【人教A版】高中数学重点难点突破:简单的三角恒等变换 同步讲义
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【人教A 版】高中数学重点难点突破:简单的三角恒等变换 同步讲义
(学生版)
【重难点知识点网络】:
1 同角三角函数的基本关系式 :22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ
θ
cos sin , 2 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
3 和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
.ααααcos sin 21)cos (sin 2
±=±
ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
ϕ=
). 3 二倍角公式及降幂公式
sin 22sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan α
αα
=
-.
221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+=
=
4 三角函数的周期公式
函数sin()y x ωϕ=+,(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0)的周期2||
T π
ω=
; 函数tan()y x ωϕ=+,,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0)的周期||
T πω=
.
三角函数的图像:
【重难点题型突破】: 一、和差公式的化简及求值
例1.(1)(2019·山东高一期末)10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=( )
A .
2
B
. C .
12
D .12
-
(2).(2018·广东高一期末)sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=()
A .
1
2
B .12
-
C
D .
【变式训练1-1】、(1).(2019·兰州市第五中学高一期末)sin15
=( )
A .
4
B .
4
C .
24
+ D .
4
(2).已知()2tan 5αβ+=
,1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,那么tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭( )
A .
1318
B .
13
22
C .
322
D .
518
例2.(2020届甘肃省高三第一次高考诊断)已知tan 3α=,则sin 22πα⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
( ) A .45
-
B .
35
C .
35
D .
45
【变式训练2-1】、
(2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试)已知(0,),(,0)2
2
π
π
αβ∈∈-
,
1cos(),cos()4342ππβα+=-=
,则
cos()2βα+=( )
A .
3
B .3
-
C .
9
D .9
-
二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用
例3.(2020·河南省安阳市高三一模(理)已知cos(2019)3
πα+=-
,则sin(2)2
πα-=( )
A .
79
B .
59
C .59
-
D .79
-
【变式训练3-1】、
(2020·安徽省淮北市高三一模(理)已知锐角α满足sin 2πα⎛
⎫
+= ⎪
⎝
⎭,则tan2α=( )
A .
B .-
C . D
【变式训练3-2】、(2020·广西师大附属外国语学校高三一模(理))已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
,
且sin α⋅ tan 0α< )
A .15
B .15
-
C .3
D .3-
三、 辅助角公式的应用
例4.(2020届湖北省高三模拟)函数()()2cos 22f x x x ππ⎛
⎫
=-
++ ⎪⎝
⎭
的单调增区间为( )
A .63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
,,
B .36k k k Z ,,ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
C .51212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
,,
D .51212k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
,,
【变式训练4-1】、
(2020·福建省厦门市高三质检(理)已知函数1
()sin (cos sin )2
f x x x x =-+. (1)求()f x 的单调递减区间;
【变式训练4-2】、已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫
=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,且()01f =-,13f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
. (1)求()f x 的解析式;
(2)已知()2
23g x x x m =-+-,若对任意的[]10,x π∈,总存在[]22,x m ∈-,使得()()12f x g x =成
立,求m 的取值范围.
四、 五点法作图
例5.(2020届四川省成都市高三第二次诊断)已知函数()sin 22f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
,则函数()f x 的图象的对称轴方程为( ) A .,4
x k k Z π
π=-
∈ B .+
,4
x k k Z π
π=∈
C .1
,2
x k k Z π=∈ D .1+,24
x k k Z π
π=
∈