【人教A版】高中数学重点难点突破:简单的三角恒等变换 同步讲义

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【人教A 版】高中数学重点难点突破:简单的三角恒等变换 同步讲义

(学生版)

【重难点知识点网络】:

1 同角三角函数的基本关系式 :22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ

θ

cos sin , 2 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)

3 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=

.ααααcos sin 21)cos (sin 2

±=±

ϕ由点(,)a b 的象限决定,tan b

a

ϕ=

). 3 二倍角公式及降幂公式

sin 22sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

22tan tan 21tan α

αα

=

-.

221cos 21cos 2sin ,cos 22

αα

αα-+=

=

4 三角函数的周期公式

函数sin()y x ωϕ=+,(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0)的周期2||

T π

ω=

; 函数tan()y x ωϕ=+,,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,ϕ为常数,且A ≠0)的周期||

T πω=

.

三角函数的图像:

【重难点题型突破】: 一、和差公式的化简及求值

例1.(1)(2019·山东高一期末)10208020cos cos cos sin ︒-︒︒=( )

A .

2

B

. C .

12

D .12

-

(2).(2018·广东高一期末)sin 49sin19cos19sin 41︒︒+︒︒=()

A .

1

2

B .12

-

C

D .

【变式训练1-1】、(1).(2019·兰州市第五中学高一期末)sin15

=( )

A .

4

B .

4

C .

24

+ D .

4

(2).已知()2tan 5αβ+=

,1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,那么tan 4πα⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭( )

A .

1318

B .

13

22

C .

322

D .

518

例2.(2020届甘肃省高三第一次高考诊断)已知tan 3α=,则sin 22πα⎛

+

= ⎪⎝

( ) A .45

-

B .

35

C .

35

D .

45

【变式训练2-1】、

(2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试)已知(0,),(,0)2

2

π

π

αβ∈∈-

1cos(),cos()4342ππβα+=-=

,则

cos()2βα+=( )

A .

3

B .3

-

C .

9

D .9

-

二、 二倍角公式与半角公式的顺用与逆用

例3.(2020·河南省安阳市高三一模(理)已知cos(2019)3

πα+=-

,则sin(2)2

πα-=( )

A .

79

B .

59

C .59

-

D .79

-

【变式训练3-1】、

(2020·安徽省淮北市高三一模(理)已知锐角α满足sin 2πα⎛

+= ⎪

⎭,则tan2α=( )

A .

B .-

C . D

【变式训练3-2】、(2020·广西师大附属外国语学校高三一模(理))已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛

⎫ ⎪⎝⎭

且sin α⋅ tan 0α< )

A .15

B .15

-

C .3

D .3-

三、 辅助角公式的应用

例4.(2020届湖北省高三模拟)函数()()2cos 22f x x x ππ⎛

=-

++ ⎪⎝

的单调增区间为( )

A .63k k k Z ππππ⎡⎤

-

++∈⎢⎥⎣⎦

,,

B .36k k k Z ,,ππππ⎡⎤

-

++∈⎢⎥⎣⎦

C .51212k k k Z ππππ⎡⎤

-

++∈⎢⎥⎣⎦

,,

D .51212k k k Z ππππ⎡⎤

-

++∈⎢⎥⎣⎦

,,

【变式训练4-1】、

(2020·福建省厦门市高三质检(理)已知函数1

()sin (cos sin )2

f x x x x =-+. (1)求()f x 的单调递减区间;

【变式训练4-2】、已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫

=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

,且()01f =-,13f π⎛⎫

= ⎪⎝⎭

. (1)求()f x 的解析式;

(2)已知()2

23g x x x m =-+-,若对任意的[]10,x π∈,总存在[]22,x m ∈-,使得()()12f x g x =成

立,求m 的取值范围.

四、 五点法作图

例5.(2020届四川省成都市高三第二次诊断)已知函数()sin 22f x x π⎛

=+ ⎪⎝

,则函数()f x 的图象的对称轴方程为( ) A .,4

x k k Z π

π=-

∈ B .+

,4

x k k Z π

π=∈

C .1

,2

x k k Z π=∈ D .1+,24

x k k Z π

π=

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