信号与系统卷积介绍

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

卷积积分与卷积

一、摘要:

近十年来,由于电子技术和集成电路工艺的飞速发展,电子计算机已为信号的处理提供了条件。信号与系统分析理论应用一直在扩大,它不仅应用于通信、雷达、自动控制、光学、生物电子学、地震勘探等多种领域,而且对社会和自然学科也具有重要的指导意义。

卷积运算是线性时不变系统的一个重要工具,随着信号与系统理论研究的深入,卷积运算得到了更广泛的应用。卷积运算有很多种解法,对于一般无限区间而言,可用定义法直接求解。而本文通过图解法、卷积性质法、简易算法对有限区间卷积积分和卷积和分别进行求解,最后进行了相关的比较。

二、关键词:

信号与系统;卷积;图解法;卷积性质法;简易算法

三、正文:

卷积在信号与系统理论分析中,应用于零状态响应的求解。对连续时间信号

的卷积称为卷积积分,定义式为:

f(t)=∫f1(τ)f2(t−τ)dτ

≜f1(t)∗f2(t)

−∞

对离散时间信号的卷积称为卷积和,定义式为:

f(n)=∑f1(m)f2(n−m)

≜f1(n)∗f2(n)

m=−∞

1、卷积积分的解法

(1)图解法

图解法适合于参与卷积运算的两函数仅以波形形式给出,或者已知函数的波形易于画出的情况。利用图解法能够直接观察到许多抽象关系的具体情况,而且容易确定卷积积分的上、下限,是一种极有效的方法。

如果给定f 1(t )和f 2(t),要求这两个函数的卷积积分f (t )=f 1(t)∗f 2(t),首先要改变自变量,即将f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ),这时函数图形与原来一样,只是横坐标变为了t ,然后再经过以下四个步骤:

(1)反褶,即将f 2(τ)进行反褶,变为f 2(−τ);

(2)时移,即将f 2(−τ)时移t ,变为f 2(t −τ)=f 2[−(τ−t)],当t >0时,将f 2(−τ)右移t ,而当t <0时,将f 2(−τ)左移t ;

(3)相乘,即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ);

(4)积分,即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分,积分的关键是确定积分限。一般是将f 1(t )f 2(t −τ)不等于零的区间作为上下限,而当取不同的值时,不为零的区间有所变化,因此要分成不同的区间来求卷积。

例1、已知f 1(t )和f 2(t)的波形如图1-1所示,求f (t )=f 1(t)∗f 2(t)。

图1-1

解:(1)变量代换,将变量f 1(t )和f 2(t)变成f 1(τ)和f 2(τ),此时波形不变; (2)将f 2(τ)进行反褶,变为f 2(−τ),图1-2; (3)时移,即将f 2(−τ)时移t ,图1-3;

(4)相乘,即将f 1(t )与f 2(t −τ)相乘得到f 1(t )f 2(t −τ),图1-4~8;

1-3

1-2

(5)积分,即将乘积f 1(t )f 2(t −τ)进行积分,图1-9; 当t <4时,f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞

−∞=0; 当4

−∞=∫2dτ=2(t −4)t−13

当5

t−3;

τ

1-8

τ

1-7

1-6

图1-4

图1-5

当t >7时,f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞

−∞=0。

(2)卷积积分的简易算法

设f 1(t )的时限为x 1

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx

1

−∞=0 t

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1

x

1

x 1+y 1

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτt−y 1t−y 2

x 1+y 2

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτx

2

t−y 2

x 2+y 1

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ+∞

x

2

=0 t >x 2+y 2;

如例1中,f 1(t )的时限为17,其对应的积分区间分别(−∞,1),(1,t −3),(t −4,t −3),(t −4,3),(3,+∞)。代入以上各式得:

f (t )=∫f 1(τ)f 2(t −τ)dτ∞

−∞=0 t <4 f (t )=∫2dτ=2(t −4)t−31

4

f (t )=∫2dτ=2t−3t−4 5

图1-9

相关文档
最新文档