【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义
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【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义
（学生版）
【重难点知识点网络】：
1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ
θ
cos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3 和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
.ααααcos sin 21)cos (sin 2
±=±
ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ=
). 3 二倍角公式及降幂公式
sin 22sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan α
αα
=
-.
221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+=
=
4 三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+，(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||
T π
ω=
； 函数tan()y x ωϕ=+，,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||
T πω=
.
三角函数的图像：
【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值
例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=（ ）
A ．
2
B
． C ．
12
D ．12
-
（2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=（）
A ．
1
2
B ．12
-
C
D ．
【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15
=（ ）
A ．
4
B ．
4
C ．
24
+ D ．
4
（2）．已知()2tan 5αβ+=
，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
1318
B ．
13
22
C ．
322
D ．
518
例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ） A ．45
-
B ．
35
C ．
35
D ．
45
【变式训练2-1】、
（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）已知(0,),(,0)2
2
π
π
αβ∈∈-
，
1cos(),cos()4342ππβα+=-=
，则
cos()2βα+=（ ）
A ．
3
B ．3
-
C ．
9
D ．9
-
二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用
例3．（2020·河南省安阳市高三一模（理）已知cos(2019)3
πα+=-
，则sin(2)2
πα-=（ ）
A ．
79
B ．
59
C ．59
-
D ．79
-
【变式训练3-1】、
（2020·安徽省淮北市高三一模（理）已知锐角α满足sin 2πα⎛
⎫
+= ⎪
⎝
⎭，则tan2α=（ ）
A ．
B ．-
C ． D
【变式训练3-2】、（2020·广西师大附属外国语学校高三一模（理））已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
且sin α⋅ tan 0α< ）
A ．15
B ．15
-
C ．3
D ．3-
三、 辅助角公式的应用
例4．（2020届湖北省高三模拟）函数()()2cos 22f x x x ππ⎛
⎫
=-
++ ⎪⎝
⎭
的单调增区间为（ ）
A ．63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，，
B ．36k k k Z ，，ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
C ．51212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，，
D ．51212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，，
【变式训练4-1】、
（2020·福建省厦门市高三质检（理）已知函数1
()sin (cos sin )2
f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；
【变式训练4-2】、已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫
=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且()01f =-，13f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的解析式；
（2）已知()2
23g x x x m =-+-，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成
立，求m 的取值范围.
四、 五点法作图
例5．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知函数()sin 22f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4
x k k Z π
π=-
∈ B ．+
,4
x k k Z π
π=∈
C ．1
,2
x k k Z π=∈ D ．1+,24
x k k Z π
π=
∈