高中数学《第一章计数原理复习参考题》249PPT课件
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高中数学选修第一章计数原理全章复习与小结教学课件人教版ppt课件
A33 6(种)
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色等,结果 又怎样呢？
涂色问题
例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个 部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分 栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的 栽种方法有______种.（以数字作答）
C42C
2 2
A22
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，
分配方案共有多少种？
C
61C
52C
3 3
+C
4 6
C
C 1 1
21
A22
+
C
62C
42C
2 2
A33
A33
多个分给少个时，采用先分组再分配的策 略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多 少种分法?
数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.
C
m n
组合数公式：
C
m n
nn 1n 2n m 1
m!
n!
m!n m !
其中： n, m N * , 并 且m n.
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺 序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什 么”.
(2)证明：310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色等,结果 又怎样呢？
涂色问题
例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个 部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分 栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的 栽种方法有______种.（以数字作答）
C42C
2 2
A22
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，
分配方案共有多少种？
C
61C
52C
3 3
+C
4 6
C
C 1 1
21
A22
+
C
62C
42C
2 2
A33
A33
多个分给少个时，采用先分组再分配的策 略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多 少种分法?
数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.
C
m n
组合数公式：
C
m n
nn 1n 2n m 1
m!
n!
m!n m !
其中： n, m N * , 并 且m n.
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺 序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什 么”.
(2)证明：310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
高中数学《第一章计数原理复习参考题》272PPT课件
思考：a2 _______.
小结
有限制排列
相邻问题---捆绑法 不相邻问题---插空法
二项式定理
区分二项式系 数和项的系数
求系数和
求某一项的系数
选修2-3第一章《计数原理》
计数原理复习课
安吉高级中学 韩志刚
1．排列的定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按
照一定的顺序排成
，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
一个排列(arrangement).
2．排列数、排列数公式：从 n 个不同元素中取出 m(m n) 个元素的所
——————
例 3.已知 x
1
n
的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
2 x
(1)求 n 的值；
(2)求展开式中所有二项式系数的和；
(3)求展开式中所有项的系数和．
变式
若 x2 1 x 29 a0 a1x 1 a2x 12 a3x 13 a11x 111
，则 a1 a2 a3 a11 的值为__________.
——————
—————— ——————
有限制的排列考虑 前一步的排法对后一步是 否造成影响
例 2. 7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男生 4 人， 女生 2 人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（答案用数 字回答） （1）若 4 名男生身高都不相等，按从高到底从左到右排队.
有
的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用
符号
A
m n
表示
.
A
m n
=_________________
利用 1,2,3,4 这四个数字，可以组成多少个没有重复数字 的三位数？
小结
有限制排列
相邻问题---捆绑法 不相邻问题---插空法
二项式定理
区分二项式系 数和项的系数
求系数和
求某一项的系数
选修2-3第一章《计数原理》
计数原理复习课
安吉高级中学 韩志刚
1．排列的定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按
照一定的顺序排成
，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
一个排列(arrangement).
2．排列数、排列数公式：从 n 个不同元素中取出 m(m n) 个元素的所
——————
例 3.已知 x
1
n
的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
2 x
(1)求 n 的值；
(2)求展开式中所有二项式系数的和；
(3)求展开式中所有项的系数和．
变式
若 x2 1 x 29 a0 a1x 1 a2x 12 a3x 13 a11x 111
，则 a1 a2 a3 a11 的值为__________.
——————
—————— ——————
有限制的排列考虑 前一步的排法对后一步是 否造成影响
例 2. 7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男生 4 人， 女生 2 人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（答案用数 字回答） （1）若 4 名男生身高都不相等，按从高到底从左到右排队.
有
的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用
符号
A
m n
表示
.
A
m n
=_________________
利用 1,2,3,4 这四个数字，可以组成多少个没有重复数字 的三位数？
高中数学第一章计数原理本章整合课件新人教A版选修2_3
知识建构
综合应用
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
真题放送
3(2017·全国Ⅱ高考)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,
每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种C.24种 D.36种
解析:先把
4
项工作分成
3
份有
C42C21C11 A22
种情况,再把
答案:960
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
专题三 赋值法在二项展开式中的应用 “赋值法”是给代数式(或方程或函数)表达式中的某些字母赋予 一定的特殊值,从而达到便于问题解决的目的.实际上赋值法中所 体现的是从一般到特殊的转化思想,特别是在二项式定理中的应用 尤为广泛.一般令x=-1,0,1等,代入等式两边,便可以求解,其中赋予x 何值是解题的关键.利用赋值法还可以分离展开式的系数和,从而 解决部分系数和的问题.
真题放送
5(2017·全国Ⅲ高考)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80 解析:(2x-y)5 的展开式的通项公式 Tr+1= C5������ (2������)5 − ������(−������)������. 当 r=3 时,x(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C53 × 22 × (−1)3 = −40; 当 r=2 时,y(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C52 × 23 × (−1)2 = 80. 故展开式中x3y3的系数为80-40=40.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 专题二 专题三
应用1设4名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动的方案
高中数学 第1章《计数原理》课件 新人教A版选修23
r n
(r＝0,1,2，…，n)称为二项
式系数，第r＋1项Crnan－rbr称为通项．
• [说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与 项数有关，而后者还与a，b的取值有关．
• ②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由 题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
(2)二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等，体现了组合数性质Cnm＝Cnn－m； ②增减性与最大值： 当k＜n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐增大； 当k＞n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐减小；
•
有3封信，4个信简．
• (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？
• (2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄 信方法？
• [思维点击] 本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问 题．解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应 该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解．
(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄 出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第 三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数 原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．
(2)典型的排列问题，共有A34＝24种寄信方法．
• 1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代 表队，共可组成( )
• A．7队 B．8队 • C．15队 D．63队 • 解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． • 答案： D
• 2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开， 若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
[说明] 公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于 化简．
高中数学《第一章计数原理复习参考题》245PPT课件
有 N m1 m2 mn 种不同的方法.
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成
12、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少 有1人,这样有几种选法? 每个学校至少2人？ 每个学校至少3人？ 每个学校至少4人？（作业）
13、若(x 1)n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为？ x
14、已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ,则 (1)a1 a2 a7 ? (2)a1 a3 a5 a7 ? (2)a0 a2 a4 a6 ?
6、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排 成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有多少 种排法？
7、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分， 将这9个球排成一列有多少种不同的方法？
8、6个人坐在一排10个座位上 (1)空位不相邻的坐法有多少种? (2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
C
r n
,
C
n n
叫做 二项式系数.
（1）
（2）
（3）
6、杨辉三角：
（1）杨辉三角与二项式系数的关系 （2）对称性 （3）增减性与最大值
当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。
1、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则不同的报名方法共有多少种？
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数 分类完成 类类相加 分步完成 步步相乘
完成这件事
每步_依__次__完__成__才 算完成这件事情 （每步中的每一种 方法不能独立完成
12、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少 有1人,这样有几种选法? 每个学校至少2人？ 每个学校至少3人？ 每个学校至少4人？（作业）
13、若(x 1)n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为？ x
14、已知(1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a7 x7 ,则 (1)a1 a2 a7 ? (2)a1 a3 a5 a7 ? (2)a0 a2 a4 a6 ?
6、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排 成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有多少 种排法？
7、今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分， 将这9个球排成一列有多少种不同的方法？
8、6个人坐在一排10个座位上 (1)空位不相邻的坐法有多少种? (2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
C
r n
,
C
n n
叫做 二项式系数.
（1）
（2）
（3）
6、杨辉三角：
（1）杨辉三角与二项式系数的关系 （2）对称性 （3）增减性与最大值
当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。
1、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则不同的报名方法共有多少种？
高中数学第一章计数原理章末复习课件新人教A版选修23
个数为84－1＝83.
解析 答案
反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对 立面去思考.
跟踪训练2 由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛， 每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛， 则不同的参赛方案共有__3_0__种. 解析 从 4 人中选出两个人作为一个元素有 C24种方法， 同其他两个元素在三个位置上排列有 C24A33＝36(种)方案，其中有不符合 条件的， 即学生甲、乙同时参加同一竞赛有 A33种方法， ∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种).
解析 答案
类型二 排列与组合的综合应用 例3 在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 解 第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目，与 6 个演唱节目 一起排，有 A77＝5 040(种)方法； 第二步再松绑，给 4 个节目排序，有 A44＝24(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.
跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的 三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时， 它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有___6_0_个.(用数字作答) 解析 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字 1 和 3 时，有 A34个； ②只有 1 和 3 中的一个时，有 2A24个； ③同时有 1 和 3 时，把 3 排在 1 的前面，再从其余 4 个数字中选 1 个数字 插入 3 个空当中的 1 个即可，有 C14·C13个. 所以满足条件的三位数共有 A34＋2A24＋C14·C13＝60(个).
高中数学《第一章计数原理复习参考题》279PPT课件
(x＋a)10 的展开式中，x7 的系数为 15，则 a＝________.
P40复习参考题1(7)
(1 x)2n (n N * )的展开式中，系数最大的项是第 项.
P40复习参考题8(1)
求 (1 2x)5 (1 3x)4展开式中按 x 的升幂排列的第3项.
P40复习参考题8(2)
求 (9x 1 )18 展开式中的常数项. 3x
须分完，那么不同分法的种数是
.
P40复习参考题1（5）
5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同
学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数
是
.
P40复习参考题1（6）
正十二边形的对角4，5，6可以组成多少个没有重复 数字的正整数？
P40复习参考题2（2）
有
项.
P40复习参考题1（2）
学生可从本年级开设的7门选修课中任意选择3门，
从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数
是
.
P40复习参考题1（3）
安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出
场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是
.
P40复习参考题1（4）
5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必
专题三 二项式定理及其应用
1、二项式定理揭示了二项展开式在项数、系数以及各项中 的指数等方面的联系． 2、求二项展开式中的特定项或特定项的系数是高考考查二 项式定理的主要题型之一．基本方法：
（1）由通项公式列出方程，通过解方程确定哪一项； （2）再根据二项展开式的通项进行计算． （3）赋值法是解决有关二项式展开式中系数问题的有力工具， 作为一种常用方法，应熟练掌握．
从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数．试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
高中数学《第一章计数原理复习参考题》240PPT课件
方法点评 选定安排标准、考虑全面、把所有可能情况均
考虑在内才不会遗漏；把所有不可能的情况都排除，才不致
重复，这样才能达到不重不漏的要求．
小结
1．组合应用题的解法 (1)无限制条 Nhomakorabea的组合应用题的解法步骤为：“一、判断； 二、转化；三、求值；四、作答．” (2)有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法，可将条件视为特殊元素或 特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或 按从同一位置选取的元素个数的多少分类．
解 (1)根据分步乘法计数原理得到：C62C24C22＝90 种． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C62C24C22种方法，这个过程 可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种方法．根据分 步乘法计数原理可得：C62C24C22＝xA33，所以 x＝C26AC4323C22＝15.因此
(2)为保证“恰有 1 个盒子不放球”，先从 4 个盒子中任意 拿去 1 个，即将 4 个球分成 2，1，1 的三组，有 C42种分法； 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球，2 个 盒子，全排列即可．由分步计数原理知，共有放法 C14·C24·C31·A22＝144(种)．
【变式3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4
与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，
共可组成多少个不同的三位数？
解 法一 从 0 和 1 这个特殊情况考虑，可分三类： 第 1 类：取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C41 种方法；0 可在后两位，有 C12种方法；最后需从剩下的三张中任 取一张，有 C13种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正面或 反面两种可能，故此时可得不同的三位数有 C14×C12×C13×22 个． 第 2 类：取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数 C24×22×A33个． 第 3 类：0 和 1 都不取，有不同的三位数 C43×23×A33个． 综上所述，不同的三位数共有 C14×C21×C13×22＋C24×22×A33＋C34 ×23×A33＝432(个)． 法二 任取三张卡片可以组成不同的三位数 C35×23×A33个，其中 0 在百位的有 C24×22×A22个，这是不合题意的，故不同的三位数 共有 C53×23×A33－C24×22×A22＝432(个)．
考虑在内才不会遗漏；把所有不可能的情况都排除，才不致
重复，这样才能达到不重不漏的要求．
小结
1．组合应用题的解法 (1)无限制条 Nhomakorabea的组合应用题的解法步骤为：“一、判断； 二、转化；三、求值；四、作答．” (2)有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法，可将条件视为特殊元素或 特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或 按从同一位置选取的元素个数的多少分类．
解 (1)根据分步乘法计数原理得到：C62C24C22＝90 种． (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C62C24C22种方法，这个过程 可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法； 第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种方法．根据分 步乘法计数原理可得：C62C24C22＝xA33，所以 x＝C26AC4323C22＝15.因此
(2)为保证“恰有 1 个盒子不放球”，先从 4 个盒子中任意 拿去 1 个，即将 4 个球分成 2，1，1 的三组，有 C42种分法； 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球，2 个 盒子，全排列即可．由分步计数原理知，共有放法 C14·C24·C31·A22＝144(种)．
【变式3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4
与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，
共可组成多少个不同的三位数？
解 法一 从 0 和 1 这个特殊情况考虑，可分三类： 第 1 类：取 0 不取 1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有 C41 种方法；0 可在后两位，有 C12种方法；最后需从剩下的三张中任 取一张，有 C13种方法；又除含 0 的那张外，其他两张都有正面或 反面两种可能，故此时可得不同的三位数有 C14×C12×C13×22 个． 第 2 类：取 1 不取 0，同上分析可得不同的三位数 C24×22×A33个． 第 3 类：0 和 1 都不取，有不同的三位数 C43×23×A33个． 综上所述，不同的三位数共有 C14×C21×C13×22＋C24×22×A33＋C34 ×23×A33＝432(个)． 法二 任取三张卡片可以组成不同的三位数 C35×23×A33个，其中 0 在百位的有 C24×22×A22个，这是不合题意的，故不同的三位数 共有 C53×23×A33－C24×22×A22＝432(个)．
高中数学《第一章计数原理复习参考题》300PPT课件
永州市2019年高考数学研究团队研发
追求完美 引领未来
永州市2019年高考数学研究团队研发
永州市2018年高考数学研究团队
总负责
蒋 健…………永州市教育科学研究院 编写人员（姓氏排序） 文科数学
池德良…………蓝山二中 桂爱民…………祁阳一中 蒋桂英…………永州四中 李 毅…………永州一中
理科数学
追求完美 引领未来
第3课时 6.3计数原理与二项式定理
追求完美 引领未来
追求完美 引领未来
考点
Байду номын сангаас
解读
1.计数原理与排列组合 1、已知一个式子，利用
数
二项式定理和组合数求
2.二项式定理的通项和 已知式展开式中指定项
系数
的系数
2、由指定项求已知式中
的参数
永州市2019年高考数学研究团队研发
追求完美 引领未来
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追求完美 引领未来
1、[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中 选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入 选，则不同的选法共有________种．(用数 字填写答案)
【解析】16 方法一：按参加的女生人数可分为两类：只有1位 女生参加，有C21C42＝12种；有2位女生参加有 C22C41＝4种，故共有16种．
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探究二 排列与组合及应用
探究三 二项式定理及应用
追求完美 引领未来
1．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”； 分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事 件． 2．界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元 素”“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理． 3．解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复 杂的排列和组合问题利用分类思想转化为简单问题 求解． 5．二项式定理解题的四大热点，四条规律： (1)四大热点：①通项运用型；②系数配对型；③ 系数和差型；④综合应用型． (2)四条规律：①常见问题通项分析法；②系数和 差赋值法；③近似问题
追求完美 引领未来
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总负责
蒋 健…………永州市教育科学研究院 编写人员（姓氏排序） 文科数学
池德良…………蓝山二中 桂爱民…………祁阳一中 蒋桂英…………永州四中 李 毅…………永州一中
理科数学
追求完美 引领未来
第3课时 6.3计数原理与二项式定理
追求完美 引领未来
追求完美 引领未来
考点
Байду номын сангаас
解读
1.计数原理与排列组合 1、已知一个式子，利用
数
二项式定理和组合数求
2.二项式定理的通项和 已知式展开式中指定项
系数
的系数
2、由指定项求已知式中
的参数
永州市2019年高考数学研究团队研发
追求完美 引领未来
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追求完美 引领未来
1、[2018·全国卷Ⅰ]从2位女生，4位男生中 选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入 选，则不同的选法共有________种．(用数 字填写答案)
【解析】16 方法一：按参加的女生人数可分为两类：只有1位 女生参加，有C21C42＝12种；有2位女生参加有 C22C41＝4种，故共有16种．
永州市2019年高考数学研究团队研发
探究二 排列与组合及应用
探究三 二项式定理及应用
追求完美 引领未来
1．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”； 分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事 件． 2．界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元 素”“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理． 3．解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复 杂的排列和组合问题利用分类思想转化为简单问题 求解． 5．二项式定理解题的四大热点，四条规律： (1)四大热点：①通项运用型；②系数配对型；③ 系数和差型；④综合应用型． (2)四条规律：①常见问题通项分析法；②系数和 差赋值法；③近似问题
高中数学第一章计数原理本章知识体系课件选修23高二选修23数学课件
10．“小团体”问题“先整体后局部法” 对于“小团体”排列问题，与团体内部的排
列．
[例 11] 7 人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好间隔 2 人 的站法有多少种？
[解] 甲、乙及间隔的 2 人组成一个“小团体”，这 2 人可 从其余 5 人中任选出来，有 C25种选法；这个小团体与其余 3 人 共 4 个元素全排列有 A44种方法，它的内部甲、乙两人有 A22种站 法，中间选的 2 人也有 A22种站法，因而符合要求的站法共有 C25A44 A22A22＝960(种)．
12/9/2021
第十七页，共三十五页。
5．相邻问题“捆绑法” 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素 “捆绑”起来，看作一个“大”元素与其他元素排列，然后再对 相邻元素内部之间进行排列． [例 6] A、B、C、D 四人排成一排，A，B 必须相邻的排法 有____1_2___种．
[解析] 将 A，B 捆绑起来看作一个元素，与其他三人进行 排列，有 A33种排法，而 A，B 之间又有 A22种排法，故满足条件 的排法共有 A33·A22＝12(种)．
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第二十页，共三十五页。
[解析] 关第一只灯的方法有 10 种，关第二只、第三只灯 时要分类讨论，情况较复杂．若换一个角度，从反面入手考虑， 因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的 排列，于是问题就转化为等价的“在 9 只亮灯产生的 8 个空当中 插入 3 只暗灯”问题，故所求方法种数为 C38.
第一章
计数 原理 (jìshù)
12/9/2021
第一页，共三十五页。
本章知识(zhī shi)体系
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第二页，共三十五页。
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游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得 解，辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫 寒，无上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听 于墙角。师每出题，童必求当日解决，不留问题到天 明。然此日师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处 于道中演练，为防异处而忘，故坚不让道。
辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图： 1-9个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一 顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并 推广至16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把 这些图总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》 中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重 要应用。
+
+
(1)k
C
k n
a
nk
b
k
+ + (1)n Cnnbn
二项展开式指定项的系数问题
2.已 知 二 项 式 3
x
2
10
,
(1)求
展
开
式
中
第4项
的
二
项
式
系
数
；
3x
(2)求 展 开 式 中 第4项 的 系 数; (3)求 第4项.
n
3.已知 x + 1 的展开式中，前三项的系数成等差数列， 2 x
二项式定理
基础知识
研究(a+b)n的展开式
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？ 1 1
15.在
x
2 x2
8的 展 开 式 中,(1)系 数 的 绝 对 值 最 大 的 项是 第 几 项 ？
(2)求 二 项 式 系 数 最 大 的 项；(3)求 系 数 最 大 的 项(；4)求 系 数 最 小 的 项.
◆求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， n为奇数时中间两项，n为偶数时中间一项.
121
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 3 3 1
1 4 64 1
如何求(a+b)n的展开式
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
C 20a 2 C 21ab C22b2
共有三项
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
=
C nk 1
n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于Cnk
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知 2
它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
◆设Tk+1的系数为Ak+1，求系数最大的项，可通过 解不等式组Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.
近似计算、整除及余数问题
16.用 二 项 式 定 理 证 明1110 1能 被100整 除.
17.求 证 ：2n+2 3n + 5n 4能 被25整 除(n N*)
18.求 证 ： 1+ 3 + 32 + + 33n1能 被26整 除(n为 大 于1的 偶 数)
1.对称性：在二项展开式中，与首末两 端“等距离”的两项的二项式系数相
C
m n
=
C nm n
等.
图象的对称轴：r
=
n
2
在相邻的两行中，除1外的每一个 数都等于它“肩上”两个数的和.
C
r n+1
=
C
r n
1
+
C
r n
2.增减性与最大值：
二项式系数的性质
C nk
=
n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
由杨辉三角形研究二项式系数的性质
(a + b)n 展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,Cn1
,Cn2
,
,Cnn
f(r) 20
令f (r)
=
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
14
当n= 6时,其图象是7个孤立点
问题：观察杨辉三角形，你能发 6 现二项式系数的哪些性质？
O 36
r
二项式系数的性质
n
5.已 知 3 x 3 的 展 开 式 中 第6项 为 常 数 项(1)求n；(2)求 含x2的 项.
3 x
6.若
x+
1
n
展
开
式
中
前
三
项
系
数
成等
差
数
列, 求
：
24 x
(1)展 开 式 中 含x一 次 幂 的 项(；2)展 开 式 中 所 有x的 有 理 项.
抓住通项Tk+1 = Cnkan-k bk解题, 注意Cnkan-k bk是第k +1项,不是第k项.
二项式定理规律
1、二项式系数规律 Cn0、C1n、Cn2、 、Cnn
2、指数规律 （1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次数由0升到n.
3、项数规律 二项展开式共有n+1项
4、通项公式
Tk +1
=
C
k n
a
nk
bk
二项式定理简单运用
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
求 展 开 式 中x项 的 系 数 及 二 项 式 系 数.
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
二项展开式的特定项问题
4.若
x
2 x2
n
的 展 开 式 中 第5项 的 系 数 与 第3项 的 系 数 的 比 是10：1，
3
(1)证 明 展 开 式 中 没 有 常 数项 ；(2)求 展 开 式 中 含x 2的 项.
(4)a0 + a2 + + a100 2 a1 + a3 + + a99 2;
(5) a0 + a1 + + a100 .
常见的赋值方法(：1)多项式f ( x)的各项系数和为f (1);
(2)奇数项系数和为 f 1 f -1,偶数项系数和为 f 1+ f -1
2
2
展开式的系数和问题
12.设(3x 1)8 = a0 + a1x + a2 x2 + + a8 x8 ,求 (1)a1 + a2 + + a8;(2)a0 + a2 + a4 + a6 + a8; (3)a0 a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 a7 + a8 .
探究
对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何 进行抽象？
进一步，(x+y+z)6展开式中x3y2z的系数是多少？ (2x+y+3z)6展开式中x3y2z的系数是多少？
展开式的系数和问题
10.若(3x 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + + a1x + a0 ,求 (1)a1 + a2 + + a7;(2)a1 + a3 + a5 + a7; (3)a0 + a2 + a4 + a6;(4) a0 + a1 + a2 + + a7 . 11.(2 3x)100 = a0 + a1x + a2 x2 + + a100 x100 ,求 (1)a0;(2)a1 + a2 + a3 + + a100;(3)a1 + a3 + a5 + + a99;
完成课本31页练习
二项式定理
“杨辉三角形”与二项式系数的性 质
引例：从排列组合“定序”问题说起
Q 如图某城市中P，Q两地有整
齐的矩形道路网，从Q地到P 地共有多少种最近的走法？
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的
展
开
式
中x 3的
系
数,并 问
展
开
式
中
x
是 否 存 在 常 数 项 ？ 1、区别“二项式系数”与“系数”
辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图： 1-9个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一 顿，相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并 推广至16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把 这些图总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》 中，流传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重 要应用。
+
+
(1)k
C
k n
a
nk
b
k
+ + (1)n Cnnbn
二项展开式指定项的系数问题
2.已 知 二 项 式 3
x
2
10
,
(1)求
展
开
式
中
第4项
的
二
项
式
系
数
；
3x
(2)求 展 开 式 中 第4项 的 系 数; (3)求 第4项.
n
3.已知 x + 1 的展开式中，前三项的系数成等差数列， 2 x
二项式定理
基础知识
研究(a+b)n的展开式
1.在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？ 1 1
15.在
x
2 x2
8的 展 开 式 中,(1)系 数 的 绝 对 值 最 大 的 项是 第 几 项 ？
(2)求 二 项 式 系 数 最 大 的 项；(3)求 系 数 最 大 的 项(；4)求 系 数 最 小 的 项.
◆求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质， n为奇数时中间两项，n为偶数时中间一项.
121
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 3 3 1
1 4 64 1
如何求(a+b)n的展开式
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
C 20a 2 C 21ab C22b2
共有三项
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
=
C nk 1
n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于Cnk
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知 2
它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
◆设Tk+1的系数为Ak+1，求系数最大的项，可通过 解不等式组Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.
近似计算、整除及余数问题
16.用 二 项 式 定 理 证 明1110 1能 被100整 除.
17.求 证 ：2n+2 3n + 5n 4能 被25整 除(n N*)
18.求 证 ： 1+ 3 + 32 + + 33n1能 被26整 除(n为 大 于1的 偶 数)
1.对称性：在二项展开式中，与首末两 端“等距离”的两项的二项式系数相
C
m n
=
C nm n
等.
图象的对称轴：r
=
n
2
在相邻的两行中，除1外的每一个 数都等于它“肩上”两个数的和.
C
r n+1
=
C
r n
1
+
C
r n
2.增减性与最大值：
二项式系数的性质
C nk
=
n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
由杨辉三角形研究二项式系数的性质
(a + b)n 展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,Cn1
,Cn2
,
,Cnn
f(r) 20
令f (r)
=
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
14
当n= 6时,其图象是7个孤立点
问题：观察杨辉三角形，你能发 6 现二项式系数的哪些性质？
O 36
r
二项式系数的性质
n
5.已 知 3 x 3 的 展 开 式 中 第6项 为 常 数 项(1)求n；(2)求 含x2的 项.
3 x
6.若
x+
1
n
展
开
式
中
前
三
项
系
数
成等
差
数
列, 求
：
24 x
(1)展 开 式 中 含x一 次 幂 的 项(；2)展 开 式 中 所 有x的 有 理 项.
抓住通项Tk+1 = Cnkan-k bk解题, 注意Cnkan-k bk是第k +1项,不是第k项.
二项式定理规律
1、二项式系数规律 Cn0、C1n、Cn2、 、Cnn
2、指数规律 （1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次数由0升到n.
3、项数规律 二项展开式共有n+1项
4、通项公式
Tk +1
=
C
k n
a
nk
bk
二项式定理简单运用
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
求 展 开 式 中x项 的 系 数 及 二 项 式 系 数.
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
二项展开式的特定项问题
4.若
x
2 x2
n
的 展 开 式 中 第5项 的 系 数 与 第3项 的 系 数 的 比 是10：1，
3
(1)证 明 展 开 式 中 没 有 常 数项 ；(2)求 展 开 式 中 含x 2的 项.
(4)a0 + a2 + + a100 2 a1 + a3 + + a99 2;
(5) a0 + a1 + + a100 .
常见的赋值方法(：1)多项式f ( x)的各项系数和为f (1);
(2)奇数项系数和为 f 1 f -1,偶数项系数和为 f 1+ f -1
2
2
展开式的系数和问题
12.设(3x 1)8 = a0 + a1x + a2 x2 + + a8 x8 ,求 (1)a1 + a2 + + a8;(2)a0 + a2 + a4 + a6 + a8; (3)a0 a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 a7 + a8 .
探究
对于一个立体网络图路径最佳个数怎么找？如何 进行抽象？
进一步，(x+y+z)6展开式中x3y2z的系数是多少？ (2x+y+3z)6展开式中x3y2z的系数是多少？
展开式的系数和问题
10.若(3x 1)7 = a7 x7 + a6 x6 + + a1x + a0 ,求 (1)a1 + a2 + + a7;(2)a1 + a3 + a5 + a7; (3)a0 + a2 + a4 + a6;(4) a0 + a1 + a2 + + a7 . 11.(2 3x)100 = a0 + a1x + a2 x2 + + a100 x100 ,求 (1)a0;(2)a1 + a2 + a3 + + a100;(3)a1 + a3 + a5 + + a99;
完成课本31页练习
二项式定理
“杨辉三角形”与二项式系数的性 质
引例：从排列组合“定序”问题说起
Q 如图某城市中P，Q两地有整
齐的矩形道路网，从Q地到P 地共有多少种最近的走法？
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的
展
开
式
中x 3的
系
数,并 问
展
开
式
中
x
是 否 存 在 常 数 项 ？ 1、区别“二项式系数”与“系数”