独立重复试验与二项分布(教学设计)
高中数学_独立重复试验与二项分布教学设计学情分析教材分析课后反思
栏目：基于课程标准的《独立重复试验与二项分布》的教学设计内容【课题】独立重复试验与二项分布【教学内容】高中数学人教B版选修2-3 2.2.3【课程标准】理解独立重复试验的意义，能求简单的服从二项分布的随机变量的分布列【设计思想】1.通过分解课程标准和学情分析制定表现型教学目标2.基于教学目标制定可观察可测量的评价目标3.基于教学目标和评价目标开展探究性学习【教学目标】基于对课程标准的解读和目标分解，现制定教学目标如下：①通过对几个熟悉的试验的观察和分析，学生自己说出这些试验的共同点，归纳出n次独立重复试验的定义；并能识别二点分布、独立重复试验；②通过对罚球命中次数的分布列的自主探究，讨论总结归纳得出“n次独立重复试验事件A 恰好发生k次”的概率公式，同时建构出二项分布模型，并分析推证出二项分布与二项展开式之间的联系；③通过解决实际问题，能辨析二项分布模型，能熟练求出二项分布的随机变量的分布列.【评价目标】评价设计要基于教学目标，又要先于教学设计。
评价的目的是促进学生的学习，发现学生达成目标过程中的问题和差距，从而调整教学方向，解决学生反馈的问题，达到自我完善和自我纠正。
针对目标①的评价方案：（1）通过类比“抛掷硬币”“林书豪罚球”“产品检验”三个试验，学生第一次自主探究完成表1（学生口答）（2）通过小组讨论，交流得出这三个试验的共同特点，归纳出n次独立重复试验的定义（小组讨论，师生完善）（3）设计评价样题1：判断下列试验是否是独立重复试验？（学生集体回答）针对目标②的评价方案：（1）设计《时代》榜首人物林书豪图片，简介林书豪，激起学生学习和生活的热情（2）设计5个问题串，学生通过第二次自主探究活动，通过自主填写表格、分析、类比、归纳、确认得到“n次独立重复试验事件A恰好发生k次”的概率公式以及二项分布的概率模型。
（自主探究、小组合作、交流讨论、师生共同完善）（3）设计评价样题2：判断下列随机变量X是否服从二项分布？（学生集体回答）针对目标③的评价方案：（1）设计两道比较容易的例题，检测基础知识掌握情况。
《2.2.3独立重复实验与二项分布》教案
2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅ 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
独立重复试验与二项分布精品教案
二项分布。
（2）在 10 次射击中，至少有 2 次击中目标的概率为
P( X 8) P( X 8) P( X 9) P( X 10)
= C180 ×0.88×（1－0.8）10－8
2
+ C190 ×0.89×（1－0.8）10－9
+
C10 10
×0.810×（1－0.8）10－10
2.2.3 独立重复试验与二项分布
【学情分析】：
教学对象是高二理科学生，已具有一定的归纳、抽象的能力 ，研究了两点分
布、超几何分布，初步掌握概率与统计的知识，学习了离散型随机变量的分布，
但比较畏惧有实际背景的数学应用问题，分析问题、解决问题的能力比较薄
弱 ；数学建模能力不足。
【教学目标】：
1、 知识与技能
（4）要保证击中目标概率大于 0.99，至少应射击多少次？（结果保 2.计算借助计算器；
留两个有效数字）
3.计算结果的解释；
解：设 X 为击中目标的次数，则 XB(10,0.8). (1) 在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为
4.第（3）、（4）问有 助学生更深刻理解
P( X 8) C180 ×0.88×（1－0.8）10－8≈0.30
2 定义：在 n 次独立重复试验中，事件 A 发生的次数为 X，在每次
试验中事件 A 发生的概率为 P，那么在在 n 次独立重复试验中事件 A
恰好发生 k 次的概率是
P(X
K=0,1,2,3,……n
k)
C
k n
P
k
(1
P )nk
此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n,p)。并称P为成功概率。 注意：n,p,k 分别表示什么意义？
独立重复试验和二项分布教学案
课题：独立重复试验与二项分布BGST 运用：1、课程标准：使学生正确理解独立重复试验与二项分布的意义，解决一些简单的实 际应用问题。
2、学习目标：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。
3、教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
4、教学难点：二项分布模型的构建。
5、考点解读：古典概型使用公式时，确定m 和n 是关键；几何概型要统一度量；会计算n 次独立重复试验中恰好发生k 次。
独立重复试验与二项分布一、复习引入（大约2分钟）：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P A B =3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =，称A 与B4. 离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布：如果离散型随机变量X 的分布列为 则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布。
二点分布二、概念形成（大约10分钟）实例1：将一枚均匀硬币随机掷10次，求正好出现5次正面的概率。
思考1、前一次结果是否影响后一次？也就是每次的结果是否相互独立？2、每次试验的结果有几个？结论1、各次试验结果不会受其他次试验结果影响；2、本小节涉及的每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及 ，并且事件A 发生的概率相同。
在相同条件下，重复的做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验。
实例2：姚明在某场比赛中得到4次罚球机会，假设每次投篮都互不影响。
如果姚明投篮命中的概率为p,求投中X次的概率。
A表示事件“第k次投中”分析：用k一般的，事件A在n次试验中发生k次，共有种情形，由试验的独立性知道A在k 次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是（在一次试验中事件A发生的概率是p）,那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）有两个活到65岁的概率；（3）有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率。
独立重复试验与二项分布教案
"独立重复试验与二项分布"教案【教学目标】知识与技能：在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
过程与方法：渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。
通过主动探究、相互交流，培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力，感受数学建模的过程中的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事的科学态度和契而不舍的钻研精神。
情感态度与价值观：培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神，让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。
【教学重点、难点】教学重点:独立重复试验、n次独立重复试验发生K次的概率公式的推导，二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
教学难点: n次独立重复试验发生K次的概率公式的推导，二项分布模型的构建。
【教学方法】探究式教学与多媒体辅助教学【教学过程】•复习引入前面我们学习了许多不同关系的事件，让我们一起复习一下：什么叫互斥事件？互斥事件有一个发生的概率如何计算？什么是对立事件？必有一个发生的两个互斥事件。
什么叫相互独立事件？相互独立事件是否可以同时发生？同时发生的概率怎样计算？相互独立事件在我们生活量存在，你们能举一些例子么？二、创设情景，激发求知欲1、投掷一枚一样的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。
2、*同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。
3、口袋装有5个白球、3个黑球，有放回地抽取5个球。
问题1、通过完成表格，请总结出上面这些试验有什么共同的特点？发以上试验都是相互独立试验，每次试验的条件都一样，都只有两种结果即事件A成功或失败，且每次试验事件A成功的概率一样，失败的概率也一样，就是在一样条件下重复做同样的实验，这就是我们今天要研究的试验，你能抽象出这种试验的概念么？板书定义:1一样条件,2相互独立,3 两种结果 4 P(A)一样，１n次独立重复试验:一般地,在一样条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
(完整word版)独立重复试验与二项分布(教案)
独立重复试验与二项分布（教案）学习目标：能说出n 次独立重复试验的模型及二项分布，能解决一些实际问题。
学习重点：独立重复试验与二项分布.学习难点：独立重复试验与二项分布的综合问题。
一:课前自主学习1． 独立重复试验一般的,在 条件下重复做的n 次试验称为 。
2． 随机变量的二项分布一般地，在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()P X k == 。
此时称随机变量X 服从 ，记作 ，并称p为 .（这一环节通过导学案了解学生的掌握情况，完全交给学生）设计这一环节的目的是：让学生自己探究新知识，挖掘教材，从而更好的了解概念，以及知识之间的联系.二：课堂合作探究1．独立重复试验的特点2．二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？3．二项分布的概率分布列（这一环节我是以提问的形式来了解学生的掌握情况.）设计这一环节的目的是：让学生对本节课所学的知识更深的理解，在和前面学过的加以区别和联系,从而达到完全掌握的目的。
三：典型例题分析题型１ n 次独立重复试验的意义例一 甲、乙两人一起玩抛掷骰子游戏,游戏规则如下：甲先抛掷，乙后抛掷,如此间隔抛掷，问：(1）甲共抛掷了n 次，可否看做n 次独立重复试验？乙共抛掷了m 次,可否看做m 次独立重复试验?（2）在游戏的全过程中共抛掷了m n +次，则这m n +次可否看做m n +次独立重复试验?方法归纳：变式训练１ 判断下列试验是不是独立重复试验？(1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面朝上。
（2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了十次，其中６次击中目标。
(3）口袋中装有５个白球、３个红球、２个黑球,依次从中抽取５个球，恰好抽到４个白球。
题型2 n 次独立重复试验的概率公式例二 某气象站天气预报的准确率为80％，求：（1)5次预报中恰有四次准确的概率；（2）5次预报中至少有四次准确的概率。
高二数学(选修-人教B版)-独立重复试验与二项分布-1教案
给出数学概念的规范定义和概率计算公式.
概念辨析.
应用数学概念和公式，解决问题.
通过生活实例，进一步理解 次独立重复试验的概念，熟悉概率计算公式，建立二项分布模型.
建立二项分布模型，规范数学语言.
0
1
···
···
···
···
由于表中的第二行恰好是二项式展开式
各项对应的值，所以称这样的离散型随机变量 服从参数为 , 的二项分布，记作 .
（五）模型应用，深化理解
例2. 100件产品中有3件不合格，每次取一件，有放回地取3次，求取得不合格品件数 的分布列.
解： 可能的取值为0,1,2,3.由于是有放回地每次取一件，连续取三次，所以这相当于做3次独立重复试验，一次抽取到不合格品的概率 .因此
3.一个公式——二项分布 中，
.
4.模型思想——随机现象无处不在，模型思想往往事半功倍；以及
5.探究精神——模型的建立和探索都需要进行不断地探究.
(1)通过简化问题——减少试验次数、先求发生固定次数（2次）的概率.
(2)设置问题链，层层铺垫，建立模型得到公式.
（3）在问题（3）中先给出错解，再通过枚举法和计数原理得出正解，让问题变得更加清晰；
,
,
,
.
分布列为
0
1
2
3
0.912673
0.084681
0.002619
0.000027
例3. 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑，每个坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑至少有一粒发芽，则这个坑不需要补种；否则，则需要补种.
独立重复试验及二项分布精品教案
《独立重复试验及二项分布》教学设计一、教材及学情分析 本节内容是新课标教材选修2—3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三小节．通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：古典概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及两点分布、超几何分布和分布列的有关内容。
独立重复试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以独立重复试验为背景，二项分布就是来自于独立重复试验的一个概率模型。
二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n相当大时可以近似地看成二项分布。
在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似地服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。
可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建，是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。
会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。
因此本节课宜采用以学生探究、发现为主的教学模式，让学生从具体试验得到独立重复试验，再得出二项分布，体会知识的过渡的思维，让学生有充分自由表达、质疑、探究问题的机会，在活动中学习、创新、提高。
二、三维目标1、知识与技能(1)理解n次独立重复试验的模型。
(2)掌握二项分布，并能利用它解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法通过具体例子的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神。
三、教学重点、难点重点：n次独立重复试验和二项分布的概念。
难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算四、教学过程（一）独立重复试验概念的引入教师：同学们喜欢什么奥运会项目？（各种不同的答案）教师：我最喜欢射击。
假设我击中目标的概率是0.8，那么我射击一次，用x 表示击中的次数，请写出x的分布列。
独立重复试验与二项分布教案
独立重复试验与二项分布教案教案：独立重复试验与二项分布一、教学目标1.了解独立重复试验的概念及其特点；2.掌握二项分布的概念、性质及其在实际问题中的应用；3.能够根据实际问题，正确使用二项分布进行计算和分析。
二、教学重点和难点1.独立重复试验的概念和特点；2.二项分布的概念、性质和应用。
三、教学准备1.教学资料：PPT、教科书、练习题；2.教学工具：计算器、白板、黑板笔。
四、教学过程Step 1：引入和导入（10分钟）教师介绍独立重复试验的概念，要求学生举例说明独立重复试验的特点，并引导学生思考实际生活中的独立重复试验的例子。
Step 2：讲解独立重复试验的概念和特点（20分钟）教师使用PPT讲解独立重复试验的概念和特点，包括试验的定义、试验的结果、试验的性质等。
并通过实例让学生理解和掌握相关概念。
Step 3：讲解二项分布的概念和性质（30分钟）教师使用PPT讲解二项分布的概念和性质，包括二项分布的定义、二项分布的概率函数、二项分布的期望和方差等，并通过实例让学生进行计算和分析。
Step 4：练习与讲评（40分钟）教师布置练习题，让学生进行练习和计算，然后进行讲评，解答学生的问题和疑惑。
Step 5：实际问题应用（10分钟）教师提供一些实际问题，让学生根据所学知识进行分析和计算，提醒学生要注意实际问题的背景和条件。
Step 6：小结与作业布置（10分钟）教师对本节课的重点内容进行小结，并布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学反思通过本节课的教学，学生可以了解独立重复试验的概念和特点，掌握二项分布的概念、性质及其在实际问题中的应用。
教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用，通过实例的讲解和训练，提高学生的分析和计算能力。
同时要注重与学生的互动，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与课堂活动，提高课堂效果。
教学设计6: 2.2.3 独立重复试验与二项分布
2.2.3 独立重复试验与二项分布三维目标1.知识与技能(1)理解n项独立重复试验的模型．(2)掌握二项分布，并能利用它解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体例子的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神．重点、难点重点：n次独立重复试验和二项分布的概念．难点：二项分布的应用．教学时引导学生从n次重复掷硬币的试验中，不断观察、分析、总结出n次独立重复试验，掌握独立重复试验必须具有哪些条件，进一步以n次独立重复试验为背景引入二项分布，从而突出重点．通过例题与练习让学生理解二项分布的应用，进而化解难点．教学建议独立重复试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以独立重复试验为背景，二项分布就是来自于独立重复试验的一个概率模型，因此本节课宜采用以学生探究、发现为主的教学模式，让学生从具体试验得到独立重复试验，再得出二项分布，体会知识的过渡的思维，让学生有充分自由表达、质疑、探究问题的机会，在活动中学习、创新、提高．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，掌握n次独立重复试验与二项分布的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握独立重复试验的概率计算．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握二项分布及其应用．⇒通过例3及互动探究，使学生掌握二项分布的综合应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1.理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.知识1独立重复试验【问题导思】要研究掷硬币的规律，需做大量的试验，每次试验的前提是什么？【提示】条件相同．在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．知识2二项分布【问题导思】在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．试用A i表示B1，试求P(B1)．用B k表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．由以上问题的结果你能得出什么结论？【提示】B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)．因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.结论：P(B k)＝C k30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.探究一独立重复试验的概率解决独立重复试验的概率求解问题时，首先要判断涉及的试验是否为独立重复试验，在确定是独立重复试验后再利用公式P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(其中k＝0,1,2，…，n)来计算．【典型例题1】某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(每个员工上网与否相互独立)．求：(1)至少3个人同时上网的概率；(2)至少几个人同时上网的概率会小于0.3?思路分析：根据题目可获取以下主要信息：(1)单位上网员工的人数；(2)员工上网的概率相同且相互独立．解答本题可先确定6个员工上网开展工作是相互独立试验，再根据题目的要求用n 次独立重复试验的概率公式求解．解：该单位6个员工每个人上网的概率都为0.5，则其对立事件每个人不上网的概率也是0.5.在6个人需上网的条件下，“r 个人同时上网”这个事件(记为A r )的概率为P (A r )＝C r 6×0.5r ×(1－0.5)6－r ＝164×C r 6(r ＝0，1，…，6)．(1)(方法一)所求概率为P (A 3∪A 4∪A 5∪A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164×(C 36＋C 46＋C 56＋C 66)＝164×(20＋15＋6＋1)＝2132. (方法二)所求概率为1－P (A 0∪A 1∪A 2)＝1－164×(C 06＋C 16＋C 26)＝1－164×(1＋6＋15)＝2132. (2)设“至少r 个人同时上网”的事件为B r ， P (B 6)＝P (A 6)＝164＜0.3，P (B 5)＝P (A 5∪A 6)＝P (A 5)＋P (A 6)＝164×(C 56＋C 66)＝764＜0.3， P (B 4)＝P (A 4∪A 5∪A 6)＝164×(C 46＋C 56＋C 66)＝1132＞0.3.所以至少5个人同时上网的概率小于0.3.探究二 二项分布的分布列 二项分布的解题步骤(1)判断随机变量X 是否服从二项分布．看两点：①是否为n 次独立重复试验；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．(2)建立二项分布模型．(3)确定X 的取值并求出相应的概率． (4)写出分布列．【典型例题2】 为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求该产品不能销售的概率；(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列．思路分析：要求随机变量的分布列，首先根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后计算各取值对应的概率．解：(1)记“该产品不能销售”为事件A ，则A 表示“该产品能够销售”， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫1－16⎝⎛⎭⎫1－110＝14. (2)由题意知，X 的可能取值为－320，－200，－80,40,160，其概率分别为 P (X ＝－320)＝⎝⎛⎭⎫144＝1256，P (X ＝－200)＝C 14×⎝⎛⎭⎫143×34＝364， P (X ＝－80)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P (X ＝40)＝C 34×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P (X ＝160)＝⎝⎛⎭⎫344＝81256. 所以X 的分布列为X －320 －200 －80 40 160 P125636427128276481256探究三 综合应用二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它的应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程，因此，我们应熟练掌握二项分布．利用二项分布解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型．【典型例题3】 某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12，构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时，－1，当第n 次出现反面时. 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N ＋)． (1)求S 8＝2时的概率；(2)求S 2≠0，且S 8＝2时的概率．思路分析：弄清“S 8＝2”及“S 2≠0，且S 8＝2”对应的事件，再根据相应公式求解．解：(1)S 8＝2，需8次中有5次正面3次反面，设其概率为P 1，则P 1＝C 58⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫123＝ C 38⎝⎛⎭⎫128＝8×7×63×2×⎝⎛⎭⎫128＝732. (2)S 2≠0即前两次同时出现正面或同时出现反面．①当前两次同时出现正面时，S 2＝2，要使S 8＝2，需后6次中出现3次正面3次反面． 设其概率为P 2，则P 2＝12×12×C 36×⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫123＝⎝⎛⎭⎫128×6×5×43×2＝564. ②当前两次同时出现反面时，S 2＝－2，要使S 8＝2，需后6次中出现5次正面1次反面．设其概率为P 3，则P 3＝12×12×C 56×⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫128×6＝3128. 所以利用互斥事件的概率公式，当S 2≠0，且S 8＝2时的概率为P 2＋P 3＝564＋3128＝13128.探究四 易错辨析易错点：对独立重复试验中“随机变量X ＝k ”表示的意义理解错误【典型例题4】 一袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数X 是一个随机变量，求X ＝12的概率．(保留五位小数)错解1：由题意知这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，由二项分布知P (X ＝12)＝C 1012×⎝⎛⎭⎫3810×⎝⎛⎭⎫582≈0.001 42. 错解2：P (X ＝12)指前11次独立重复试验恰有9次发生且第12次必须发生的概率，由二项分布知P (X ＝12)＝C 911×⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×1≈0.003 15. 错因分析：错解1包含了第12次抽到白球的可能，这是不符合题意的；错解2中误认为第12次取到红球这一事件发生的概率为1，这也是不可能的．正解：记事件A 为“取到红球”，则A 为“取到白球”，P (A )＝38，P (A )＝58，X ＝12表示事件A 在前11次试验中恰有9次发生且在第12次试验中也发生，故P (X ＝12)＝C 911×⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×38＝C 911×⎝⎛⎭⎫3810×⎝⎛⎭⎫582≈0.001 18.当堂检测1．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则使P (X ＝k )最大的k 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．4 【答案】 B【解析】 P (X ＝k )＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫126－k ＝C k 6⎝⎛⎭⎫126，当k ＝3时，C k 6⎝⎛⎭⎫126最大． 2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A ．⎝⎛⎭⎫593×49 B ．C 35C 14C 45C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49【答案】 A【解析】 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49. 3．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________． 【答案】2027【解析】 实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为P ＝⎝⎛⎭⎫232＋23×13×23＋13×23×23＝2027. 4．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________． 【答案】625【解析】 由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，为负数的概率为12.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫121＝625. 5．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X ＝ξη，求随机变量X 的分布列．解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i(i ＝ 0,1,2,3,4)．(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281. (2)易知X 的所有可能取值为0,3,4. P (X ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230 ＝1681＋181＝1781， P (X ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231 ＝3281＋881＝4081， P (X ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. 所以随机变量X 的分布列是X 0 3 4 P178140812481。
教学设计2：2.2.3 独立重复实验与二项分布
2.2.3独立重复试验与二项分布一、教学目标知识与技能：理解n次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题.过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法.情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神.二、教学重点、难点重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题.难点：二项分布模型的构建.三、教学方法与手段教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.教学手段：多媒体辅助教学四、教学过程课堂小结，感悟收获作业布置：书面作业：P68 A组2，3 ；B组1，3阅读作业: 教材本节P67探究与发现；此部分以填空和问题的形式呈现，主要引导学生发现规律、得出结论，让学生经历由量变到质变、知识升华的过程，体验成功的喜悦，激活潜在的学习热情.作业布置突出本节课知识点,适量,达到复习巩固的目的,又兼顾学有余力的同学有自由发展的空间,培养其探索精神和创新能力.（1）知识小结:独立重复试验两个对立的结果每次事件A发生概率相同 n次试验事件A发生k次随机变量X事件A发生的次数二项分布X B(n,p)（2）能力总结:①分清事件类型；②转化复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件.（3）思想方法:①分类讨论、归纳与演绎的方法；②辩证思想.。
独立重复试验和二项分布教案
§ 2.2.3独立重复实验与二项分布知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
情感、态度与价值观：感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
学习重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 学习难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
教学过程预习案一、复习引入：1．相互独立事件： 。
若A 与B 是相互独立事件，则 。
2．相互独立事件同时发生的概率： 。
一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，12()n P A A A ⋅⋅⋅= .二、讲解新课：1.独立重复试验的定义：2.独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率()n P k = ．3.离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作 ，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．预习自测 1.1(5,),(3)3X B p X = 已知随机变量求 2.种植某种树苗，成活率为0.9，现在种植这种树苗5棵，则：全部成活的概率为 ；全部死亡的概率为 ；至少成活4棵的概率 .3.一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．4．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 5某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．课中案例1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．变式：某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？（提示：1lg4 4.82 3lg4）例4．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲获胜的概率．五、小结：六、课后作业：当堂检测1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．5．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率。
独立重复试验与二项分布教案
课题 独立重复试验与二项分布教学目标 知识与能力 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，会判断一个具体问题是否服从二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
过程与方法 启发引导、主动探究，从具体事例中归纳出数学概念，体现从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想方法。
情感,态度与价值观 培养学生学习数学的兴趣、锲而不舍的钻研精神；初步认识数学的应用价值、科学价值重点 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题难点 理解并会运用二项分布模型求概率 教师 王冰 教具 多媒体课件教 学 过 程一 复习回顾：引言:前面我们学习互斥事件，条件概率，相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，请同学们回顾概率公式概率公式：P （A+B)=P(A)+P(B)(A,B 为互斥事件）推广：如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅=++⋅+ P(B/A)=P(AB)/P(A)P(AB)=P(A)P(B)(A,B 为相互独立事件）推广：如果事件12,,,n A A A 相互独立，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅二 新课引入：1.吻合模型求概率会非常方便, 那么求概率还有什么模型呢？首先我们来分析下面的试验，它们有什么共同特点?课件（1）(由学生回答）独立重复试验的特征：（1）每次试验是在同样条件下进行的.（2）各次试验中的事件是相互独立的.（3）每次试验都只有两种结果，即某事件要么发生要么不发生.（4）每次试验，某事件发生的概率是相同的.3.给出n 次独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验4下面我们以独立重复试验为背景，探究新的概率模型：教科书56探究：投掷一枚图钉，连续掷3次，出现k 次针尖向上概率问题的讨论5定义：随机变量X 的二项分布：一般地,在n 次独立重复试验中,用X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的概率为P,则k n k k n p p C k X P --==)1()(，（k ＝0,1,2,…，n ）．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率。
基于数学建模核心素养下的《独立重复试验与二项分布》的教学设计
基于数学建模核心素养下的《独立重复试验
与二项分布》的教学设计
数学建模核心素养之独立重复试验与二项分布的教学设计是课堂
教学中的重中之重，其对学生的素养以及数学素养的建模具有至关重
要的作用。
独立重复试验与二项分布的教学设计，大致步骤是：第一步，背景概念的阐释。
先向学生讲解有关独立重复试验与二
项分布的一般背景概念，让学生可以理解相关术语，搞清楚独立重复
试验与二项分布各自的特性与意义，以及它们之间的关系。
第二步，典型实例的演示。
接下来，老师采用案例实践教学法，
给出一些典型实例，让学生去感受独立重复试验与二项分布实施的具
体过程，有针对性地教会他们如何应用独立重复试验与二项分布。
第三步，练习与评估。
最后，组织学生独立完成一些以上内容相
关的练习题，进行较为系统的学习评估，老师也应及时给出详细的解答，帮助学生检查自己的学习成果，及时消除疑惑。
综上所述，数学建模核心素养之独立重复试验与二项分布的教学
设计应采取背景概念阐释、案例实践教学以及实践练习评估这样一个
三步走的教学模式，使学生能够搞懂独立重复试验与二项分布的内涵，并学会应用它们进行数学建模的实践。
独立重复试验与二项分布优秀教学设计
答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为 ．
点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法
例1的第（1）、（2）问为课本的例4。
教学中注意：
1.为什么可以看成二项分布的模型；
2.计算借助计算器；
3.计算结果的解释；
4.第（3）、（4）问有助学生更深刻理解二项分布。
分解问题（2）
问题a 3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？
问题b它们的概率分别是多少？
问题c 3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？
引申推广：连续掷n次，恰有k次针尖向上的概率是
2定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是
特点：
⑴在同样条件下重复地进行的一种试验；
⑵各次试验之间相互独立，互相之间没有影响；
⑶每一次试验只有两种结果，即某事要么发生，要么不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的。
问题（2）：掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下的概率为1－0.6=0.4，则连续掷3次，恰有1次针尖向上的概率是多少？
∴甲打完5局才能取胜的概率为 ．
(2)事件 ＝“按比赛规则甲获胜”，则 ，
又因为事件 、 、 彼此互斥，
故 ．
答：按比赛规则甲获胜的概率为 ．
激发学生的参与意识、创新意识，培养探究问题的能力.
五、小结
本节课学习了n次独立重复试验。特点：两个对立的结果，每次事件A发生概率相同。n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是：
2、过程与方法
提高学生推理论证、抽象概括能力，学会求二项分布的方法，培养学生对数学概念的理解能力和应用能力。
独立重复试验与二项分布教学设计
教学设计课题：独立重复试验与二项分布 教学目标： 知识目标：在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观察、分析、类比、归纳的数学思想方法。
能力目标：培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
德育目标：培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。
让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。
情感目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。
重点难点：教学重点:独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
教学难点:二项分布模型的构建。
教 法：自主探究式教学手段：多媒体辅助教学。
学法指导:学是中心,学会是目的.本节课主要让学生体会观察、分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学习方法.交给学生思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体. 教学过程： (一).创设情景 激发求知典例分析（2010年全国Ⅰ卷18题）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II) 记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用.则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,P A P B P C =⨯==⨯⨯==()()P D P A B C =+ =()()P A P B C +=()()()P A P B P C +=0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为：4(0)(10.4)0.1296,P X ==-= 134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-= 4(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6EX =⨯=.设计意图:以一道高考题为切入点，便于调动学生思维的积极性，激发学生学习本节课的兴趣。
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2.2.3独立重复试验与二项分布（教学设计）教学目标知识与技能：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。
过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。
情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。
教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。
教学难点：二项分布模型的构建。
教学过程：一、复习回顾：1、条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)()P AB P B A P A =2、事件的相互独立性：事件A 与事件B 相互独立，则： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立二、创设情景，新课引入：三个臭皮匠顶个诸葛亮的故事已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.6,老二为0.6,老三为0.6,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三、师生互动，新课讲解：1、分析下面的试验，它们有什么共同特点？ （1）投掷一个骰子投掷5次;（2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;（3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）;（4）抛硬币实验。
在研究随机现象时，经常需要在相同的条件下重复做大量试验来发现规律。
例如掷硬币结果的规律，需要做大量的掷硬币试验。
显然，在n 次重复掷硬币的过程中，各次试验的结果都不会受其他试验结果的影响，即P(A 1A 2...A n )=P(A 1)P(A 2)...P(A n ). （1） 其中i A =),...,2,1(n i =是第i 次试验的结果。
2、 引入概念一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
1()10.40.40.40.9360.8P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=>在n 次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，即（1）式成立。
探究：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p ，则针尖向下的概率q=1-p 。
连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率为多少？连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验.用)3,2,1(=i A i 表示事件“第i 次掷得针尖向上”，用1B 表示事件“仅出现一次针尖向上”，则)()()(1121321321A A A A A A A A A B ⋃⋃=由于事件321321321,A A A A A A A A A 和彼此互斥，由概率加法公式得1123123123()()()()P B P A A A P A A A P A A A =++=p q p q p q p q 22223=++.因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是p q 23.思考：上面我们利用掷1次图钉，针尖向上的概率为p ，求出了连续掷3次图钉，仅出现1次针尖向上的概率.类似的，连续掷3次图钉，出现k （k=0,1,2,3）次针尖向上的概率是多少？你能发现其中的规律吗？用)3,2,1,0(=k B k 表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k 次针尖向上”。
类似于前面的讨论，可以得到33210)()(q A A A P B P ==;)()()()1(321321321A A A P A A A P A A A P B P ++==p q 23; 232132132123)()()()(qp A A A P A A A P A A A P B P =++=；33213)()(p A A A P B P ==.仔细观察上式可以发现3,2,1,0,)(33==-k q p C B P kk k k .一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则n k p p C k X P k n k k n ,...,2,1,0,)1()(=-==-此时称随机变量X 服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p 为成功概率。
3、例题选讲：例1（课本P57例4） 某射手每次射击击中目标的概率是0.8 ,求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率; （2）至少有8次击中目标的概率.（结果保留两个有效数字，可以用计算器）解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈.(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.变式训练1：某人参加一次考试，若五道题中解对四题则为及格，已知他的解题正确率为0.6，试求他能及格的概率.(结果保留四个有效数字) 解：X 为解对的题数,则 X ~B (5,0.6)4、二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系：（1）二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n由于kn k k n q p C -恰好是二项展开式11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．（2）两点分布是特殊的二项分布：ξ～B （1，p ） ξ 01 P1p -p（3）一个袋中放有M 个红球，(N M -)个白球，依次从袋中取n 个球，记下红球的个数ξ.1）如果是有放回地取，则(,)M B n Nξ~ 2）如果是不放回地取, 则ξ服从超几何分布.()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P k k m C ξ--===(其中min(,)m M n =()()()545455454333 1555 0.3370P X P X P X C C ≥==+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≈例2：某产品的次品率P =0.05,进行重复抽样检查,选取4个样品,求其中恰有两个次品的概率和其中至少有两个次品的概率.(结果保留四个有效数字) 略解：变式训练2：某所气象预报站预报准确率为80％.则它5次预报中恰有4次准确率约为多少?(保留两位有效数字)解：X 为预报准确的次数,则 X ~B (5,0.8)例3：实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜 出并停止比赛）．⑴试求甲打完5局才能取胜的概率． ⑵按比赛规则甲获胜的概率． 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． （1）甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率222141113()()22216P C =⨯⨯⨯=. （2）记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．事件D ＝“按比赛规则甲获胜” ①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜.∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负. ∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负.∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=．事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++， 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12．课堂练习：（课本P58练习NO ：1；2；3；） 四、课堂小结，巩固反思：()()544444554410.80.2 50.80.20.41P X C p p C -==-=⨯⨯=⨯⨯≈1、独立重复试验的概念：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则n k p p C k X P k n kk n ,...,2,1,0,)1()(=-==-此时称随机变量X 服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p 为成功概率。
2、二项分布与两点分布、超几何分布的区别与联系 五、课时必记： 二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n由于kn k k n q p C -恰好是二项展开式11100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．六、分层作业： A 组：1.任意抛掷三枚硬币,恰有2枚正面朝上的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选B.抛掷一枚硬币,正面朝上的概率为,则抛掷三枚硬币可以看作三次独立重复试验,故恰有2枚正面朝上的概率为P=×=.2.已知随机变量X 服从二项分布X ～B ,则P(X=5)等于 ( )A. B. C. D.【解析】选B.P(X=5)=×=3.设随机变量ξ～B(2,p),η～B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥1)= .【解析】由题意知P(ξ<1)=1-=,即(1-p)2=,得p=,所以P(η≥1)=1-P(η<1)=1-(1-p)3=1-=.答案:4.某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现连续射击4次,则击中目标次数X的分布列为.XP【解析】击中目标的次数X服从二项分布X～B(4,0.8),所以P(X=k)=(0.8)k(0.2)4-k(k=0,1,2,3,4),即X的分布列为X 0 1 2 3 4PB组：（必须严格按照答题规范作答）1、（课本P59习题2.2 A组NO：1）2、（课本P59习题2.2 A组NO：3）3、（课本P59习题2.2 B组NO：1）。