2021届高考数学新人教版一轮复习课件：第8章 解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题
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②策略：设曲线 C 上点 M(x0，y0)，用相关公式求 r，d；用 x0，y0 满足 的等量关系消元．
解题思路
规范解答 (1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点， 且 RQ⊥FP， ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线． ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上， ∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离， 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y2＝ 2x(x>0)．
规范解答
典例2 (2019·济南模拟)已知 Q 为圆 x2＋y2＝1 上一动点，Q 在 x 轴，
y 轴上的射影分别为点 A，B，动点 P 满足B→A＝A→P，记动点 P 的轨迹为曲线
C.
(1)求曲线 C 的方程；
(2)过点0，－35的直线与曲线 C 交于 M，N 两点，判断以 MN 为直径的 圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
第八章 平面解析几何
解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综 合问题
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常 以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题 型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在 第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通 常以压轴题的形式呈现．
热点题型 1 圆锥曲线中的定点问题
典例1 (2019·北京高考)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程．
(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以
由B→A＝A→P，得x0＝2x， y0＝－y，
代入 x20＋y20＝1，得x42＋y2＝1， 故曲线 C 的方程为x42＋y2＝1.
规范解答
(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在 y 轴上，设定 点为 H(0，m)，
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx－35，
由yx4＝2＋kyx2－＝531，，
y＝kx－1， 由x2＝－4y，
得 x2＋4kx－4＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.
规范解答
令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22. 设点 D(0，n)，则D→A＝－xy11，－1－n， D→B＝－xy22，－1－n，
规范解答
热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题
典例1
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F12，0，直线 l：x＝
－12，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 FP 与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程；
(2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得
的弦，当 M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
解题思路 (1)R 是线段 FP 的中点，且 RQ⊥FP→RQ 是线段 PF 的垂直 平分线→|PQ|＝|QF|→点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定 焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．
(2)①求|TS|的依据：a＝2 r2－d2，其中 a 为弦长，r 为圆的半径，d 为 圆心到弦所在直线的距离．
规范解答
(2)弦长|TS|为定值．理由如下： 取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d＝|x0|＝x0，圆的半径 r ＝|MA|＝ x0－12＋y20， 则|TS|＝2 r2－d2＝2 y20－2x0＋1， ∵点 M 在曲线 C 上， ∴x0＝y220，∴|TS|＝2 y20－y20＋1＝2，是定值．
∵H→M＝(x1，y1－m)，H→N＝(x2，y2－m)，
∴
→ HM
→ · HN
＝
x1x2
＋
y1y2
－
m(y1
＋
y2)
＋
m2
＝
100(m2－1)2k52(＋1＋254mk22)＋30m－55＝0，
规范解答
∵对任意的 k 恒成立，∴12050m(2m＋2－301m)＝－05，5＝0， 解得 m＝1，即定点为 H(0,1)， 当直线 l 的斜率不存在时，以 MN 为直径的圆也过定点(0,1)． 综上，以 MN 为直径的圆过定点(0,1)．
AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点． 解题思路 (1)根据抛物线 C 过点(2，－1)，列方程求 p，得抛物线 C
的方程，进而得出其准线方程．
(2)设直线 l 的方程，与抛物线 C 的方程联立，用根与系数的关系推出
关于 M，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n)，利用D→A·D→B＝
0 列方程式求 n 的值．
解题思路
规范解答 (1)由抛 物线 C： x2＝ － 2py 经过 点(2，－ 1)，得 22＝
－2p(－1)，解得 p＝2.
所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1.
(2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．
设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)．
得(1＋4k2)x2－254kx－6245＝0，
规范解答
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1＋x2＝5(12＋4k4k2)，x1x2＝－25(16＋4 4k2)，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－65＝－5(1＋6 4k2)，
y1y2＝kx1－35kx2－53＝k2x1x2－35k(x1＋x2)＋295＝295－(11＋004kk22)，
规范解答
D→A·D→B＝yx11yx22＋(n＋1)2 ＝－x4x211x－2 x422＋(n＋1)2 ＝x11x62＋(n＋1)2 ＝－4＋(n＋1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．
解题思路 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间 的关系，利用 Q 在圆上可得 x，y 的方程，即为所求．
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)设定点为 H，及直线 l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关
系，及H→M·H→N＝0，得出恒等式，求得定点的坐标．
解题思路
规范解答 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，则 x20＋y20＝1，
解题思路
规范解答 (1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点， 且 RQ⊥FP， ∴RQ 是线段 FP 的垂直平分线． ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上， ∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离， 故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y2＝ 2x(x>0)．
规范解答
典例2 (2019·济南模拟)已知 Q 为圆 x2＋y2＝1 上一动点，Q 在 x 轴，
y 轴上的射影分别为点 A，B，动点 P 满足B→A＝A→P，记动点 P 的轨迹为曲线
C.
(1)求曲线 C 的方程；
(2)过点0，－35的直线与曲线 C 交于 M，N 两点，判断以 MN 为直径的 圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
第八章 平面解析几何
解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综 合问题
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常 以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题 型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在 第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通 常以压轴题的形式呈现．
热点题型 1 圆锥曲线中的定点问题
典例1 (2019·北京高考)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)．
(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程．
(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以
由B→A＝A→P，得x0＝2x， y0＝－y，
代入 x20＋y20＝1，得x42＋y2＝1， 故曲线 C 的方程为x42＋y2＝1.
规范解答
(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在 y 轴上，设定 点为 H(0，m)，
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx－35，
由yx4＝2＋kyx2－＝531，，
y＝kx－1， 由x2＝－4y，
得 x2＋4kx－4＝0.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4. 直线 OM 的方程为 y＝yx11x.
规范解答
令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－xy11. 同理得点 B 的横坐标 xB＝－xy22. 设点 D(0，n)，则D→A＝－xy11，－1－n， D→B＝－xy22，－1－n，
规范解答
热点题型 2 圆锥曲线中的定值问题
典例1
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F12，0，直线 l：x＝
－12，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 FP 与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程；
(2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得
的弦，当 M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．
解题思路 (1)R 是线段 FP 的中点，且 RQ⊥FP→RQ 是线段 PF 的垂直 平分线→|PQ|＝|QF|→点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定 焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．
(2)①求|TS|的依据：a＝2 r2－d2，其中 a 为弦长，r 为圆的半径，d 为 圆心到弦所在直线的距离．
规范解答
(2)弦长|TS|为定值．理由如下： 取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d＝|x0|＝x0，圆的半径 r ＝|MA|＝ x0－12＋y20， 则|TS|＝2 r2－d2＝2 y20－2x0＋1， ∵点 M 在曲线 C 上， ∴x0＝y220，∴|TS|＝2 y20－y20＋1＝2，是定值．
∵H→M＝(x1，y1－m)，H→N＝(x2，y2－m)，
∴
→ HM
→ · HN
＝
x1x2
＋
y1y2
－
m(y1
＋
y2)
＋
m2
＝
100(m2－1)2k52(＋1＋254mk22)＋30m－55＝0，
规范解答
∵对任意的 k 恒成立，∴12050m(2m＋2－301m)＝－05，5＝0， 解得 m＝1，即定点为 H(0,1)， 当直线 l 的斜率不存在时，以 MN 为直径的圆也过定点(0,1)． 综上，以 MN 为直径的圆过定点(0,1)．
AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点． 解题思路 (1)根据抛物线 C 过点(2，－1)，列方程求 p，得抛物线 C
的方程，进而得出其准线方程．
(2)设直线 l 的方程，与抛物线 C 的方程联立，用根与系数的关系推出
关于 M，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n)，利用D→A·D→B＝
0 列方程式求 n 的值．
解题思路
规范解答 (1)由抛 物线 C： x2＝ － 2py 经过 点(2，－ 1)，得 22＝
－2p(－1)，解得 p＝2.
所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1.
(2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．
设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)．
得(1＋4k2)x2－254kx－6245＝0，
规范解答
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1＋x2＝5(12＋4k4k2)，x1x2＝－25(16＋4 4k2)，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－65＝－5(1＋6 4k2)，
y1y2＝kx1－35kx2－53＝k2x1x2－35k(x1＋x2)＋295＝295－(11＋004kk22)，
规范解答
D→A·D→B＝yx11yx22＋(n＋1)2 ＝－x4x211x－2 x422＋(n＋1)2 ＝x11x62＋(n＋1)2 ＝－4＋(n＋1)2. 令D→A·D→B＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得 n＝1 或 n＝－3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．
解题思路 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，利用所给条件建立两点坐标之间 的关系，利用 Q 在圆上可得 x，y 的方程，即为所求．
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)设定点为 H，及直线 l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关
系，及H→M·H→N＝0，得出恒等式，求得定点的坐标．
解题思路
规范解答 (1)设 Q(x0，y0)，P(x，y)，则 x20＋y20＝1，