x =-变化时，(F x 所以当e a x =时，()F x 取得极大值，12e ln e F a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极小值. （2）()1eln f x x =-，()e f x x '=-，()1g x x =，()21g x x '=-所以曲线()y f x =在点(),1eln t t -处的切线方程为，即()()e1eln y t x t t--=--，即eeln e 1y x t t=--++.同理可得曲线在点1,b b ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为()211y x b b b -=--，即212y x b b =-+.若曲线()y f x =与曲线()y g x =有公切线，则()2e 1,(i)2e ln e 1,ii t b t b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，由（i ）得2e t b =，代入（ii ）得22eln 10b b+-=，所以问题转化为判断关于b 的方程22eln 10b b+-=在()(),00,∞-+∞的根的个数.因0b ≠，当0b >时，令()()22eln 10h x x x x =+->，即()222e 22e 2x h x x x x -'=-=， 令()0h x '=，得1e x =.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()max 110e h x h ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭.因为()()2214e 2e 12e e 210,110e h h ⎛⎫=-+-=-->=> ⎪⎝⎭，所以()21110,10e e e h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<⋅< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()()22eln 10h x x x x =+->在()0,∞+上有两个零点，即22eln 10b b+-=在()0,∞+上有两个不相等的正实数根； 当0b <时，令()()22eln 1k x x x =-+-，则()22e 2k x x x'=-，显然(),0x ∈-∞时，()0k x '<，则()k x 在(),0∞-上单调递减， 因为()()2e 2e 10,130ek k -=-->-=-<，所以()()22eln 1k x x x =-+-在(),0∞-上有唯一一个零点，即方程()22eln 10b b-+-=在(),0∞-上有唯一一个负实数根.所以曲线()y f x =与曲线()y g x =的公切线l 有3条.【点睛】本题考查利用导数研究含参数的极值，导数的几何意义，利用导数研究函数的零点个数等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于分别求出曲线()(),f x g x 在某点处的切线方程，进而根据公切线将问题转化为求解函数2()2eln 1(0)h x x x x=+->的零点个数，再利用导数研究函数的零点即可.18．（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知函数()1ln 1xf x x x-=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>.0fx；当x ∈f x 的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）知：若)x ≠，则0x <要证x x +101x <<又()f x 在()1f x =19．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数． ，f x 在(1-，()sin g π=①当x ⎛∈ ⎝()h x ∴在上单调递减，00h xh ，又cos x -即()g x 在sin cos x x x +，()2cos g x '''=上单调递减，又102g π⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，(g π''()0g x '>()'∴g x 在当2x π⎛∈ ⎝()g x ∴在()1g x g >③当(x ∈()g x ∴<综上所述：()g x -=()g x ∴在()g x ∴在【点睛】思路点睛；导函数的形式，区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.20．（2022·河北邯郸·统考一模）已知函数()()22e 1ln 22x f x a x a x =+--+.(1)讨论()f x 的单调性； (2)若()0f x ≥，求a 的取值范围.21．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）已知函数()()()()2e 1x f x x a x a =-+-∈R ． (1)若12a =-，求()f x 的极值；(2)当a<0时，证明：()f x 不存在两个零点．0fx，(f x 0<，()f x 在时取极大值()0f =-0fx，(f x 0，结合上述单调性可知，0fx，(f x()f x 的极大值为()()()()()(){}22ln 2ln 222ln 21ln 2210f a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=--⋅-+--=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦+⎦<⎣， 结合上述单调性可知，()f x 不存在两个零点． 所以当a<0时，()f x 不存在两个零点．22．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知函数()ln ,11ln ,01xx x af x x x x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩，其中1a >(1)求()f x 的单调区间(2)求方程()()1e ln xf f x a -=+的零点个数.0f x,[)1,+∞0,()0,1是单调23．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知函数()()3e 3xf x x a x x =--，0a >.(1)讨论函数()f x 极值点的个数；(2)设0m >，若1a =且()))e 2ln 1xf m fx x ≥--对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围.0fx ；f x 在上单调递增，f x 有且仅有一个极值点②当(ln3g (11,ln3x ∴∃∈)()12,x x 时，)()2,x +∞时，0fx；f x 在)1，(1,x x ()2,x +∞上单调递增， f x 有、1x x =和综上所述：当2e 3a <≤时，有且仅有一个极值点；当2e 3a >(2)ln ex =令12t x =-令()2h t =∴当ln t ⎡∈⎢()()()()3e ln3,ln 203ex x a x f x a g x f x a x +=+-=++≠+.(1)当1a =时，求()g x 的单调性； (2)若()f x 恒大于0，求a 的取值范围.25．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知函数()()ln 0f x a x x x x=++>. (1)若()f x 有唯一零点，设满足条件的a 值为1a 与2a ()12a a ≠证明：①1a 与2a ()12a a ≠互为相反数；②15843a >>； (2)设()()g x xf x =.若()g x 存在两个不同的极值点1x 、2x ，证明12x x a +>-. 参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈ 0fx，上为增函数，)()1,+∞有且只有两个零点，且它们互为倒数，0001x x x ++)()1,+∞有且只有两个零点26．（2022·河北秦皇岛·统考三模）已知定义在[)0,∞+上的函数()e sin ,e 6xf x m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为自然对数的底数．(1)当1m =时，证明：()32f x ≥； (2)若()f x 在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数m 的取值范围；(3)在（1）的条件下，若()2cos 16f x x tx π⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭'恒成立，求实数t 的取值范围．27．（2022·河北张家口·统考三模）已知函数()()()2ln 222g x a x a x x a =--+∈R 在1x =处取得极值.(1)求a 的值及函数()g x 的极值；(2)设()()f x g x t =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ()123x x x <<，证明：314x x <+.由()1知()()()3226g x g x g x =<-，且()g x 在()3,+∞上单调递增， ∴236x x ->②，∴结合①②得1362x x +>+，所以314x x <+.【点睛】该试题主要考查函数的导数与单调性､函数的导数与不等式等，主要考查了学生的运算思想､转化思想､构造思想和抽象推理，其中构造出()()()2H x g x g x =--()0,1x ∈和函数()()()6h x g x g x =--()1,3x ∈是解题的关键，属于难题. 28．（2022·河北·统考模拟预测）已知函数(1)ln (),()|ln |1x xf xg x x x -==+.(1)若()()(1,1)f m g n m n =>>，证明：m n >；(2)设函数()(1)ln (1)F x x x a x =--+，若()0F x =有两个不同的实数根12,x x ，且12x x <，证明：221e ax x >⋅.又2222(1)ln ()ln e ln e =(e )1a a a x x f x a g x -====+，即22()=(e )(1,e 1)a a f x g x >>，由(1)可得2e a x >⋅⋅⋅①，又由1()f x a =得1111111111(1)ln (1)ln 1()()ln e ln e =(e )111a a a x x x x f f x a g x x x --======++，即1111()=(e )(1,e 1)a a f g x x >>，由(1)可得11e a x >⋅⋅⋅②，①②相乘可得221e a x x >，即221e a x x >⋅. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 29．（2022·河北衡水·统考二模）已知函数()()f x a x=∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x x =-有1x ，()212x x x <两个零点. （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：存在一组m ，n （0n m >>），使得()f x 的定义域和值域均为[],m n . 【答案】(1)极大值为1，无极小值 (2)（i ）ln 2122a >+；（ii ）证明见解析【分析】（1）求出导函数，求出的根，列表确定的正负，()f x 的单调性与极值；（2）（i ）转化为2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，利用导数确定()g x 的单调性与极值，最大值大于0，确定有小于0的函数值（需引入新函数，再利用导数确定单调性得f x 的极大值为11f =，无极小值；(2)（i ）解：由题意可知，ln 0x ax x+-=有两解，即2ln 0x x a -+=有两解，设()2ln g x x x a =-+，则，令，解得x =（，列表可知，()max ln 2122g x g a ==--+⎝⎭， 因为()g x 有两个零点，所以()max 0g x >，解得ln 2122a >+， 当0e a x -<<时，有ln 0x a +<，可得()ln 0g x x a <+<，令()21ln 2x x x ϕ=-，有，01x <<时，()0x ϕ'>．1x >时，()0x ϕ'<，可得函数()x ϕ的减区间为()1,+∞，增区间为()0,1，有()()1102x ϕϕ=-<≤，可得21ln 02x x -<，当x >时，()2221111ln 202222g x x x a x a x a a ⎛⎫⎛⎫=-+-<-<-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以存在1x <，2x >，使得()()120g x g x ==，所以ln 2122a >+； （ii ）证明：因为()21ln a xf x x--'=，令，解得1e a x -=， 列表可知，()f x 在()10,e a -上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减，①若1e a m n -<≤，则()f x 在[,]m n 上单调递增，因此()f m m =，()f n n =，由上可知取1mx ，2n x =，此时()()1222e 1e 0a a g g x --=-≤=，ln 21122a +<≤，所以当ln 21122a +<≤时，存在一组m ，n 符合题意；②若1e a m n -≤<，则()f x 在[],m n 上单调递减，所以()ln m af m n m+==，()ln n af n m n+==， 所以ln ln m a n a mn +=+=，即m n =，不符题意；③若1e a m n -<<， ()f x 在)1,e a m -⎡⎣上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减， 所以()()11max 1e eaaf x f n --===，由111e ea a-->得1a >，又因为()()11e 21e a af n a m --=->>，所以()()min f x f m m ==，即1mx ，11ean -=，所以当1a >时，存在一组m ，n 符合题意；综上，存在一组m ，n 符合题意.【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究方程的根与函数零点分布，研究函数的值域．难点有两个：第一个是由零点个数确定参数范围时，零点的存在性一般与零点存在定理结合，因此需要在某个区间的两个端点处函数值符号相反才能得出，本题中需要引入新函数，由函数的性质得出，第二个是确定函数值域问题，需对参数进行分类，一定要注意分类标准的确定，需要有统一标准，本题是按区间[,]m n 与函数的最大值点的关系分类，然后求出对应参数a 的取值范围，它们正好相适应，从而得出结论．本题对学生的逻辑能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．30．（2022·河北·石家庄二中校联考模拟预测）已知函数()()e ln 0mx f x x x x m =+-≥.(1)当m ＝1时，求f （x ）在[1，e]上的值域；(2)设函数f （x ）的导函数为()'f x ，讨论()'f x 零点的个数.所以()'e ln e ln 0mx x f x m x x =-≥->，()'f x 没有零点.当01m <<时：令()()()'e ln 0mxg x f x m x x ==->，()()'23211e ,e 0mx mx g x m g x m x x'=-=+>'，所以()'g x 在()0,∞+上递增，由2e mx y m =与1y x=的图象可知，在区间()0,∞+上，存在唯一0x ，使0201e mx m x =①， 即()0'2001e 0mx g x m x =-=.所以()g x 在区间()()()'00,,0,x g x g x <递减；在区间()()()'0,,0,x g x g x +∞>递增， 所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值()000e ln mxg x m x =-，由①得0201emx m x =，所以()0001ln g x x mx =-；。
高考数学二轮复习 专题06 三角函数的图像与性质讲学案 文-人教版高三全册数学学案
专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)( A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式公式一sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x ＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x ＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【答案】A且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.优解：代入特殊点检验排除． 当x ＝π3，y ＝2时，排除B ，D.当x ＝－π6，y ＝－2时，排除C ，故选A.(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】23π【解析】通解：化简后平移函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【方法规律】1．已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的方法 (1)求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点； (2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.【变式探究】1．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z，故选D.考点二 三角函数性质及应用例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 【答案】B【解析】通解：写出解析式求对称轴．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B.优解：由对称轴平移得对称轴．y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位长度得x ＝π4－π12＋k 2π＝k π2＋π6.(k ∈Z)，故选B.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】B【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1．求单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．三角函数的周期的求法 (1)定义法；(2)公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)利用图象．【变式探究】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增考点三 三角函数的图象与性质的综合应用例3、已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，32. (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＋32【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路1．将“sin x cos x ”化为12sin 2x ，将sin 2x 或cos 2x 降幂．2．函数解析式成为“a sin x ＋b cos x ”后，利用辅助角公式化为a 2＋b 2sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2.3．利用整体思想，对于a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的三角函数． 视“ωx ＋φ”为整体，利用sin x 的性质来求解．【变式探究】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋1112π＝5912π.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川文数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=3sin x +cos x ）3x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 15.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A 310 （B 10（C ）1010 （D ）31010【答案】C16.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考新课标1，文2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）3-（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，文19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m (【2015高考山东，文16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+ 【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【2015高考重庆，文9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C . 【2015高考山东，文3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【2015高考新课标1，文8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【考点定位】函数sin()yA x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CPOAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷文第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【解析】由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ，所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性， 7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考文第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考文第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】(],2-∞．【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西文第16题】已知函数()sin()cos(2)f xx a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.[]由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得k π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．。
2020年新课标高考数学二轮复习-中档解答题规范练(6套)
2020年新课标高考数学二轮复习-中档解答题规范练（6套）目录2020年新课标高考数学二轮复习-中档解答题规范练（6套） (1)1、三角函数与解三角形 (2)2、数列 (8)3、立体几何 (14)4、概率与统计 (24)5、坐标系与参数方程 (35)6、不等式选讲 (41)1、三角函数与解三角形1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，cos A sin B ＋(c －sin A )·cos(A ＋C )＝0. (1)求角B 的大小；(2)若△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin C 的值. 解 (1)由cos A sin B ＋(c －sin A )cos(A ＋C )＝0， 得cos A sin B －(c －sin A )cos B ＝0，即sin(A ＋B )＝c cos B ，sin C ＝c cos B ，sin Cc ＝cos B ， 因为sin C c ＝sin B b ， 所以sin B 3＝cos B ，即tan B ＝3，又0＜B ＜π，所以B ＝π3. (2)由S ＝12ac sin B ＝32，得ac ＝2，由b ＝3及余弦定理得(3)2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ， 所以a ＋c ＝3，所以sin A ＋sin C ＝sin B b (a ＋c )＝32.2.已知函数f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求ω和φ的值；(2)求函数y ＝f (2x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2ωx cos φ＋1＋cos 2ωx 2sin φ－12sin φ ＝12(sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ)＝12sin(2ωx ＋φ). 由题意可知，T ＝2π＝2π|2ω|，则ω＝±12，当ω＝12，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝π3.当ω＝－12，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入f (x )＝12sin(2ωx ＋φ)中，可得φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，而0＜φ＜π，解得φ＝2π3.(2)由题可知，当ω＝12，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.当ω＝－12时，f (2x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋2π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，则函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.综上，函数f (2x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12.3.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝1，sin (2A ＋B )sin A ＝2(1－cos C ). (1)求b 的值；(2)若△ABC 的面积为32，求c 的值. 解 (1)∵sin(2A ＋B )＝2sin A (1－cos C )， ∴sin[(A ＋B )＋A ]＝2sin A －2sin A cos C ，sin(A ＋B )cos A ＋cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ＋2sin A cos(A ＋B )， sin(A ＋B )cos A －cos(A ＋B )sin A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，又a ＝1， ∴b ＝2.(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×2sin C ＝32， ∴sin C ＝32，cos C ＝±12，当cos C ＝12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝12，∴c ＝3；当cos C ＝－12时，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 24＝－12，∴c ＝7. 故c ＝3或c ＝7.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 的度数成等差数列，b ＝13.(1)若3sin C ＝4sin A ，求c 的值； (2)求a ＋c 的最大值.解 (1)由角A ，B ，C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 由正弦定理，得3c ＝4a ，即a ＝3c4. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 42＋c 2－2×3c 4×c ×12，解得c ＝4.(2)由正弦定理，得asin A＝csin C＝bsin B＝1332＝2133，所以a＝2133sin A，c＝2133sin C.所以a＋c＝2133(sin A＋sin C)＝2133[sin A＋sin(A＋B)]＝2133⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A＋sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π3＝2133⎝⎛⎭⎪⎫32sin A＋32cos A＝213sin⎝⎛⎭⎪⎫A＋π6.由0＜A＜2π3，得π6＜A＋π6＜5π6.所以当A＋π6＝π2，即A＝π3时，(a＋c)max＝213.5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝()cos A，cos B，n＝()a，2c－b，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值.解(1)∵m∥n，∴a cos B－()2c－b cos A＝0，由正弦定理得sin A cos B－()2sin C－sin B cos A＝0，∴sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos A，∴sin(A＋B)＝2sin C cos A，由A＋B＋C＝π，得sin C＝2sin C cos A由于0＜C＜π，因此sin C>0，∴cos A＝12，由于0＜A＜π，∴A＝π3.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，∴bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立， ∴△ABC 面积S ＝12bc sin A ≤43， ∴△ABC 面积的最大值为4 3.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围. 解 (1)由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理， 得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， cos B ＝12，B ＝π3，A ＋C ＝2π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6，0＜A ＜2π3，π6＜A ＋π6＜5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.2、数列1.已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18， 所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15， 所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ， ① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解(1)⎩⎨⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3， 从而b 1＝1，所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1).(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.3.设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *，得T n ＝(1)22n n -，所以T n －1＝(1)(2)22n n --(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T nT n －1＝(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n1－2－n ＝()2n－1λ－n ，所以S n ＋1>S n ⇔()2n ＋1－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2nλ>1⇔λ>12n ，因为对任意的n ∈N *，12n ≤12， 故所求的λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－72n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ， 则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1. 于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m80.5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n3n－1(n ≥1，n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解 将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126. (2)证明 由a n ＝n ·3n3n－1＝n1－13n(n ≥1，n ∈N *)可得 a 1·a 2·…·a n ＝n ！⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＞12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n ＝1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＞1－12＝12.故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立： ①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k 成立. 那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－13k ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＋1≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k －13k ＋1＋13k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ，注意到13k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13k ＋1≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1，这说明当n ＝k ＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n ＞12恒成立， 故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数.(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. (1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0， 所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列.(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1). 所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. ②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1). 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列. ③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n ＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|. 对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当n ≥m 时，c nn ＞M .3、立体几何1.(2017·全国Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值.(1)证明由题设可得△ABD≌△CBD.从而AD＝CD，又△ACD为直角三角形，所以∠ADC＝90°，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO，又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角，在Rt△AOB中，BO2＋OA2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°，所以平面ADC⊥平面ABC.(2)解由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA →为x 轴正方向，OB →为y 轴正方向，OD →为z 轴正方向，|OA →|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则O (0，0，0)，A ()1，0，0，D ()0，0，1，B ()0，3，0，C (－1，0，0)， 由题意知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，故AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，12，AD →＝()－1，0，1，OA→＝()1，0，0. 设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面AEC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ AE →·n 1＝0，AD →·n 1＝0，解得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，1，⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n 2＝0，OA →·n 2＝0，解得n 2＝(0，－1，3)，设二面角D －AE －C 为θ，易知θ为锐角， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝77.2.在如图所示的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是BC ，A 1B 1的中点. (1)求证：DE ∥平面ACC 1A 1；(2)若AB ⊥BC ，AB ＝BC ，∠ACB 1＝60°，求直线BC 与平面AB 1C 所成角的正切值.(1)证明取AB中点F，连接DF，EF.在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，又DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1. 在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，又EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.因为DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面ACC1A1.因为DE⊂平面DEF，故DE∥平面ACC1A1.(2)解因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BC⊥BB1，又AB⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1.因为AB＝BC，BB1＝BB1，所以△ABB1≌△CBB1，AB1＝CB1，又∠ACB1＝60°，所以△AB1C为正三角形，所以AB1＝AB2＋BB21＝AC＝2AB，所以BB1＝AB.取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1⊥BO，AB1⊥CO，所以AB1⊥平面BCO，所以平面AB1C⊥平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上，所以∠BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角.在Rt △BCO 中，BO ＝22AB ＝22BC ， 所以tan ∠BCO ＝BO BC ＝22.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，E ，F 分别为AD ，P A 的中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD .(1)求证：平面BEF ∥平面PDQ ； (2)求二面角E －BF －Q 的余弦值.(1)证明 方法一 (向量法)以A 点为原点，分别以AB →，AD →，AP →的方向为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，a ，0)，P (0，0，1)， 设Q (1，x ，0)，则PQ→＝(1，x ，－1)，QD →＝(－1，a －x ，0)，若PQ ⊥QD ，则PQ →·QD →＝－1＋x (a －x )＝0，即x 2－ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4＝0， ∴a ＝2，x ＝1.∴Q ()1，1，0，QD→＝()－1，1，0， 又E 是AD 的中点，∴E ()0，1，0，BE→＝()－1，1，0，∴QD →＝BE →， ∴BE ∥DQ ，又BE ⊄平面PDQ ，DQ ⊂平面PDQ ， ∴BE ∥平面PDQ ， 又F 是P A 的中点， ∴EF ∥PD ，∵EF ⊄平面PDQ ，PD ⊂平面PDQ ， ∴EF ∥平面PDQ ，∵BE ∩EF ＝E ，BE ，EF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ∥平面PDQ .方法二 (几何法)题意转化为矩形ABCD 中AQ 垂直于QD 的点Q 只有一个，则以AD 为直径的圆与线段BC 相切，易得BC ＝2，Q 是线段BC 的中点，由BE ∥QD ，EF ∥DP ，易得两平面平行.(2)解 设平面BFQ 的一个法向量m ＝()x ，y ，z ， 则m ·BF →＝m ·BQ→＝0， 由(1)知，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12，BQ →＝()0，1，0， ∴－x ＋12z ＝y ＝0，取z ＝2，得m ＝()1，0，2，同样求得平面BEF 的一个法向量n ＝()1，1，2，cos 〈m ，n 〉＝m ·n ||m ||n ＝306， ∵二面角E －BF －Q 为锐角， ∴二面角E －BF －Q 的余弦值为306.4.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E，F分别为PC，BD的中点.(1)求证：EF∥平面P AD；(2)在线段AB上是否存在点G，使得二面角C－PD－G的余弦值为33，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，所以在△P AC中，EF∥P A，又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.(2)解取AD的中点O，连接OP，OF，因为P A＝PD，所以PO⊥AD，又因为侧面P AD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AD ＝2，则P ()0，0，1，D ()－1，0，0，C ()－1，2，0，假设在AB 上存在点G ()1，a ，0，0＜a ＜2，则PC→＝()－1，2，－1，PD →＝()－1，0，－1，DG →＝()2，a ，0. 因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形， 所以CD ⊥平面P AD ，则CD ⊥P A ， 由P A 2＋PD 2＝AD 2，得PD ⊥P A ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC ，即平面PDC 的一个法向量为P A →＝(1，0，－1). 设平面PDG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧PD →·n ＝0，DG →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －z ＝0，2x ＋ay ＝0，亦即⎩⎨⎧z ＝－x ，y ＝－2xa ，可取n ＝(a ，－2，－a ). 所以|cos 〈P A →，n 〉|＝|P A →·n ||P A →||n |＝2a 2×4＋2a2＝33， 解得a ＝1或a ＝－1(舍去).所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C －PD －G 的余弦值为33.5.已知三棱锥A －BCD 中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，BC ＝2，AD ⊥平面BCD ，AD ＝1.(1)求证：平面ABC ⊥平面ACD ；(2)若E 为AB 的中点，求二面角A －CE －D 的余弦值.(1)证明 因为AD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BC ， 又因为AC ⊥BC ，AC ∩AD ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， 所以BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面ACD .(2)解 由已知可得CD ＝3，如图所示建立空间直角坐标系，由已知C (0，0，0)，B (0，2，0)，A (3，0，1)，D (3，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，12，则CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，12，CA →＝(3，0，1)，CD→＝(3，0，0)， 设平面ACE 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CE →＝0，⎩⎨⎧3x 1＋z 1＝0，32x 1＋y 1＋12z 1＝0，令x 1＝1，得n ＝(1，0，－3)，设平面CED 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CE →＝0，⎩⎨⎧3x 2＝0，32x 2＋y 2＋12z 2＝0，令y 2＝1，得m ＝(0，1，－2)，二面角A －CE －D 的余弦值cos 〈m ，n 〉＝|n ·m ||n ||m |＝2325＝155.6.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围. (1)证明 在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2， 所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 60°＝3， 所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC .因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .(2)解 建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，M (λ，0，1)， 所以AB→＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)， 设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)， 因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量. 所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋(3－λ)2×1＝1(λ－3)2＋4.因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77， 当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12.4、概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小； (2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望.解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S的概率满足：P(S＝6k)＝4－k6，k＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E(S)；②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望.解(1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P(S＝6k)＝4－k 6，k＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14； P (ξ＝18)＝12×13×2＝13； P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518； P (ξ＝30)＝13×16×2＝19； P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20. 所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C22C26＝115，P(X＝1)＝C14C12C26＝815，P(X＝2)＝C24C26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有5人，不超过100 km/h的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310. ∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310，∴P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫3100⎝ ⎛⎭⎪⎫7103＝3431 000，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫3101⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝4411 000，P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫3102⎝ ⎛⎭⎪⎫7101＝1891 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫3103⎝ ⎛⎭⎪⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E(ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E(ξ)＝np＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度.(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率；(2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”.因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4，由样本条形图可知，所求的概率为P(A)＝P(x＜μ－3σ)＋P(x＞μ＋2σ)＝P(x＜78.4)＋P(x＞89.4)＝1100＋4100＝120.(2)记事件B为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P(B)＝C25C2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，120，所以P ()ξ＝0＝C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫1200⎝ ⎛⎭⎪⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1201⎝ ⎛⎭⎪⎫19201＝19200， P ()ξ＝2＝C 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1202⎝ ⎛⎭⎪⎫19200＝1400，因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.5、坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系中xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0， 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2，22s )， 从而点P 到直线的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝|2(s －2)2＋4|5，当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455. 2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(1，2)，求||P A ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ，得ρ2＝6ρsin θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0， 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·t 2＝－7，又直线l 过点()1，2， 故结合t 的几何意义得||P A ＋||PB ＝⎪⎪⎪⎪t 1||＋t 2||＝t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4()cos α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27，所以||P A ＋||PB 的最小值为27.3.在直角坐标系xOy 中，已知点P ()0，3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； (2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ， B ，求1||P A ＋1||PB 的值. 解 (1)点P 在直线上，理由如下： 直线l ：ρ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，即2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3，即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，所以直线的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，易知点P 在直线上. (2)由题意，可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t ，(t 为参数)，曲线C 的普通方程为x 22＋y 24＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 得2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝4，∴5t 2＋12t －4＝0，两根为t 1， t 2， ∴t 1＋t 2＝－125，t 1t 2＝－45＜0， 故t 1与t 2异号， ∴||P A ＋||PB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝4145，∴||P A ||PB ＝|t 1||t 2|＝－t 1t 2＝45，∴1||P A ＋1||PB ＝||P A ＋||PB ||P A ||PB ＝14. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数).以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ， B 均异于原点O ，且||AB ＝42，求α的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)， B (ρ2，α)， 则||AB ＝||ρ1－ρ2＝4||sin α－cos α ＝42⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝42， ∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝±1，∴ α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )， 又 0＜α＜π， ∴ α＝3π4.5.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)， C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ，y ＝233＋t 2(t 为参数).(1)曲线C 1，C 2的交点为A ，B ，求||AB ；(2)以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，过极点的直线l 1与曲线C 1交于O ， C 两点，与直线ρsin θ＝2交于点D ，求||OC ||OD 的最大值.解 (1)方法一 曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，将C 2的参数方程代入，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋t 22＝1，化简得，t 2＋533t ＋43＝0， 所以||AB ＝||t 1－t 2＝()t 1＋t 22－4t 1t 2＝3.方法二 曲线C 2的直角坐标方程为y ＝－33x ＋233， 过点()2，0， C 1过点()2，0，不妨令A ()2，0， 则∠OBA ＝90°， ∠OAB ＝30°， 所以||AB ＝2×32＝ 3.(2)C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 令l 1的极角为α，则||OD ＝ρ1＝2sin α，||OC ＝ρ2＝2cos α，||OC ||OD ＝sin αcos α＝12sin 2α≤12， 当α＝π4时取得最大值12.6.已知α∈[)0，π，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程是ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6.(1)求证：l 1⊥l 2；(2)设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3， P 为直线l 1， l 2的交点，求||OP ·||AP 的最大值. (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，即直线l 2的直角坐标方程为 x cos α＋y sin α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝0. 因为sin α·cos α＋()－cos αsin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知， l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2， θ＝π3时，ρcos ()θ－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在直线ρcos ()θ－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6上.设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知， d 的最大值为||OA 2＝1. 于是||OP ·||AP ＝d ·||OA ＝2d ≤2， 所以||OP ·||AP 的最大值为2.6、不等式选讲1.(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，得1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1，1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]等价于当x ∈[－1，1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1，1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1，1].2.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －a ||＋x －1， a ∈R .(1)若不等式f (x )≥2－||x －1恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，求m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )≥2－||x －1恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1恒成立， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|min ≥1成立， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2－x ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≥1， 解得a ≤0或a ≥4，所以a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞). (2)当a ＝1时， f (x )＝⎪⎪⎪⎪2x －1||＋x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－3x ，x ≤12，x ，12＜x ＜1，3x －2，x ≥1，作出f (x )的图象，如图所示.由图象可知，当12＜m ≤1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象围成三角形，故所求m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 3.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋2||－x －1.(1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时， f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时， f (x )＝2x ＋1>1⇒x >0，即0＜x ＜1；当x ≥1时， f (x )＝3>1，即x ≥1.综上，不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞).(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥||1－2m 有解等价于()f (x )＋4max ≥||1－2m ， 由(1)可知，f (x )max ＝3，(也可由||f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2||－x －1||≤()x ＋2－(x －1)＝3，得f (x )max ＝3)，即||1－2m ≤7，解得－3≤m ≤4.4.已知f (x )＝||x ＋a ， g (x )＝||x ＋3－x ，记关于x 的不等式f (x )＜g (x )的解集为M .(1)若a －3∈M ，求实数a 的取值范围；(2)若[]－1，1⊆M ，求实数a 的取值范围.解 (1)依题意有||2a －3＜||a －()a －3，若a ≥32，则2a －3＜3，∴32≤a ＜3，若0≤a ＜32，则3－2a ＜3，∴0＜a ＜32，若a ≤0，则3－2a ＜－a －()a －3，无解.综上所述， a 的取值范围为()0，3.(2)由题意可知，当x ∈[]－1，1时，f (x )＜g (x )恒成立，∴||x ＋a ＜3恒成立，即－3－x ＜a ＜3－x ，当x ∈[]－1，1时，－2＜a ＜2.5.已知函数f (x )＝2||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ()a ≠0. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )＜4；(2)求函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的最小值.解 (1)∵ a ＝1，∴原不等式为2⎪⎪⎪⎪x ＋1||＋x －1＜4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1，－2x －2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2x ＋2－x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，2x ＋2＋x －1＜4，∴－53＜x ＜－1或－1≤x ＜1或∅，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53＜x ＜1. (2)由题意得g (x )＝f (x )＋f (－x )＝2⎝⎛⎭⎫||x ＋a ＋||x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥2||2a ＋2||a ＝4||a ＋2||a ≥42， 当且仅当2||a ＝1||a ，即a ＝±22，且－22≤x ≤22时，g (x )取最小值4 2.6.已知f (x )＝||x －a ＋||2x ＋1(1)若a ＝1，解不等式f (x )≤3；(2)f (x )≤2a ＋x 在[)a ，＋∞上有解，求a 的取值范围. 解 (1)⎩⎨⎧ x ＜－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎨⎧ －12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x －1＋2x ＋1≤3，－1≤x ＜－12或－12≤x ≤1或∅，所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}.(2)因为x ∈[)a ，＋∞，所以f (x )＝||x －a ＋⎪⎪⎪⎪2x ＋1||＝x －a ＋2x ＋1≤2a ＋x ，推出||2x ＋1≤3a 有解，所以a ≥0，所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解， 即2a ＋1≤3a ⇒a ≥1.所以a 的取值范围为[1，＋∞).。
最新高考数学二轮复习-专题六-第4讲-母题突破4-探究性问题-学案讲义
母题突破4探究性问题母题(2023·廊坊质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b21(a >b >0)经过点A (－2,0)，且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4.(1)求椭圆C 的方程和离心率；(2)设P ，Q 为椭圆C 上两个不同的点，直线AP 与y 轴交于点E ，直线AQ 与y 轴交于点F ，且P ，O ，Q 三点共线．其中O 为坐标原点．问：在x 轴上是否存在点M ，使得∠AME ＝∠EFM ？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析❶代入点，结合面积求方程和离心率❷设点P ，Q ，表示出直线AP ，AQ 的方程❸求出E ，F 的坐标,❹由∠AME ＝∠EFM 得ME →·MF →＝0,❺利用向量运算求点M 的坐标解(1)依题意可得a ＝2，12×2c ×2b ＝4，又c 2＝a 2－b 2，解得b ＝c ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1，则离心率e ＝c a ＝22.(2)因为P ，O ，Q 三点共线，根据椭圆的对称性可知P ，Q 关于O 点对称，如图，设点P (x 1，y 1)，则Q (－x 1，－y 1)(x 1≠±2)，所以直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线AQ 的方程为y ＝－y 1－x 1＋2(x ＋2)，所以点假设存在M 使∠AME ＝∠EFM ，因为∠MOE ＝∠FOM ＝90°，所以∠OMF ＝∠OEM ，又∠OEM ＋∠OME ＝90°，所以∠OME ＋∠OMF ＝90°，即ME ⊥MF ，所以ME →·MF →＝0，设M (m ,0)，则ME →mMF →m 所以ME →·MF →＝m 2＋－2y 1－x 1＋2·2y 1x 1＋20，即m 2＋－4y 214－x 21＝0，又x 214＋y 212＝1，所以x 21＋2y 21＝4，所以m 2－2＝0，解得m ＝±2，所以M (±2，0).故在x 轴上存在点M (±2，0)，使得∠AME ＝∠EFM .[子题1](2023·西安模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点T (3，0)的直线交该椭圆于P ，Q 两点，若直线PQ 与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在定点S (s ,0)，使得∠PST ＝∠QST 恒成立？若存在，求出s 的值；若不存在，请说明理由．解假设在x 轴上存在定点S (s ,0)，使得∠PST ＝∠QST 恒成立，设直线PQ 的方程为x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，＋y 23＝1，ty ＋3，得(3t 2＋4)y 2＋63ty －3＝0，则y 1＋y 2＝－63t 3t 2＋4，y 1y 2＝－33t 2＋4，因为∠PST＝∠QST，所以k PS＋k QS＝0，即y1x1－s＋y2x2－s＝0，整理得(x2－s)y1＋(x1－s)y2＝0，即(ty2＋3)y1＋(ty1＋3)y2－s(y1＋y2)＝0，所以2ty1y2＋(3－s)(y1＋y2)＝0，则2(3－s0，解得s＝43 3，故在x轴上存在定点∠PST＝∠QST恒成立．[子题2]已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4)．(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q两点，与线段AB交于点N(N，D不重合)，PM→＝λPN→，MQ→＝λQN→均成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．解(1)由题意知C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，点A的坐标为(6,4)，得c＝4，不妨设焦点F1(0,4)，F2(0，－4)，则2a＝|AF2|－|AF1|＝62＋82－6＝4.所以a＝2，b2＝c2－a2＝12，故C的方程为y24－x212＝1.(2)如图，设l的方程为y＝2m(m>1)，则D(0,2m)，故M(0，m)，由已知得直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，故2直线PQ 的方程与双曲线方程联立得(3k 2－1)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，由已知得3k 2≠1，Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PM →＝(－x 1，m －y 1)，PN →x 1，2m －y MQ →＝(x 2，y 2－m )，QN →x 2，2m －y 则x 1＋x 2＝－6km 3k 2－1，x 1x 2＝3m 2－123k 2－1，由PM →＝λPN →，MQ →＝λQN →，得x 1＝1x 2＝消去λ得x 1x x 即2x 1x 2－m k(x 1＋x 2)＝0，代入得k (m 2－2)＝0，解得m ＝2，故存在定直线l ：y ＝22满足条件．规律方法探索性问题的求解策略(1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律．(2)若只给出条件，求“不存在”“是否存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论．1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，点P (2,8)在抛物线上，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)求点P 到抛物线焦点的距离；(2)是否存在实数k 使得NA →·NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解(1)将点P (2,8)代入抛物线方程，解得p ＝14，x 2＝12y ，抛物线焦点F点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，则|PF |＝8＋18＝658.(2)如图，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)．把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，Δ＝k 2＋16>0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1.∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴点N假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知，y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝k 24＋2，∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168，又|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12k 2＋1k 2＋16，∴k 2＋168＝14k 2＋1k 2＋16，即k 2＋16＝2k 2＋1，两边同时平方得k 2＋16＝4(k 2＋1)，解得k ＝±2，即存在k ＝±2，使得NA →·NB →＝0.2.(2023·池州模拟)如图，点A 为椭圆E ：x 24＋y 2＝1的上顶点，圆C ：x 2＋y 2＝1，过坐标原点O 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点．(1)求直线AM ，AN 的斜率之积；(2)设直线AM ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，AN 与圆C 分别交于点P ，Q ，记直线MN ，PQ 的斜率分别为k 1，k 2，探究是否存在实数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)设M (x 0，y 0)，则N (－x 0，－y 0)，则直线AM ，AN 的斜率之积k AM ·k AN ＝1－y 0－x 0·1＋y 0x 0＝1－y 20－x 20＝14x 20－x 20＝－14.(2)由(1)知，直线AN 的方程为y ＝－14kx ＋1.直线AM y 2＝1，kx ＋1，消去y 可得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，因为A ，M 均在椭圆E 上，所以0＋x 0＝－8k 1＋4k2，即x 0＝－8k 1＋4k 2，所以y 0＝kx 0＋1＝－8k 21＋4k 2＋1＝1－4k 21＋4k2，所以k 1＝y 0x 0＝1－4k 21＋4k 2－8k 1＋4k 2＝4k 2－18k.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，2＋y2＝1，＝kx＋1，消去y可得(1＋k2)x2＋2kx＝0，因为A，P均在圆C上，所以0＋x1＝－2k1＋k2，即x1＝－2k1＋k2，所以y1＝kx1＋1＝－2k21＋k2＋1＝1－k21＋k2.所以点PP坐标中的k换成－14k，可得x21＝8k16k2＋1，y21＝16k2－116k2＋1，所以k2＝y2－y1x2－x1＝16k2－116k2＋1－1－k21＋k28k16k2＋1＋2k1＋k2＝4k2－15k，所以k1k2＝4k2－18k4k2－15k＝58，即存在实数λ＝58，使得k1＝58k2.专题强化练1．(2023·郑州模拟)过点M(t,0)(t<0)，斜率为33的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)相切于点N，且|MN|＝4 3.(1)求抛物线C的方程；(2)斜率为－33的直线与C 交于与点N 不重合的点P ，Q ，判断是否存在直线l ′，使得点Q 关于l ′的对称点Q ′恒与P ，N 共线，若存在，求出l ′的方程，若不存在，说明理由．解(1)由题意得直线l 的方程为y ＝33(x －t )，即x ＝3y ＋t ，设N (m ，n )，与y 2＝2px 联立并消去x 得y 2－23py －2pt ＝0，因为直线l 与抛物线C 相切，所以(－23p )2＋8pt ＝0，整理得3p ＋2t ＝0，代入y 2－23py －2pt ＝0，解得n ＝3p ，m ＝(3p )22p ＝3p 2，因为|MN |＝|3p 2－t |32＝43，所以3p 2－t ＝6，2t ＝0，t ＝6，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)得N (3,23)，假设存在直线l ′，使得点Q 关于l ′的对称点Q ′恒与P ，N 共线，则直线NP ，NQ 关于l ′对称，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝－3y ＋b ，与y 2＝4x 联立并消去x 得y 2＋43y －4b ＝0，则Δ＝(43)2＋16b >0，b >－3.y 1＋y 2＝－43，y 1y 2＝－4b .所以直线PN 的斜率k 1＝y 1－23x 1－3＝y 1－23y 214－3＝4y 1＋23，所以直线NQ 的斜率k 2＝y 2－23x 2－3＝y 2－23y 224－3＝4y 2＋23，k 1＋k 2＝4y 1＋23＋4y 2＋23＝4(y 1＋y 2)＋163(y 1＋23)(y 2＋23)＝－163＋163(y 1＋23)(y 2＋23)＝0，所以直线NP ，NQ 关于直线x ＝3或y ＝23对称，所以存在直线l ′，使得点Q 关于l ′的对称点Q ′恒与P ，N 共线，且l ′的方程为x ＝3或y ＝2 3.2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过点P (0，m )(m ＞0)且斜率为1的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点且AP →＝3PB →，OA →·OB →＝3.(1)求双曲线C 的方程；(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M ，使得∠QFM ＝2∠QMF ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由双曲线离心率为2知c ＝2a ，b ＝3a .于是，双曲线方程可化为x 2a 2－y 23a2＝1.又直线l ：y ＝x ＋m ，与双曲线方程联立得2x 2－2mx －m 2－3a 2＝0，①设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2－3a 22.②因为AP →＝3PB →，所以(－x 1，m －y 1)＝3(x 2，y 2－m )．故x 1＝－3x 2.结合x 1＋x 2＝m ，解得x 1＝32m ，x 2＝－12m .代入②式得－34m 2＝－m 2－3a 22⇒m 2＝6a 2，又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－3a 2＝3a 2＝3，从而a 2＝1.此时m ＝6，代入①式并整理得2x 2－26x －9＝0.显然，该方程有两个不相等的实根．因此，a 2＝1符合要求．故双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)假设满足条件的点M (t ,0)(t <0)存在．由(1)知双曲线右焦点为F (2,0)．由双曲线的对称性，不妨设点Q (x 0，y 0)在第一象限，当x 0≠2时，tan ∠QFM ＝－k QF ＝－y 0x 0－2，tan ∠QMF ＝k QM ＝y 0x 0－t.因为∠QFM ＝2∠QMF ，所以－y 0x 0－2＝2y 0x 0－t 1.将y 20＝3x 20－3代入上式并整理得(4＋2t )x 0－4t ＝－2tx 0＋t2＋3，＋2t ＝－2t ，4t ＝t 2＋3，解得t ＝－1.当x 0＝2时，∠QFM ＝90°，而当t ＝－1时，∠QMF ＝45°，符合∠QFM ＝2∠QMF .所以满足条件的点M (－1,0)存在．。
高考数学理二轮专练中档小题6及答案解析
中档小题(六)1．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分而不必要条件．命题q ：函数y ＝|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真2．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2，0.2B ．0.2，0.8C ．0.8，0.2D ．0.8，0.8 3．(2013·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x (π4≤x ≤π2)的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 34．下列函数既是奇函数又在区间[－1，1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝ln 2－x 2＋xD ．f (x )＝12(a x ＋a －x ) 5．(2013·东北三校联合模拟考试)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．46．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )7．(2013·高考重庆卷)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 8．(2013·高考天津卷)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<09．(2013·荆州市高中毕业班质量检查)已知y ＝f (x )是定义域为(12，＋∞)的可导函数，f (1)＝f (3)＝1，f (x )的导数为f ′(x )，且x ∈(12，2)时，f ′(x )<0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤12f （2x ＋y ）≤1所表示的平面区域的面积等于( ) A.15 B.35C.12D ．1 10．(2013·高考福建卷)已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 1 2 3 4 5 6y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′11．(2013·东北三校高三第一次联合模拟考试)已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体体积为________．12．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．13．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．14．(2013·山西省上学期诊断考试)已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过(0，1)点，则1a ＋1b的最小值是________．备选题1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0，1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2C. 2D.2－12．(2013·福建省质量检查)设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz ，现给出如下论断：①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z .其中正确论断的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．4．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案：1．【解析】选D.当a ＝1，b ＝－1时，得命题p 假，由|x －1|－2≥0，得x ≥3或x ≤－1，知命题q 真．2．【解析】选C.由程序框图可知：当a ＝－1.2时，∵a <0，∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0，a ＝－0.2＋1＝0.8，a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8.当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2.∵0.2<1，输出a ＝0.2.3．【解析】选B.依题意，f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π3)≤1，此时f (x )的最大值是3. 4．【解析】选C.由奇函数和偶函数的定义可知，f (x )＝sin x 是奇函数，f (x )＝－|x ＋1|非奇非偶，f (x )＝ln 2－x 2＋x是奇函数，f (x )＝12(a x ＋a －x )是偶函数，故排除B ，D.由正弦函数的图象可知，f (x )＝sin x 在区间[－1，1]上单调递增，排除A.5．【解析】选A.由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 6．【解析】选C.点P 是单位圆上的动点，设∠AOP ＝α，则α＝l ，当α＝π2时，弦AP 的长度d ＝2>1，由选项的图可知，故选C.7．【解析】选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 8．【解析】选A.∵f ′(x )＝e x ＋1>0，∴f (x )是增函数．∵g (x )的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1x＋2x >0，∴g (x )是(0，＋∞)上的增函数．∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0， ∴0<a <1.∵g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，∴1<b <2，∴f (b )>0，g (a )<0.9．【解析】选D.依题意可知f (x )在(12，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，f (2x ＋y )≤1，而f (1)＝f (3)＝1，则1≤2x ＋y ≤3，从而(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤121≤2x ＋y ≤3，不等式组所表示的平面区域是一个矩形，从而其面积S ＝1.10．【解析】选C.由(1，0)，(2，2)求b ′，a ′.b ′＝2－02－1＝2， a ′＝0－2×1＝－2.求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136， ∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57， a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13， ∴b ^<b ′，a ^>a ′.11．【解析】由所给的几何体的三视图可知，该几何体为长方体上挖去一个圆柱体的一半，这样由所给的数据可知所求几何体体积为2×4×3－12×π×12×3＝24－3π2. 【答案】24－3π212．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】4413．【解析】由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12AB →， ∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12|AB →|·|AD →|cos 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12. 【答案】1214．【解析】依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋b )＝3＋(b a ＋2a b)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，因此1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.【答案】3＋2 2备选题1．【解析】选A.直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋（b －1）2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1. 2．【解析】选C.取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．3．【解析】由题意1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则1≤a 2≤q ≤a 2＋1≤q 2≤a 2＋2≤q 3，所以1≤a 2≤q 3－2，即q 3－2≥1，解得q ≥33，所以q 的最小值是33.【答案】334．【解析】画出平面区域D (图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0，1)，取得最大值时的最优整数解为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．【答案】6。
2022年高考数学二轮复习专题六 空间几何体、表面积与体积
一、单项选择题
1．(2021·全国乙卷)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为 B1D1 的中点，则直线 PB 与 AD1
所成的角为( )
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
【命题意图】本题以正方体 ABCD-A1B1C1D1 为命题载体，考查异面直线所成角的求 法．
很显然，若点 P 与 D 或 D1 重合，均满足题意，所以选项 C 错误． D 选项，当 μ＝21 时，分别取线段 BB1，CC1 中点为 M，N，可知点 P 在线段 MN(包 括端点)上运动．
此时，有且只有点 P 与 N 点重合时，满足题意，所以选项 D 正确．
由图可知，线段 B1C1∥平面 A1BC，即线段 B1C1 上各点到平面 A1BC 的距离均相等， △A1BC 的面积是定值，所以三棱锥 P-A1BC 的体积为定值，所以选项 B 正确．
C 选项，当 λ＝12 时，分别取线段 BC，B1C1 中点为 D，D1，可知点 P 在线段 DD1(包 括端点)上运动．
点，则下列说法正确的是( )
A．DE 与 CC1 为异面直线
B．DE
与平面
BCC1B1 所成角的正切值为
2 4
C．过 D，C，E 三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
D．线段 DE 在底面 ABCD 的射影长为 2
【解析】选 ABC.由图可知：DE 与 CC1 为异面直线，所以 A 正确；
因为平面 BCC1B1∥平面 ADD1A1，所以 DE 与平面 BCC1B1 所成角即 DE 与平面 ADD1A1 所成角，连接 A1D，显然，∠A1DE 是 DE 与平面 ADD1A1 所成角．在直角三角形 EA1D
高考数学二轮复习 专练二中档小题(六) 理
中档小题(六)1．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分而不必要条件．命题q ：函数y ＝|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 2．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2，0.2B ．0.2，0.8C ．0.8，0.2D ．0.8，0.83．(2013·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x (π4≤x ≤π2)的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 34．下列函数既是奇函数又在区间[－1，1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝ln 2－x2＋xD ．f (x )＝12(a x ＋a －x)5．(2013·东北三校联合模拟考试)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．46．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )7．(2013·高考重庆卷)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 8．(2013·高考天津卷)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<09．(2013·荆州市高中毕业班质量检查)已知y ＝f (x )是定义域为(12，＋∞)的可导函数，f (1)＝f (3)＝1，f (x )的导数为f ′(x )，且x ∈(12，2)时，f ′(x )<0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤12f （2x ＋y ）≤1所表示的平面区域的面积等于( ) A.15 B.35 C.12D ．1 10x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a . 若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′ 11．(2013·东北三校高三第一次联合模拟考试)已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体体积为________．12．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．13．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．14．(2013·山西省上学期诊断考试)已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x＋b 的图象过(0，1)点，则1a ＋1b的最小值是________．备选题1．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0，1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－12．(2013·福建省质量检查)设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz ，现给出如下论断： ①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z .其中正确论断的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．4．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案：1．【解析】选D.当a ＝1，b ＝－1时，得命题p 假，由|x －1|－2≥0，得x ≥3或x ≤－1，知命题q 真．2．【解析】选C.由程序框图可知：当a ＝－1.2时， ∵a <0，∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0，a ＝－0.2＋1＝0.8，a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8. 当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2. ∵0.2<1，输出a ＝0.2.3．【解析】选B.依题意，f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π3)≤1，此时f (x )的最大值是3.4．【解析】选C.由奇函数和偶函数的定义可知，f (x )＝sin x 是奇函数，f (x )＝－|x＋1|非奇非偶，f (x )＝ln 2－x 2＋x 是奇函数，f (x )＝12(a x ＋a －x)是偶函数，故排除B ，D.由正弦函数的图象可知，f (x )＝sin x 在区间[－1，1]上单调递增，排除A.5．【解析】选A.由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意． 6．【解析】选C.点P 是单位圆上的动点，设∠AOP ＝α，则α＝l ，当α＝π2时，弦AP的长度d ＝2>1，由选项的图可知，故选C.7．【解析】选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 8．【解析】选A.∵f ′(x )＝e x＋1>0，∴f (x )是增函数．∵g (x )的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1x＋2x >0，∴g (x )是(0，＋∞)上的增函数．∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，∴0<a <1.∵g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，∴1<b <2， ∴f (b )>0，g (a )<0.9．【解析】选D.依题意可知f (x )在(12，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，f (2x＋y )≤1，而f (1)＝f (3)＝1，则1≤2x ＋y ≤3，从而(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤121≤2x ＋y ≤3，不等式组所表示的平面区域是一个矩形，从而其面积S ＝1.10．【解析】选C.由(1，0)，(2，2)求b ′，a ′.b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， ∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57， a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′. 11．【解析】由所给的几何体的三视图可知，该几何体为长方体上挖去一个圆柱体的一半，这样由所给的数据可知所求几何体体积为2×4×3－12×π×12×3＝24－3π2.【答案】24－3π212．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|PA |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|PA |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】44 13．【解析】由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12AB →，∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12|AB →|·|AD →|cos 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12. 【答案】1214．【解析】依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋b )＝3＋(b a ＋2a b)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，因此1a ＋1b的最小值为3＋2 2.【答案】3＋2 2 备选题1．【解析】选A.直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋（b －1）2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b ＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.2．【解析】选C.取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．3．【解析】由题意1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则1≤a 2≤q ≤a 2＋1≤q 2≤a 2＋2≤q 3，所以1≤a 2≤q 3－2，即q 3－2≥1，解得q ≥33，所以q 的最小值是33.【答案】33 4．【解析】画出平面区域D (图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0，1)，取得最大值时的最优整数解为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)．点(0，1)与(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．【答案】6。
专题二 考点06 函数的奇偶性与周期性(C卷)-2023届高考数学二轮复习重点基础练习
专题二 考点06 函数的奇偶性与周期性（C 卷）1.已知()f x 在R 上为奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为( ) A.0B.-1C.1D.22.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A.(1)1f x -- B.(1)1f x -+ C.(1)1f x +-D.(1)1f x ++3.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,221()1x f x x +=+,则()2020f =（ ）A.12 B. 12-C.1D.20204.已知定义在R 上的函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，30.2a =，0.23b =，0.2log 3c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为( ) A.()()()f a f b f c >> B.()()()f c f a f b >> C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f b f a >>5.设函数()()y f x x =∈R 为偶函数,且x ∀∈R ,满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当[2,3]x ∈时,()f x x =,则当[2,0]x ∈-时,()f x =( )A.4x +B.2x -C.21x ++D.31x -+6.已知()3()2()F x x x f x =-，且()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 不恒等于零，则()F x 为( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数7.已知()f x 是定义在区间(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，对任意不相等实数12,(0,)x x ∈+∞，满足()()1221210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式()20f x x ->的解集为( ) A.(2,0)(2,)-⋃+∞B.(2,0)(0,2)-⋃C.(,0)(0,4)-∞⋃D.(,2)(2,)-∞-⋃+∞8.函数()f x 对任意x ∈R 满足1(4)()f x f x +=及()()0f x f x --=，且在(2,0)-上有()2f x x =-，则(2021)f =( ) A.13-B.13C.-3D.39.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.()()()251180f f f -<< B.()()()801125f f f <<- C.()()()118025f f f <<- D.()()()258011f f f -<<10.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数:1,,()0,c x f x x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：,,(),c a x D x b x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中,a b ∈R ，且a b ≠）以下对()D x 的说法错误的是( )A.()D x 的定义域为RB.当a b >时，()D x 的值域为[,]b a ；当a b <时，()D x 的值域为[,]a bC.()D x 偶函数D.()D x 为在实数集的任何区间上都不具有单调性11.已知定义在R 上的偶函数() f x 满足(1)(3)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()31x f x =-，则(2021)f -=________;当[2,4]x ∈时，()f x =________.12.已知定义在R 上的奇函数()f x ,对任意x 都满足()()24x x f f +=-,且当[0,3]x ∈时,()()2log 1f x x =+,则()2019f =________________.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(1)f -=__________.14.已知函数()y f x =，()y g x =的定义域为R ，且()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数，若(2)2f =，则(2)g -=_________.15.设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足： ①(1,0)x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，,(1,1)x y ∈-.则()f x 是________函数（填“奇”或“偶”），且()f x 在定义域上是__________函数（填“增”或“减”）.答案以及解析1.答案：A 解析：(2)(),()f x f x f x +=-∴为周期函数，且4T =.又()f x 为奇函数，(0)0.(6)(2)(0)0f f f f ∴=∴==-=. 2.答案：B解析：本题考查函数的性质.由1()1xf x x-=+，得1(1)2(1)1(1)x x f x x x ----==+-，1(1)(1)1(1)2x x f x x x -+-+==+++，所以22(1)112x f x x x ---=-=-，显然不是奇函数；22(1)11x f x x x --+=+=是奇函数；22(1)12xf x x --+-=+显然不是奇函数；2(1)12f x x++=+，显然不是奇函数. 3.答案：A解析：∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()33f x f x -=--，∴由题意得()()()33f x f f x x -==--，∴()()()333f x f x f x +=+-=，∴()f x 的周期为3，∴(2020)(36731)(1)(1)f f f f =⨯+==--.又3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，221()1x f x x +=+，∴1(1)2f -=-，∴1(2020)2f =.4.答案：C解析：函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，∴函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，∴函数()y f x =为奇函数.函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，∴函数()y f x =在R 上单调递增，0.230.2310.20log 3b a c ∴=>>=>>=，()()()f b f a f c ∴>>，故选C. 5.答案：D 解析：x ∀∈R ,满足31,(2)()22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()()y f x x =∈R 是周期为2的函数.①当[2,1]x ∈--时,4[2,3],()(4)4x f x f x x +∈=+=+;②当(1,0]x ∈-时,[0,1),2[2,3)x x -∈-+∈,又函数()()y f x x =∈R 为偶函数,()()(2) 2f x f x f x x ∴=-=-+=-+.综合①②可知,当[2,0]x ∈-时,()3|1|f x x =-+.故选D.6.答案：B解析：依题意得()F x 的定义域为R ，且()()33()2()2()()F x x x f x x x f x F x -=-+-=-=，所以()F x 为偶函数，故选B. 7.答案：A解析：令210x x >>，则210x x ->，依题意可得()()1221x f x x f x -0>，即()()21210f x f x x x ->，令()()f x F x x=，则()F x 在(0,)+∞上是增函数， 易知()F x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递减， 当0x >时，()20f x x ->等价于()20f x x ->，即()(2)22f x f x >=，即()F x (2)F >，则2.x >当0x <时，()20f x x ->等价于()20f x x-<，即()(2)F x F <-，则2x -<<0.综上，不等式()20f x x ->的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞，故选A.8.答案：B 解析：由1(4)()f x f x +=得1(8)()(4)f x f x f x +==+，所以函数()f x 的周期为8因为()()0f x f x --=，所以函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称又在(2,0)-上有()2f x x =-，所以1111(2021)(82525)(5)(1)(1)2(1)3f f f f f =⨯+=====---. 故选B. 9.答案：D解析：因为()f x 满足()()4f x f x -=-,所以()()8f x f x -=,所以函数()f x 是以8为周期的周期函数,则()()()()()()251,80013,1f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足()()4f x f x -=-,得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]0,2是增函数,()f x 在R 上是奇函数,所以()f x 在区间[2,2]-上是增函数,所以()()()101f f f -<<,即()()()258011f f f -<<.故选D. 10.答案：B解析：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A 正确； ()D x 的函数值只有两个，所以()D x 的值域为{,}b a ，故B 错误；若x ∈Q ,则x -∈Q ,()()D x D x a =-=,若x ∈Q ,则c x -∈Q ,()()D x D x b =-=,所以()D x 为偶函数，故C 正确；由于任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有有理数，()D x 的函数值在a ,b 之间无限转换，所以()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D 正确. 11.答案：2;43x -解析：由(1)(3)f x f x +=-，得(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的周期函数.所以(2021)(2021)(45051)(1)312f f f f -==⨯+==-=.设[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈.因为()f x 是R 上的偶函数，所以当[2,0)x ∈-时，()()31x f x f x -=-=-.当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，所以(4)4()(4)3131x x f x f x ---=-=-=-. 12.答案：2解析：由()()24f x f x +=-可得()()6f x f x =-,又()f x 在R 上为奇函数,即()()()00,f x f x f -=-=,所以()()()()612f x f x f x f x =--=-+=+,则()f x 是周期为12的周期函数,所以()()()()220191681233log 312f f f =⨯+==+=. 13.答案：-3解析：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+， 所以()2(1)(1)1213f f -=-=-+⨯=-. 14.答案：2解析：因为()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数， 所以(2)(2)(2)(2)f g f g -+-=+①， (2)(2)(2)(2)f g g f ---=-②，由①②可得，(2)(2)f g =-，若(2)2f =，则(2)2g -=.故答案为2. 15.答案：奇；减解析：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，所以(0)0f =， 令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，又因为(1,1)x ∈-， 所以()f x 为奇函数.任取12,(1,0)x x ∈-，且12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<， 所以1210x x ->， 所以121201x x x x -<-，因为()()12121212111011x x x x x x x x +--+=>--，所以121211x xx x ->--， 所以1212101x x x x --<<-，由条件①得121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，所以()()120f x f x ->， 所以()f x 在(1,0)-上是减函数， 又()f x 为奇函数， 在(1,0)-上()0f x >， 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.。
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质
第二篇 专题六 第1讲一、选择题1．(2021·全国甲卷)设f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (1＋x )＝f (－x ).若f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，则f ⎝⎛⎭⎫53＝( C )A ．－53B ．－13C ．13D ．53【解析】 方法一：由题意得f (－x )＝－f (x )， 又f (1＋x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (2＋x )＝f (x )，又f ⎝⎛⎭⎫－13＝13， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13.故选C.方法二：由f (1＋x )＝f (－x )知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又f (x )为奇函数，所以f (x )是周期函数，且T ＝4⎪⎪⎪⎪0－12＝2， 则f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫53－2＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝13，故选C.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x <0，22x -1，x ≥0，则f (－3)＋f (log 2 3)等于( B )A ．112B ．132C ．152D ．10【解析】依题意f (－3)＋f (log 2 3)＝log 2 4＋22log 2 3－1＝2＋2log 2 92＝2＋92＝132.3．设函数f (x )＝4x 23|x |，则函数f (x )的图象大致为( A )【解析】观察函数解析式发现，x 是以平方、绝对值的形式出现的，所以f (x )为偶函数，排除B ；当x >0时，f (x )＝4x 23x ，当x →＋∞时，f (x )→0，排除C ；因为f (2)＝4×2232＝169<2，选项D 中f (2)>2，所以D 不符合题意．4．(2022·济宁模拟)函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且对于任意的x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立．如果f (m )＞m ，则实数m 的取值集合是( C )A ．{0}B ．{m |m ＞0}C ．{m |m ＜0}D ．R【解析】令g (x )＝f (x )－x ， 因为f (x )为奇函数，所以g (x )为R 上的奇函数，不妨设x 1＜x 2， 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1成立可得f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2，即f (x 1)－x 1＞f (x 2)－x 2，所以g (x 1)＞g (x 2)，即g (x )在R 上单调递减， 由f (m )＞m 得g (m )＞0＝g (0)， 所以m ＜0.故选C.5．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x －2，则( B ) A ．f ⎝⎛⎭⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎫cos π6 B ．f (sin 3)<f (cos 3) C ．f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3<f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3 D ．f (2 020)>f (2 019)【解析】由f (x ＋2)＝f (x )，得f (x )是周期函数且周期为2，根据f (x )在x ∈[－1，0]上的图象和f (x )是偶函数可得f (x )在[0，1]上是增函数．对于A ，0<sin π6<cos π6<1，∴f ⎝⎛⎭⎫sin π6<f ⎝⎛⎭⎫cos π6，A 错误； 对于B ，0<sin 3<－cos 3<1，∴f (sin 3)<f (－cos 3)＝f (cos 3)，B 正确； 对于C ，0<－cos4π3<－sin 4π3<1， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 4π3<f ⎝⎛⎭⎫sin 4π3，C 错误； 对于D ，f (2 020)＝f (0)<f (2 019)＝f (1)，D 错误．6．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值为( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.7．(2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|，则f (x )( D ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 【解析】f (x )＝ln |2x ＋1|－ln |2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln |－2x ＋1|－ln |－2x －1| ＝ln |2x －1|－ln |2x ＋1| ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，12时， f (x )＝ln (2x ＋1)－ln (1－2x )＝ln 2x ＋11－2x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1＋21－2x . ∵y ＝－1＋21－2x 在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递增， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递增．故排除B. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln (－2x －1)－ln (1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 故选D.8．对任意实数a ，b ，定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2.设f (x )＝3x +1⊙(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( C )A ．[－1，2]B ．(0，3]C ．[0，2]D ．[1，3]【解析】由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x +1，x ≤0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减．若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2.故选C.二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)≥2的x 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，＋∞__．【解析】∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x ，x >0，∴当x ≤0时，x －1≤－1，f (x )＋f (x －1)＝2x ＋1＋2(x －1)＋1＝4x ≥2，无解；当⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －1≤0，即0<x ≤1时， f (x )＋f (x －1)＝4x ＋2(x －1)＋1＝4x ＋2x －1≥2，得12≤x ≤1；当x －1>0，即x >1时，f (x )＋f (x －1)＝4x ＋4x -1≥2，得x >1. 综上，x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.10．(2021·山西太原模拟)若a ＞0且a ≠1，且函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1，在R 上单调递增，那么a 的取值范围是__(1，2]__．【解析】 a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2a －2，解得a ∈(1，2].11．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围是__(－．【解析】当x <0时，f (x )＝x 2＋2x 关于原点对称的函数是y ＝－x 2＋2x (x >0)， 由题意得，y ＝－x 2＋2x (x >0)与y ＝kx ＋2有交点， 即－x 2＋2x ＝kx ＋2(x >0)有解，∴k ＝－x －2x ＋2(x >0)有解，又－x －2x ＋2≤－22＋2，当且仅当x ＝2时等号成立，∴k ≤2－2 2.12．(2020·全国Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是__②③__． 【解析】∵f (x )＝sin x ＋1sin x的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }， f (－x )＝sin (－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f (x )<0，故④错误． 三、解答题13．(2020·江苏省南京市高三联考)已知f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (x －1).已知m 满足不等式f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求实数m 的取值范围．【解析】当x ＜0时，f (x )＝x (x －1)，可得f (x )在(－1，0)上单调递减；由f (x )是定义在区间(－1，1)上的奇函数，可得f (x )也是区间(－1，1)上的减函数． 因为f (1－m )＋f (1－m 2)<0， 所以f (1－m )<f (m 2－1)，可得如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m >m 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <2，0<m <2或－2<m <0，－2<m <1，解得：0<m <1.所以实数m 的取值范围为(0，1).。
精品-2019版高考数学二轮复习中档大题保分练6
中档大题保分练(06)(满分：46分 时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A 、B 两题中任选一题； 第4题可从A 、B 两题中任选一题. 共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，a 1＝1，且满足S 2n －2a n a n ＋1＝a n ＋1S n－2a n S n ．(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n ． 解：(1)S 2n －2a n a n ＋1＝a n ＋1S n －2a n S n ， ∴(S n ＋2a n )(S n －a n ＋1)＝0，∵a n ＞0，∴S n －a n ＋1＝0，即S n ＝a n ＋1； 当n ＝1时，a 2＝1，当n ≥2时，S n －1＝a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝2a n ，a 1＝1，a 2＝1，不满足上式，所以数列{a n }是从第二项起的等比数列，其公比为2．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，＝，2n －2，(2)当n ＝1时，T 1＝1，当n ≥2时，T n ＝1＋2×20＋3×21＋…＋n ×2n －2，2T n ＝1×2＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，∴－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －2－n ×2n －1＝1－2n －11－2－n 2n －1，∴T n ＝(n －1)2n －1＋1．1．(B)(12分)(2018·广东六校联考)在△ABC 中，B ＝π3，BC ＝2．(1)若AC ＝3，求AB 的长；(2)若点D 在边AB 上，AD ＝DC ，DE ⊥AC ，E 为垂足，ED ＝62，求角A 的值． 解：(1)设AB ＝x ，则由余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即32＝x 2＋22－2x ·2cos π3，解得x ＝6＋1，所以AB ＝6＋1． (2)因为ED ＝62， 所以AD ＝DC ＝ED sin A ＝62sin A ．在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝CDsin B．因为∠BDC ＝2∠A ，所以2sin 2A ＝62sin Asinπ3．所以cos A ＝22，所以∠A ＝π4． 2．(12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 中点．(1)求证：AD ⊥面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM 的体积． (1)证明：∵PA ＝PD ，N 为AD 的中点，∴PN ⊥AD ， 又∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BN ⊥AD ． 又∵PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB ．(2)解：∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝3， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥NB ， ∴S △PNB ＝12×3×3＝32．∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB ，又PM ＝2MC ， ∴V P NBM ＝V M PNB ＝23V C PNB ＝23×13×32×2＝23．3．(12分)某地十万余考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，…，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示：(1)用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩；(2)现从及格(60分及以上)的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生(其中女生有34名)，已知成绩“优异”(超过90分)的女生有1名，能否有95%的把握认为成绩优异与性别有关？解：(1)根据题意，计算平均数为x －＝(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)×10＝67． (2)[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]四组学生的频率之比为： 0．3∶0.25∶0.1∶0.05＝6∶5∶2∶1，按分层抽样应该从这四组中分别抽取35,25,10,5人， 依题意，可以得到下列2×2列联表：K 2＝＋＋＋＋＝36×34×5×65≈1.76＜3.841，对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关． 4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－22．(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，M 是圆C 上不同于A ，B 两点的动点，求△MAB 面积的最大值．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4，直线l 的方程可化为ρsin θ－ρcos θ＝2－1， 即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2－1＝0． (2)圆心C 到l 的距离为d ＝|1－0＋2－1|2＝1，所以|AB |＝24－1＝23，又因为圆C 上的点到直线 的距离的最大值为r ＋d ＝2＋1＝3， 所以(S △MAB )max ＝12×|AB |×3＝12×23×3＝33．即△MAB 面积的最大值为33． 4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 2＝1，证明： (1)4a 2＋b 2≥9a 2b 2； (2)(a 3＋b 3)2＜1． 证明：(1)∵a 2＋b 2＝1，∴4a 2＋b 2＝(4a 2＋b 2)(a 2＋b 2)＝4a 4＋b 4＋5a 2b 2≥4a 2b 2＋5a 2b 2＝9a 2b 2，，当且仅当b 2＝2a 2时，取得等号．(2)因为a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 2＝1，所以a ，b ∈(0,1)，所以a 3＜a 2，b 3＜b 2，a 3＋b 3＜a 2＋b 2， 所以(a 3＋b 3)2＜(a 2＋b 2)2＝1．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中档题专练(六)
1.在平面直角坐标系xOy中,设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将
射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π
2
后与单位圆交于点Q(x2,y2),记f(α)=y1+y2.
(1)求函数f(α)的值域;
(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=√2,且a=√2,c=1,求b.
2.(南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距
离d的关系,得到关系式m=k×S
S2
(k为常数,k>0),如图,某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B,且商场B的面积与商场A的面积之比为λ(0<λ<1).记“每年居民到商场A购物的次数”与“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2,称满足m1<m2的区域为商场B相对于A的“更强吸引区域”.
(1)已知P与A相距15km,且∠PAB=60°,当λ=1
2
时,居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内?请说明理由;
(2)若要使与商场B相距2km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”,求λ的取值范围.
3.(江苏南通模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:S2
S2+S2
S2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,
点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2√2.
(1)①求椭圆C的标准方程;
②若∠F1QF2=π
3
,求QF1·QF2的值.
(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.
答案精解精析
1.解析 (1)由题意得y 1=sinα,y 2=sin (S +π
2)=cosα, 所以f(α)=sinα+cosα=√2sin (S +π
4), 因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,
3π4
),
故f(α)的值域为(1,√2].
(2)因为f(C)=√2sin (π4+C )=√2,且易知C∈(0,π2),所以C=π
4, 在△ABC 中,由余弦定理得c 2
=a 2
+b 2
-2abcosC, 即1=2+b 2
-2√2×√2
2b,解得b=1.
2.解析 设商场A 、B 的面积分别为S 1km 2
、S 2km 2
,点P 到A 、B 的距离分别为d 1km 、d 2km,
则S 2=λS 1(0<λ<1),m 1=k S 1S 1
2,m 2=k S
2
S 2
2,k 为常数,k>0.
(1)在△PAB 中,AB=10,PA=15,∠PAB=60°,
由余弦定理,得S 22=PB 2
=AB 2
+PA 2
-2AB·PAcos60°=102
+152
-2×10×15×1
2=175.
又S 12=PA 2
=225,
则m 1-m 2=k
S 1S 12
-k S 2S 22=k S 1S 12-k SS 1S 22=kS 1(1S 12-S
S 2
2), 将λ=12
,S 12=225,S 22
=175代入,得m 1-m 2=kS 1(
1
225
-
1350
).
因为kS 1>0,所以m 1>m 2,即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内.
(2)以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(10,0),设P(x,y), 由m 1<m 2得k
S 1S 1
2<k S 2
S 22,将S 2=λS 1代入,得S 22<λS 12
.
代入坐标,得(x-10)2
+y 2
<λ(x 2
+y 2
), 化简得(1-λ)x 2
+(1-λ)y 2
-20x+100<0,
配方得(S -10
1-S )2
+y 2
<(10√S
1-S )2
,所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是圆心为C (10
1-S ,0),半径为r 1=10√S
1-S km 的圆的内部,与商场B 相距2km 以内的区域(含边界)是以B(10,0)为圆心,r 2=2km 为半径的圆的内部及圆周.
由题设知圆B 内含于圆C,即BC<|r 1-r 2|.
因为0<λ<1,所以10
1-S -10<10√S
1-S -2,整理得4λ-5√S +1<0,
解得1
16<λ<1.
所以,所求λ的取值范围是(1
16,1).
3.解析 (1)①由条件可知
9
S
2+
1
S 2
=1,c=2√2,
又a 2
=b 2
+c 2
,所以a 2
=12,b 2
=4, 所以椭圆C 的标准方程为S 212
+
S 24
=1.
②当∠F 1QF 2=π
3时,
{
SS 1+Q S 2=2a =4√3,SS 1
2+Q S 22-Q S 1·Q S 2
=(2c)2
=32,
所以QF 1·QF 2=16
3.
(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{S 212+S 2
4=1,S =S +S ,
得4x 2+6kx+3k 2
-12=0,
则x 1+x 2=-
3S 2
,x 1x 2=
3S 2-124
,y 1y 2=
S 2-124
.
因为以AB 为直径的圆经过坐标原点,则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=k 2
-6=0, 解得k=±√6,此时Δ=120>0,满足条件, 因此k=±√6.。