两角和与差的三角函数

4
4
62
9、设 ∆ABC 中， tan A + tan B + 3 = 3 tan Atan B ， sin Acos A = 3 ，则此三角形是＿＿＿＿ 4
＿＿三角形。
10、已知 cosα − sinα = 3 2 ,17π < α < 7π ，求 sin 2α和tan( π + α ) 的值。
5 12
= sinα 1 + cosα
= 1 − cosα sin α
4. 万能公式：
sinα
=
2tan
α 2
1+
tan
2
α 2
cosα
=
1− 1+
tan 2 tan2
α 2 α 2
tanα
=
2tan α2
1−
tan
2
α 2
5. 积化和差： sinα cos β = 1 [sin(α + β ) + sin(α − β )]
例 4、已知 F(θ ) = cos2 θ + cos2(θ +α ) + cos2(θ + β ) ，问是否存在满足 0 ≤ α < β ≤ π 的 α、β ， 使得 F(θ )的值不随θ 的变化而变化？如果存在，求出α、β 的值；若不存在，说明理由.
例 5、（全国卷Ⅱ）已知 α 为第二象限的角， sinα = 3 ， β 为第一象限的角， cos β = 5 ．求
4．tanα＋cotα＝secα·cscα＝ 2 ．
sin 2α
6．cotα±cotβ＝ sin(β ± α) ．
sinα sin β
8． sin2 α = 1− cosα .
2
2
5．tanα－cotα＝－2ctg2α．
7．(sinα±cosα)2＝1±sin2 α .
9． co s 2 α
1 + cosα =
3
2
出α ,β ；若不存在，说明理由。
（）
A． (0, π ) 6
B． (π , π ) 64
C． (π , π ) 43
D． (π , π ) 32
7、 (cos π − sin π )(cos π + sin π ) = 12 12 12 12
（）
3 A． −
2
1 B． −
2
1
C．
2
3
D．
2
8、已知 sin( π + x ) sin( π − x ) = 1 ,x ∈( π ,π )，则 sin 4x = ＿＿＿＿。
一、知识回顾
两角和与差、二倍角公式
（一）主要公式：
1.两角和与差的三角函数 sin(α + β ) = sinα cos β + cosα sin β
sin(α − β ) = sinα cos β − cosα sin β
cos(α+β) =cosαcosβ −sinαsinβ cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
4
4
11、已知 sinα − sin β = 1 ,cosα + cos β = 3 ,0 < α ,β < π ，求 sin α + β 的值。
3
7
2
2
12、已知α ,β ∈( 0,π ),tan(α − β ) = 1 ,tan β = − 1 ，求 2α − β 的值。
2
7
13、是否存在锐角 α ,β ，使得①α + 2β = 2π ；② tan α tan β = 2 − 3 同时成立？若存在，求
12
C、
1
tan 22.5� − tan2 22.5�
1+ cos π
D、
6
2
2、命题 P： tan( A + B ) = 0 ，命题 Q： tan A + tan B = 0 ，则 P 是 Q 的 （
）
A、充要条件
B、充分不必要条件
C、必要不充分条件
D、既不充分也不必要条件
3、若 0 < β < α < π 且 cos(α + β ) = 4 ,sin(α − β ) = 5 ，那么 cos 2α 的值是（ ）
A、 7 25
B、 18 25
C、 − 7 25
D、 − 18 25
2、
1 sin10�
−
3 sin 80�
的值是
（
A、1
B、2
C、4
D、 1 4
3、已知 sinα = 3 ,α 是第二象限角，且 tan(α + β ) = 1，则 tan β 的值为 （ 5
A、－7
B、7
C、 − 3 4
D、 3 4
2
cosα sin β = 1 [sin (α + β ) − sin (α − β )]
2
cosα cos β = 1 [cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
sinα sin β = − 1 [cos(α + β ) − cos(α − β )]
2
6. 和差化积：
sin
x
+
sin
2.二倍角公式： sin 2α = 2sinα cosα
cos 2α
=
cos2 α
2
− sin
α
= 1−
2
2 sin
α
=
2
2 cos
α
−1
tan
2α
=
2 tanα
1− tan2 α
3. 半角公式
sin α = ± 1− cosα
2
2
cos α = ± 1+ cosα
2
2
tan
α 2
=
±
1− cosα 1+ cosα
2 22 2
例题分析
例 1、已知 0 < β < π < α < π ，且 cos(α − β ) = − 1 ， sin( α − β ) = 2 ，求 cos(α + β )的值.
2
29
2
3
例 2、计算： tan 20� + tan 40� + 3 tan 20� tan 40�.
例 3、若 0 ≤ α < β < γ < 2π 且 sinα + sin β + sinγ = 0 ， cosα + cos β + cosγ = 0 ，求 β −α 的值.
5
13
tan(2α − β ) 的值．
例 6、（福建卷）已知 − π < x < 0,sin x + cos x = 1 .
2
5
（I）求 sinx－cosx 的值；
3sin 2 x − 2 sin x cos x + cos2 x
（Ⅱ）求
2
22
2 的值.
tan x + cot x
作业
1、已知 sin(α − β )cosα − cos(α − β ) sinα = 3 ，那么 cos 2β 的值为 （ ） 5
2
5
13
A、 63 65
B、 − 63 65
C、 33 65
D、 56 或 − 13 65 65
4、已知α ,β 为锐角且 cosα = 1 ,cos β = 1 ，则α + β 的值等于＿＿＿＿。
10
5
5、若α ∈( π , 3 π ) ，则化简
11 +
1 + 1 cos 2α 为＿＿＿＿＿＿。
2
.
2
2
10. sin 3α = 3sinα − 4sin3α ,
cos 3α = 4 cos3 α − 3cosα
11.
1± tanα
π
1∓
tanα
= tan( 4
± α ).
基本训练：
1、下列各式中，值为 1 的是 2
（
）
A、 sin15� cos15� B、 cos2 π − sin2 π
12
xຫໍສະໝຸດ Baidu
+ 2
y
⎞ ⎟ ⎠
sin⎜⎛ ⎝
x
− 2
y
⎞ ⎟ ⎠
1．sinα±cosα＝ 2 sin(α ± π ) ．
4
2. tan α ± tan β = tan(α ± β )(1∓ tanα tan β ) = sin(α ± β ) cosα cos β
3．asinα＋bcosα＝ a2 +b2 sin（α＋φ）＝ a2 +b2 cos（α－φ1），．
4、已知 tan α = 3,则cosα =
（
2
A． 4 5
B．－ 4 5
C． 4 15
D．－ 3 5
） ） ）
5、若
sin
⎛ ⎜
π
−
α
⎞ ⎟
=
1 ，则 cos⎜⎛ 2π
+
2α
⎞ ⎟
=（
）
⎝6 ⎠ 3
⎝3
⎠
A． − 7 9
B． − 1 3
C． 1 3
D． 7 9
6、若 sin α + cosα = tan α (0 < α < π ),则α ∈ 2
y
=
2sin
⎛ ⎜ ⎝
x
+ 2
y
⎞ ⎟ ⎠
cos⎜⎛ ⎝
x
− 2
y
⎞ ⎟ ⎠
cos
x
+
cos
y
=
2
cos⎜⎛ ⎝
x
+ 2
y
⎞ ⎟ ⎠
cos⎜⎛ ⎝
x
− 2
y
⎞ ⎟ ⎠
（二）重要结论：
sin
x
−
sin
y
=
2 cos ⎜⎛ ⎝
x
+ 2
y
⎟⎞ sin ⎠
⎜⎛ ⎝
x
− 2
y
⎟⎞ ⎠
cos
x
−
cos
y
=
−2
sin⎜⎛ ⎝