运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础与应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.3 (a)4(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ 新的单纯形表为0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。
最大值 235*=z (b) (1) 图解法\\最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩则3P ，4P ，5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21=+x x 2621+x x21σσ>。
245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭02>σ，1533min ,24,522θ⎛⎫== ⎪⎝⎭新的单纯形表为0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，27 2x =，3152x =，40x =，50x =。
运筹学1至6章习题参考答案
第
1.1工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23
产品
资源
A
B
C
资源限量
材料(kg)
1.5
1.2
4
2500
设备(台时)
3
1.6
1.2
1400
利润(元/件)
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
0
-1/4
-1/8
0
-3/8
9
最优解：X=（3，0，0，10，0）；最优值Z＝9
1.11分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划：
(1)
【解】大M法。数学模型为
C(j)
10
-5
1
0
-M
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X5
-M
5
3
1
0
1
10
2
X4
0
-5
1
-10
1
0
15
M
C(j)-Z(j)
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
0
-18/11
0
1
13/22
-5/11
72/11
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、.构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、.为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α=0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度12345大米销售量实际值（千公斤）52025079393744533979。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F16=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。
2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。
二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。
答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。
答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。
解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。
具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。
第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。
2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。
二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。
答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。
运筹学基础和应用(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1.3(a)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 231,4321====x x x x 。
最大值 235*=z (b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x ，最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ，4P ，5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。
运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
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第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
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第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
0 0 2/5
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0.5 0 0
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
运筹学1至6章习题参考答案
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
运筹学基础及应用(第一二章习题解答)【精】
运筹学基础及应用 习题解答习题一 P46 1.1 (a)该问题有无穷多最优解，即满足210664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。
(b)用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.2(a) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A4最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。
(b) 约束方程组的系数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21224321A最优解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛=0,511,0,52。
1.3(a)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+8259432121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,1x ，最大值235=z(2)单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式⎩⎨⎧=++=+++++=825943 ..00510 max 4213214321x x x x x x t s x x x x z则43,P P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5839,58min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ02>σ，2328,1421min =⎪⎭⎫⎝⎛=θ0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 23 1,4321====x x x x 。
最大值 235*=z(b)(1) 图解法最优解即为⎩⎨⎧=+=+524262121x x x x 的解⎪⎭⎫⎝⎛=23,27x，最大值217=z(2) 单纯形法首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式1234523124125max 2000515.. 62245z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x则3P ，4P ，5P 组成一个基。
令021==x x得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表21σσ>。
运筹学习题答案(第一章)
c
x1
j
1
1 0
0 0
-2/14 10/35 -5/14d+2/14c 3/14d-10/14c
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第一章习题解答
当c/d在3/10到5/2之间时最优解为图中的A点；当 c/d大于5/2且c大于等于0时最优解为图中的B点；当c/d 小于3/10且d大于0时最优解为图中的C点；当c/d大于 5/2且c小于等于0时或当c/d小于3/10且d小于0时最优解 为图中的原点。
x1 0 0 0
x2 3 0 0
基可行解 x3 x4 x5 0 0 3.5 1.5 0 0 3 8 5
x6 0 0 0
Z 3 3 0
0.75
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0
0
0
2
2.25
2.25
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第一章习题解答
min Z 5 x 1 2 x 2 3 x 3 2 x 4 (2) x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 7 st 2 x 1 2 x 2 x 3 2 x 4 3 x j 0 , ( j 1, 4 )
该题是无穷多最优解。 最优解之一： x1 9 5 , x2 4 5 , x3 0, Z 6
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第一章习题解答
max Z 4 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x1 3 x 2 x 3 6 st x 2 x2 x4 4 1 x j 0（ j 1, , 4） ,
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案一、线性规划1. 求解下列线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.2x1 + x2 ≤ 8x1 + 2x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0答案：首先将约束条件化为标准形式，得到：max z = 3x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2s.t.2x1 + x2 + s1 = 8x1 + 2x2 + s2 = 6x1, x2, s1, s2 ≥ 0通过单纯形法求解，得到最优解为：x1 = 2, x2 = 2，最优值为8。
2. 求解下列线性规划问题的对偶问题：min z = 2x1 + 3x2s.t.x1 + 2x2 ≥ 42x1 + x2 ≥ 6x1, x2 ≥ 0答案：原问题的对偶问题为：max z' = 4y1 + 6y2s.t.y1 + 2y2 ≤ 22y1 + y2 ≤ 3y1, y2 ≥ 0通过单纯形法求解，得到最优解为：y1 = 1, y2 = 1，最优值为10。
二、非线性规划1. 求解下列非线性规划问题：min f(x) = x^2 + 2x + 3s.t.x ∈ [0, 4]答案：首先求导数，得到f'(x) = 2x + 2。
令导数等于0，得到x = -1。
由于x ∈ [0, 4]，所以只需考虑x = 0和x = 4。
计算f(0) = 3，f(4) = 31。
因此，最小值为3，对应的x = 0。
2. 求解下列非线性规划问题：max f(x) = x^3 - 3x^2 + 4s.t.x ∈ [0, 3]答案：首先求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 6x。
令导数等于0，得到x = 0或x = 2。
计算f(0) = 4，f(2) = 2，f(3) = 2。
因此，最大值为4，对应的x = 0。
三、整数规划1. 求解下列整数规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 8x1, x2 ∈ Z答案：通过分支定界法求解，得到最优解为：x1 = 2, x2 = 3，最优值为10。
运筹学课后习题答案
第一章线性规划及单纯形法1用X j (j=1.2…5)分别代表5中饲料的采购数，线性规戈肪莫型：min Z = 0.2x1+0.7x2 +0.4x3 +0.3X4 +0.8X5st 3为+2x2 +X3 +6% +18x5 > 700为+ 0.5x2 +0.2X3+2X4 +x5 > 300.5x1 +x^0.2x3+2x4> 0.8x5 > 100X j(j =1,234,5,6) >02.解：设X1X2X3X4X5X6x表示在第i个时期初开始工作的护士人数，Z表示所需的总人数，贝Umi nz=M +X2 +X3 + X4 +X5+X6st. x^i + X e >60X+x2 >70X2 +X3 >60X3 +& >50& +X5 >20X5 +X6 >30为(i =1,2.3.4.5.6)>03.解：设用i=1 , 2, 3分别表示商品A , B, C, j=1 , 2, 3分别代表前，中，后舱，Xij表示装于j舱的i种商品的数量，Z表示总运费收入则：max Z =1000(X11 +X12 +为3)+ 700(X21 +X22 +X23) +600区1 +心 +怡3)st. +為2 +为3 兰600X21 + X22 +X23 兰1000X31 +X32 +X33 兰80010X11 +5X21 +7X31 <40010X12 +5X22 +7X32 兰540010^3 +5X23 +7X33 兰15008x11 +6x21 +5x31 兰20008x12 +6x22 +5x32 兰30008为3 +6X23 +5X33 兰15008X11 +6X21 +5X31 兰0 158x12 十6x22 十5X328X13 +6X23 + 5X33 ^0 158X12+6X22 +5X328片1 +6X21 +5x31 兰0 18X13+6X23+5X33Xj 3 0(i =1,2.3 .j =1,2,3)5 . (1)(2)max z = X j + X2st. 6X1+10X2 <120N + X2 汐O5 <为 >1O3<X2 >8解：如图：由图可得：X =(10,6)T ; Z =16* T 即该问题具有唯一最优解x =(10,6)z =5% +6X22X] - X2 - 2-2X4 + 3X2 兰2X i, x^ 0XI无可行解⑷maxst.如图:由图知，该问题具有无界解。
运筹学习题答案(第一章)
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
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运筹学教程
第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
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第一章习题解答
l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 讨论 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
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运筹学课后习题答案
第一章 线性规划及单纯形法1．用X j （j=1.2…5）分别代表5中饲料的采购数，线性规划模型：12345123412341234min 0.20.70.40.30.8.3267000.50.2300.20.8100(1,2,3,4,5,6)0j z x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++≥+++≥+++≥=≥555 +18 +2 0.5+2 2.解：设123456x x x x x x x 表示在第i 个时期初开始工作的护士人数，z 表示所需的总人数，则123456161223344556min .607060502030(1,2.3.4.5.6)0i z x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x i =++++++≥+≥+≥+≥+≥+≥=≥ 3．解：设用i=1，2，3分别表示商品A ，B ，C ，j=1，2，3分别代表前，中，后舱，Xij 表示装于j 舱的i 种商品的数量，Z 表示总运费收入则：111213212223313233111213212223313233112131122232132333112131max 1000()700()600().6001000800105740010575400105715008652000z x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤++≤ 122232132333112131122232132333122232112131132333865300086515008650.158658650.158658650.18650(1,2.3.1,2,3)ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ++≤++≤++≤++++≤++++≤++≥== 5. （1）Z = 4（2）12121212max .6101207051038z x x st x x x x x x =++≤+≥≤≥≤≥ 解：如图：由图可得： **(10,6)16T x Z == ； 即该问题具有唯一最优解*(10,6)Tx =（3）无可行解(4)12121212max 56.22232,0z x x st x x x x x x =+-≥-+≤≥ 如图：由图知，该问题具有无界解。
运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及丨、V:用习题解答习题一 P461.1(a)2 = 3。
(b)用亂解法找+到满足所打约柬条仲的公：it•范W，所以该问题无可行解。
1.2(a)约束方程组的系数矩阵最优解A.=(o，i a o,7，o，o)r(b)约束方程组的系数矩阵 f I 2 3 4、4 = l2 2 I 2,最优解1 = (^,0，11，0^ V55 )"1.3(a)(1)图解法⑵单纯形法首先在各约朿条件上添加松弛变铽，将问题转化为标准形式max z = 10a-, +5a'2 +0x3 +0a4[3a-. +4 义2 + A3 = 9 si.<[5a-j + 2X2 + a'4 = 8则A，P4组成个猫《=令 A = ;c2 = 0得-站可行解a_ = (0.0.9,8)，山此列出初始单纯形表cr 2 >0， 0 - minj 2Ax2xi =~，a-3 =0, a 4最优解即为严+2X2=24的解x =卩，2V 最大值z : IA"i + X y =5I 2 2 /新的单纯形农为A', Xo X A14 14_5_ _25M ~T?q.qcO ，表明已找到问题垴优解.(b)(1)图解法17(2)单纯形法苘先在外约朿条件.h 添加松弛变M ，将问题转化为标准形式 max z = 2.v, + x 2 + Ox 3 + 0.v 4 + Oa 5 5a'2 + = 15 6.y, + 2x 2 + .v 4 = 240 00 --2 *^4o A :5、Q 0 一4(7,^2 <0,表明已找到问题最优解^ =1，X 2=- , A-32L估• 17Hi Z =——21.6(a)在约朿条件中添加松弛变量或剩余变量，且令k = jc 2 -a :； (a*2 > 0,.v ； > o)Xx = ~X->该问题转化为max z' = -3a, - x 2 + .v 2 - 2a 3 + 0.v 4 + (Xv 5 2x | + 3a -2 - 3a 2+ 4a 3 +a 4 =12攀 M I4a'| +x 2 -A*2 -2a*3 —^5 =8 3a*, -X 2 +X 2 — 3a*3 = 6A*,, A '2，X 2, x 3，A-4 , A 3 ^ 0-K 约朿系数矩陴为23 -34 I 0 4 丨-1-20-13 -丨丨一3 0 0在A 屮人为地添加两列单位向虽/>7，2 3 -3 4 1 0 0 0 4 丨-1 -2 t) -1 丨 0 3-1 I -3 0 0 0 1令 max z'= -3a -i - x 2 +x 2- 2.v 3 + Oa:., + 0.v 5 - Mx 6 - Mx 7 得初始单纯形表15最大a 4 = 0，x 5SS ^ Xi x 2x 4 x 5 x 6-2 0 0M -M4 10 -I 0 00 0 0-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0-I-5(b)在约朿条件中添加松弛变M 或剩余变M ，.R 令a:3 (jc 3>0,.x ；>0)该问题转化为max z • = 一3^ - 5.v 2 + x ?- x ? + 0,v 4 + Ox 5 x, + 2X 2 + x^- x^-x 4 =6 2.v, + x 2- 3jc 3 - 3^：3 + a*5 = 16 x 2+ 5 a*3 一 5a*3= 10 •v p A ：2，“x 4，A 5^0艽约柬系数矩阵为213-30-1 115-50 0v/ft A 屮人为地添加两列单位向觉p 7, 121-1-1010、2 13-30 100 115 -5 0 0 01、 /令 max z , = -3a*, 一 5,v 2 + .v 3 一 x 3 + 0x 4 + 0x s 一 Mx b - Mx 1衍初始单纯形表0 0 -M - M X. X, X,X, X, X, X, x n-A/ x 616-M x 7 10-3 + 2A/ 5 + 3M 1+6M -1-6M -M 0 0 0(a)解1:大\1法在上述线性规划问题中分别减去剩余变萤x 4，x 6,〜再加上人工变蛩15，17，'，得max z = 2x t - x2 + 2x3 + 0,v4 - Mx s + 0,v6 - Mx7 + 0a8- Mx^-3 + 7M -J 1 -2-5M 0 -M 0 0A', + X 2 + A ：3 - + JC 5 = 6 -2x l + jc 3 — a*6 + x 1 —2 2x z — j c 3 - a *8+ j c 9 =0a-,,.v 2,a*3,j:4,a:5,^6,x 7,x 8,a-9 >0，r,其中MS 个任意人的正数-据此可列出单纯形表22MMMjc, x 2x 4X5 X6 A-M x s 6 -M x 7一2 —Ma 、00 0 0[2]0 M 02-M 3A/-1 2 + A/ -M 1/2 -1/2 0 0-1/2 -1/2x s-M x,—Ix\ [1]1/2^ 5M 3 … ^… A/ I 1 3A/ 2-M0 ----- + — - M0 -M 0 ------------------ 一十 ---2 2 2 2 2 2-M jr 5 3 2 .v 3 2 -I x 2 I 3/2 -3/2 1/2 -1/2 -11-1/2 1/2 -1/2 1/20 0 0 1 1 03/40 0?>M +3 -5M -3 M-3M4Af+5 0 ■M22 2x, 3/4 A 3 7/2 7/40 00 1 0| 43/8 - 8 8-5/4 -M8山单纯形表计算结果可以ft 出，ct 4 >0且％<0(/ =丨，2，3),所以该线性规划问题有无界解 解2:两阶段法。
运筹学教材习题答案详解
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
1.1讨论下列问题：
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运筹学基础及应用 习题解答
习题一 P46 1.1 (a)
该问题有无穷多最优解，即满足2
1
0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。
(b)
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。
1.3 (a)
(1) 图解法
4
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+82594321
21x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,1x ，最大值235=z
(2)单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=8
25943 ..00510 max 421321
4321x x x x x x t s x x x x z
则43,P P 组成一个基。
令021==x x
得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。
5
839,58min =⎪⎭
⎫ ⎝⎛=θ
02>σ，23
28,1421min =⎪⎭⎫ ⎝
⎛=θ
0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2
3
1,4321
====x x x x 。
最大值 235*=z (b)
(1) 图解法
\\
最优解即为⎩⎨
⎧=+=+5
24262121x x x x 的解⎪⎭⎫
⎝⎛=23,27x ，最大值217=z
(2) 单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式
21=+x x 2621+x x
1234523124125
max 2000515.. 6224
5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
则3P ，4P ，5P 组成一个基。
令021==x x
得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表
21σσ>。
245min ,,461θ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
02>σ，15
33min ,24,5
22θ⎛⎫== ⎪⎝⎭
新的单纯形表为
0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，315
2
x =
，40x =，50x =。
最大值 *
17
2
z =
1.8
习题二 P76 2.2
(a)错误。
原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。
(b)错误。
线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解。
(c)错误。
(d)正确。
2.8 将该问题化为标准形式：
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=++-=++++++-=
5,104
26 ..002 max 521432154321 i x x x x x x x x t s x x x x x z i
用单纯形表求解 6=
由于0<j σ，所以已找到最优解()10,0,0,0,6*=X ，目标函数值12*=z (a) 令目标函数
112233max 2z x x x λλλ=+++（）（-1+）（1+）
(1)令230λλ==，将1λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：0-3-1≤λ，0- 1 -1≤λ，0-21≤-λ，从而11-≥λ (2)令031==λλ，将2λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：0 3-2≤λ， 从而32≤λ (3) 令021==λλ，将3λ反映到最终单纯形表中
表中解为最优的条件：01-3≤λ， 从而13≤λ (b) 令线性规划问题为
()⎪⎩⎪
⎨⎧=≥+≤+-+≤+++-=3,10426 ..2 max 5
214
321321 i x x x x x x t s x x x z i
λλ (1)先分析的变化
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆=∆-*111101101λλλb B b
使问题最优基不变的条件是010611≥⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++=∆+*
*
λλb b ，从而61-≥λ
(2)同理有0106
2≥⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
+λ，从而102-≥λ (c) 由于)10,0,0,0,6(=*
x 代入26231<-=+-x x ，所以将约束条件减去剩余变量后的方
程22631=-+-x x x 直接反映到最终单纯形表中
因此增加约束条件后，新的最优解为
110 3
x=，
38 3
x=，
522 3
x=，最优值为28 3。