信号与系统卷积介绍
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卷积积分与卷积
一、摘要:
近十年来,由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展,电子计算机已为信号的处理提供了条件。信号与系统分析理论应用一直在扩大,它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域,而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。
卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具,随着信号与系统理论研究的深入,卷积运算得到了更广泛的应用。卷积运算有很多种解法,对于一般无限区间而言,可用定义法直接求解。而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解,最后进行了相关的比较。
二、关键词:
信号与系统;卷积;图解法;卷积性质法;简易算法
三、正文:
卷积在信号与系统理论分析中,应用于零状态响应的求解。对连续时间信号
的卷积称为卷积积分,定义式为:
∞
f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ
≜f1(t)∗f2(t)
−∞
对离散时间信号的卷积称为卷积和,定义式为:
∞
f(n)=∑f1(m)f2(n−m)
≜f1(n)∗f2(n)
m=−∞
1、卷积积分的解法
(1)图解法
图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况,而且容易确定卷积积分的上、下限,是一种极有效的方法。
如果给定f 1(t )和f 2(t),要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量,即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ),这时函数图形与原来一样,只是横坐标变为了t ,然后再经过以下四个步骤:
(1)反褶,即将f 2(τ)进行反褶,变为f 2(−τ);
(2)时移,即将f 2(−τ)时移t ,变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)],当t >0时,将f 2(−τ)右移t ,而当t <0时,将f 2(−τ)左移t ;
(3)相乘,即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ);
(4)积分,即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分,积分的关键是确定积分限。一般是将f 1(t )f 2(t −τ)不等于零的区间作为上下限,而当取不同的值时,不为零的区间有所变化,因此要分成不同的区间来求卷积。
例1、已知f 1(t )和f 2(t)的波形如图1-1所示,求f (t )=f 1(t)∗f 2(t)。
图1-1
解:(1)变量代换,将变量f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ),此时波形不变; (2)将f 2(τ)进行反褶,变为f 2(−τ),图1-2; (3)时移,即将f 2(−τ)时移t ,图1-3;
(4)相乘,即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ),图1-4~8;
图
1-3
图
1-2
(5)积分,即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分,图1-9; 当t <4时,f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞
−∞=0; 当4 −∞=∫2dτ=2(t −4)t−13 ; 当5 t−3; τ 图 1-8 τ 图 1-7 图 1-6 图1-4 图1-5 当t >7时,f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞ −∞=0。 (2)卷积积分的简易算法 设f 1(t )的时限为x 1 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx 1 −∞=0 t f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1 x 1 x 1+y 1 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1t−y 2 x 1+y 2 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx 2 t−y 2 x 2+y 1 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞ x 2 =0 t >x 2+y 2; 如例1中,f 1(t )的时限为1 f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞ −∞=0 t <4 f (t )=∫2dτ=2(t −4)t−31 4 f (t )=∫2dτ=2t−3t−4 5 图1-9