信号与系统卷积介绍

卷积积分与卷积

一、摘要：

近十年来，由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展，电子计算机已为信号的处理提供了条件。信号与系统分析理论应用一直在扩大，它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域，而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。

卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具，随着信号与系统理论研究的深入，卷积运算得到了更广泛的应用。卷积运算有很多种解法，对于一般无限区间而言，可用定义法直接求解。而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解，最后进行了相关的比较。

二、关键词：

信号与系统；卷积；图解法；卷积性质法；简易算法

三、正文：

卷积在信号与系统理论分析中，应用于零状态响应的求解。对连续时间信号

的卷积称为卷积积分，定义式为：

∞

f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ

≜f1(t)∗f2(t)

−∞

对离散时间信号的卷积称为卷积和，定义式为：

∞

f(n)=∑f1(m)f2(n−m)

≜f1(n)∗f2(n)

m=−∞

1、卷积积分的解法

（1）图解法

图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况，而且容易确定卷积积分的上、下限，是一种极有效的方法。

如果给定f 1(t )和f 2(t)，要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量，即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，这时函数图形与原来一样，只是横坐标变为了t ，然后再经过以下四个步骤：

（1）反褶，即将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)；

（2）时移，即将f 2(−τ)时移t ，变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)]，当t >0时，将f 2(−τ)右移t ，而当t <0时，将f 2(−τ)左移t ；

（3）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)；

（4）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，积分的关键是确定积分限。一般是将f 1(t )f 2(t −τ)不等于零的区间作为上下限，而当取不同的值时，不为零的区间有所变化，因此要分成不同的区间来求卷积。

例1、已知f 1(t )和f 2(t)的波形如图1-1所示，求f (t )=f 1(t)∗f 2(t)。

图1-1

解：（1）变量代换，将变量f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ)，此时波形不变； （2）将f 2(τ)进行反褶，变为f 2(−τ)，图1-2； （3）时移，即将f 2(−τ)时移t ，图1-3；

（4）相乘，即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ)，图1-4～8；

图

1-3

图

1-2

（5）积分，即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分，图1-9； 当t <4时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞

−∞=0； 当4

−∞=∫2dτ=2(t −4)t−13

；

当5

t−3；

τ

图

1-8

τ

图

1-7

图

1-6

图1-4

图1-5

当t >7时，f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞

−∞=0。

（2）卷积积分的简易算法

设f 1(t )的时限为x 1

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx

1

−∞=0 t

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1

x

1

x 1+y 1

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1t−y 2

x 1+y 2

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx

2

t−y 2

x 2+y 1

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞

x

2

=0 t >x 2+y 2；

如例1中，f 1(t )的时限为17，其对应的积分区间分别（−∞，1）,（1，t −3）,（t −4，t −3）,（t −4，3）,（3,+∞）。代入以上各式得：

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞

−∞=0 t <4 f (t )=∫2dτ=2(t −4)t−31

4

f (t )=∫2dτ=2t−3t−4 5

图1-9